Как решать неопределенные интегралы для чайников: Как решать интегралы для чайников, примеры решений

высшая математика для чайников интегралы

Вы искали высшая математика для чайников интегралы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и высшая математика интегралы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «высшая математика для чайников интегралы».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как высшая математика для чайников интегралы,высшая математика интегралы,высшая математика интегралы для чайников,вычислить интеграл примеры решений,вычислить неопределенный интеграл примеры решений,задания интегралы,интеграл как брать,интеграл как находить,интеграл как решать,интеграл как решать примеры,интеграл матпрофи,интеграл пример,интеграл примеры,интеграл примеры решения,интегралы высшая математика,интегралы высшая математика для чайников,интегралы для чайников,интегралы для чайников как решать,интегралы для чайников примеры решения,интегралы задания,интегралы задачи,интегралы как находить,интегралы как решать,интегралы как решать примеры,интегралы неопределенные,интегралы неопределенные примеры решений,интегралы определенные примеры,интегралы примеры,интегралы примеры решения,интегралы примеры решения для чайников,интегралы примеры с решением,интегралы простые,интегралы с нуля,интегралы с нуля простым языком,интегрирование примеры,интегрирование сложной функции,интегрирование сложных функций,интегрирования примеры,как брать интеграл,как вычислить интеграл для чайников,как интегрировать,как найти неопределенный интеграл примеры,как находить интеграл,как находить интегралы,как решать интеграл примеры,как решать интегралы для чайников,как решать интегралы неопределенные,как решать интегралы определенные,как решать интегралы примеры,как решать интегралы примеры решения,как решать неопределенные интегралы,как решать неопределенные интегралы для чайников,как решать неопределенный интеграл,как решать определенные интегралы,как решать определенные интегралы примеры решения,как решать определенный интеграл,как решать первообразные,как решить интеграл определенный,как решить определенный интеграл,матпрофи интегралы,методы решения интегралов,неопределенные интегралы,неопределенные интегралы как решать,неопределенные интегралы примеры,неопределенные интегралы примеры с решением,неопределенные интегралы сложные,неопределенный интеграл для чайников,неопределенный интеграл как решать,неопределенный интеграл примеры,неопределенный интеграл примеры решений,неопределенный интеграл примеры решения,неопределенный интеграл примеры с решениями,неопределенный интеграл решения примеры,неопределенный интеграл формулы,определенные интегралы для чайников,определенные интегралы как решать,определенные интегралы примеры с решением,определенный интеграл для чайников,определенный интеграл как решать,определенных интегралов примеры с решением,первообразная примеры,первообразная примеры решения,первообразная примеры с решением,первообразные как решать,правила интегрирования неопределенного интеграла,пример интеграл,примеры интегралов,примеры интегралов неопределенных,примеры интегралов с решением,примеры интегралов с решением для студентов,примеры интегралы с решением,примеры интегрирования,примеры неопределенные интегралы,примеры неопределенных интегралов,примеры неопределенных интегралов с решением,примеры первообразных с решением,примеры решений интегралов,примеры решений неопределенный интеграл,примеры решений неопределенных интегралов,примеры решения интегралов,примеры решения интегралов неопределенных,примеры решения интегралов с ответами,примеры решения неопределенных интегралов,примеры с решением интегралов,примеры с решением неопределенных интегралов,примеры с решением определенных интегралов,примеры с решением первообразных,примеры с решениями определенный интеграл,простейшие интегралы,решение интегралов для чайников,решение интегралов определенных примеры,решение интегралов примеры,решение определенных интегралов примеры с решением,сложные неопределенные интегралы,способы решения интегралов,формулы неопределенный интеграл.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и высшая математика для чайников интегралы. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, высшая математика интегралы для чайников).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же высшая математика для чайников интегралы Онлайн?

