Множества и операции над ними, их свойства в 9 классе примеры операций
Дата публикации: .
Множества и операции над ними
Ребята, мы с вами ввели понятие множеств. Теперь давайте посмотрим, какие операции можно делать с двумя множествами.
Множества очень удобно изображать в виде кругов. Эти круги называются кругами Эйлера, в честь математика – Леонарда Эйлера. На рисунке ниже изображены два множества А и Б в виде кругов Эйлера:
Итак, какие же операции можно производить над множествами?
Пересечением множества А и Б, называется множество состоящее из элементов принадлежащих как А, так и Б. Обозначается как А∩Б. Давайте схематично нарисуем пересечение с помощью кругов Эйлера:
Давайте запишем на математическом языке: $А∩Б = {y| yϵA и yϵБ}$. Пересекать можно любое количество множеств. Если множества не пересекаются то $А∩Б =Ø$
Пример. Найти пересечение множеств: $
а) А={1,3,5,7,9} \; Б={1,2,3,4,5,6}$
b) Множество А состоит из букв слова Математика.
Решение:
а) Множество А состоит из нечетных чисел первого десятка. Множество Б все натуральные числа до 6. Пересечением множеств будет множество из общих элементов: $А∩Б = {1;3;5}.$
b) Запишем элементы множества $А={А;Е;И;К;М;Т} \; Б={А;Б;Г;Е;Л;Р}.$ Пересечение множеств : $А∩Б ={А;Е}.$
Объединением множеств А и Б называется множество состоящее из всех элементов принадлежащее каждому множеству. Обозначается как $АUБ.$ Давайте так же нарисуем нашу операцию с помощью кругов Эйлера:
Давайте запишем на математическом языке: $ АUБ = {y| yϵA или yϵБ}. $
Объединять так же можно любое количество множеств.
Пример. Объедините множества:
$а) А= {1,3,5,7,9} \; Б={2,4,6,8}\\
b) A= (1;3) \; Б=[2;6].$
с) А – множество всех точек плоскости абсцисса которых больше одного. Б – множество всех точек плоскости ордината которых не больше двух.
Решение:
а) Множество А состоит из нечетных чисел первого десятка.
$АUБ = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}.$
b) Множество А состоит из всех чисел открытого интервала $(1;3)$. Множество Б состоит из всех чисел интервала $[2;6]$. Объединением АUБ будут все числа принадлежащие сразу двум интервалам.
На интервале от двух до трех, множества содержат одинаковые числа тогда объединение можно записать в виде:
$АUБ=(1;6]$
с) Нашу задачу лучше решить графически:
Нарисуем множество точек множества А: Нарисуем множество точек множества Б: Нарисуем объединение:
Задачи с множествами для самостоятельного решения.
1. Найти пересечение множеств:
а) $А={1,4,8,10,13}\; Б={2,5,8,10,11,13}$
b) Множество А состоит из букв слова Алгоритм. Множество Б состоит из букв слова Программирование. Найти пересечение $А∩Б.$
с) А – множество всех точек плоскости абсцисса которых больше двух. Б – множество всех точек плоскости ордината которых больше одного.
2. Найти объединение множеств:
а) $А= {10,20,30,40} \; Б={5,15,25,35}$
b) $A= (0;5) \; Б=[-1;3).$
с) Множество А состоит из корней уравнения $(х+5)(х-2)=0.$ Множество Б состоит из решения неравенства х>1.
d) А – множество всех точек плоскости абсцисса которых меньше нуля. Б – множество всех точек плоскости ордината которых больше трех.
Методическая разработка по теме « Множества и операции над ними. Решение задач». | Элективный курс по алгебре (8 класс) на тему:
Методическая разработка по теме:
«Множества и операции над ними. Решение задач с помощью кругов Эйлера».
Современный математический язык более краток и заменяет разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Понятия и обозначения языка теории множеств составляет фундамент современного математического языка. Всякий объект, входящий во множество, называют его элементом. Например, если множество – дни недели, то понедельник элемент этого множества.
Блок 1. Множества и операции над ними.
Презентация. (Слайд 2) Вопросы к слайду 2:
1. Перечислите элементы множеств:
а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4;…)
в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2;…).
2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).
