Как решать тригонометрические неравенства: Как решать тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства и методы их решения – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Методы решений неравенств:

1. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
2. Графическое решение тригонометрических неравенств.
3. Решение неравенств методом интервалов.

При решении более сложных тригонометрических неравенств пользуются двумя основными приемами:

I. Данное неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к простейшим тригонометрическим неравенствам. При выполнении преобразований пользуются теми же приемами, что и при решении тригонометрических уравнений.

II. Применяется метод интервалов для определения числовых промежутков, в которых содержатся решения неравенства. Предварительно решается соответствующее тригонометрическое уравнение и устанавливаются интервалы знакопостоянства с учетом области определения неравенства.

Неравенство \(sinx>a\)

1. При \(|a|≥1\) неравенство \(sinx>a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \(a<−1\) решением неравенства \(sinx>a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(−1≤a<1\) решение неравенства \(sinx>a\) выражается в виде \(arcsin a + 2\pi n < x < \pi -arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(sinx≥a\)

1. При \(|a|>1\) неравенство \(sinx\ge a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \(a\le−1\) решением неравенства \(sinx\ge a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(-1<a<1\) решение неравенства \(sinx\ge a\) выражается в виде \(arcsin a + 2\pi n \le x \le \pi — arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=1  \): \(x = \frac{\pi}2 +2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(sinx<a\)

1. При \(a>1\) решением неравенства \(sinx<a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\). \)
2. При \(a≤−1\) у неравенства \(sinx<a\) решений нет: \(x\in \varnothing\).\)
3. При \(-1<a\leq1\) решение неравенства \(sinx<a\) лежит в интервале \(-\pi — arcsin a + 2\pi n < x < arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).\)≤1\)

Неравенство \(sinx≤a\)

1. При \(a≥1\) решением неравенства \(sinx≤a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
2. При \(a<−1\) неравенство \(sinx≤a\) решений не имеет: \(x \in \varnothing\).
3. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(sinx≤a\) находится в интервале \(-\pi — arcsin a + 2\pi n \le x \le arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=−1\): \(x = -\frac{\pi}2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(cosx>a\)

1. При \(a≥1\) неравенство \(cosx>a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \(a<−1\) решением неравенства \(cosx>a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(−1≤a<1\) решение неравенства \(cosx>a\) имеет вид \(-arccos a + 2\pi n < x < arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(cosx≥a\)

1. При \(a>1\) неравенство \(cosx≥a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \( a≤−1\) решением неравенства \(cosx≥a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(-1<a<1\) решение неравенства \(cosx≥a\) имеет вид \(-arccos a + 2\pi n \le x \le arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=1\): \(x = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(cosx<a\)\)

1. При \(a>1\) неравенство \(cosx<a\) справедливо при любом действительном значении x: \(x\in \mathbb R\).\)
2. При \(a≤−1\) неравенство \(cosx<a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).\)
3. При \(-1<a\leq1\) решение неравенства \(cosx<a\) записывается в виде \(arccos a + 2\pi n < x < 2\pi — arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\). \)≤1\)

Неравенство \(cosx≤a\)

1. При \(a≥1\) решением неравенства \(cosx≤a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
2. При \(a<−1\) неравенство \(cosx≤a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
3. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(cosx≤a\) записывается как \(arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi — arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=−1\): \(x = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(tgx>a\)

При любом действительном значении \(a\) решение строгого неравенства \(tgx>a\) имеет вид \(arctg a + \pi n < x < \frac{\pi}2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(tgx≥a\)

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(tgx≥a\) выражается в виде \(arctg a + \pi n \le x < \frac{\pi}2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(tgx<a\)\)

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(tgx<a\) записывается в виде \(-\frac{\pi}2 + \pi n < x < arctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\). \)

Неравенство \(tgx≤a\)

При любом \(a\) неравенство \(tgx≤a\) имеет следующее решение: \(-\frac{\pi}2 + \pi n < x \le arctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(ctgx>a\)

При любом \(a\) решение неравенства \(ctgx>a\) имеет вид \(\pi n < x < arcctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(ctgx≥a \)

Нестрогое неравенство \(ctgx≥a\) имеет аналогичное решение \(\pi n < x \le arcctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(ctgx<a\)\)

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(ctgx<a\) лежит в открытом интервале \(arcctg a + \pi n < x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).\)

Неравенство \(ctgx≤a\)

При любом \(a\) решение нестрогого неравенства \(ctgx≤a\) находится в полуоткрытом интервале \(arcctg a + \pi n \le x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Пример. Решите неравенство: \(cosx>\frac12\).

