Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 10 г.Сочи Авторский элективный курс 10 класс разработан учителем МОУ СОШ № 10 г.Сочи Шунарзиди В.Д. Элективный курс посвящен изучению методов решения уравнений и неравенств с модулем и своим содержанием привлекает внимание учащихся 10 классов, которым интересна математика. Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач. Содержание курса не дублирует базовый курс, оно дополнено элементами, которые могут быть использованы для подготовки выпускников к успешной сдаче выпускников ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы страны. Данный курс предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. Программа курса включает углубление отдельных базовых общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки, не нарушая целостности базовой программы. Рецензенты:
Задачи курса
В результате изучения данного курса учащиеся
должны уметь:
Содержание курса. выпускниками. В данном курсе будет рассмотрен и изучен следующий теоретический материал: 1. Неравенства. Решение линейных, квадратных ,рациональных неравенств и их систем. Метод интервалов. 2.Модуль числа. Решение уравнений с модулем. Определение модуля и его основные теоремы. Геометрическая интерпретация модуля числа. Операции над абсолютными величинами. упрощение выражений, содержащих переменную под знаком абсолютной величины. Решение простейших уравнений вида ,и решение уравнений, содержащих не менее двух выражений под знаком модуля. Основные методы решения уравнений с модулем: раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе , возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, метод последовательного раскрытия модуля при решении уравнений , содержащих « модуль в модуле». 3.Решение неравенств с модулем. Решение неравенств вида ,. Решение неравенств, содержащих не менее двух выражений под знаком модуля. Метод интервалов. 4.Функция. Графики функций, содержащих модуль. Свойства и графики элементарных функций. Преобразования графиков функций. Функция и ее график. Функция и ее график .Графический способ решения уравнений и неравенств с модулем. 5.Решение задач ЕГЭ. Учебно – тематический план
Календарно- тематический план занятий
Литература для учителя.
2.П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения. Москва. Ставрополь. 2005г. 3.А.Г. Цыпкин , А.И.Пинский. Справочник по методам решения задач по математике.Москва «Наука».Главная редакция физико-математической литературы, 1989г. 4.Еженедельная учебно-методическая газета «Математика».Издательский дом «Первое сентября». 2003-2006 г. 5.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. Москва. «Просвещение».1991г. 6.М.А. Галицкий,М.М. Мошкович., С.И. Шварцдурд. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. 7.А.В. Столин. Комплексные упражнения по математике с решениями 7-11 классы. Харьков. ИМП «Рубикон»,1995г. 8.Обощающее повторение курса алгебры и начала анализа, Части 1-3. под редакцией Е.А. Семенко.Краснодар.2006-2007. 9.Семенко Е.А. Обобщающее повторение в курсе алгебры основной школы. Краснодар, 2002 г. Литература для учащихся. 2.АверьяновД.И., Алтынов П.И., Баврин Н.Н.. Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы. Москва: Дрофа, 1999г. 3.Учебно-тренировочные тесты ЕГЭ под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Ростов-на-Дону. Издательство «Легион» .2004-2007г. 4.Сборник тестовых заданий по алгебре к государственной (итоговой) аттестации в новой форме. Выпуск 15. Под редакцией Е.А. Семенко. Краснодар.2006 5. Тестовые контрольные задания по алгебре и началам анализа. Семенко Е.А., Фоменко М. 6.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы: М., 1989 г. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Элективный курс «Уравнения и неравенства» Курс является предметно-ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку. Изучение и усвоение способов… | Элективный курс для учащихся 7-9 классов. // Ид «Первое сентября» Биология. 