Решить задачу высшая математика для чайников интегралы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Белоусова_Высшая математика ч2.indd

%PDF-1.3 % 1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream 2017-02-28T11:19:17+05:002017-02-28T15:13:36+05:002017-02-28T15:13:36+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:fd2c4e31-6d5b-4003-9682-5507fe4f8efcxmp.

did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1xmp.id:88BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dproof:pdf1xmp.iid:85BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dxmp.did:E44AAB1347E8E611AB2FDBEF7C44376Axmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1default
  • convertedfrom application/x-indesign to application/pdfAdobe InDesign CS6 (Windows)/2017-02-28T11:19:17+05:00
  • application/pdf
  • Белоусова_Высшая математика ч2.indd
  • Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001 endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 18 0 obj > endobj 1049 0 obj > endobj 49 0 obj > endobj 50 0 obj > endobj 51 0 obj > endobj 52 0 obj > endobj 1050 0 obj > endobj 98 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.
    0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 99 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 100 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 101 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 102 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1052 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/Properties>/Shading>>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1053 0 obj >stream HlW$Y_O/[email protected]_a%iV~y»oח݇o>>?nґJ;goO?Q;=ۙg-y.Ǜ¦ۗǧۧ[>9|Y||iҤ»?}s}Nޗ#UON=}϶6_o?&S=[)oe)@ƻFzeYvqg=lm%7WHeN-h3uK::>AP8&?JH#/>v:66|||o/?d1יVϴ’>`0n[q҃dHQ={,xϒ*_

    Исчисление I.

    Вычисление неопределенных интегралов

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Мобильное уведомление

    Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 5.2: Вычисление неопределенных интегралов

    В предыдущем разделе мы начали рассматривать неопределенные интегралы, а в этом разделе мы сосредоточились почти исключительно на обозначениях, понятиях и свойствах неопределенного интеграла. В этом разделе нам нужно начать думать о том, как мы на самом деле вычисляем неопределенные интегралы. Начнем с некоторых основных неопределенных интегралов. 9{n + 1}}}}{{n + 1}} + c,\,\,\,\,\,n \ne — 1\]

    Общее правило при интегрировании степени \(x\): мы прибавляем единицу к показателю степени, а затем делим на новый показатель степени. Ясно (надеюсь), что нам нужно будет избежать \(n = — 1\) в этой формуле. Если мы допустим \(n = — 1\) в этой формуле, мы получим деление на ноль. Мы немного позаботимся об этом случае.

    Next — один из самых простых интегралов, но он всегда вызывает проблемы у людей.

    \[\int{{k\,dx}} = kx + c,\hspace{0,25in}\,\,\,\,c{\mbox{ и }}k{\mbox{ являются константами}}\]

    Если вы помните, все, что мы спрашиваем, это то, что мы дифференцировали, чтобы получить подынтегральную функцию, это довольно просто, но иногда это вызывает проблемы.

    Давайте теперь посмотрим на триггерные функции. 2} x \, dx}} = — \ cot x + c \ hspace {0,75 дюйма} & \ int {{\ csc x \ кроватка х\,дх}} = — \csc х + с\конец{массив}\]

    Обратите внимание, что здесь мы интегрировали только две из шести триггерных функций. Остальные четыре интеграла на самом деле являются интегралами, дающими оставшиеся четыре триггерные функции. Также будьте осторожны со знаками здесь. Легко перепутать знаки производных и интегралов. Опять же, помните, что мы спрашиваем, какую функцию мы продифференцировали, чтобы получить подынтегральную функцию.

    Мы сможем интегрировать оставшиеся четыре триггерные функции в пару разделов, но все они требуют правила подстановки. 9{ — 1}}\,dx}} = \ln \left| х \ справа | + с\]

    Для интегрирования логарифмов требуется тема, которая обычно преподается в программе Исчисление II, поэтому мы не будем интегрировать логарифмы на этом занятии. Также обратите внимание, что третье подынтегральное выражение может быть записано несколькими способами, и не забывайте о столбцах абсолютного значения в \(x\) в ответе на третий интеграл. 2 } x \, dx}} = — \ coth x + c \ hspace {0,75 дюйма} & \ int {{{\ mathop {\ rm csch} \ nolimits} x \ coth x \, dx}} = — {\ mathop {\rm csch}\nolimits} x + c\end{массив}\] 93}}}\,дх}}\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    Показать обсуждение

