Предварительное исчисление алгебры — Неравенство с двумя абсолютными значениями
спросил
Изменено 3 года, 3 месяца назад
Просмотрено 32к раз
$\begingroup$
Я здесь новенький, и мне было интересно, может ли кто-нибудь из вас помочь мне с этой маленькой проблемой, которая уже действует мне на нервы, так как я пытался решить ее в течение нескольких часов.
Готовясь к очередному тесту на неравенства с абсолютными значениями, я нашел вот этот:
$$ |x-3|-|x-4| Вот неравенства:
$$ x−3 < x−4 +x $$
$$ x−3 < −(x−4) +x $$
$$ −(x−3)<−(x−4)+x $$ И вот соответственно мои ответы:
$$ x>1, \quad x>-1, \quad x<7 $$ Я буду очень признателен, если кто-нибудь сможет мне помочь, потому что я уже устал решать эту проблему, которая, кстати, не требует, чтобы я ее разгадал, но знаете, почему бы и нет? $\endgroup$ 3 $\begingroup$ Как решить $|x-3|-|x-4| Я бы начал с того, что $|x-3|=x-3$ для $x \geq 3$, тогда как $|x-3 |=3-x$ для $x \leq 3$. , если $x \geq 4$ тогда $x > , если $x \leq 3$, то $x < 4$, следовательно, $f(x)=3-x-(4-x)=-1$ и мы имеем $-1 если $3 Складываем все это вместе, получаем $(-1,3] \cup (3,4) \cup [4,\infty) = (-1, \infty)$, что и является вашим ответом. Обычно я решаю такие вещи с помощью метода знаков. $\endgroup$ $\begingroup$ То, что у вас есть, почти правильно, последний шаг — ограничить ваше решение соответствующим регионом. Например, для $x>1$ ответ должен быть в области $x>4$, поэтому ваш ответ для этой области — $x>4$. Для $x>-1$ ваш ответ должен быть в регионе $x<3$, поэтому ваш ответ для этого региона $-1 И для последнего, $x<7$, ваш ответ должен быть в соответствующем регионе, который у нас был первым, а именно $3 Теперь нарисуйте эти три ответа на числовой прямой, и вы получите $x>-1$, желаемый окончательный ответ. $\endgroup$ 11 $\begingroup$ Стандартный полумеханический способ устранения знаков абсолютного значения состоит в том, чтобы разделить числовую прямую на сегменты. Критическая точка для $|x-4|$ находится при $x=4$, а критическая точка для $|x-3|$ — при $x=3$. Предположим сначала, что $x \ge 4$. Тогда $|x-4|=x-4$ и $|x-3|=x-3$. Теперь предположим, что $3\le x\lt 4$. Тогда $|x-4|=4-x$ и $|x=3|=x-3$, поэтому мы рассматриваем неравенство $(x-3)-(4-x)\lt x$, что есть $2x-7\lt x$. Это упрощается до $x\lt 7$, что, безусловно, равно истинным в интервале $[3,4)$. Вероятно, в этот момент ваш расчет сбился с пути. Мы смотрели на интервал $[3,4)$ и спрашивали, какие точки в этом интервале удовлетворяют нашему неравенству. Обработка показала нам, что все точки этого интервала удовлетворяют $x\lt7$. Ну, они все делают! Наконец, предположим, что $x\lt 3$. Тогда $|x-4|=4-x$ и $|x-3|=3-x$. Итак, мы рассматриваем неравенство $(3-x)-(4-x)\lt x$. Рассчитать. Левая часть равна $-1$, поэтому для интервала $(-\infty,3)$ неравенство выполняется именно при $-1\lt x$. Сопоставив все вместе, мы заключаем, что исходное неравенство выполняется (i) если $x\ge 4$; (ii) если $3\le x\lt 4$; и (ii) если $x\lt 3$, но $-1\lt x$. Существуют и другие способы описания набора решений. Например, мы могли бы сказать, что набор равен $(-1,\infty)$. $\endgroup$ 4 $\begingroup$ Вот один из способов сделать это. Если $x\ge4$, то $|x-3|=x-3$ и $|x-4|=x-4$, поэтому нужно $(x-3)-(x-4)\ lt x$, которое