Как решать сложные дроби: Как правильно решать примеры с дробями. Сложные выражения с дробями. Порядок действий. Умножение смешанных дробей

Содержание

Правила сложение и вычитание десятичных дробей

Чтобы быстро и правильно решать сложные математические примеры, для начала нужно освоить сложение и вычитание дробей. Подобного рода действия позволяют получить ответ при использовании не целых, а дробных цифр. Обычно самыми распространенными считаются примеры, в которых использованы десятичные дроби. Такого рода операции человеку приходится осуществлять ежедневно. В частности, в магазине при наличном расчете.

Содержание

1 Что такое десятичное дробное число
2 Как решать примеры с десятичными дробями
3 Решение примеров

Что такое десятичное дробное число

Десятичная дробь является самой частотной дробной разновидностью. Она выражает числа в нецелом виде. При этом используется запятая, которая отделяет две части. Если находящаяся слева от запятой часть (целая) всегда имеет конец, то дробная в некоторых случаях имеет свойство быть бесконечной.

Например число π 3,141592653589793238462643…

Чтобы правильно заниматься сложением и вычитанием дробей, нужно иметь базовые знания, которые позволят без ошибок решать такие задачи. Математические манипуляции, в которых используются нецелые показатели, по своему алгоритму схожи с решением любых других примеров.

Если описывать сам алгоритм действий, применяемый при работе с такими показателями, то он достаточно прост. Они пишутся друг под другом, при этом должны совпадать как их целые части, расположенные слева от запятой, так и дробные. То есть в столбик разряд под разрядом.

Как решать примеры с десятичными дробями

Правила вычитания десятичных дробей включают в себя несколько основополагающих пунктов. Перечислим последовательность действий при работе с вычитанием:

Показатели, между которыми будет производиться вычитание, должны иметь одинаковое количество знаков, находящихся справа от запятой, то есть в дробной части. Например, при наличии чисел 3,6 и 5,89, число 3,6 будет записано, как 3,60.
После того как числа приобрели идентичный вид, их записывают в столбик, чтобы они находились друг под другом. Сначала пишется число, от которого будут отнимать, ниже — отнимаемая цифра.
Сам процесс вычитания совершается абсолютно так же, как и то, в котором задействованы целые числа.
Когда итог высчитан, запятая никуда не девается, а ставится ровно на том же месте, что и в исходных числах. То есть результат, скорее всего, получится дробным.

Чтобы применить на практике правила сложения десятичных дробей, нужно воспользоваться вышеописанным планом. Разница будет лишь в математическом знаке: если в первом алгоритме это минус, то в данном случае — плюс. То есть алгоритм один, а действия разные.

Решение примеров

Хорошо усвоить материал помогут конкретные примеры. Они подготовят к правильному решению подобных задач в реальной жизни. На практике мы постоянно сталкиваемся с нецелыми показателями. Это позволяет говорить о том, что усвоить эти правила необходимо.

При сложение и вычитание десятичных дробей их записывают в столбик

Пример

Сложение и вычитание десятичных дробей в 5 классе изучается для того, чтобы в последующих более сложных задачах применять освоенный алгоритм и успешно справляться с ними. Десятичная дробь — это самая распространенная числовая разновидность, манипуляции с которой используются повсеместно. Именно поэтому действиям между такими числами обучают детей младших классов.

Материал по теме «Математика»:

Математика: сложение обыкновенных дробей

Математика: вычитание обыкновенных дробей

Как научить ребенка решать задачи по математике 1-3 класса

правила для смешанных дробных чисел, алгоритм и примеры его реализации

Математика

12.11.21

14 мин.

В пятом классе изучаются правила сравнения обыкновенных дробей. Однако некоторые ученики не могут понять эту тему, хотя она, на первый взгляд, кажется очень простой. Не всегда получается сравнить оба дробных выражения, так как школьная методика преподносится не совсем верно. Чтобы исправить этот недочет, специалисты разработали универсальный алгоритм, который будет понятен каждому.

Оглавление:

Математический смысл дроби

Смешанные дробные значения

Один делитель

Эквивалентность знаменателей

Равенство только числителей

Разные компоненты

Общие сведения

Для применения правил сравнения дробей обыкновенного вида необходимо изучить базовые понятия. К ним относятся следующие:

Математический смысл обыкновенного дробного выражения.
Методика работы со смешанными числами.
Приведение дробей к одному знаменателю.