    Хорошо, во всем этом помните основные правила неопределенных интегралов. Во-первых, чтобы интегрировать суммы и разности, все, что мы действительно делаем, — это интегрируем отдельные термины, а затем снова соединяем термины с соответствующими знаками. Затем мы можем игнорировать любые коэффициенты, пока не завершим интегрирование этого конкретного члена, а затем вернем коэффициент. Кроме того, не забывайте «+\(c\)» в конце, это важно и должно быть там. 9{\ гидроразрыва {1} {2}}} + с \ конец {выравнивание *} \]

    При работе с дробными показателями мы обычно не «делим на новый показатель степени». Это эквивалентно умножению на величину, обратную новому показателю степени, и именно это мы обычно и делаем.

    d \(\displaystyle \int{{dy}}\) Показать решение

    Не делай это сложнее, чем оно есть…

    \[\int{{dy}} = \int{{1\,dy}} = y + c\] 92} + 15\ln\влево| х \ справа | + с\конец{выравнивание*}\]

    Будьте осторожны, чтобы не думать о третьем члене как \(x\) в степени для целей интегрирования. Использование этого правила на третьем сроке НЕ будет работать. Третий член — это просто логарифм. Кроме того, не волнуйтесь о 15. 15 — это просто константа, поэтому ее можно вынести из интеграла. Другими словами, вот что мы сделали для интегрирования третьего слагаемого.

    \[\int{{\frac{{15}}{x}\,dx}} = 15\int{{\frac{1}{x}\,dx}} = 15\ln \left| х \ справа | + с\]

    Всегда помните, что нельзя интегрировать произведения и частные так же, как мы интегрируем суммы и разности. На данный момент единственный способ интегрировать произведения и частные — это умножить произведение или разбить частное. В конце концов мы увидим некоторые другие произведения и частные, с которыми можно работать другими способами. Однако никогда не будет единого правила, которое будет работать для всех продуктов, и никогда не будет единого правила, которое будет работать для всех частных. Каждый продукт и коэффициент индивидуальны, и с ними нужно работать в каждом конкретном случае. 9х} + 5\sin х — 10\загар х + с\]

    b \(\displaystyle \int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}}\) Показать решение

    Давайте будем немного осторожны с этим. Сначала разбейте его на два интеграла и обратите внимание на переписанное подынтегральное выражение во втором интеграле.

    \[\begin{align*}\int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}} & = \int{{2\sec w\tan w\, dw}} + \int{{\frac{1}{6}\frac{1}{w}\,dw}}\\ & = \int{{2\sec w\tan w\,dw}} + \ frac {1} {6} \ int {{\ frac {1} {w} \, dw}} \ end {align *} \]

    Переписывание второго подынтегрального выражения немного поможет при интегрировании на этой ранней стадии. Мы можем думать о 6 в знаменателе как о 1/6 перед членом, а затем, поскольку это константа, ее можно вынести из интеграла. Тогда ответ:

    . \[\int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}} = 2\sec w + \frac{1}{6}\ln \left| ш \ справа | + с\]

    Обратите внимание, что мы не учли 2 из первого интеграла, как 1/6 из второго. Фактически, мы обычно не будем учитывать 1/6 в более поздних задачах. Это было сделано здесь только для того, чтобы вы могли следить за тем, что мы делаем. 92}\theta }}\,d\theta }} = — 7\cot \theta — 6\theta + c\]

    Как показано в последней части этого примера, мы можем сделать несколько довольно сложных частных в этот момент, если мы не забудем сделать упрощения, когда мы их увидим. На самом деле, это то, что вы всегда должны иметь в виду. Почти в любой задаче, которую мы здесь решаем, не забывайте упрощать, где это возможно. Почти в каждом случае это может только помочь решить проблему и редко усложнит проблему.

    В следующей задаче мы рассмотрим произведение, и на этот раз мы не сможем просто умножить произведение. Однако, если вспомнить замечание о небольшом упрощении, эта задача становится довольно простой.

    Пример 3 Интегрируем \(\displaystyle \int{{\sin \left( {\frac{t}{2}} \right)\cos \left({\frac{t}{2}} \right)\,dt }}\).

