3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
Матрица называется обратной к квадратной матрице , если
,
где — единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица .
Обратная матрица существует только в том случае, если , и ее элементы находятся по формуле
,
где — алгебраическое дополнение к элементу .
Внимание! Алгебраические дополнения, которые вычисляются к элементам строки, записываются в столбец.
Если ,
то матрица называется вырожденной,
в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только
для невырожденных матриц.
,
при этом ее определитель .
Для невырожденных матриц и выполнены соотношения
,
.
Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:
или .
Если матрица
— квадратная, невырожденная, то эти
уравнения имеют единственное решение,
которое можно получить с помощью обратной
матрицы. Так как при умножении матриц
коммутативный закон не выполняется,
они решаются разными способами.
При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е.
, (5)
. (6)
►Пример 5. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу , если ; .
Решение.
Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. , если матрица невырожденная. Вычислим определитель матрицы :
.
Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:
Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу .
,
При вычислениях
множитель рекомендуем оставлять перед матрицей
и проводить умножение полученной матрицы
на него на последнем этапе вычислений.
►Пример 6. Найти решение матричного уравнения , если .
Решение.
Формулой (5) воспользоваться нельзя, так как матрица не квадратная, следовательно, для нее не существует обратной матрицы. Умножим обе части уравнения на транспонированную матрицу слева, получаем
.
Матрица − квадратная и, если ее определитель не равен нулю, то решение заданного уравнения имеет вид
.
Проведем вычисления:
.
Определитель полученной матрицы . Следовательно, обратная матрица к матрице существует, и можно найти матрицу :.
,
,
. ◄
Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу:
а) ;
б) ; в) ; г) ; д) .
Ответы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:
а) ; б) ;
в) ;
г) ; д) .
Ответы:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Mathway | Популярные задачи
Популярные задачи
Элемент. математикаОсновы алгебрыАлгебраТригонометрияОсновы мат. анализаМатематический анализКонечная математикаЛинейная алгебраХимияPhysics
| Рейтинг | Тема | Задача | Форматированная задача |
|---|---|---|---|
| 1 | Решить, используя обратную матрицу | x+2y=1 , 4x+5y=13 | , |
| 2 | Перемножить матрицы | [[1/( квадратный корень из 17),-4/( квадратный корень из 17)]][[1/( квадратный корень из 17)],[-4/( квадратный корень из 17)]] | |
| 3 | Найти область определения | x+y=3 | |
| 4 | Найти область определения | x-y=3 | |
| 5 | Найти область определения | y=-2x+3 | |
| 6 | Найти область определения | y=2x+1 | |
| 7 | Записать в виде векторного равенства | x=x^2+9x+3 , x=x+2 | , |
| 8 | Найти область определения | y=2x | |
| 9 | Найти область определения | y=-3x | |
| 10 | Найти область определения | y=3x-2 | |
| 11 | Найти область определения | y=4x | |
| 12 | Найти область определения | 3x+2y=6 | |
| 13 | Trovare la 5×5 Matrice Identità | 5 | |
| 14 | Trovare la 6×6 Matrice Identità | 6 | |
| 15 | Trovare la 4×4 Matrice Identità | 4 | |
| 16 | Решить, используя обратную матрицу | 2x+y=-2 , x+2y=2 | , |
| 17 | Решить, используя обратную матрицу | 4x+4=y , y=6x | , |
| 18 | Решить, используя обратную матрицу | 4x+2=5y-3 , y=3x-1 | , |
| 19 | Найти степенное множество | (3,4) | |
| 20 | Вычислить | кубический корень из 216 | |
| 21 | Найти степенное множество | (1,3) | |
| 22 | Найти область определения | 3x-2y=12 | |
| 23 | Найти область определения | y=5x+2 | |
| 24 | Найти область определения | y=2x-3 | |
| 25 | Найти область определения | y=2x-4 | |
| 26 | Найти область определения | y=2x+5 | |
| 27 | Найти область определения | y=1/2x | |
| 28 | Найти область определения | y=1/2x-3 | |
| 29 | Найти область определения | y=2/3x-2 | |
| 30 | Найти область определения | x=2y | |
| 31 | Найти область определения | x-2y=2 | |
| 32 | Найти область определения | x-2y=6 | |
| 33 | Найти область определения | 2y+x | |
| 34 | Найти область определения | 2x+y=0 | |
| 35 | Найти область определения | y=5x+6 | |
| 36 | Найти область определения | y=x+3 | |