2007.№15. С. 35-37. Горелова Р. И. Элективный курс «Молекулярные основы наследственности» Алексев С. В., Груздева Н. В., Гущина З. В. Экологический практикум. Элективный курс // Профильная школа. 2005. №1. С. 47-56 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Элективный курс по математике Неравенства. Методы доказательств Никифорова Н. С. г. Магнитогорск, моу «сош №5 уим» Работа с неравенствами предполагает не только умение производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели.  .. | Элективный курс по физике для учащихся 11 классов «Колебания. Волны. Кванты» Данный элективный курс решает следующие задачи | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Элективный курс «Многогранники» Данный элективный курс направлен на изучение обучающимися многогранников при помощи модульного оригами и рассчитан на 17 часов для… | Элективный курс «Естествознание» Данный элективный курс подводит учащихся к пониманию ограниченности человеческого познания, недостижимости абсолютной истины и тем… | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Рабочая программа по элективному курсу «Квадратные уравнения и неравенства» | Элективный курс «Занимательный русский язык» Данный элективный курс является дополнением к изучаемому курсу биологии, являясь расширяющим и углубляющим содержание основного биологического… | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Элективный курс «Эффективное общение» Данный элективный курс будет способствовать активизации школьной внеурочной деятельности через осознанное участие в ней учеников.  .. | Элективный курс «Медицинская география» Данный элективный курс рекомендуется для учащихся, планирующих в будущем выбрать профессию врача, продолжить обучение в медицинском… | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Данный курс расширяет и углубляет изучение тем базовых общеобразовательных программ по математике, дает возможность познакомиться учащимся с интересными, «нестандартными» методами, которые позволяют более эффективно решать широкий класс заданий, содержащих модуль, и повышает вероятность того, что выпускник успешно и осознанно сделает свой выбор будущей специальности, связанной с математикой. В практике преподавания математике в средней общеобразовательной школе и других учебных заведениях понятие абсолютной величины числа встречается неоднократно , а задания на решение уравнений и неравенств , содержащих модуль или приводящиеся к модулям, являются одними из высокооцениваемых на ЕГЭ и вступительных экзаменах.
Решение уравнений с модулем.
Неравенства 
Решение неравенств с модулем 
Решение задач ЕГЭ 
Москва. «Просвещение».1990г.
В., Белай Е.Н., Ларкин Г.Н.Краснодар. 2006 г.Решение сложных уравнений с абсолютными значениями
Научитесь решать сложные уравнения с абсолютными значениями на двух тщательно отобранных примерах.
Пример #1 : 6|2x + 3| — 7 = 2|2x + 3| + 1
Постарайтесь, чтобы цифры были справа. Добавьте 7 к обеим частям уравнения.
6|2x + 3| — 7 + 7 = 2|2x + 3| + 1 + 7
6|2x + 3| = 2|2x + 3| + 8
Теперь попробуйте получить выражения 6|2x + 3| и 2|2x + 3| с левой стороны. Вычесть 2|2x+3| из обеих частей уравнений.
6|2x + 3| — 2|2x + 3| = 2|2x + 3| — 2|2x + 3| + 8
6|2x + 3| — 2|2x + 3| = 8
Наконец, вам нужно сделать важное наблюдение.
Обратите внимание, что 6|2x + 3| и -2|2x + 3| похожи на термины. Следовательно, вы можете использовать распределительное свойство для упрощения.
6|2x + 3| — 2|2x + 3| = (6 — 2)|2x + 3| = 4|2x + 3|
Получаем 4|2x + 3| = 8
Разделите обе части уравнения на 4
(4/4)|2x + 3| = 8/4
1|2x + 3| = 2
|2x + 3| = 2
Если 2x + 3 ≥0, 2x ≥ -3 и x ≥ -3/2
Если 2x + 3
слева ———— -3/2 ——- —- право
Вы можете выбрать число справа от -3/2 или слева от -3/2.
Если вы выберете любое число справа от -3/2, 2x + 3 будет положительным. Например, если вы выберете -1/2, 2(-1/2) + 3 = 2(-0,5) + 3 = -1 + 3 = 2.