    Показать решение

    Есть несколько способов сделать этот интеграл, и для большинства из них требуется следующий раздел. Однако есть способ сделать этот интеграл, используя только материал из этого раздела. Все, что требуется, это запомнить формулу триггера, которую мы можем использовать, чтобы немного упростить подынтегральную функцию. Вспомним следующую формулу двойного угла.

    \[\sin \left( {2t} \right) = 2\sin t\cos t\]

    Если немного переписать эту формулу, получится

    \[\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin \left( {2t} \right)\]

    Если мы теперь заменим все \(t\) на \(\frac{t}{2}\), мы получим

    \[\ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {t} {2}} \ справа) \ соз \ влево ( {\ гидроразрыва {т} {2}} \ справа) = \ гидроразрыва {1} {2} \ грех \ влево( т \вправо)\]

    Используя эту формулу, мы можем вычислить интеграл.

    \[\ begin{align*}\int{{\sin\left({\frac{t}{2}} \right)\cos \left({\frac{t}{2}} \right)\, dt}} & = \int{{\frac{1}{2}\sin\left( t \right)dt}}\\ & = — \frac{1}{2}\cos \left( t \right ) + с\конец{выравнивание*}\]

    Как отмечалось ранее, есть еще один метод вычисления этого интеграла. На самом деле есть два альтернативных метода. Чтобы увидеть все три, ознакомьтесь с разделом «Константа интеграции» в главе «Дополнительно», но имейте в виду, что для двух других требуется материал, описанный в следующем разделе. 93} + 6,\,\,\,\,f\влево( 1 \вправо) = — \frac{5}{4},\,\,\,f\влево( 4 \вправо) = 404\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    Показать обсуждение

    В обоих случаях нам нужно помнить, что

    \[f\влево( x \вправо) = \int{{f’\влево( x \вправо)\,dx}}\]

    Также обратите внимание, что, поскольку мы задаем значения функции в определенных точках, мы также собираемся определить, какой будет константа интегрирования в этих задачах. 93} + 6,\,\,\,\,f\влево( 1 \вправо) = — \frac{5}{4},\,\,\,f\влево( 4 \вправо) = 404\) Показать решение

    Этот немного отличается от первого. Чтобы получить функцию, нам понадобится первая производная, и у нас есть вторая производная. Однако мы можем использовать интеграл, чтобы получить первую производную от второй производной, точно так же, как мы использовали интеграл, чтобы получить функцию от первой производной.

    Итак, давайте сначала получим наиболее общую возможную первую производную, интегрируя вторую производную. 92} + cx + d\end{выравнивание*}\]

    Не спешите интегрировать \(c\). Это просто константа, и мы знаем, как интегрировать константы. Кроме того, не будет причин думать, что константы интегрирования из интегрирования на каждом шаге будут одинаковыми, и поэтому нам нужно будет называть каждую константу интегрирования как-то по-разному, в данном случае \(d\).

    Теперь подставьте два значения функции, которые у нас есть.

    \[\begin{align*} — \frac{5}{4} & = f\left( 1 \right) = 4 + \frac{1}{4} + 3 + c + d = \frac{{29}}{4} + c + d\\ 404 & = f\left( 4 \right) = 4\left( {32} \right) + \frac{1}{4}\left( {1024} \right ) + 3\left( {16} \right) + c\left( 4 \right) + d = 432 + 4c + d\end{align*}\]

    Это дает нам систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы можем решить.

    \[\begin{align*} — \frac{5}{4} & = \frac{{29}}{4} + c + d\\ 404 & = 432 + 4c + d\end{align*}\ hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in} \begin{aligned}c & = — \frac{{13}}{2} \\d & = — 2\end{aligned}\] 92} — \frac{{13}}{2}x — 2\]

    Не помните, как решать системы? Ознакомьтесь с разделом «Решающие системы» в обзоре «Алгебра/триггер».

    В этом разделе мы начали процесс интеграции. Мы увидели, как вычислить довольно много базовых интегралов, а также увидели быстрое применение интегралов в последнем примере.

    В этом разделе много новых формул, которые нам предстоит узнать. Однако, если подумать, на самом деле это не новые формулы. На самом деле они не более чем производные формулы, которые мы уже должны знать, записанные в терминах интегралов. Если вы помните, что вам должно быть легче запомнить формулы в этом разделе.

