Как решать синусы и косинусы: Синус и косинус. Тангенс и котангенс — урок. Алгебра, 10 класс.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла. — Решение задач.

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние задач по теме «Синус, ко­си­нус, тан­генс угла»

На­пом­ним, угол опре­де­ля­ет един­ствен­ную точку М (хα; уα) на еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти. На Рис. 1 пред­став­ле­на еди­нич­ная по­лу­окруж­ность, она опи­сы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Рис. 1

, пер­вое из этих вы­ра­же­ний – это вся окруж­ность, а вто­рое огра­ни­чи­ва­ет нас толь­ко верх­ней по­лу­плос­ко­стью.

Так вот, первую ко­ор­ди­на­ту точки М (абс­цис­су) на­зва­ли ко­си­ну­сом угла. Вто­рую ко­ор­ди­на­ту – ор­ди­на­ту – на­зва­ли си­ну­сом угла.

Вот ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

М  = M (,).

tg α = ; ctg α = 

Далее вспом­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и ос­нов­ные фор­му­лы. Они здесь вы­пи­са­ны, про­ана­ли­зи­ру­ем их и вспом­ним, от­ку­да они по­лу­чи­лись.

 

, tg α · ctg α = 1 или

 

Во-пер­вых, они по­лу­чи­лись из опре­де­ле­ний.

И во-вто­рых, из урав­не­ния окруж­но­сти.

Если есть Ð α, то ему со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка на окруж­но­сти, и ко­ор­ди­на­ты этой точки на­зва­ли си­ну­сом угла и ко­си­ну­сом угла. Но это точка на еди­нич­ной окруж­но­сти, а любая точка еди­нич­ной окруж­но­сти под­чи­ня­ет­ся урав­не­нию окруж­но­сти ,

х – это ко­си­нус, а у – это синус, зна­чит, для лю­бо­го Ð α. На­пом­ним, мы рас­смат­ри­ва­ем углы из от­рез­ка [0°; 180°].

Рис. 2

Далее вспом­ним (Рис. 2) важ­ные фор­му­лы для ко­ор­ди­нат точки А (хА; уА) 

  α Î [0°; 180°].

Рис. 3

Итак, мы имеем синус, ко­си­нус, тан­генс, ко­тан­генс для тупых углов в том числе, т. е. мы рас­смат­ри­ва­ем углы [0°; 180°]. Но при этом сле­ду­ет уметь вы­чис­лять и синус, и ко­си­нус таких углов. Этому по­мо­га­ют фор­му­лы при­ве­де­ния (Рис. 3). На­пом­ним их:

 

при 0º£α £90º;

По­лез­но вспом­нить зна­че­ние три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций ос­нов­ных ост­рых углов.

По­че­му?

Толь­ко что мы ви­де­ли, что по фор­му­лам при­ве­де­ния к ним сво­дят­ся зна­че­ния три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций тупых углов.

	30°	45°	60°
sin	½
cos			½
tg		1
ctg		1

Итак, мы вспом­ни­ли важ­ную таб­ли­цу для три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций ост­рых углов.

Рас­смот­рен­ная таб­ли­ца и фор­му­лы при­ве­де­ния поз­во­ля­ют ре­шать мно­гие ти­по­вые за­да­чи.

Найти: sin 120°, cos 120°, tg 120°, ctg 120°.

Ре­ше­ние: сна­ча­ла фор­маль­ное ре­ше­ние.

sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° по фор­му­лам при­ве­де­ния, а по таб­ли­це sin 60° = .

Часть за­да­чи ре­ше­на:

cos 120° = cos (180° – 60°) = – cos 60° = – ½ .

Таким об­ра­зом, мы нашли синус и ко­си­нус ту­по­го угла 120°.

Те­перь по­смот­рим и про­ил­лю­стри­ру­ем этот факт на гра­фи­ке.

Рис. 4

Стро­им еди­нич­ную по­лу­окруж­ность, на ней угол 120°. На­пом­ним, что этот угол от­счи­тан про­тив ча­со­вой стрел­ки от по­ло­жи­тель­но­го на­прав­ле­ния оси Ох.

Он вы­се­ка­ет един­ствен­ную точку М2 на еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти.