Следовательно, |2x + 3| = 2x + 3
Вам нужно решить 2x + 3 = 2
2x + 3 = 2
2x + 3 — 3 = 2 — 3
2x = -1
x = -1/2
Если вы выберете любое число слева от -3/2, 2x + 3 будет отрицательным. Например, если вы выберете -2, 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1.
Следовательно, |2x + 3| = -(2x + 3)
Вам нужно решить -(2x + 3) = 2
-(2x + 3) = 2
2x + 3 = -2
2x + 3 — 3 = — 2 — 3
2x = -5
x = -5/2
Решение = {-5/2, -1/2}
Решите сложные уравнения абсолютного значения: сложный случай!
Пример #2 : |2x + 6| + — 3 + |3x — 4| = 9
|2x + 6| + — 3 + 3 + |3x — 4| = 9 + 3
|2x + 6| + |3x — 4| = 12
Эта проблема сложна, потому что вам нужно рассмотреть несколько случаев.
Если 2x + 6 ≥ 0, 2x ≥ -6 и x ≥ -3
Если 2x + 6
Если 3x — 4 ≥0, 3x ≥ 4 и x ≥ 4/3
Если 3x — 4
Число который мы выбираем, может быть слева от -3, между -3 и 4/3 или справа от 4/3.
Слева —- -3 —- между —- 4/3 —- справа
Слева от -3 как 2x + 6, так и 3x — 4 будут отрицательными. Например, если x = -4
2x + 6 = 2 раза -4 + 6 = -8 + 6 = -2
3x — 4 = 3 раза -4 — 4 = -12 — 4 = -16
Следовательно, |2x + 6| = -(2x + 6) и |3x — 4| = -(3x — 4)
Нужно решить -(2x + 6) + -(3x — 4) = 12
Умножить все на -1
-1 раз -(2x + 6) + -1 раз -(3х — 4) = -1 умножить на 12
2x + 6 + 3x — 4 = -12
2x + 3x + 6 — 4 = -12
5x + 2 = -12
5x + 2 — 2 = -12 — 2
x = -14/5 = -2,8
Этот ответ не имеет смысла, так как мы выбрали наше число слева от -3. Однако -2,8 находится справа от -3. Так что -2,8 не решит уравнение.
Между — 3 и 4/3, 2x + 6 является положительным, а 3x — 4 отрицательным. Например, если x = -1
2x + 6 = 2 раза -1 + 6 = -2 + 6 = 4
3x — 4 = 3 раза -1 — 4 = -3 — 4 = -7
Следовательно, |2x + 6| = (2x + 6) и |3x — 4| = -(3x — 4)
Нам нужно решить (2x + 6) + -(3x — 4) = 12
2x + 6 + -3x + 4 = 12
2x + -3x + 6 + 4 = 12
-x + 10 = 12
-x + 10 — 10 = 12 — 10
-x = 2
x = -2
-2 находится между -3 и 4/3. Проверьте ответ.
|2x + 6| + |3x — 4| = |2 × -2 + 6| + |3 × -2 — 4| = |-4 + 6| + |-6 — 4| = |2| + |-10| = 12
Справа от 4/3 и 2x + 6, и 3x — 4 будут положительными. Например, если x = 3
2x + 6 = 2 умножить на 3 + 6 = 6 + 6 = 12
3x — 4 = 3 умножить на 3 — 4 = 9 — 4 = 5
Следовательно, |2x + 6| = 2x + 6 и |3x — 4| = 3x — 4
Нужно решить (2x + 6) + (3x — 4) = 12
2x + 6 + 3x — 4 = 12
2x + 3x + 6 — 4 = 12
5x + 2 = 12
5x + 2 — 2 = 12 — 2
5x = 10
x = 10/5 = 2
2 справа от 4/3.
Проверьте ответ.
|2x + 6| + |3x — 4| = |2 × 2 + 6| + |3 × 2 — 4| = |4 + 6| + |6 — 4| = |10| + |2| = 12
Решение = {-2, 2}
Квадратичная формула: простые шаги
26, 23 января 11:44
Узнайте о квадратной формуле, дискриминанте, важных определениях, связанных с формулой, и приложениях.