Специалисты рекомендуют подробно изучить компоненты, необходимые для реализации алгоритма. Кроме того, нужно не только разобраться в теории, но и самостоятельно решить примеры на практике. Их необходимо придумать, а затем при помощи предложенных методик найти искомый результат. Например, разобрать работу со смешанными дробными выражениями и приведение дробей к единому знаменателю.

Математический смысл дроби

Обыкновенной дробью называется математическое выражение незавершенной операции деления, состоящее из числителя и знаменателя. Термин «незавершенная» понятен не для всех начинающих математиков. Для этого необходимо разобрать математическую запись операции деления.

Она имеет такой вид: Q/R=S. Первый элемент — делимое (величина, эквивалентная произведению двух сомножителей), второй — делитель (первый основной множитель числа) и третий — частное (результат операции или II множитель).

Операция деления обозначается двумя символами. Один из них — двоеточие. Его применяют в задачах деления одной обыкновенной дроби на другую. Второе обозначение — косая черта «/». Ее используют практически во всех арифметических операциях. Кроме того, она позволяет представлять значение в виде обыкновенных дробей Q/R, где Q — числитель (эквивалентен делимому) и R — знаменатель (делитель).

Термин «незавершенная» применяется потому, что отсутствует третий компонент — частное. Специалисты делят обыкновенные дробные величины на три вида: правильные, неправильные и смешанные. К первым относятся все значения, для которых выполняется условие Q<R, т. е. числитель всегда меньше знаменателя.

Для неправильной условие выглядит по-другому: Q>R. Следует отметить, что при решении задач в результате всегда должна быть правильная дробь или смешанное число. Это называется упрощением выражения, т. е. любая неправильная дробная величина должна быть преобразована в смешанную. Далее для сравнения дробей в 5 классе необходимо разобрать алгоритм работы с величинами этого типа.

Смешанные дробные значения

Смешанная дробь — дробное выражение обыкновенного вида, содержащее целую часть. Число 4[5/11] является примером этого значения. Для сравнения дробей с разными знаменателями смешанное число требуется преобразовать в неправильное дробное тождество.

Для этих целей применяется следующая методика:

Записать искомое значение: P[T/S], где Р — целая часть, Т — числитель, S — знаменатель.
Сформировать новый числитель по следующему соотношению: Т’=S*P+T.
Искомый результат: Т’/S.

Однако специалисты рекомендуют обучаться пошагово, т. е. каждый алгоритм необходимо закрепить на практике. Например, требуется выполнить операцию конвертации 5[7/11].

Решение выглядит следующим образом:

5[7/11].
Числитель неправильной дроби: 11*5+7=62.
Результат конвертации: 62/11.

Следует отметить, что также существует и обратная операция — преобразование смешанного числа в неправильную дробь. Методика имеет такой вид:

Написать дробное значение: Т’/S.
Выделить целую часть, поделив T’ на S: P.
Рассчитать величину числителя по такому соотношению: T=T’-S*P.
Записать смешанное число: Р[T/S].

Для практического использования алгоритма преобразования неправильной дроби в смешанное дробное тождество нужно разобрать пример. Его решение имеет такой вид:

62/11.
Целая часть: 5.
Новый числитель: 62−11*5=7.
Результат операции: 5[7/11].

Однако работы со смешанными числами недостаточно для сравнения дробей. Далее необходимо рассмотреть правила их приведения к единому знаменателю. Они необходимы, чтобы понять, какая из дробей больше с разными знаменателями.

Один делитель

Для сравнения дробей с разными знаменателями необходимо рассмотреть еще одно правило. Оно позволяет оптимизировать эту операцию при помощи приведения дробных выражений к единому знаменателю. Существует три случая:

Знаменатели перемножаются.
Один делится на другой.
Вычисление НОК.

Перемножать знаменатели необходимо, когда они не делятся друг на друга и не содержат общих множителей. При этом над числителями необходимо записать коэффициенты, эквивалентные величине знаменателей противоположной дроби. Например, нужно привести к единому знаменателю обыкновенные дроби Q/P и R/T. Результат выполнения операции будет выглядеть таким образом: [QT]/(PT) и [RP]/(PT).

Если Р делится на Т без остатка (нацело), то над числителем первой дроби коэффициент не пишется, а над второй он будет равен Р/Т. Однако в некоторых ситуациях знаменатели содержат общие множители. Следовательно, результирующей величиной будет НОК (наименьшее общее кратное).

