Определение степени с дробным показателем. Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем 9 класс
Тема 3: Степень. Корень n-ой степени
Урок 3: Определение степени с дробным показателем. Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
Тема 16.
Определение степени с дробным показателем и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.
Мы знаем, какой смысл имеет выражение an, где a ≠ 0, если показатель n – целое число. Например, (-2)5 означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен (-2). А степень 2-5 означает число, обратное степени 25. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.
Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a > 0 верно равенство amn=amn.
Например, 5217=5217=53=125,
так как 537=521.
Определение: Если a – положительное число, mn – дробное число (m – целое, n – натуральное), то
amn=amn.
Степень с основанием, равным 0, определяется только для положительного дробного показателя: если mn – дробное положительное число (m и n – натуральные), то 0mn=0.
Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как -234 или -813 не имеют смысла.
Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: 34;68;912 и т.
д
Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например,
268=268=234=234.
В общем случае это выглядит так:
пусть a > 0, m-целое, n и k-натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:
amknk=amknk=amn=amn
Свойства степени с рациональным показателем.
Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.
Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q:
- apaq=ap+q
- ap:aq=ap-q
- apq=apq
Для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального числа
- abp=apbp
- abp=apbp
Из первого свойства следует, что для любого a > 0 и любого рационального p
a-p=1ap
Например,
27∙6413=2713∙6413=3∙4=12
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
Как ⚠️ возвести число в дробную степень: формулы, примеры
Содержание:
- Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней
- Правило возведения
- Правило, когда показатель степени является дробью
- Решение в виде задачи, примеры
Содержание
- Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней
- Правило возведения
- Правило, когда показатель степени является дробью
- Решение в виде задачи, примеры
Определение
Возведение целого числа в дробную степень — это арифметический процесс, при котором находится значение степени числа, выраженной дробью.
Ответ: \(\frac2{\sqrt[3]5}\).
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 2.71 (Голосов: 21)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Поиск по содержимому
1.26: Решение дробных уравнений — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 48329
Уравнение дробей — это уравнение, содержащее дроби, в знаменателе одного или нескольких членов которого есть неизвестное.
Пример 24.1
Ниже приведены примеры дробных уравнений:
a) \(\frac{3}{x}=\frac{9}{20}\)
b) \(\frac{x-2 }{x+2}=\frac{3}{5}\)
c) \(\frac{3}{x-3}=\frac{4}{x-5}\)
d) \(\frac{3}{4}-\frac{1}{8 x}=0\)
e) \(\frac{x}{6}-\frac{2}{3 x}=\ frac{2}{3}\)
Свойство перекрестного произведения можно использовать для решения дробных уравнений.
Свойство перекрестного произведения
Если \(\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\), то \(A \cdot D=B \cdot C\).
Используя это свойство, мы можем преобразовать дробные уравнения в не дробные. Мы должны соблюдать осторожность при применении этого свойства и использовать его только тогда, когда в каждой части уравнения есть одна дробь. Итак, дробные уравнения можно разделить на две категории.
I. Отдельные дроби с каждой стороны уравнения
Уравнения a), b) и c) в примере 24.1 попадают в эту категорию. Мы решаем эти уравнения здесь.
а) Решите \(\frac{3}{x}=\frac{9}{20}\)
\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot 20=9 \cdot x \\ \text{Линейное уравнение} & 60=9 x \\ \text{Разделить на 9 обе стороны} & \frac{60}{9}=x \end{массив}\nonumber\]
Решение: \(x=\frac{60}{9}=\frac{20}{3}\ ).
b) \(\frac{x-2}{x+2}=\frac{3}{5}\)
\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 5 \cdot(x-2)=3 \cdot(x+2) \\ \text{Удалить скобки} & 5 x-10=3 x+6 \\ \text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 5 x- 3 x=10+6 \\ & 2 x=16 \\ \text{Разделить на 2 с обеих сторон} & \frac{2 x}{2}=\frac{16}{2}\end{array}\nonumber \]
решение \(x=8\).
c) \(\frac{3}{x-3}=\frac{4}{x-5}\)
\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot(x-5)=4 \cdot(x-3) \\ \text{Удалить скобки} & 3 x-15=4 x-12 \\ \text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 3 x- 4 x=15-12 \\ & -x=3 \\ \text{Разделить на 2 обе стороны} & \frac{-x}{-1}=\frac{3}{-1}\end{array} \nonumber\]
Решение: \(x=-3\)
Примечание: Если у вас есть дробное уравнение и один из членов не является дробью, вы всегда можете учесть это, поставив 1 в знаменатель. Например:
Решить
\[\frac{3}{x}=15\nonnumber\]
Перепишем уравнение так, чтобы все члены были дробями.
\[\frac{3}{x}=\frac{15}{1}\nonumber\]
\[\begin{array}{ll} \text{Cross-Product} & 3 \cdot 1= 15 \cdot x \\ \text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 3=15 x \\ \text{Разделить на 15 обе стороны} & \frac{3}{15}=\frac{15 x}{15 } \end{array}\nonumber\]
Решение: \(x=\frac{3}{15}=\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}=\frac{1}{5 }\).
II. Множественные дроби по обе стороны уравнения
Уравнения d) и e) в примере 24.1 попадают в эту категорию. Мы решаем эти уравнения здесь.