Вы­яс­ня­ет­ся, что остав­ший­ся угол между от­ри­ца­тель­ной по­лу­осью Ох и лучом ОМ2 равен 60° и еще один угол 60° (между по­ло­жи­тель­ной по­лу­осью Ох и лучом ОМ1). Для угла 60° синус сов­па­да­ет с си­ну­сом 120°, а ко­си­нус 60° и ко­си­нус 120° – это про­ти­во­по­лож­ные числа. Таким об­ра­зом, для дан­ной ти­по­вой за­да­чи мы нашли синус и ко­си­нус 120° и про­ил­лю­стри­ро­ва­ли факт на­хож­де­ния на чер­те­же.

Оста­лось найти тан­генс и ко­тан­генс 120°.

Фор­му­лы из­вест­ны, на­хо­дим:

tg 120° = ;

ctg 120° = 

Ответ:

sin 120° = , cos 120° = — ½ , tg 120° = , ctg 120° = 

За­да­ча ре­ше­на.

Ис­поль­зо­ва­ны и таб­ли­ца, и фор­му­лы при­ве­де­ния.

Сле­ду­ю­щая ти­по­вая за­да­ча. За­да­на одна функ­ция, найти дру­гие функ­ции или дру­гую функ­цию.

За­да­ча. Най­ди­те , если  = ¼ , α Î [0; 180°]. Сна­ча­ла фор­маль­ное ре­ше­ние. Мы имеем ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, ко­то­рое свя­зы­ва­ет между собой и синус, и ко­си­нус: , от­ку­да (Ответ).

Два от­ве­та. От­ку­да они по­яви­лись? Про­ил­лю­стри­ру­ем этот факт на чер­те­же (Рис. 5).

Еди­нич­ная по­лу­окруж­ность, синус ка­ко­го-то угла, неиз­вест­но пока, ка­ко­го, равна ¼. Пер­пен­ди­ку­ляр к линии си­ну­сов (оси ор­ди­нат), про­ве­ден­ный в точке у = ¼, вы­све­чи­ва­ет две точки на еди­нич­ной окруж­но­сти. Двум точ­кам со­от­вет­ству­ют два угла. Один угол α1, вто­рой угол – α2.

Угол α1 имеет , Угол α2 имеет .

Сде­ла­ем такое при­ме­ча­ние: зна­че­ние  = ¼ опре­де­ля­ет два угла – α1 и α2 = 180° – α1 , при­чем

 (си­ну­сы равны од­но­му и тому же числу), а ко­си­ну­сы – раз­ные: , 

Рис. 5

В сле­ду­ю­щей за­да­че, на­о­бо­рот, за­да­но зна­че­ние , тре­бу­ет­ся найти зна­че­ние . И по­нять, в чем раз­ни­ца между этой за­да­чей и преды­ду­щей.

За­да­ча. Най­ди­те , если  = , α Î [0; 180°].

 

Рис. 6

Как все­гда, сна­ча­ла фор­маль­ное ре­ше­ние без чер­те­жа:

по ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству , от­ку­да , два от­ве­та, но вспо­ми­на­ем, что синус ме­ня­ет­ся в пре­де­лах [0; 1], по­это­му вы­би­ра­ем  и по­лу­ча­ем един­ствен­ный ответ.

Те­перь про­ил­лю­стри­ру­ем все это на чер­те­же (Рис. 6).

Как обыч­но, на ри­сун­ке – еди­нич­ная по­лу­окруж­ность, линия ко­си­ну­сов (ось абс­цисс), на ней точки – 1, 0, 1, а у нас абс­цис­са (ко­си­нус) равна .

Пер­пен­ди­ку­ляр вы­све­чи­ва­ет един­ствен­ную точку на еди­нич­ной окруж­но­сти и един­ствен­ный Ðα. Он здесь тупой. Синус тоже имеет един­ствен­ное зна­че­ние. Сфор­му­ли­ру­ем такое при­ме­ча­ние: зна­че­ние опре­де­ля­ет един­ствен­ный ÐαÎ[0°; 180°]. За­да­ча ре­ше­на.

Фор­му­ли­ров­ка сле­ду­ю­щей за­да­чи.

