§ Как решать линейные неравенства
Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой знак сравнения: «>», «
x − 6
Так как в неравенстве «x − 6
Важно!
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом «1».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Запомните!
При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на
противоположный.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
x − 6 x x
Итак, мы получили ответ к неравенству «x
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».
Запомните!
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
- если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка.
Это означает, что число не входит в область решения;
- если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка. Это означает, что число входит в область решения.
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство «x − 6
Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его вместо «x» в исходное неравенство «x − 6
12 − 6 6
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Важно!
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ «x
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
2x − 16 > 0
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
2x − 16 > 0
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».
Запомните!
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
- Если неравенство умножается (делится) на положительное число,
то
знак самого неравенства остаётся прежним.
- Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число,
то
знак самого неравенства меняется на противоположный.
Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.
2x > 16 | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)
x > 8
Ответ: x > 8
Рассмотрим другое неравенство.
9 − 3x ≥ 0
Используем правило переноса.
9 − 3x ≥ 0
−3x ≥ −9
Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
−3x ≥ −9
−3x ≥ −9 | :(−3)
−3x : (−3) ≤ −9 :(−3)
x ≤ 3
Ответ: x ≤ 3
Примеры решения линейных неравенств
- 4(x − 1) ≥ 5 + x
4x − 4 ≥ 5 + x
4x − x ≥ 5 + 4
3x ≥ 9 | (:3)
3x (:3) ≥ 9 (:3)
x ≥ 3
Ответ: x ≥ 3 - x + 2
x + 2
x − 3x
−2x
−2x
−2x : (−2) > 0 : (−2)
x > 0
Ответ: x > 0
Решение линейных неравенств Как записать ответ неравенства
Дробно-рациональные неравенства: примеры
Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств
Для решения целых рациональных неравенств следует раскладывать соответствующие многочлены на линейные множители, и затем использовать метод интервалов (см.
§7 данного справочника).
Дробно-рациональное выражение можно представить в виде частного двух многочленов $(P_n (x))/(Q_m (x))$, каждый из которых также можно раскладывать на линейные множители, знак которых будет влиять на общий знак частного.
Поэтому для решения дробно-рациональных неравенств применяются те же алгоритмы, что и для решения целых рациональных неравенств. Некоторые отличия возникают только в «цвете» точек на числовой прямой (о «цвете» точек, см. §7 данного справочника).
Например:
Решим уравнение $ \frac{x-3}{x+2} \ge 0 $
Точка 3 будет «чёрной» на числовой прямой, а точка (-2) — «белой». Определение знаков полученных промежутков проводится так, как описано в §7 данного справочника.
По условию дробь неотрицательная,$ \ge 0$. Выбираем промежутки, помеченные «+», учитываем цвет точек за счёт круглых и квадратных скобок:
$ x \in (-\infty;-2) \cup [3;+\infty)$
Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
а) $$ \frac{x^3+4x^2-9x-36}{x^2+3x+2} \gt 0 $$
Раскладываем числитель и знаменатель на множители:
$$ \frac{x^2 (x+4)-9(x+4)}{(x+1)(x+2)} \gt 0 \Rightarrow \frac{(x^2-9)(x+4)}{(x+1)(x+2)} \gt 0 \Rightarrow \frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+2)} \gt 0 $$
Выносим все корни из скобок на числовую прямую (все точки «белые»), определяем знаки промежутков:
Выбираем промежутки с «+».
2-x = x(x-1)$.
Это – парабола ветками вверх. Точки пересечения с осью OX:(0;0)и (1;0)
Ось симметрии:$ x_0 = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$
Вершина: $f(x_0 ) = f \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}- \frac{1}{2} =- \frac{1}{4}$
В этой же системе координат строим уровни:
y = -3, y = -1, y = 0, y = 2
и отмечаем области:
$y \le -3,-1 \lt y \le 0, y \gt 2$
Записываем решение – те x, для которых точки параболы попадают в заштрихованные области:
$x \lt -1 \cup 0 \le x \le 1 \cup x \gt 2 $
Ответ: $x \in (-\infty;-1) \cup [0;1] \cup (2;+\infty)$
Решение уравнений — 9 класс
Представлены примеры для 9 класса с подробным пошаговым подходом к решению простых уравнений и уравнений со скобками и дробями.
Также обсуждается проверка решений уравнения. Также включены дополнительные вопросы и их решения с подробными объяснениями.
Что такое уравнение и его решение?