    Всегда помните, что интегрирование не спрашивает ничего, кроме того, какую функцию мы продифференцировали, чтобы получить подынтегральное выражение. Если вы помните, многие из основных интегралов, которые мы видели в этом разделе, и многие интегралы в следующих разделах не так уж и плохи.

    Как работает интеграция: это просто причудливое дополнение

    Самый фундаментальный смысл интеграции заключается в суммировании. И когда вы изображаете интеграцию на графике, вы можете видеть процесс сложения как суммирование тонких прямоугольных полосок площади, чтобы получить общую площадь под этой кривой, как показано на этом рисунке.

    Вы можете рассчитать заштрихованную область на приведенном выше рисунке, используя этот интеграл:

    (Обратите внимание, что все здесь включает определенное интегрирование , в отличие от неопределенное интегрирование . Определенное интегрирование — это когда удлиненный символ интеграции S имеет пределы интегрирования: две маленькие константы или числа внизу и вверху символа , Удлиненный S без ограничений интегрирования указывает на неопределенный целое или первообразное . )

    Посмотрите на тонкий прямоугольник на рисунке. Он имеет высоту 90 291 f 90 292 ( 90 291 x 90 292 ) и ширину 90 291 d x 90 292 (немного 90 291 x 90 292 ), поэтому его площадь (90 291 длина 90 292 x 90 291 ширина 90 292 , конечно) определяется как 90 291 f ( x ) · дх . Приведенный выше интеграл говорит вам сложить площади всех узких прямоугольных полос между a и b под кривой f ( x ). По мере того, как полосы становятся все уже и уже, вы все лучше и лучше оцениваете площадь. Сила интеграции заключается в том, что она дает вам точную площадь путем сложения бесконечного числа бесконечно тонких прямоугольников.

    Независимо от того, какие крошечные биты вы суммируете — это могут быть маленькие биты расстояния, объема или энергии (или просто площади) — вы можете представить суммирование как сложение площадей тонких прямоугольных полос под изгиб. Если единицы на обоих x и y оси являются единицами длины, скажем, футов , тогда каждый тонкий прямоугольник измеряет столько-то футов на столько-то футов, а его площадь — длина умножить на ширина — это какое-то число квадратных футов . В этом случае общая площадь всех прямоугольников между a и b дает вам ответ площади (хотя это не обязательно фактическая площадь под кривой, поскольку масштаб может быть другим; например, фактическая заштрихованная область в на приведенном выше рисунке несколько квадратных дюймов, но ваш ответ может быть числом квадратных миль , если обе оси были размечены в милях). Дело в том, что в этом случае вы складываете площадь всех прямоугольников и получаете ответ площадь . Однако обычно, даже если вы суммируете площади прямоугольников, ваш ответ не будет ответом площади.

    Скажем, единицы измерения по оси x — это часы ( t ), а ось y помечена как миль в час , тогда, поскольку скорость умножить на время равно расстоянию , площадь каждого прямоугольника представляет собой расстояние, а общая площадь дает вам общее расстояние, пройденное за данный интервал времени. Или, если ось x помечена в часах ( t ), а ось y — в киловаттах электроэнергии — в этом случае кривая f ( t ) дает потребление энергии как функцию времени — тогда площадь каждой прямоугольной полосы ( киловатт умножить на час ) представляет собой количество киловатт-часов энергии. В этом случае общая площадь под кривой дает вам общее количество киловатт-часов потребления энергии между двумя моментами времени.

    Другая возможность иллюстрируется приведенной выше лампой. Допустим, вы хотите рассчитать объем основания лампы. На рисунке ниже показано, как вы могли бы сделать это с помощью интеграции. На графике функция A ( x ) дает площадь поперечного сечения тонкого ломтика блина лампы как функцию его высоты, измеренной от нижней части лампы. Итак, на этот раз h -ось помечена в дюймах (это h как в высота от низа лампы), а y -ось помечена в квадратных дюймах , и, таким образом, каждый тонкий прямоугольник имеет ширина измеряется в дюймах, а высота измеряется в квадратных дюймах. Таким образом, его площадь представляет собой дюйм , умноженный на квадратный дюйм , или кубический дюйм объема.

    Эта заштрихованная область дает вам том цоколя светильника.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *