Как решать системы методом гаусса: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

3.2 Системы решения с использованием матриц – Алгебра колледжа для управленческих наук

Хотя методы, которые мы изучили в предыдущем разделе, могут быть использованы для решения любой системы линейных уравнений 2 на 2 или 3 на 3, математики часто ищут способы решать задачи, записывая меньше (именно поэтому мы используем одиночные буквы для переменных вместо полных слов) и сделать решение задач более процедурным. Для систем линейных уравнений мы используем матрицы. В дополнение к тому, что решение небольших систем становится более простым, методы могут быть расширены для решения систем линейных уравнений 4 на 4, 100 на 100 или даже более крупных систем линейных уравнений, которые обычно возникают в науке.

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее

дополненная матрица .

1.     Запишите коэффициенты членов x- в виде чисел в первом столбце.
2.     Запишите коэффициенты членов y- в виде чисел во втором столбце.
3.     Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
4.     Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.

а. Рассмотрим следующую систему уравнений. Запишите эту систему в виде расширенной матрицы:

Извлечение коэффициентов из системы и запись их в прямоугольный массив. Это называется матрицей коэффициентов .

Затем мы проводим вертикальную линию и извлекаем константы из правой части уравнений системы. Это расширенная матрица для данной системы.

б. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений три на три

Матрица коэффициентов равна

А система представлена ​​расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица написана таким образом, что переменные располагаются в своих собственных столбцах: -terms помещаются в первый столбец, -terms — во второй столбец и -terms — в третий столбец. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Когда в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0,

.

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным.

Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

Когда столбцы представляют переменные , , и ,

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

Выполнение операций со строками над матрицей

Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции со строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк. Это все операции, которые можно выполнить без изменения решения соответствующей системы.

Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений, поскольку эти операции позволяют нам преобразовать сложную систему в эквивалентную более простую систему с тем же решением.

Для того, чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строку – эшелонированной формы , в которой по главной диагонали из левого верхнего угла в правый нижний идут единицы, а в каждую позицию ниже главной диагонали, как показано.

   

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, которая строк эквивалентна в более простой форме.

1.     В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим 1.
2.     Любые все нулевые строки помещаются в нижнюю часть матрицы.
3.     Любая ведущая 1 ниже и правее предыдущей ведущей 1.
4.     Любой столбец, содержащий ведущую 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в ступенчатую форму, и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

• Поменять местами ряды. (Обозначение: )
• Умножить строку на константу. (Обозначение: )
• Добавить произведение строки, умноженной на константу, к другой строке. (Обозначение: )

Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона. Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк.

Исключение Гаусса

Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения формы строки-эшелона матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу  с числом 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже.

   

Первый шаг стратегии Гаусса включает в себя получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

1.     В первом уравнении старший коэффициент должен быть равен 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
2.     Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце после первой записи 1.
3.     Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.

4.     Используйте операции со строками, чтобы получить нули в столбце 2, ниже записи 1.
5.     Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
6.     Продолжайте этот процесс для всех строк, пока не будет 1 в каждой записи вниз по главной диагонали, а ниже только нули .
7.     Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

а. Решить данную систему методом исключения Гаусса.

Сначала запишем это как расширенную матрицу.

Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.

Теперь у нас есть 1 в качестве первой записи в строке 1, столбце 1. Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на -2, а затем прибавив результат к строке 2.

У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на .

Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет . Подставим обратно в первое уравнение.

Суть в решении.

б. Используйте исключение Гаусса, чтобы решить данную систему уравнений.

Запишите это как расширенную матрицу.

Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, умножив первую строку на

Далее, нам нужно 0 в строке 2, столбце 1. Умножьте строку 1 на -4 и добавьте результат в строке 2.

Вторая строка представляет уравнение. Следовательно, система несовместна и не имеет решений.

в. Решите систему уравнений.

Выполните операции со строками над расширенной матрицей, чтобы попытаться получить форму эшелона строк.

В последней строке матрицы заканчиваются все нули: . Таким образом, существует бесконечное число решений, и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и найдите .

Итак, решение этой системы .

д. Выполните операции со строками на данной матрице, чтобы получить форму строки-эшелона.

В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом является умножение строки 1 на -2 и добавление к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.

Далее получаем ноль в 3-й строке 1-го столбца.