За­да­ча. Най­ди­те угол между лучом ОА и по­ло­жи­тель­ной по­лу­осью Ох, если точка А имеет ко­ор­ди­на­ты ( ; 1 ).

Чер­теж (Рис. 7).

Рис. 7

На ри­сун­ке – точка А (; 1), и надо найти угол, ко­то­рый обо­зна­чим α.

Из­вест­ны ко­ор­ди­на­ты точки А.

Ис­поль­зу­ем спе­ци­фи­ку ис­ход­ных дан­ных при ре­ше­нии (Рис. 8). Рас­смот­рим тре­уголь­ник АОА1.

Рис. 8

Он пря­мо­уголь­ный, и ка­те­ты его из­вест­ны. Пер­вый катет равен 1, вто­рой катет дли­ной .

Сле­до­ва­тель­но, tg ÐАОА1 = угол ÐАОА1 = 30°, ис­ко­мый угол α = 180° – 30° = 150°

Ответ по­лу­чен, но мы про­де­мон­стри­ру­ем дру­гой спо­соб его по­лу­че­ния.

Сна­ча­ла найти длину от­рез­ка АО, ведь ко­ор­ди­на­ты точки А из­вест­ны и ко­ор­ди­на­ты точки О из­вест­ны.

Далее по фор­му­лам для ко­ор­ди­нат точки найти ко­си­нус угла, синус угла. В любом слу­чае спе­ци­фи­ка кон­крет­ных ис­ход­ных дан­ных нам поз­во­ли­ла мгно­вен­но найти угол. За­да­ча ре­ше­на.

Итак, мы по­вто­ри­ли тео­рию по теме «Синус, ко­си­нус, тан­генс угла» и ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/reshenie-zadach-4

http://5klass.net/datas/algebra/Trigonometricheskie-funktsii/0007-007-Svojstva-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa.jpg

http://lmenripacha.science/pic-reshak.ru/reshebniki/geometriya/10/wbatanasyan9/images/30.gif

http://fastform.ru/wp-content/uploads/media/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82-%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D0%BF%D0%BE-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83-%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81-%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0/image3. gif

тригонометрия — Почему так много ошибок в законах синусов и косинусов?

спросил 9 лет, 1 месяц назад

Изменено 4 года назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Я вычислял углы треугольника со сторонами a = 17, b = 6 и c = 15, используя закон косинусов, чтобы найти первый угол, а затем закон синусов, чтобы найти два других угла. Я следую принято называть углы, противолежащие этим сторонам, А, В и С соответственно. Вот мои результаты: 92}{2(6)(17)}) = 60,647$ градусов до 3 д.п.

$ B = \arcsin( \frac {6 \sin C}{15}) = 20,405$ градусов до 3 д.п.

$ A = \arcsin( \frac {17 \sin B}{6}) = 81,051$ градусов до 3 д.п.

Ясно, что их добавление должно дать $180$ градусов, но это дает 162 градуса на 3 н. ф. Предполагая, что я не сделал никаких ошибок, ошибка кажется довольно высокой, и мне просто интересно, знает ли кто-нибудь, почему это так? Это кажется достаточно высоким, чтобы оспорить действительность законов.

• тригонометрия

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Хорошо, я вычислил закон косинусов 3 раза и получил 60,647, 20,404 и 98,949 соответственно для углов A, B и C. Помните, что закон косинусов не имеет неоднозначного случая, в отличие от закона синусов. Я подозреваю (без дальнейшего расследования), что он может быть виновником. Мой совет: всегда используйте закон косинусов, когда можете. В этом случае, когда известны все стороны, явно имеет место закон косинусов 9.0005

$\endgroup$

$\begingroup$

Переход от закона косинусов к закону синусов может привести к двусмысленному случаю и созданию посторонних решений, поэтому лучше придерживаться закона косинусов, насколько это возможно. Если вы измените закон синусов, вы можете проверить свои результаты, подставив ВСЕ свои стороны и углы в пропорцию. Если вы не получите эквивалентных результатов, у вас есть лишнее решение, и вам нужно будет переработать задачу, используя дополнение угла, которое вы изначально получили. Ссылка ведет на Google Slides, которую я подготовил для своих учеников. Тестирование решений с использованием закона синусов

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Помните, что $$sin(180-θ)=sinθ$$