Подробнее
Формула площади — список важных формул
25 января 23 05:54
Какова формула площади двумерной фигуры? Вот список тех, которые вы должны знать!
Читать далее
Уравнения с абсолютными значениями — Magoosh GRE
Теперь мы начнем с раздела Advanced Algebra, своего рода набора дополнительных тем по алгебре. Первое, о чем мы поговорим, это уравнения абсолютного значения. Вспомните, что мы говорили об абсолютном значении в уроке Положительные и отрицательные числа-II в модуле Арифметика и дроби.
Если вы еще не видели этот модуль, значит, вы не видели этот урок, я бы посоветовал сначала просмотреть его и получить хорошее представление об абсолютном значении, прежде чем мы пройдемся по всей информации в этом уроке.
Итак, начнем с простого наблюдения, например. Абсолютное значение положительного 5, конечно, положительное 5, абсолютное значение отрицательного 5 и, конечно, положительное 5. Таким образом, либо абсолютное значение этих уравнений 5 равно x, либо абсолютное значение отрицательного 5 равно x, будет иметь единственное решение x равное 5. Это не очень интересные уравнения, не очень интересно, когда внутри модуля нет переменных.
Становится интереснее, когда мы помещаем переменные внутрь абсолютного значения. Таким образом, абсолютное значение x равно 5. Подумайте об этом. Это имеет два решения. Положительное 5 или отрицательное 5, x может быть одним из этих значений. И это похоже на то, как квадратное уравнение имеет два решения.
Итак, это еще одна категория алгебраических уравнений, которые могут иметь два решения.
Предположим, что выражение, отличное от x, находится внутри абсолютного значения. Так, например, абсолютное значение количества 2x плюс 3. И все это будет равно 5. Ну, конечно, если все это выражение имеет абсолютное значение 5, тогда для него есть только две возможности.
Либо выражение внутри равно 5, либо равно отрицательному 5. Так что это очень похожий подход. Мы собираемся установить это выражение равным 5 и установить его равным минус 5, и, конечно же, оно связано словом или. И помните, точно так же и с квадратиками, это слово или является математическим объектом, это не гарнир, это необходимая часть задачи.
Итак, мы решаем уравнения по отдельности и получаем, что x равно 1 или x равно минус 4. И это две возможности. Обобщая, мы могли бы сказать, что если E — любое алгебраическое выражение, а k — любое положительное число, то абсолютное значение уравнения E равно k имеет решения, E равно положительному k или E равно отрицательному k.
Я должен поспешить добавить сюда это обозначение.
Я использую E для выражения, которое я только что составил на этой странице. Это не общее, общее обозначение, которое вы увидите где-нибудь еще. Я просто использую его для сокращения здесь. Идея состоит в том, что мы можем поместить любое выражение в абсолютные значения, и тогда чему бы оно ни равнялось, чему бы ни равнялось это абсолютное значение, само выражение будет равно положительному или отрицательному тому же самому значению.
Обратите внимание, если абсолютное значение не находится само по себе с одной стороны, вам придется изолировать его, прежде чем мы сможем разбить его на два уравнения. Вот проблема с практикой. Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом. Поэтому, конечно, с этим мы должны сначала изолировать абсолютное значение.
Вычитаем 1. Как только мы вычитаем 1, все готово. Разобью на два уравнения. Решите каждое уравнение отдельно, разделите на 3. И мы получим x равным положительным двум третям или x равным отрицательным 2.
И это два решения.
Что если абсолютное значение выражения равно не одному числу, а другому выражению? Итак, теперь мы на самом деле входим на территорию, о которой тесты фактически задали бы нам вопрос. Мы по-прежнему будем следовать тому же плану, поэтому абсолютное значение чего-либо равно чему-то еще.
Это означает, что элемент внутри абсолютного значения A равен либо положительному B, либо отрицательному B. Таким образом, он равен либо выражению на другой стороне, либо выражению на другой стороне со знаком минус перед ним. Иногда это будет давать нам посторонние решения. Решения, которые правильно вытекают из математики, но которые не работают в исходном уравнении.
Мы должны проверить каждое решение. Так что это странная вещь в уравнениях с абсолютными значениями. И мы увидим это снова гораздо позже, когда будем говорить о квадратных корнях, а также о том, что мы получаем посторонние решения. Это означает, что мы должны проверять нашу работу, проверять ответы, которые мы находим. Итак, вот практический вопрос.
Приостановите видео, поработайте над этим, а потом мы поговорим об этом. Хорошо, для этого абсолютное значение уже выделено, поэтому мы можем немедленно разбить его на уравнение или. Таким образом, мы говорим, что вещь внутри абсолютного значения 1 плюс 2x либо равна этому выражению 4 минус x, либо равна выражению со знаком минус перед ним.
И, конечно же, поставив знак минус перед вычитанием, вы просто измените порядок, вычитание будет равно х минус 4. Итак, первое, что мы собираемся сделать, это получить все иксы на одной стороне в каждом уравнении. Затем вычтите 1 и изолируйте x, а затем разделите. И мы получаем решения x равно 1 и x равно минус 5.
Здесь мы еще не закончили. Мы сделали правильный расчет, так что эти два решения являются правильным результатом расчета. Но мы не знаем, действительно ли они удовлетворяют исходному уравнению. Так что мы должны проверить. Итак, если x равно 1, я подставляю его к левой стороне, я получаю 3, я подставляю его к правой стороне, я получаю 3.
Так что работает. Для отрицательного значения 5 я подключаю его к левой стороне, получаю 9, подключаю к правому, получаю 9. Так что это тоже работает. Так что оба ответа работают здесь. Итак, у нас есть два действительных решения уравнения.
Вот практический вопрос. Поставьте видео на паузу, поработайте над этим, а потом поговорим об этом. Хорошо, опять же, абсолютное значение изолировано. Итак, мы можем перейти непосредственно к уравнению или. Итак, то, что внутри x плюс 4, будет либо равно выражению, либо равно выражению, умноженному на отрицательный знак.
Итак, первое, что мы собираемся сделать, это поставить все крестики на одной стороне. Затем мы вычтем, чтобы изолировать х, и получим либо х равно 1, либо х равно минус 1,5, либо минус три половины. Итак, теперь мы подключим их и проверим. Вот наши два решения.
Для положительного 1, когда мы подключаем это к левой стороне, мы получаем 5. Когда мы подключаем к правой стороне, мы получаем 5. Это проверяет, это прекрасно.
Отрицательное значение 1,5, когда мы подставляем это к левой стороне, мы получаем 2,5.
Когда мы подключим его к правой стороне, мы получим минус 2,5. Так что это не работает. Когда мы подключаемся, это дает разные значения справа и слева. Так что это не работает, и это, это уравнение имеет только одно решение, x равно 1. Вот еще один практический вопрос.
Поставьте видео на паузу, а потом поговорим об этом. Итак, мы можем перейти непосредственно к уравнению или, к тому, что внутри, 2x плюс 5 либо равно x плюс 1, либо равно x плюс 1, умноженное на отрицательный знак. Мы сгруппируем x на одной стороне, мы вычтем 5. И мы должны разделить на 3 во втором уравнении.
Итак, мы получаем, x равно минус 4 или x равно минус 2. Итак, это наши корни. Итак, мы должны проверить эти корни сейчас. Проверьте первое, x равно минус 4. Когда мы подставим x плюс 1, мы получим минус 3. Это отрицательное число.
Таким образом, нам даже не нужно подключаться к абсолютному значению, потому что мы знаем, что абсолютное значение не может иметь отрицательный вывод.