3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля,
Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).
4.Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).
5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.
6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие,
земноводные, хладнокровные и т.п.).
7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).
8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).
Задайте сами множество описанием.
(Слайд 3) Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В,
С, Д, и т. д. Некоторые числовые множества столь часто встречающиеся в различных
разделах математики, что для них ввели специальные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I — множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
(Слайд 4) Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в
некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок {,}.
Например, цифры десятичной системы счисления задаются множеством
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Если множество состоит из чисел, то при их перечислении иногда удобнее использовать
не запятую, а знак препинания « ; » — точку с запятой. Так как «перечислительную» запятую
можно спутать с «десятичной» запятой.
Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке.
От изменения порядка
перечисления элементов само множество не меняется. Например, множество гласных букв
русского алфавита задается {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} или {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.
Эти множества состоят из одних и тех же элементов, их называют равными, а для записи
равенства двух множеств употребляют знак « = ».
{А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.
Чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы.
Например, запись А = {2; 3; 5; 7; 11; 13} означает, что множество А состоит из первых шести
простых чисел.
Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том
случае, когда их число невелико. Если число элементов множества достаточно велико или
множество бесконечно, то явное перечисление элементов такого множества невозможно.
Способы задания, описания множеств весьма разнообразны. Например, множество
всех квадратов натуральных чисел можно записать {1; 4; 9; 16; 25; …}, а множество всех
чисел, которые больше 5 и меньше 12 записать {х | 5
использован оборот « … и так далее» и символ « | » внутри фигурных скобок заменяющий
комбинацию слов « … таких, что …».
(Множество всех х таких, что 5
Описав словами некоторое множество, нельзя гарантировать, что найдется хотя бы один
объект, отвечающий этому описанию. Предположим, о множестве С сказано, что оно состоит
из чисел, делящихся на 6, но не делящихся на 3. Таких чисел просто нет. В подобных
случаях множество называют пустым и обозначают символом Ø, в фигурные скобки его не
ставят, так как никакого перечисления элементов пустого множества не происходит.
(Слайд 5) Задание 1. [3]
1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:
а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.
2) Задайте множество А описанием:
а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, — 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};
г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.
3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7},
S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?
а) М = Р.
б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.
(Слайд 6) Словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х – элемент
множества А», достаточно длинны и не всегда удобны в записи решений конкретных задач.
В математике эти выражения кратко записывают так: х А, где – знак принадлежности.
Например, 5N, лучше читать не буквально, а в «литературном переводе», «5 – число
натуральное». Наряду со знаком принадлежит используют и его «отрицание» — знак
(знак не принадлежит). Запись 0 N означает, что нуль не натуральное число.
(Слайд 7) Задание 2. [3; 1]
1. Запишите на символическом языке следующее утверждение:
а) число 10 – натуральное;
б) число – 7 не является натуральным;
в) число – 100 является целым;
г) число 2,5 – не целое.
2. Верно ли, что:
а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q?
3. Верно ли, что:
а) 0,7 {х | х2 – 1 {х | х2 + 16х ≤ — 64}?
(Слайд 8) Возьмем множество А = {2; 4; 6} и В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Каждый элемент
множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что множество А
является подмножеством множества В, и пишут: А В.
Знак «» называют знаком включения.
Соотношения между множествами А и В можно проиллюстрировать на рисунке с помощью
так называемых кругов Эйлера (Леонард Эйлер российский ученый — математик, механик,
физик и астроном.). Множество изображается в виде некоторого круга, а его элементы
изображаются точками этого круга (рис 1).
Пустое множество считают подмножеством любого множества. А В
Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств Рис. 1
взяты из некоторого одного и того же «универсального» множества К. Это множество будем
изображать квадратом, а рассматриваемые множества А, В, С, … — подмножества множества
К – кругами (или другими полученными из них фигурами, которые выделим штриховкой).
(Слайд 9) Задание 3. [3; 1]
1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}.
Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное
утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.
2. Даны три множества А = {1, 2, 3,…, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16,…,36}.
Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?