Сначала мы рассмотрим концепцию уравнений и решение уравнения.
Уравнение — это выражение, выражающее равенство двух математических выражений. Уравнение имеет знак равенства, правостороннее выражение и левостороннее выражение.
Пример 1
Это примеры уравнений с неизвестным \( x \)
\( \quad 2 x = — 6 \) , \( \quad x + 3 = 7 \) , \( \quad 2(x + 3) = — (2x+4) \)
В каждом уравнении есть знак равенства, разделяющий левую и правую части уравнения.
Левая часть уравнения \( \quad \color{red}{2 x — 6} = x + 5 \) равна \( \quad \color{red}{2 x — 6} \).
Правая часть уравнения \( \quad 2 x — 6 = \color{red}{x + 5} \) равна \( \quad \color{red}{x + 5} \).
Решением уравнения с неизвестным \(x\) является набор всех значений \(x\), которые делают уравнение верным утверждением.
Пример 2
Какое из следующих значений \( x \): \( — 4, 2\) является(ются) решением(ями) уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \)?
Решение примера 2
Замените \( x \) его числовым значением в левой и правой частях уравнения
а) Проверить \( \color{red}{x = — 4} \)
Оценить левую часть: \( 2 \color{red}x + 2 = 2 \color{red}{( — 4 )} + 2 = — 8 + 2 = — 6 \) ,
Оцените правую часть: \( \color{red}x + 4 = \color{red}{( — 4)} + 4 = 0 \)
Числовые значения левой и правой частей не равны, поэтому \( x = — 4 \) НЕ является решением уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \).
а) Проверить \( \color{red}{x = 2} \)
Оцените левую часть: \( 2 x + 2 = 2 \color{red}{(2 )} + 2 = 4 + 2 = 6 \) ,
Оцените правую часть: \( \color{red}x + 4 = \color{red}{(2)} + 4 = 6 \)
Числовые значения левой и правой сторон равны, поэтому \( x = 2 \) равно решение уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \).
Важные свойства для решения уравнений
Чтобы решить уравнение, нам нужны математические шаги, которые помогут получить все члены с неизвестными с одной стороны и постоянными с другой стороны.
1) Если мы прибавим или вычтем одну и ту же величину к обеим частям уравнения, мы получим уравнение, имеющее то же решение, что и исходное.
1) Если мы умножим или разделим обе части уравнения на одну и ту же величину, НЕ равную нулю, мы получим уравнение, имеющее то же решение, что и исходное.
Решение простых уравнений
Пример 3
Решите уравнение \( 2x + 1 = — 5 \) и проверьте полученное решение.
Решение примера 3
Основная идея состоит в том, чтобы все члены с неизвестным \( x \) с одной стороны и все постоянные члены с другой стороны уравнения
Оставим члены \( 2x \) слева, а постоянные члены — справа.
Это можно сделать, вычитая \( 1 \) из обеих частей уравнения
\( \quad \quad 2x + 1 \color{red}{- 1} = — 5 \color{red}{- 1} \)
Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка 2x = — 6 \)
Чтобы получить \( x \) из \( 2x \), мы разделим обе части приведенного выше уравнения на 2
\( \quad \quad \dfrac{2 x}{\color{red}2} = \dfrac{-6}{\color{red}2} \)
Упростить
\( \квадратный \четверный х = -3 \)
Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оценить левую часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad 2x + 1 = 2(-3) + 1 = — 5 \)
Левая и правая стороны равны \( — 5 \) для \( x = — 3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.
Пример 4
Решите уравнение \( x — 2 — 3x = — 7 — x \) и проверьте полученное решение.
Решение примера 4
Сгруппируйте одинаковые члены в двух частях уравнения.
\( x \) и \( — 3x \) подобны терминам в левой части и могут быть сгруппированы, чтобы дать
\( \четверка \четверка — 2х — 2 = — 7 — х \)
Добавьте \( 2 \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части.
\( \quad \quad — 2x — 2 \color{red}{+ 2} = — 7 — x \color{red}{+ 2} \)
Упростить
\( \четверка \четверка — 2x = — x — 5 \)
Добавьте \( x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены с \( x \) из правой части.