$sin(180-81.051)=sin(98.949)=0.987$

$60.647+20.405+81.051=162.103$

$60.647+20.405+98.949=180.001$

Правильный угол должен быть 98,949

С точки зрения графика положительный косинус означает острый угол (Q1), а отрицательный косинус означает тупой угол (Q2). Но с синусом мы должны проверить, находится ли угол в Q1 или Q2, поскольку он имеет те же значения синуса 0,9. 87. Следовательно, мы вычисляем, какая степень двух в сумме дает 180. Поэтому, как упоминалось другими, целесообразно использовать закон косинусов.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Решение задач 2-D и 3-D тригонометрии с использованием правил синуса и косинуса – Национальная учебная программа (профессиональная) по математике, уровень 4

Пространство, форма и измерение: решение задач путем построения и интерпретации тригонометрических моделей

Дилан Буса

К концу этого раздела вы сможете:

• Правильно применять правило синусов для решения 2-х и 3-х мерных задач.
• Правильно применяйте теорему косинусов для решения двухмерных и трехмерных задач.

Что вы должны знать

Перед запуском этого устройства убедитесь, что вы можете:

• Определите стороны и углы прямоугольного треугольника, используя три основных тригонометрических соотношения. Обратитесь к предметному результату 3.6 уровня 2, модулям 1 и 2, если вам нужна помощь в этом.
• Используйте формулы приведения для упрощения тригонометрических соотношений. Обратитесь к предметному результату 3.3, разделы 1 и 2 уровня 3, если вам нужна помощь.
• Определите и используйте правило синусов для решения двумерных задач. Обратитесь к предметному результату 3.3 блоков 6 и 8 уровня 3, если вам нужна помощь.
• Сформулируйте и используйте правило косинусов для решения двумерных задач. Обратитесь к предметному результату 3.3, блокам 7 и 8 уровня 3, если вам нужна помощь.
• Назовите и используйте формулы составного угла и двойного угла. Обратитесь к блоку 1 этого предметного результата, если вам нужна помощь в этом.

Введение

Мы узнали о правиле синусов и правиле косинусов на уровне 3, предметный результат 3.3, блоки 6 и 7. Помните, что эти правила дают нам способ найти длины неизвестных сторон и размеры неизвестных углов в непрямоугольных треугольниках. .

Прежде чем продолжить, вы должны пересмотреть результаты 3.3 предмета 3.3, блоки 6, 7 и 8.

Проверка правил синусов и косинусов

Прежде чем мы узнаем что-то новое, давайте повторим то, что мы уже знаем.

Правило синусов:

В любом треугольнике [latex]\scriptsize \Delta ABC[/latex]:

Правило косинуса:

В любом [latex]\scriptsize \Delta ABC[/latex]:

• Правило косинуса работает, когда мы знаем длины любых двух сторон и размер в комплекте угол .
• Левая сторона формулы всегда равна стороне , противоположной углу, косинус которого мы берем.

Используйте правило синусов, если:

• прямой угол не указан
• даны две стороны и угол (не прилежащий угол)
• даны два угла и сторона.

Используйте теорему косинусов, если:

• прямой угол не указан
• даны две стороны и прилежащий угол 9{2}}(1+\sin\theta)[/латекс].
  

Вопрос 3 адаптировано из Everything Maths 12 класс Упражнение 4-5 вопрос 1

3. На приведенной ниже диаграмме [латекс]\scriptsize O[/латекс] является центром полукруга [латекс]\scriptsize BAE [/латекс]:
   
   1. Найдите [латекс]\размер сценария A\шляпа{O}C[/латекс] в терминах [латекс]\размер сценария \тета[/латекс].
   2. В [latex]\scriptsize \Delta ABE[/latex] определите выражение для [latex]\scriptsize \cos \theta[/latex].
   3. В [latex]\scriptsize \Delta ACE[/latex] определите выражение для [latex]\scriptsize \sin \theta[/latex].
   4. В [latex]\scriptsize \Delta ACO[/latex] определите выражение для [latex]\scriptsize \sin 2\theta[/latex]. \circ}[/latex]. Для соединения [латекс]\scriptsize C[/латекс] и [латекс]\scriptsize D[/латекс] необходим кабель.
      