Оно находится по такому алгоритму для Р и Т:

Записываются величины: Р и Т.
Число Р раскладывается на множители: Р=р1*t1*p2*t2*p3.
Число Т раскладывается на множители: Т=р1*t1*t4*t5*p3.
Берутся общие элементы и умножаются на недостающие: НОК (Р;Т)=(р1*t1*р3)*p2*t2*t4*t5.

После нахождения НОК записывается результирующий знаменатель, а над каждым числителем пишется коэффициент, равный частному НОК и величине исходного знаменателя. Далее необходимо перейти к сравнению двух обыкновенных дробей.

Алгоритм сравнения

Операция сравнения двух обыкновенных дробных величин осуществляется при помощи специального математического символа «>». Его «острие» направлено в сторону меньшего элемента, а расширение — к большему. Для демонстрации методик необходимо записать две произвольные дробные величины Q/P и R/T. В математике встречаются всего три случая:

Знаменатели эквивалентны, а числители разные, т. е. Р=Т и Q ≠ R («≠» — не равен).
Только равенство числителей: Q=T.
Разные знаменатели и числители, т. е. Р ≠ Т и Q ≠ R.

Чтобы сравнивать дробные выражения, необходимо проанализировать их числители и знаменатели. Затем необходимо выбрать один из трех случаев, воспользовавшись конкретным алгоритмом. Специалисты рекомендуют записать 3 варианта на лист плотной бумаги в специальную таблицу, указав напротив каждого случая методику решения.

Эквивалентность знаменателей

При равенстве знаменателей одному значению выполнить операцию сравнения довольно просто. Для этого не нужен специальный алгоритм, состоящий из набора правил и действий. В этом случае существует только одно утверждение. Многие ученики не знают, какая дробь больше при одинаковых знаменателях. При этом они делают много ошибок и получают на контрольных плохие оценки.

Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться следующим правилом: при сравнении двух дробных тождеств с одинаковыми знаменателями больше та величина, что имеет больший числитель. В этом можно убедиться, решив следующий пример: 7/8 и 4/8. Решение или доказательство утверждения выглядит таким образом:

Записать два выражения: 7/8 и 4/8.
Перевести их в десятичные дроби: 7/8=0,875 и 0,5.
Сравнить числа, полученные на втором шаге: 0,875>0,5.

В третьем пункте утверждение доказывается. Следует отметить, что при сравнении смешанных чисел необходимо сравнивать сначала их целые части. Если одна из них больше, то значит, символ «>» ставится «острием» к меньшему значению.

Равенство только числителей

В случае равенства числителей одному значению и разных знаменателей существует также только одно простое правило. Оно формулируется следующим образом: при эквивалентности числителей больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Чтобы доказать утверждение, необходимо разобрать такой пример: сравнить две величины 4/5 и 4/8. Для его решения требуется перевести дробные числа в десятичные дроби, т. е. 4/5=0,8 и 4/8=0,5. Следовательно, утверждение доказано, поскольку 0,8>0,5.

При сравнении смешанных обыкновенных дробных тождеств необходимо обратить внимание на целые части. Если они равны между собой, то следует воспользоваться правилом эквивалентных числителей. В противном случае сопоставить их целые компоненты, поставив знак больше в сторону большего элемента.

Разные компоненты

При сравнении дробных величин с разными числителями и знаменателями нужно применить специальный алгоритм. Он имеет следующий вид:

Записать обыкновенные дроби.
При необходимости преобразовать их в неправильные дробные выражения.
Привести к одному знаменателю.
Сравнить.

Далее необходимо реализовать алгоритм на практике при сравнении двух чисел 4[3/7] и 4[7/11]. Решение выглядит следующим образом:

Записать значения: 4[3/7] и 4[7/11].
Выполнить операцию преобразования в неправильные дроби: 4[3/7]=31/7 и 4[7/11]=51/11.
Привести к единому знаменателю: (31*11)/77=341/77 и (51*7)/77=357/77.
Произвести операцию сравнения: 341/77 < 357/77.

Если целые части не равны между собой, то использовать методику нет необходимости, поскольку та смешанная дробь больше, у которой целая часть больше.

Таким образом, сравнение обыкновенных дробей осуществляется по определенным методикам, которые зависят от конкретных значений числителей и знаменателей.