Далее получаем ноль в 3-й строке 2-го столбца.0017

а. Решить данную систему методом исключения Гаусса.

б. Запишите систему уравнений в виде расширенной матрицы, затем выполните операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

Гаусс-Джордан Исключение

Мы можем найти решения систем уравнений методом исключения Гаусса. Тем не менее, мы можем продолжать уменьшать расширенную матрицу до тех пор, пока матрица не будет иметь уменьшенную ступенчатую форму , что означает, что она находится в ступенчатой ​​форме с 1 или 0 по диагоналям и нулями в каждой строке, в которой есть 1 на диагональ. Наша цель — создать то, что называется  Матрица идентичности из матрицы коэффициентов, и это даст нам решение на другой стороне расширенной матрицы. Если диагональ становится 0, мы получаем непоследовательную или зависимую систему. Если наша строка нулей в единичной матрице соответствует 0 на другой стороне, у нас есть зависимая система, и создать общее решение очень просто. Если наша строка нулей установлена ​​равной ненулевому числу, то мы имеем несогласованную систему без решения.

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Сначала запишем расширенную матрицу.

Далее мы выполняем операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — поменять местами и .

Затем

Теперь мы находимся в форме строки-эшелона, но мы хотим продолжать сокращать до тех пор, пока все диагонали в матрице коэффициентов не будут равны 0. Мы хотим преобразовать -12 во 2-й строке 3-го столбца в 0. Мы можем сделать это, заменив на . Нам также нужно заменить 1 в 1-й строке, 3-м столбце на 0, заменив на:

Теперь нам нужно только изменить 1-ю строку, 2-й столбец на 0, что достигается заменой на:

Теперь, когда левая сторона или сторона коэффициентов этой матрицы является единичной матрицей, когда мы записываем это обратно эквивалентной системе имеем:
.

Или как упорядоченная тройка, решение  .

Решить систему с помощью матриц.

Использование технологий с матрицами

Используя эти подходы, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса. Одним из реальных преимуществ метода исключения Гаусса является то, что он очень процедурный, поэтому мы можем научить компьютер или калькулятор.
Для калькуляторов TI-83/84 мы можем использовать методы, перечисленные на этой странице Math Boot Camp. Обычно мы помещаем всю расширенную матрицу в калькулятор, и вы получаете решение системы. Это также скажет вам, есть ли у вас зависимая или противоречивая матрица. Вы также можете выполнить шаги в Excel. Вот несколько видеороликов, которые помогут вам научиться уменьшать число строк в матрицах с помощью технологии:

.

• Уменьшение ряда с помощью TI-84
• Сокращение ряда с Casio

Питер планирует инвестировать в так называемый портфель из трех фондов, состоящий из паевого инвестиционного фонда акций США, международного паевого инвестиционного фонда акций и паевого инвестиционного фонда облигаций. Всего у него есть 200 000 долларов для инвестиций, и он хочет инвестировать в акции в четыре раза больше, чем в облигации. Фонд облигаций имеет историческую доходность 4,4%, фонд акций США имеет историческую доходность 8,3%, а международный фонд акций имеет историческую доходность 5,4%. Если Питер надеется на прибыль в размере 13 300 долларов, как ему следует распределить свои инвестиции?

Конечно, исторические доходы не могут предсказать будущие доходы, но это лучшая информация, которая у нас есть, поэтому мы будем ее использовать.

У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными.
Позвольте быть суммой, инвестированной в акции США с доходностью 8,3%, и
Пусть быть суммой, инвестированной в международные акции с доходностью 5,4%.
Пусть  будет суммой, вложенной в фонд облигаций с доходностью 4,4%,

Всего мы должны инвестировать 200 000 долларов, поэтому

Он хочет инвестировать в акции в четыре раза больше, чем в облигации, поэтому

И, используя коэффициенты возврата и желаемый заработок,

Мы можем взять эту систему и поместить ее в расширенную матрицу.

Использование калькулятора TI-83/84:

1. Нажмите 2-й и РЕДАКТИРОВАНИЕ
2. Выберите [A] и введите 3 строки и 4 столбца
3. Введите расширенную матрицу выше
4. Нажмите 2-й РЕЖИМ, чтобы выйти из матриц
5. Снова нажмите 2-й и до CALC
6. Прокрутите вниз до rref и нажмите Enter
7. Еще раз нажмите 2 и нажмите Enter для [A]
8. Введите еще раз

Теперь у нас есть уменьшенная ступенчатая форма матрицы:

Это говорит нам о том, что наш ответ: 100 000 долларов, инвестированных в акции США, 60 000 долларов в международные акции и 40 000 долларов в облигации.