(Слайд 10) Из данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать
новые множества:
1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих
элементов множеств А и В, т. е. из всех элементов, которые принадлежат
и множеству А, и множеству В (рис. 2). Пересечение множеств А и В
обозначают так: А∩В. Это определение можно записать и так:
А∩В = {х | х А и х В}. Иными словами, пересечение двух А∩В К
множеств — это их общая часть. Например, если А = {3; 9; 12} и Рис.
2
В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то А∩В = {3; 9}. Если А = {10; 20; …90; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то
А∩В = {30; 60; 90}. Можно рассматривать пересечение не только двух, но трех, четырех и
т. д. множеств. Пересечение множеств В, С и D обозначают так: В∩С∩D.
(Слайд 11) Задание 4. [3; 1]
1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.
2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.
Найдите А∩В.
3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.
Найдите (А∩В)∩С.
(Слайд 12)
2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств – или
множеству А, или множеству В (рис. 3). Объединение множеств
А и В обозначают так: АUВ.
Это определение можно записать и так:
АUВ = {х | х А или х В}.
Например, если А = {3; 9; 12} и
В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}. Можно АUВ К
рассматривать объединение не только двух, но трех, четырех и т. д. Рис. 3
множеств. Объединение множеств В, С и D обозначают так: ВUСUD.
(Слайд 13) Задание 5. [3; 1]
1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.
2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.
Найдите (АUВ)UС.
3. Даны три числовых промежутка: А = (7,7; 11), В = [; ], С = (; 13].
Найдите (АUВ)UС.
(Слайд 14)
3) Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В
(рис.4). Разность А и В обозначают так: А\ В. Например,
если А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, то А\ В={2; 4; 6; 8}.
А\ В К
(Слайд 15) Рис.
4
4) Дополнение множества А обозначают так: Ā (рис. 5).
Дополнение множества до множества К: Ā = К\А.
Например, если А = {3; 6; 9; 12} и
К = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, то Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}.
Ответы: Рис. 5
Задание 1.
1. а) {2; 3; 4; 5}; б) {7; 8; 9}; в) {0; 1}; г) {5}. 3. г).
Задание 2.
1. а) 10N; б) -7 N; в) -10 Z; г) 2,5 Z . 2. а) нет; б) да; в) да; 3. а) да; б) нет.
Задание 3.
1. а) А D; б)А В; в)С А; г)С В. 2. а) нет; б) нет; в) да; г) да.
Задание 4.
1. а) А∩В = {2; 3; 8}; б) А∩С = Ø; в) С∩В ={11}. 2. А∩В = {10;20;30;40}. 3. (А∩В)∩С={с}.
Задание 5.
1. а) АUВ = {2; 3; 8; 11}; б) АUС = {2; 3; 5; 8; 11}; в) СUВ = {2; 3; 5; 8; 11}.
2. (АUВ)UС = {a, b, c, d, e, f, g, k}. 3. (АUВ)UС = (7,7; 13].
Приложение
Блок 2. Решение задач с помощью кругов (диаграмм) Эйлера.
Чтобы облегчить рассуждения в следующих задачах, воспользуемся кругами Эйлера.
Презентация. (Слайд 16) Портрет Леонарда Эйлера (1707-1783).
(Слайд 17) Задача 1.[3]
Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.
(Слайд 18) Задача 2.[3]
Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента.
Сколько элементов в множестве А U В?
(Слайд 19) Задача 3.[2]
Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и
другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь
13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?
(Слайд 20) Задача 4.[1]
На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по
бегу, или по прыжкам в высоту.
Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников
выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько
учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при
условии, что не выполнен норматив по бегу?
(Слайд 21) Задача 5.[3]
Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки.
Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются
коллекционированием?
(Слайд 22) Задача 6.[1]
Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев
спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23
ученика. Сколько учеников в классе?
(Слайд 23) Задача 7.[2]
В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на
стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и
стадион -1.
Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а
три ученика не посетили ни одного места?
(Слайд 24) Задача 8.[2]
В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и
черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика,
которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого
класса любят яблоки?
(Слайд 25; слайд 26) Задача 9.[1]
На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 –го класса читал книги А,
В, С. Результаты опроса выглядели так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В – 22
ученика, книгу С – 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А
или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С – 31 ученик. Все три книги прочитали 10
учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две
книги; в) не прочили ни одной из указанных книг?