Как упростить сложные дроби?

Дроби определяются как числовое число, представляющее часть целого. Дробь — это часть или часть любого количества, взятого из целого, которое может быть любым числом, заданным значением или элементом.

Каждая дробь имеет числитель и знаменатель, разделенные горизонтальной чертой, известной как дробная черта.

В знаменателе указано количество частей, на которые было разделено целое. Он помещается под чертой дроби в нижней части дроби.
Числитель указывает, сколько дробных частей изображено или выбрано. Он размещается над дробной чертой в верхней части дроби.
Примеры: 2/3, 5/4, 9/8 и т. д.

Сложная дробь

Сложная дробь — это дробь, в которой знаменатель и числитель или оба включают дроби. Сложное рациональное выражение представляет собой сложную дробь с переменной.

Например:

4/(1/3) — сложная дробь, в которой 4 — числитель, а 1/3 — знаменатель.
(2/7)/8 также является сложной дробью, в которой числитель и знаменатель равны 2/7 и 8 соответственно.
(5/4)/(2/10) — еще одна сложная дробь, имеющая числитель 5/4 и знаменатель 2/10.

Как упростить сложные дроби?

Решение: Чтобы упростить сложные дроби, у нас есть два метода:

Метод 1

Шаг 1: Создайте одну дробь из знаменателя и числителя.
Шаг 2: Примените правило деления, умножив верхнюю часть дроби на величину, обратную нижней.
Шаг 3: Упростите дробь до простейшего вида.

Пример: Упростить сложную дробь (5/2)/(2/4). (Метод 1)

Решение:

Дано: (5/2)/(2/4)
Теперь выполните описанные выше шаги:
Шаг 1. Создайте одну дробь из знаменателя и числитель.
Шаг 2: Применить правило деления, умножив верхнюю часть фракции на обратный нижний
= (5/2)/(2/4) {взаимный знаменатель 2/4 = 4/2}
Таким образом,
= 5/2 × 4/2
= 20/4
Шаг 3. Упростите дробь до простейшего вида.
= 20/4
= 5

Метод 2

Шаг 1: Начните с вычисления наименьшего общего кратного каждого знаменателя сложных дробей.
Шаг 2: Умножьте числитель и знаменатель комплексной дроби на этот L.C.M.
Шаг 3: Приведите результат к максимально простым условиям.

Пример: Упростить сложную дробь (5/2)/(2/4). (Метод 2)

Решение:

Дано: (5/2)/(2/4)
Шаг 1: Начните с вычисления наименьшего общего кратного каждого знаменателя сложной дроби.
Таким образом, мы имеем (5/2)/(2/4)
НОК знаменателя 2 и 4 равно 4
Шаг 2. Умножьте числитель и знаменатель комплексной дроби на этот МНК, т.е. 4
= {(5/ 2) × 4 } / {(2/4) × 4}
= (5×2)/(2)
= 10/2
Шаг 3: Сведите результат к простейшим возможным условиям.
= 10/2
9.
Решение:
Дано: {(1 + 1/x) / (1 -1/x) }
Шаг 1: Создайте одну дробь из знаменателя и числителя.
= {(1 + 1/x) / (1 -1/x) }
= [{(x+1)/x } / {(x-1)/x}]
Шаг 2: Примените правило деления, умножив верхнюю часть дроби на величину, обратную знаменателю 1)/x} равно {x /(x-1)} }
Следовательно ,
= [{(x+1)/x } × {x /(x-1)} ]
= {(x +1)x / {x(x-1) }
Шаг 3: Приведите результат к максимально простым условиям.
= {(x+1)x / {x(x-1) }
= (x+1)/(x-1)
Пример 2: Упростить сложную дробь (40/3)/(10/12).
Решение:
Дано: (40/3)/(10/12)
Теперь выполните описанные выше шаги:
Шаг 1: Создайте одну дробь из знаменателя и числителя.
Шаг 2. Примените правило деления, умножив верхнюю часть дроби на обратную величину нижней части.0003
Таким образом,
= 40/3 × 12/10
= 480/30
Шаг 3. Упростите дробь до простейшего вида.
= 480/30
= 16
Пример 3. Упростить {(4+2x)/x}/(2/x).
Решение:
Дана дробь: {(4+2x)/x}/ (2/x)
Применим правило деления, умножив верхнюю часть дроби на величину, обратную нижней
= {(4+2x)/x}/ (2/x)
= (4+2x)/x} × (x/2)
= (4+2x)/2
= {2(2+x)}/2
1= 2+x
5
3
3
3 Пример 4: Упростите сложную дробь (5)/(15/6).
Решение:
Дано: (5)/(15/6)
Теперь выполните описанные выше шаги:
Шаг 1: Создайте одну дробь из знаменателя и числителя.
Шаг 2: Примените правило деления, умножив верхнюю часть дроби на обратную девятку.0003
= (5/1)/(15/6) {взаимный знаменатель 15/6 = 6/15}
Следовательно,
= 5/1 × 6/15
= 30/15
Шаг 3 : Упростите дробь до простейших условий.
= 30/15
= 2
Часто задаваемые вопросы о дробях
Вопрос 1. Что такое дроби в математике?
Ответ:
Дроби — это числовые значения, являющиеся частью целого. Целое может быть объектом или группой объектов. Если число или вещь разделить на равные части, то каждая часть будет частью целого. Дробь обозначается как a/b, где a — числитель, а b — знаменатель.
Вопрос 2: Как решать дроби?
Ответ:
Чтобы сложить или вычесть дроби, мы должны проверить, совпадают ли знаменатели или разные. Для одних и тех же знаменателей мы можем напрямую складывать или вычитать числители, сохраняя общий знаменатель. Но если знаменатели разные, то нам нужно их упростить, найдя НОК.
Вопрос 3: Какие 3 типа дробей существуют в математике?
Ответ:
В математике есть 3 типа дробей: правильные дроби, неправильные дроби и смешанные дроби.
Вопрос 4: Приведите примеры дробей из жизни.
Ответ:
Если арбуз разделить на четыре равные части, то каждая часть будет дробью ¼.
Аналогично, если пиццу разделить на три равные части, то каждая часть представляет собой 1/3 часть пиццы.
Вопросы 5: Что такое дробь?
Ответ:
Дробь с числителем 1 называется единичной дробью. Примеры: ½, ⅓, ¼, ⅕, 1/7, 1/10 и т. д.

8.5 Сокращение сложных дробей — промежуточная алгебра
Сложные дроби могут содержать дроби либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих. Эти дроби обычно упрощаются путем умножения дробей в числителе и знаменателе на ЖК-дисплей. Этот процесс позволяет сократить сложную дробь до более простой за один шаг. 92-x}[/latex]
Теперь разложите на множители числитель и знаменатель, что даст:
[latex]\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} , \text{ что сокращается до } \dfrac{x+1}{x}[/latex]
Не имеет значения, насколько сложны эти дроби: просто найдите ЖК-дисплей, чтобы уменьшить сложную дробь до более простой.
Чем больше дробей в задаче, тем больше раз повторяется процесс.
Сократите следующую сложную дробь:
[латекс]\dfrac{\dfrac{x-3}{x+3}-\dfrac{x+3}{x-3}}{\dfrac{x-3}{ х+3}+\dfrac{х+3}{х-3}}[/латекс]
Для этой дроби ЖКД равен [латекс](х — 3)(х + 3)[/латекс]. Чтобы упростить приведенную выше сложную дробь, умножьте числитель и знаменатель на ЖКД. Это выглядит так:
[латекс]\dfrac{(x — 3)(x + 3)\dfrac{x-3}{x+3}-\dfrac{x+3}{x-3}(x — 3)(x + 3)}{(x — 3)(x + 3)\dfrac{x-3}{x+3}+\dfrac{x+3}{x-3}(x — 3)( x + 3)}[/latex]
Что сводится к:
[latex]\dfrac {(x — 3)(x-3)-(x+3)(x+3)}{(x-3 )(x-3)+(x+3)(x+3)}[/latex]
Теперь умножьте числитель и знаменатель и добавьте одинаковые члены: 92}{а+б}}[/латекс]
[латекс]\dfrac{\dfrac{xy}{y}+\dfrac{x+y}{xy}}{\dfrac{y}{xy}}[/latex]
[латекс] \ dfrac {\ dfrac {x-2} {x + 2} — \ dfrac {x + 2} {x-2}} {\ dfrac {x-2} {x + 2} + \ dfrac { х+2}{х-2}}[/латекс]
Ключ ответа 8.
No related posts.