Количество возможных решений: зависимые и несогласованные системы

Для систем три на три возможное количество решений:

• Системы, имеющие единственное решение, это те, которые после исключения приводят к набору решений, состоящему из упорядоченной тройки . Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве, как показано в (а) ниже.
• Системы с бесконечным числом решений — это те, которые после исключения Гаусса имеют ряд всех нулей, что эквивалентно утверждению 0 = 0. Графически бесконечное число решений представляет собой линию или совпадающую плоскость, которая служит точкой пересечения трех плоскостей в пространстве, как показано на (b) справа.
• Системы, не имеющие решения, это те, которые после исключения Гаусса имеют строку со всеми нулями в матрице коэффициентов и ненулевую запись в правой части, что эквивалентно такому утверждению, как Графически система без решения представлена тремя плоскостями, не имеющими общих точек. Это может произойти несколькими способами, как показано ниже.

Все три рисунка представляют системы три на три без решения. а) Три плоскости пересекаются друг с другом, но не в одной точке. (b) Две плоскости параллельны и пересекаются с третьей плоскостью, но не друг с другом. в) Все три плоскости параллельны, поэтому точек пересечения нет.

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

Запишите расширенную матрицу.

Когда вы вводите это в программу, чтобы получить уменьшенную форму строки-эшелона, вы можете получить:

Эта матрица представляет следующую систему:

Из тождества 0=0 мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем находим универсальное решение. Решив первое и второе уравнения с помощью , мы получим все в терминах z.

Если мы приравняем любое действительное число, то получим общее решение для системы:

Используйте технологию, чтобы найти решение (если возможно) для системы:

3. а. б.
5. Эшелонная форма с уменьшенной строкой:    Следовательно, поскольку в последней строке указано, что 0 = 1, решения нет.

 

Атрибуции среды

• 3x3systeminfsoln
• 3x3nosoln

Гауссов-элиминация-метод-шахты-Google Shie

. 0003

uomustansiriyah.edu.iq › СМИ › лекции

17.05.2020 · Шаг 1. Найдите крайний левый столбец, который не полностью состоит из нулей. Шаг 2. При необходимости замените верхнюю строку другой строкой…

[PDF] Исключение по Гауссу

www.calvin.edu › ~scofield › курсы › документы › geIntro

Приводим примеры и решаем их используя стандартный метод, обсуждаемый на курсах алгебры в средней школе: исключение. Пример 1:.

[PDF] Исключение Гаусса

math.mit.edu › ~dav › gauss19

02.10.2019 · Процедура состоит из ряда простых шагов, называемых элементарными операциями со строками, описанных в определении 3.2 ниже. Мы покажем, что каждый …

Ähnliche Fragen

Каковы этапы метода исключения Гаусса?

Какие 4 шага нужно решить методом исключения?

Какие три этапа метода исключения?

Что такое метод исключения Гаусса на примере?

[PDF] Глава 1: Система линейных уравнений § 1. 2 Исключение Гаусса

mandal.ku.edu › math390

Метод решения этой системы (1) заключается в следующем: ▷ Запишите расширенную матрицу системы . ▷ Используйте элементарные операции со строками, чтобы уменьшить расширенную …

[PDF] Исключение по Гауссу — Purdue Math

www.math.purdue.edu › файлы › академические › курсы

16.02.2007 · Частный случай Исключение Гаусса, возникающее, когда расширенная матрица приводится к сокращенной ступенчато-строковой форме, называется методом Гаусса-Жордана …

[PDF] Исключение Гаусса — CSE-IITM

www.cse.iitm.ac.in › Курсы ~vplab › LARP_2018 › Matrix_Gaussi…

Метод исключения Гаусса – это метод для … операции метода исключения Гаусса … Шаги, выраженные в виде систем уравнений:.

[PDF] шаги в исключении Гаусса — IITB Math

www.math.iitb.ac.in › ~neela

5. Остановитесь, когда не будет найдена дальнейшая опорная точка. Примечание.