Решение: Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть \(y=cosx \ и \ y=\frac12\). Выделим промежутки, на которых график функции косинус \(y=cosx\) расположен выше графика прямой \(y=\frac12\).

Найдем абсциссы точек \(x_1\ и \ x_2\) – точек пересечения графиков функций \(y=cosx\ и\ y=\frac12\), которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство: \(x_1=-arccos\frac12=-\frac{\pi}3; x_2=arccos\frac12=\frac{\pi}3\).

Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом \(2\pi\), ответом будут значения x из промежутков \((-\frac{\pi}3+2\pi k;\frac{\pi}3+2\pi k), \ k\in Z\).

Второй способ.

\(x_1=-arccos\frac12=-\frac{\pi}3; x_2=arccos\frac12=\frac{\pi}3\).

Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы \((-\frac{\pi}3+2\pi k;\frac{\pi}3+2\pi k), \ k\in Z\).

10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1.

Главная » 10 класс. Алгебра. » 10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1

На этом и последующих занятиях мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим три тригонометрических неравенства вида sint . Вот они:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Решим первое неравенство

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса.  Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

. Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1 клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместо t подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

Смотрите видео: 10.2.1. Решение тригонометрических неравенств вида: sinx

И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤а≤1) справедлива формула:

— π — arcsin a + 2πn

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Вывод: УЧИТЕ ФОРМУЛЫ, ДРУЗЬЯ!

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА – ТРИГОНОМЕТРИЯ

Мы можем решить тригонометрические неравенства, глядя на графики основных тригонометрических функций на единичной окружности. Используя следующие шаги, мы можем найти решение любого простого тригонометрического неравенства:

1. Найдите область, которая удовлетворяет данному неравенству на единичной окружности.
2. Записать границы выделенной области. Мы выделяем границы, двигаясь против часовой стрелки. Помните, что меньшая граница (например, отрицательная граница) всегда должна быть первой границей.
3. К sin x и cos x добавьте 2kπ, а к tan x и cot x добавьте kπ.

Рассмотрим неравенство sin x > a . Если a > 1 , решения нет (поскольку -1 ≤ sin x ≤ 1 ). Если
a < -1 , ответом будут все действительные числа, то есть (-∞, ∞). Если -1 ≤ a ≤ 1 , ответ будет
(arcsin a + 2kπ) < x < (π – arcsin a + 2kπ), k ∈ Z. Мы можем записать это как:
x ∈ (arcsin a + 2kπ, π – arcsin a + 2kπ), k ∈ Z.
Теперь рассмотрим неравенство sin x < a.
Если a < -1 , решения нет.
Если a > 1 , ответом будут все действительные числа, то есть (-∞, ∞).
Если -1 ≤ a ≤ 1 , ответ будет
(-π – arcsin a + 2kπ) < x < (arcsin a + 2kπ), k ∈ Z.

Рассмотрим неравенство cos х > а.
Если a > 1 решения нет.
Если a < -1 , ответом будут все действительные числа, то есть (-∞, ∞).
Если -1 ≤ a ≤ 1 , решение будет следующим:
(-arccos a + 2kπ) < x < (arccos a + 2kπ), k ∈ Z.
Теперь рассмотрим неравенство cos x < a.
Если a > -1 решения нет.
Если a < 1 , ответом будут все действительные числа, то есть (-∞, ∞).
Если -1 ≤ a ≤ 1 ответ:
arccos a + 2kπ < x < 2π – arccos a + 2kπ, k ∈ Z.

Рассмотрим неравенство tan x > a.
Как видно из рисунка, решения неравенства симметричны относительно начала координат. Поэтому мы напишем только один ответ и добавим kπ вместо 2kπ , чтобы получить окончательное решение. Итак, решение:
arctan a + kπ < x < π/2 + kπ, k ∈ Z.
Теперь рассмотрим неравенство tan x < a.
Из рисунка можно получить решение:
-π/2 + kπ < x < (arctan a + kπ), k ∈ Z.

036

  Если неравенство дано с ≥ или ≤, ответ будет включать арктангенс а, но исключать ±π/2, потому что тангенс (±π/2) не определен.  

  Если неравенство задано с ≥ или ≤, ответ будет включать arccot ​​a, но исключать 0 и π, поскольку cot 0 и cot π не определены.