      1. Определите минимальную длину кабеля, необходимого для соединения [латекс]\scriptsize C[/латекс] и [латекс]\scriptsize D[/латекс] (с точностью до метра).
      2. На каком расстоянии друг от друга основания двух башен (с точностью до метра)?

   Полные решения находятся в конце модуля.

   Задачи в трех измерениях

   Как мы видели, мы можем использовать правила синусов и косинусов, чтобы найти длины сторон и размеры углов в непрямоугольных треугольниках в двух измерениях. Мы можем применить эти же методы для работы в трех измерениях. Это означает, что мы можем начать решать больше реальных проблем.

   Но работа в трех измерениях (особенно трехмерная визуализация на двухмерном экране или листе бумаги) для большинства из нас требует времени и практики. Если поначалу вам будет трудно, не сдавайтесь. Работать в трех измерениях можно научиться. Просто нужна практика.

   [latex]\scriptsize AD[/latex] представляет собой вертикальный флагшток, и его основание, [latex]\scriptsize A[/latex], находится в той же горизонтальной плоскости, что и точки [latex]\scriptsize B[/latex] и [латекс]\размер сценария C[/латекс]. Угол подъема от точки [латекс]\scriptsize C[/латекс] до вершины флагштока равен [латекс]\scriptsize {{29\circ}[/латекс]. Определить высоту флагштока.

   Решение

   В этом примере была дана схема ситуации. Иногда вам нужно будет создать свой собственный эскиз. Обратите внимание на затенение [latex]\scriptsize \Delta ABC[/latex]. Это помогает нам увидеть, что этот треугольник лежит на земле и находится под прямым углом к ​​треугольнику, образованному точками [latex]\scriptsize A[/latex], [latex]\scriptsize C[/latex] и [latex]\scriptsize D. [/латекс]. Помните, что флагшток вертикальный (это означает, что он находится под прямым углом к ​​земле). Заданные длины и углы заполнены.

   Нам нужно вычислить длину [latex]\scriptsize AD[/latex]. У нас есть один угол внутри этого треугольника, и это прямоугольный треугольник. Следовательно, если мы можем найти длину [латекс]\размер сценария AC[/латекс], мы можем использовать отношение тангенса, чтобы найти [латекс]\размер сценария AD[/латекс]. Мы выбираем [латекс]\scriptsize AC[/латекс], потому что это сторона, общая для обоих треугольников.

   Мы можем использовать правило синусов для вычисления [latex]\scriptsize AC[/latex], но для этого нам сначала нужно вычислить размер [latex]\scriptsize B\hat{A}C[/latex] . 9\circ}\\&=87.48\text{ m}\end{align*}[/latex]

   Если вам все еще трудно представить себе описанную выше ситуацию, посетите эту «интерактивную версию схемы». Вы можете щелкнуть и перетащить, чтобы просмотреть ситуацию с разных сторон.

   Пример адаптирован из Everything Maths 12 класс Рабочий пример 16
   [латекс]\scriptsize D[/латекс] — верх здания высотой [латекс]\scriptsize h[/латекс]. Основание здания находится в точке [latex]\scriptsize A[/latex], а [latex]\scriptsize \Delta ABC[/latex] лежит на земле (горизонтальная плоскость). [латекс]\scriptsize BC=b[/латекс],[латекс]\scriptsize D\шляпа{B}A=\альфа[/латекс], [латекс]\scriptsize D\шляпа{B}C=\бета[/ латекс] и [латекс]\scriptsize D\шляпа{C}B=\тета[/латекс].

   Покажите, что [латекс]\scriptsize h=\displaystyle \frac{{b\sin \alpha \sin \theta}}{{\sin (\beta +\theta )}}[/latex].

   Решение

   Нас просят найти выражение для [latex]\scriptsize h[/latex]. Поскольку нам дан угол в [latex]\scriptsize \Delta ABD[/latex], это треугольник, на котором мы сосредоточимся. Чтобы найти [latex]\scriptsize h[/latex], нам нужно найти либо [latex]\scriptsize AB[/latex], либо [latex]\scriptsize BD[/latex]. [latex]\scriptsize DB[/latex] является общей стороной между [latex]\scriptsize \Delta ABD[/latex] и [latex]\scriptsize \Delta BCD[/latex] и [latex]\scriptsize \Delta BCD [/latex] — это хороший треугольник для работы, потому что мы получили информацию о нем. Начнем с написания выражения для [latex]\scriptsize h[/latex] в [latex]\scriptsize \Delta ABD[/latex].