| 37 | Solve Using a Matrix by Elimination | y=4x+3x-2 , y=6 | , |
| 38 | Проверить линейную зависимость | B={[[-10,2],[5,-2. 5]]} | |
| 39 | Сложение | [[2,4],[6,-4]]+[[-3,-7],[20,10]] | |
| 40 | Проверить линейную зависимость | B={[[-1,2],[0,-2.5]]} | |
| 41 | Перемножить матрицы | [[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]][[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]] | |
| 42 | Найти область определения | y=5x | |
| 43 | Найти область определения | y=7x | |
| 44 | Найти область определения | y=-x-2 | |
| 45 | Найти область определения | y=x-2 | |
| 46 | Найти область определения | y=x-3 | |
| 47 | Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам | [[4,-3,1,0],[1,0,-2,0],[-2,1,1,0]] | |
| 48 | Записать в виде векторного равенства | x+y+z=2 , 4x+5y+z=12 , 2x=-4 | , , |
| 49 | Найти определитель | [[0,-1,a],[3,-a,1],[1,-2,3]] | |
| 50 | Найти область определения | y=-x+2 | |
| 51 | Найти определитель | [[2,5,0],[1,0,-3],[2,-1,2]] | |
| 52 | Найти определитель | [[7,5,0],[4,5,8],[0,-1,5]] | |
| 53 | Найти обратный элемент | [[1,-3,0,-2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3]] | |
| 54 | Найти обратный элемент | [[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]] | |
| 55 | Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам | [[0,1,5,-4],[1,4,3,-2],[2,7,1,-2]] | |
| 56 | Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам | [[1,1,0],[1,0,1],[1,0,1],[2,1,0],[2,1,0]] | |
| 57 | Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам | [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] | |
| 58 | Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам | [[7,8]] | |
| 59 | Найти область определения | 2x+y=1 | |
| 60 | Записать в виде векторного равенства | 2x+y=-2 , x+2y=2 | , |
| 61 | Найти область определения | x-2y=4 | |
| 62 | Найти область определения | x-y=-1 | |
| 63 | Найти область определения | x+y=5 | |
| 64 | Найти область определения | x=-3y-8 | |
| 65 | Найти область определения | x=-2y-8 | |
| 66 | Найти область определения | x+y=6 | |
| 67 | Найти область определения | x+y=4 | |
| 68 | Найти область определения | x+2y=4 | |
| 69 | Найти область определения | x+y | |
| 70 | Найти область определения | y=7x+9 | |
| 71 | Найти область определения | y=1/2x-5 | |
| 72 | Найти область определения | y=1/2x+2 | |
| 73 | Найти область определения | y=1/2x+3 | |
| 74 | Найти область определения | x-y=-3 | |
| 75 | Найти область определения | x-y=4 | |
| 76 | Найти область определения | y=-2x | |
| 77 | Найти область определения | y=-2x+1 | |
| 78 | Найти область определения | y=2^(x+9) | |
| 79 | Найти область определения | y=10-x^2 | |
| 80 | Найти область определения | y=2x-6 | |
| 81 | Найти область определения | y=-2x-3 | |
| 82 | Найти область определения | y=3x-8 | |
| 83 | Найти область определения | y=3x | |
| 84 | Найти область определения | y=-3x+1 | |
| 85 | Найти область определения | y=4x+3 | |
| 86 | Найти область определения | y=3x-4 | |
| 87 | Найти область определения | y=4x-2 | |
| 88 | Найти область определения | y=-6x | |
| 89 | Найти область определения | y=x-4 | |
| 90 | Найти область определения | 7 корень четвертой степени из 567y^4 | |
| 91 | Найти область определения | c=5/9*(f-32) | |
| 92 | Найти область определения | f=9/5c+32 | |
| 93 | Вычислить | квадратный корень из 4 | |
| 94 | Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам | [[-6,7],[2,6],[-4,1]] | |
| 95 | Найти собственные значения | [[2,1],[3,2]] | |
| 96 | Найти собственные значения | [[4,0,1],[2,3,2],[49,0,4]] | |
| 97 | Найти степенное множество | A=(2,3,4,5) | |
| 98 | Найти мощность | (2,1) | |
| 99 | Решить, используя обратную матрицу | -3x-4y=2 , 8y=-6x-4 | , |
| 100 | Решить, используя обратную матрицу | 2x-5y=4 , 3x-2y=-5 | , |
обратная матрица | Encyclopedia.
comgale
просмотров обновлено 17 мая 2018
БИБЛИОГРАФИЯ
Концепция обратной матрицы в чем-то аналогична концепции числа 1proc3al . Если a — ненулевое число, то 1/ a — его обратное число. Дробь 1/ на часто записывается как на -1 . Помимо того факта, что обратные числа есть только у ненулевых чисел, ключевое свойство ненулевого числа и его обратного числа состоит в том, что их произведение равно 1, то есть 9.0012 a • a -1 = 1. Это делает a -1 мультипликативным обратным ненулевого числа a.