вы должны быть в состоянии решить (не забывая проверить ваше решение на соответствие предположению $x\ge4$. Если $3\le x\le4$, то $|x-3|=x-3$ и $|x-4|=4-x$, так что вы получите …. Если $x\le3 $, затем $|x-3|=\dots$ $\endgroup$ $\begingroup$ $|x-3|-|x-4|< x$, я пишу $|x-3|< x+|x-4|$ , но помните: $|r|< s \ подразумевает -s < г < с$. Итак, я записываю уравнение в виде: $-x-|x-4| < х-3 < х+|х-4|$. Из этого неравенства я получаю 2 уравнения: (a) $-x-|x-4| < х-3$ (б) $x-3 < x+|x-4|$. Помните также: $|r| > s \ подразумевает r > s \text{ или } r < -s $. Так что эту концепцию я буду применять к уравнению (а) и уравнению (б). Из уравнения (а): $-x-|x-4| < x-3$ Я пишу так, что абсолютное значение находится в одной стороне: -|x-4| < 2x-3, то я умножаю на -1: |x-4| > Теперь уравнение (b): x-3 < x+|x-4| мы пишем, чтобы поместить абсолютное значение в одну сторону: $-3 < |x-4|$ или $|x-4| > -3$ . Для выполнения этого неравенства $x$ будет принимать любое положительное или отрицательное значение. Конечным результатом уравнения (a) И (b) будет пересечение их значение: $(a)∩(b)$ или $(-1,∞)∩(-∞,∞)$ и найти окончательный результат для $x: (-1,∞)$, удовлетворяющий неравенству $| х-3|-|х-4| < х $ $\endgroup$ $\begingroup$ для /x-3/-/x-4/ 1-й, если оба абсолютных значения положительны.
x=+1 2-й, если оба отрицательные, x=-1 3-й, если 1-й отрицательный, а 2-й положительный x=7/3 4-й, если 1-й положительный. и 2-й отрицательный. х=7.
поэтому все эти числа дают нам решение, кроме -1, поэтому все числа выше -1 включены в решение. или S=x>-1. или от -1 до бесконечности. $\endgroup$ спросил Изменено
6 лет, 11 месяцев назад Просмотрено
16 тысяч раз $\begingroup$ Как решить эту проблему? |х-2| > |х-4| Разделить неравенство на две части? -(х-2) > х-4 х-2 > -(х-4) $\endgroup$ 3 $\begingroup$ Вам дано:$$|x-2|\gt|x-4|$$Поскольку обе стороны имеют абсолютное значение, мы можем просто возвести в квадрат обе стороны и удалить символ абсолютного значения (поскольку квадрат любого числа равен всегда неотрицательно). $\endgroup$ 2 $\begingroup$ Я рекомендую идею Хеннинга Макхолма о наброске двух функций. Но кроме этого, также полезно интуитивно понять, что в одном измерении $|x-a|$ для любого $a$ — это просто (положительное) расстояние, на котором $x$ находится от $a$ на числовая строка. Итак, если $|x-2| > |x-4|$, это просто означает, что $x$ дальше от $2$, чем от $4$. Для каких значений $x$ это так? $\endgroup$ $\begingroup$ Для строгого подхода без возведения в квадрат имеем $$\begin{align}x\lt 2&: -x+2\gt -x+4\\
2\le x\lt 4&: x-2\gt -x+4\\
4\le x&: x-2\gt x-4\end{align}$$ Сразу видно, что первый и третий случаи разрешены: для $x\lt 2$ решений нет, и все $x \ge 4$ являются решениями.
Аналогично, $|x-4|=x-4$ для $x \geq 4$, тогда как $|x-4|=4-x$ для $x \leq 4$
Итак, мы имеем дело с неравенством $(x-3)-(x-4)\lt x$, то есть с $1\lt x$, что заведомо верно при $x\ge 4$.
Этот сложный набор условий можно обобщить гораздо проще: $x\gt -1$.
В результате мы можем записать значение $x$ для уравнения (b) в виде: $(-∞,+∞)$ Предварительное вычисление алгебры — Как решить неравенство с двойным абсолютным значением?
2-8x+16$$$$\следовательно -4x+4\gt-8x+16$$$$\следовательно 4x\gt12$$$$\следовательно x\gt3$$