Мы используем метод объединения рациональных выражений, который мы изучили в главе 23, чтобы свести нашу задачу к задаче с одной дробью в каждой части уравнения.
d) Решите \(\frac{3}{4}-\frac{1}{8 x}=0\)
Сначала мы понимаем, что в левой части уравнения есть две дроби, и поэтому мы не можем использовать свойство Cross-Product немедленно. Чтобы объединить LHS в одну фракцию, мы делаем следующее:
\[\begin{array}{ll} \text{Найдите НОК знаменателей} & 8 x \\ \text{Перепишите каждую дробь, используя НОК} & \frac{3 \cdot 2 x}{8 x }-\frac{1}{8 x}=0 \\ \text{Объедините в одну дробь} & \frac{6 x-1}{8 x}=0 \\ \text{Перепишите уравнение так, чтобы все термины дробные} & \frac{6 x-1}{8 x}=\frac{0}{1} \\ \text{Cross-Product} & (6 x-1) \cdot 1=8 x \ cdot 0 \\ \text{Удалить скобки} & 6 x-1=0 \\\text{Линейное уравнение: изолировать переменную} & 6 x=1 \\ \text{Разделить на 6 обе стороны} & \frac{6 x}{6}=\frac{1}{6} \end{массив}\nonumber\] 9{2}-4 x+4\right)=0 \\ & 3(x-2)(x-2)=0 \\ \text{Разделить на 3 обе стороны} & \frac{3(x-2) (x-2)}{3}=\frac{0}{3} \\ & (x-2)(x-2)=0 \\ \text{Квадратное уравнение: свойство нулевого произведения} & (x- 2)=0 \text { или }(x-2)=0 \end{array}\nonumber\]
Поскольку оба множителя одинаковы, то \(x-2=0\) дает \(x=2 \).
Решение: \(x=2\)
Примечание: Существует еще один метод решения уравнений, в каждой из сторон которых есть несколько дробей. Он использует НОК всех знаменателей в уравнении. Мы демонстрируем это здесь, чтобы решить следующее уравнение: \(\frac{3}{2}-\frac{9}{2 x}=\frac{3}{5}\)
\[\begin{array} \text{Найдите НОК всех знаменателей в уравнении} & 10x \\ \text{Умножьте каждую дробь (оба LHS и RHS) по LCM} & 10 x \cdot \frac{3}{2}-10 x \cdot \frac{9}{2 x}=10 x \cdot \frac{3}{5} \\ & \frac{10 x \cdot 3}{2}-\frac{10 x \cdot 9}{2 x}=\frac{10 x \cdot 3}{5} \\ \text{Упростить каждую дробь} & \frac{5 x \cdot 3}{1}-\frac{5 \cdot 9}{1}=\frac{2 x \cdot 3}{1} \\ \text{Посмотрите, все знаменатели теперь равны 1, поэтому им можно пренебречь} & 5 x \cdot 3-5 \cdot 9=2 x \cdot 3 \\ \text{Решите, как любое другое уравнение} & 15 x-45=6 x \\ \text{Линейное уравнение: выделение переменной} & 15 x-6 x=45 \\ & 9 x=45 \\ & x=\frac{45}{9} \\ & x=5 \end{array} \nonumber\]
Решение \(x=5\)
Выход из задачи
Решите: \(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Версия лицензии
- 4,0
- Показать страницу TOC
- нет
- Теги
Узнайте, как решать дробные уравнения
В этом видео мы собираемся решать дробные уравнения, такие как , используя наименьший общий знаменатель. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре 1 и практические задачи.
Например: , найдите значение x
Сначала найдите наименьший общий знаменатель, который равен 6x . Умножить каждый числитель на 6x
x и 6 сокращаются со знаменателем, и остается
Теперь давайте решим это уравнение, как и любое другое уравнение. Вычтите 24 с обеих сторон.
Выделите x , и мы получим
Примеры дробных уравнений
Пример 1
Сначала найдите наименьший общий знаменатель, который равен .
Умножьте каждый числитель на
, , и сократите со знаменателем, оставив нам
Вычесть с обеих сторон
Разделить на обе стороны, чтобы выделить
Теперь у нас есть
Пример 2
Сначала найдем наименьший общий знаменатель, который равен . Умножьте каждый числитель на
The и , сократите со знаменателем, и у нас останется
Вычтите с обеих сторон
Разделите на обе стороны, чтобы выделить
Теперь у нас есть
Видео-урок 9050 Стенограмма
На этом уроке мы рассмотрим уравнения дробей.
Это просто уравнение с дробями. Но это алгебра.
Итак, это будет немного сложно.
Например:
Вернемся на секунду к обычным дробям. Просто маленькое примечание.
Если мы собираемся сложить
, нам нужен общий знаменатель.
Мы не можем просто добавить его таким, какой он есть.
Общий знаменатель для них .
Чтобы изменить знаменатель на , мы должны умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Первую дробь нужно умножить на , а вторую дробь — на .
Мы собираемся использовать ту же концепцию при решении дробных уравнений.
Сначала мы должны найти наименьшее общее кратное знаменателей.
Итак, наш наименьший общий знаменатель (LCD) равен .
Но вместо того, чтобы получить наименьший общий знаменатель и по-прежнему иметь дроби, мы просто умножим все на наименьший общий знаменатель.
Если мы умножим все на , все будет аннулировано.
И это больше не будет дробным уравнением. Это будут обычные уравнения.
Теперь мы можем сократить знаменатели.
Теперь мы можем решить это как обычное уравнение.
Мы хотим изолировать с помощью обратных операций.
Наш ответ:
Итак, для дробных уравнений мы должны найти наименьший общий знаменатель.
Но мы не собираемся манипулировать ими, чтобы получить общий знаменатель.
Вместо этого мы собираемся умножить каждое слагаемое на наименьший общий знаменатель так, чтобы знаменатель каждого слагаемого сокращался.