Только невырожденные квадратные матрицы A имеют обратные. (Квадратная матрица несингулярна тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.) Когда A невырожденна, ее обратная, обозначаемая как A -1 , уникальна и обладает ключевым свойством, состоящим в том, что A • A –1 = I = A –1 • A , где I обозначает единичную матрицу n × n.
Определитель квадратной матрицы A (любого порядка) представляет собой один скаляр (число), скажем, a = det( A ). Если это число отлично от нуля, матрица невырожденна и, соответственно, имеет обратную величину. Более того, когда det( A ) ≠ 0, существует величина, обратная A , и ее определитель является обратной величиной det( А ). То есть det( A –1 ) = (det(A)) -1 .
Небольшой пример проиллюстрирует эти концепции, хотя и слишком упрощенно. Пусть
Тогда определитель числа А есть число det (А) = а 11 а 22 – а 12 а 21 .
Если det( A ) ≠ 0, то
В качестве проверки можно увидеть, что
Эта формула обратной матрицы 2 × 2 полезна для ручных вычислений, но ее обобщение на матрицы большего порядка гораздо сложнее концептуально и вычислительно. Действительно, формула
, где adj( A ) — так называемая сопряженная (или сопряженная) A.
матрица B с элементами b ij = (–1) i+j det( A(j│i )).
Один из способов обращения невырожденной матрицы A состоит в том, чтобы рассмотреть матричное уравнение A • X = I , где X означает A -1 . Если A равно n × n , то это уравнение можно рассматривать как совокупность n отдельных уравнений вида Ax = b , где x последовательно берется в качестве j -го столбца неизвестной матрицы X и b принимается за j -й столбец матрицы I ( j = 1, …, n ). Затем эти уравнения могут быть решены по правилу Крамера.
Понятие обратной матрицы имеет большое теоретическое значение, но, как можно понять из приведенного выше обсуждения, ее вычисление может быть проблематичным, просто с точки зрения труда, не говоря уже о проблемах численной надежности. К счастью, бывают обстоятельства, когда нет необходимости знать обратную n × n матрицу A , чтобы решить уравнение типа Ax = b.
Одним из таких обстоятельств является случай, когда невырожденная матрица Число является нижним (или верхним) треугольником, и все его диагональные элементы отличны от нуля. В случае нижнетреугольных матриц это означает (i) a ii ≠ 0 для всех i = 1, …, n , (ii) a ij 900 для всех i = 1, …, n – 1 и j > i. Так, например,
является нижним треугольным; тот факт, что все ее диагональные элементы 4,–1 и 5 отличны от нуля, делает эту треугольную матрицу неособой. Когда A несингулярный и нижний треугольный, решение уравнения Ax = b выполняется, начиная с верхнего уравнения a 11 x 1 = b 1 и решая для него 0 10012 x 1 . 1 В частности, х 1 = б 1 │ а 11 . Это значение подставляется во все остальные уравнения. Затем процесс повторяется для следующего уравнения.
Это дает х 2 = [б 2 – а 21 (б 1 /а 11 )]а 22 . Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет вычислена последняя составляющая x . Этот метод называется прямой заменой . Существует аналогичная процедура, называемая обратной заменой для неособых верхних треугольных матриц. Преобразование системы линейных уравнений к треугольной форме делает ее решение довольно несложным.
Матричная инверсия рассматривается некоторыми как методологический краеугольный камень регрессионного анализа. Желание инвертировать матрицу обычно возникает при решении нормальных уравнений, полученных путем применения метода обычных наименьших квадратов (МНК) к оценке параметров в модели линейной регрессии. Можно постулировать, что линейная зависимость
выполняется для некоторого набора параметров β 1 , …,β k . Чтобы определить эти неизвестные параметры, нужно провести серию, скажем, n экспериментов, сначала выбрав значения X , i 2 , …, X ik , а затем записав результат Y 3 90 i для i = 2, …, н.
При этом используется термин ошибки Ui для i -го эксперимента. Это необходимо, поскольку для конкретного набора значений параметров (оценок) может не быть решения системы одновременных уравнений, порожденной (1). Таким образом, пишется
Метод МНК ищет значения β 1 , …, β k , которые минимизируют сумму квадратов ошибок, то есть С
это приводит к задаче МНК по минимизации 2 Y’Xβ + β’X’Xβ. Необходимыми и достаточными условиями первого порядка для минимизирующего вектора β являются так называемые нормальных уравнений X’Xβ = X’Y.
Если матрица X’X невырожденная, то
Необходимо соблюдать осторожность при решении нормальных уравнений. Может случиться так, что X’X в единственном числе. В этом случае обратного ему не существует. Тем не менее, даже когда X’X обратимо, не всегда целесообразно решать для β, как в (3). По числовым причинам это особенно верно, когда порядок матрицы очень велик.