\( \quad \quad — 2x \color{red}{+x } = — x — 5 \color{red}{+x }\)
Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка — х = — 5 \)
Если мы знаем \( — x \) и нам нужно \( x \), мы умножаем обе части уравнения на \( — 1 \)
\( \quad \quad \color{red}{(-1)}(- x) = \color{red}{(-1)}(- 5) \)
Упростить
\( \квадратный \четверный х = 5 \)
Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad x — 2 — 3x = 5 — 2 -3(5) = — 12 \)
Правая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad — 7 — x = — 7 — (5) = — 12 \)
Левая и правая части равны \( — 12 \) для \( x = 5 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.
Решение уравнений со скобками
Пример 5
Решите уравнение \( — 2 (x — 2) + 3 = 3 (-x + 4) — 3 \) и проверьте полученное решение.
Решение примера 5
Данное уравнение
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x — 2) + 3 = \color{red}3 (-x + 4) — 3 \)
Используйте распределительный закон: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), который является одним из основных правил алгебры, чтобы убрать скобки.
Распределите \(\color{red}{-2} \) и \(\color{red}3 \).
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x ) \color{red}{- 2} (- 2) + 3 = \color{red}3 (-x) + \color{red }3 (4) — 3 \)
Упростить
\( \quad \quad — 2 х + 4 + 3 = — 3 х + 12 — 3 \)
Сгруппируйте одинаковые члены в обеих частях уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 = — 3 x + 9 \)
Вычтите \( 7 \) из обеих частей уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 — 7 = — 3 x + 9 — 7 \)
Групповые термины
\( \квадратный \четверный — 2x = — 3x + 2 \)
Добавьте \( 3x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены в \( x \) из левой правой части уравнения.
\( \quad \quad — 2x + 3 x = — 3x + 2 + 3x \)
Сгруппируйте похожие термины и упростите
\( \квадрат \квадрат х = 2 \)
Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оцените левую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad — 2 (x — 2) + 3 = — 2 ((2) — 2) + 3 = 3 \)
Оцените правую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad 3 (-x + 4) — 3 = 3 (-(2) + 4) — 3 = 3 \)
Левая и правая стороны равны 3 для \( x = 2 \), поэтому \( x = 2 \) является решением данного уравнения.
Решение уравнений с дробями
Принятый здесь метод решения уравнений с дробями заключается в том, что мы сначала избавляемся от дробей (чтобы не иметь дело с дробями) путем умножения, а затем решаем уравнение.
Пример 6
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{2} = — 3 \) и проверьте полученное решение.
Решение примера 6
Чтобы исключить знаменатель \( 2 \) в \( \dfrac{x}{2} \), мы умножаем две части уравнения на знаменатель \( 2 \)
\( \quad \color{red}2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = \color{red}2 (- 3) \)
Упростить
\( \quad x = — 6 \)
Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = -6 \) : \( \quad \dfrac{x}{2} = \dfrac{-6}{2} = — 3 \)
Левая и правая стороны равны \( — 3 \) для \( x = — 6 \), поэтому \( x = — 6 \) является решением данного уравнения.
Пример 7
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \) и проверьте полученное решение.
Решение примера 7
Теперь у нас есть две дроби со знаменателями \( 2 \) и \( 3 \) в данном уравнении. Чтобы избавиться от дробей, нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(2\) и \(3\).
Найдите НОК \( 2 \) и \( 3 \), который равен \( 6 \).
Умножьте обе части уравнения на НОК, который равен \( 6 \)
\( \quad\quad \color{red}6 \left( \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} \right) = \color{red}6 \left(\dfrac{1 {3}\справа) \)
Распределить коэффициент \( 6 \)
\( \quad\quad 6 \left(\dfrac{x}{3} \right) — 6 \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left(\dfrac{1}{3) } \Правильно) \)
Переставить как
\( \quad\quad \left(\dfrac{6}{3} \right) x — \left(\dfrac{6}{2} \right) = \left(\dfrac{6}{3} \ Правильно) \)
Упростить
\( \четверка\четверка 2x — 3 = 2 \)
ПРИМЕЧАНИЕ.
Чтобы избавиться от дробей, необходим один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, поскольку НОК кратен каждому знаменателю.
Решите приведенное выше уравнение, добавив \( 3 \) к обеим частям, и упростите, чтобы получить
\( \четверка\четверка 2 х = 5 \)
Разделить обе части на \( 2 \)
\( \quad\quad x = \dfrac{5}{2} \)
Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = \dfrac{5}{2} \) : \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3 } x — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{ 3} \)
Левая и правая стороны равны \( \dfrac{1}{3} \) для \( x = \dfrac{5}{2} \), поэтому \( x = \dfrac{5}{2} } \) является решением данного уравнения.