   [латекс]\scriptsize \begin{align*}\sin \alpha &=\displaystyle \frac{h}{{BD}}\\\следовательно h&=BD\times \sin \alpha \end{align*} [/latex]

   Теперь давайте найдем выражение для [latex]\scriptsize BD[/latex] в [latex]\scriptsize \Delta BCD[/latex].
   [латекс] \ scriptsize \ begin {align *} \ displaystyle \ frac {{BD}} {{\ sin \ theta}} & = \ displaystyle \ frac {b} {{\ sin B \ hat {D} C} }\\\поэтому BD & =\displaystyle \frac{{b\times \sin \theta}}{{\sin B\hat{D}C}}\end{align*}[/latex] 9\circ}-(\beta +\theta )} \right)\\&=\sin (\beta +\theta )\end{align*}[/latex]

   Следовательно:
   [latex]\scriptsize BD = \displaystyle \frac{{b\times \sin \theta }}{{\sin (\beta +\theta )}}[/latex]

   Теперь мы можем заменить [latex]\scriptsize BD[/latex] в нашем исходное выражение с этим новым выражением для [латекс]\scriptsize BD[/латекс].
   [латекс] \ scriptsize \ begin {align *} h & = BD \ times \ sin \ alpha \\ & = \ displaystyle \ frac {{b \ times \ sin \ theta}} {\ sin (\ beta + \ theta )}}\times \sin\alpha \\&=\displaystyle\frac{{b\sin\alpha\sin\theta}}{{\sin (\beta +\alpha)}}\end{align*}[ /латекс]

   1. Вышка сотовой связи, [latex]\scriptsize AD[/latex], имеет базу в [latex]\scriptsize A[/latex]. [latex]\scriptsize \Delta ABC[/latex] — горизонтальная плоскость на земле. Угол подъема к вершине башни от [латекс]\scriptsize B[/латекс] равен [латекс]\скриптсайз \бета[/латекс]. Геодезист стоит в точке [латекс]\scriptsize C[/латекс], так что он находится на одном и том же расстоянии, [латекс]\scriptsize y[/латекс], от [латекс]\скриптсайз А[/латекс] и [латекс]\ размер сценария B[/латекс]. [латекс]\scriptsize A\шляпа{B}C=\альфа[/латекс]. 9\circ}[/latex], посчитайте высоту здания с точностью до одного десятичного знака.

Вопрос 3 адаптировано из Everything Maths 12 класс Упражнение 4-6 вопрос 4

3. Два корабля в море видят маяк на берегу. Расстояние от вершины маяка ([латекс]\scriptsize H[/латекс]) до корабля [латекс]\scriptsize S[/латекс] и до корабля [латекс]\scriptsize B[/латекс] равно [латекс]\ размер сценария 200\текст{м}[/латекс]. Угол возвышения от [латекс]\scriptsize S[/латекс] до [латекс]\scriptsize H[/латекс] равен [латекс]\scriptsize \alpha[/латекс], [латекс]\scriptsize H\шляпа{B} S=\beta[/latex] и [latex]\scriptsize S\hat{L}B=\theta[/latex].
   
   Покажите, что расстояние между двумя кораблями определяется как [латекс]\scriptsize SB=400\cos \бета[/латекс].

Полные решения находятся в конце модуля.

Резюме

В этом разделе вы узнали следующее:

• Как использовать тригонометрические соотношения, формулы приведения, формулы составного и двойного угла, правило синусов и правило косинусов для решения трехмерных задач.