(Слайд 27) Задача 10.
На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили
в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и
цирк – 4. Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Ответы:
Задача 2. 9 элементов.
Задача 3. 89 семей.
Задача 4. а) 18 учеников; б) 14 учеников; в) 7 учеников.
Задача 5. 10 школьников.
Задача 6. 30 учеников.
Задача 7. 29 учеников.
Задача 8. 14 учеников.
Задача 9. а) 15 учеников; б) 12 учеников; в) 3 ученика.
Задача 10. 2 ученика.
(Слайд 28) Литература
[1] Алгебра, 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений
/ [А. Г. Мордкович, Л.А. Александрова и др.] -12-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010.
[2] Занимательная математика. 5 – 11 классы. Авт.- сост. Т.Д. Гаврилова. – Волгоград:
Учитель, 2005. – 96 с.
[3] Математика 6 класс: учеб.
для общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф.
Шарыгин, С.Б. Суворова и др./; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук,
Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 11 –е изд. — М.: Просвещение, 2010. –
303 с.: ил.
Операции над множествами
Горячая математикаНапомним, что установлен представляет собой набор элементов.
Данные наборы А а также Б , мы можем определить следующие операции:
Операция | Обозначение | Значение |
Перекресток | А ∩ Б | все элементы, которые есть в обоих А а также Б |
Союз | А ∪ Б | все элементы, которые находятся в любом А или же Б (или оба) |
Разница | А − Б | все элементы, находящиеся в А но не в Б |
Дополнение | А ¯ (или же А С ) | все элементы, которых нет в А |
Пример 1:
Позволять
А
знак равно
{
1
,
2
,
3
,
4
}
и разреши
Б
знак равно
{
3
,
4
,
5
,
6
}
.
Затем:
А ∩ Б знак равно { 3 , 4 }
А ∪ Б знак равно { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
А − Б знак равно { 1 , 2 }
А С знак равно { все действительные числа, кроме 1 , 2 , 3 а также 4 }
Пример 2:
Позволять
А
знак равно
{
у
,
г
}
и разреши
Б
знак равно
{
Икс
,
у
,
г
}
.
Затем:
А ∩ Б знак равно { у , г } А ∪ Б знак равно { Икс , у , г } А − Б знак равно ∅ А С знак равно { все, кроме у а также г }
Математика | Операции над множествами (теория множеств)
Объединение Объединение множеств A и B, обозначаемое A ∪ B, представляет собой множество различных элементов, принадлежащих множеству A или множеству B, или тому и другому.
Диаграмма Венна для A ∪ B
Выше приведена диаграмма Венна для A U B. }; Решение: А ∪ В = {2, 3, 4, 5}.
Пересечение Пересечение множеств A и B, обозначаемое A ∩ B, представляет собой множество элементов, принадлежащих как A, так и B, т. е. множество общих элементов в A и B.
Диаграмма Венна для A ∩ B
Выше приведена диаграмма Венна для A ∩ B. 5} Решение: А ∩ В = {3, 4}.
Непересекающиеся Два множества называются непересекающимися, если их пересечение является пустым множеством. т. е. множества не имеют общих элементов.
Выше приведена диаграмма Венна непересекающегося B.
Пример : Пусть A = {1, 3, 5, 7, 9} и B = {2, 4, 6, 8}
Множества A и B не пересекаются, так как оба они не имеют общих элементов. Разность множеств Разность между множествами обозначается как «A – B», то есть множество, содержащее элементы, которые находятся в A, но не в B, т.
Выше приведена диаграмма Венна AB.
Пример : Если A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {2, 4, 6, 8}, найти A-B
Решение: AB = {1, 3, 5} Дополнение
Дополнением множества A, обозначаемого A C , является множество всех элементов, кроме элементов A. Дополнением множества A является U – A. Диаграмма A c
Пример : Пусть U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} и A = {2, 4, 6, 8} .
Найти A C
Решение: A C = U-A = {1, 3, 5, 7, 9, 10} Сложение и вычитание Сложение множеств A и B, обозначаемое как сложение Минковского , представляет собой множество, элементы которого представляют собой сумму каждой возможной пары элементов из двух множеств (то есть один элемент из множества A, а другой из набор Б).