Пример 8
Решите уравнение \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = — \dfrac{x}{3} \) и проверьте полученное решение.
Решение примера 8
Теперь у нас есть дроби со знаменателями \( 5 \) и \( 3 \) в данном уравнении.
Нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(5\) и \(3\).
Найдите LCM \( 5 \) и \( 3 \), которое равно \( 15 \).
ПРИМЕЧАНИЕ. Один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, необходим, чтобы избавиться от дробей, потому что НОК кратен каждому знаменателю.
Умножить обе части уравнения на НОК \( 15 \)
\( \quad\quad \color{red}{15} \left( \dfrac{2x + 1}{5} + 2 \right) = \color{red}{15} \left(\ — \dfrac{ х}{3} \справа) \)
Коэффициент распределения \( 15 \)
\( \quad\quad 15 \left(\dfrac{2x+1}{5} \right) + 15 (2) = 15 \left( — \dfrac{x}{3} \right) \)
Переставить как
\( \quad\quad \dfrac{15}{5}(2x+1) + 15 (2) = \dfrac{15}{3}(-x) \)
Упростить
\( \четверка\четверка 3 (2x+1) + 30 = — 5x \)
Распределить множитель \(3 \) в левой части и сгруппировать подобные термины
\( \quad\quad 6 x + 3 + 30 = — 5x \)
\( \quad\quad 6x + 33 = — 5 x \)
Вычтите \( 33 \) с обеих сторон и прибавьте \( 5x \) к обеим сторонам.
(ПРИМЕЧАНИЕ: мы выполнили две операции за один шаг.)
\( \quad\quad 6x + 33 \color{red}{- 33 + 5x } = — 5 x \color{red}{- 33 + 5x } \)
Групповые термины
\( \quad\quad 11 x = — 33 \)
Разделите обе части на \( 11 \)
\( \quad\quad \dfrac{ 11 x} {11} = \dfrac{-33}{11} \)
Упростить
\( \четверка\четверка х = — 3 \)
Проверить решение, полученное в исходном (данном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = \dfrac{2( -3)+1}{5}+2=1\)
Правая часть уравнения для \( x = -3 \) : \( \quad — \dfrac{x}{3} = — \dfrac{-3}{3} = 1 \) Левая и правая части равны \( 1 \) для \( x = -3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.
Вопросы
- Решите следующие уравнения и проверьте найденное решение.
- ) \( 2x + 2 = 6 \)
- ) \( 5у — 2 = 7у — 8 \)
- ) \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x — 3 \)
- ) \( 0,2 д + 4 = — 0,1 д — 2 \)
- ) \(-2(2х-6) = -(х-4) \)
- ) \( -(х+2)+4 = 2(х+3) + х \)
- ) \( \dfrac{x}{5} = — 6 \)
- ) \( — \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)
- ) \( — \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} — x \)
- ) \( — \dfrac{x-3}{7} = \dfrac{1}{2} (- 2x + 6) \)
- ) \( — \dfrac{1}{2} — x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x-2) \)
Включены ответы на вышеуказанные вопросы.
Дополнительные справочные материалы и ссылки
Решить уравнения, системы уравнений и неравенства
Найти наименьшее общее кратное
Математика средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика средней школы (10 классы, 11 и 12) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачами с ответами
Упражнения по одновременным уравнениям для 9 класса
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jpg» bgcolor=»#2A81F5″>
05.2004 
07.2001 
Я считаю, что то, что вам подойдет, это Algebrator. Почему бы не попробовать это? Это может быть просто вещь для ваших проблем.
Этот Алгебратор действительно отличная математическая программа. Это просто дало бы пошаговое решение любой задачи по алгебре, которую я скопировал из копии домашнего задания, нажав «Решить». Я был в состоянии использовать программу через несколько Алгебры 1, Лечебной Алгебры и Промежуточной алгебры. Я серьезно рекомендую программу.
Предыдущий опыт вовсе не обязателен для работы с Алгебратором. Будь то биномы, графические линии или тригонометрия, введите его в поле поиска, которое появляется, как только вы открываете Algebrator. Это дает вам набор выходных данных, которые предлагают всю необходимую информацию по выбранному вами заголовку. Вы можете пройти по ссылкам одну за другой и полностью понять основы Алгебры 1.
Он не только поможет вам решить математические задачи, но и подробно предоставит все необходимые шаги, чтобы вы могли лучше понять предмет.