Рекомендуемое время выполнения: 35 минут

Вопрос 1 адаптирован из документа NC(V) уровня 4 2, ноябрь 2016 г., вопрос 2.6

1. Ниже представлен вид сбоку вертикальной скалы. Точки [latex]\scriptsize B[/latex], [latex]\scriptsize C[/latex] и [latex]\scriptsize D[/latex] лежат в одной горизонтальной плоскости. [latex]\scriptsize A[/latex] — точка на вершине утеса, такая, что [latex]\scriptsize AB\bot BC[/latex]. [латекс]\scriptsize BD=30\text{ м}[/латекс], [латекс]\scriptsize DC=20\текст{ м}[/латекс], [латекс]\scriptsize A\шляпа{B}C={ {9\circ}[/латекс]. \circ}[/latex]. 9{2}}(1+\sin\theta)\end{align*}[/latex]
2. .
   
   1. .
      [латекс]\scriptsize \begin{align*}AO & =EO\quad \text{(радиусы)}\\\поэтому O\hat{A}E & =\theta \quad \text{(isos }\Delta \text{)}\\\поэтому A\hat{O}C & =2\theta \quad \text{(ext }\angle \text{ of }\Delta \text{ = opp int }\angle \text{ s)}\end{align*}[/latex]
   2. В [латекс]\scriptsize \Delta ABE[/латекс]:
      [латекс]\scriptsize \cos \theta =\displaystyle \frac{{AE}}{{BE}}[/latex]
   3. В [latex]\scriptsize \Delta ACE[/latex]:
      [latex]\scriptsize \sin \theta =\displaystyle \frac{{AC}}{{AE}}[/latex]
   4. В [latex]\scriptsize \Delta ACO[/latex]:
      [latex]\scriptsize \sin 2\theta =\displaystyle \frac{{AC}}{{AO}}[/latex]
   5. [латекс]\scriptsize \sin 2\theta =\displaystyle \frac{{AC}}{{AO}}[/latex]
      Но [латекс]\scriptsize \sin \theta =\displaystyle \frac{{AC} {{AE}}[/латекс]. Следовательно, [латекс]\scriptsize AC=AE\sin\theta[/латекс]. Следовательно, [латекс]\scriptsize \sin 2\theta =\displaystyle \frac{{AE\sin \theta }}{{AO}}[/latex]. \circ}-2\alpha \quad \text{(}\angle \text{s in }\Delta \text{ suppl) }\end{выравнивание*}[/латекс] 9\ circ}}}} \ right) \\ & = p \ tan \ beta \ left ( {\ displaystyle \ frac {{\ displaystyle \ frac {{\ sqrt {3}}} {2} \ cos \ theta — \ displaystyle \ frac {1} {2} \ sin \ theta}} {{\ displaystyle \ frac {{\ sqrt {3}}} {2}}}} \ right) \\ & = p \ tan \ beta \ left ( {\ displaystyle \ frac {{\ displaystyle \ frac {{\ sqrt {3} \ cos \ theta — \ sin \ theta}} {2}}} {\ displaystyle \ frac {{\ sqrt {3}}} {2}}}} \ right) \\ & = p \ tan \ beta \ left ( {\ displaystyle \ frac {{\ sqrt {3} \ cos \ theta — \ sin \ theta}} {2} \ times \ displaystyle \ frac {2} {{\ sqrt {3}}}} \ right) \\ & = p \ tan \ beta \ left ( {\ displaystyle \ frac {{\ sqrt {3} \ cos \ theta — \ sin \theta}}{{\sqrt{3}}}} \right)\quad \quad \text{Умножить на}\displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}\ \&=p\tan\beta\left( {\cos\theta-\displaystyle\frac{{\sqrt{3}\sin\theta}}{3}}\right)\end{align*}[/latex ] 9\circ}\\\поэтому CD & =17. 43\text{ m}\end{align*}[/latex]

Вернуться к Разделу 3: Оценка

Media Attributions

• sinerule © Geogebra находится под лицензией CC BY-SA (Attribution ShareAlike) a Лицензия CC BY-SA (Attribution ShareAlike)
• упражнение 3.1 Q2 © Geogebra находится под лицензией CC BY-SA (Attribution ShareAlike)
• упражнение 3.1 Q3 © Geogebra находится под лицензией CC BY-SA (Attribution ShareAlike)
• упражнение 3.1 Q4 © Geogebra находится под лицензией CC BY-SA (Attribution ShareAlike) a Лицензия CC BY-SA (Attribution ShareAlike)
• example3.2 © Geogebra находится под лицензией CC BY-SA (Attribution ShareAlike)

• No related posts.