Уравнения / Числовые и буквенные выражения / Справочник по математике для начальной школы
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Числовые и буквенные выражения
- Уравнения
Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное.
Если мы заменим любой компонент выражения неизвестным, мы получим уравнение.
Например, из выражения 6 + 7 = 13 можно сделать уравнение:
6 + х = 13
Неизвестное число обозначается маленькой латинской буквой:
6 + b = 13
6 + c = 13
6 + d = 13
Схемы уравнения
Мы видим, что из неизвестного числа х и 5 получается число 9. Целое – это 9.
составим уравнение:
х + 5 = 9
или
5 + х = 9
или
9 — х = 5
Решение уравнений
Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного числа, при котором это равенство станет верным.
В данном уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное первое слагаемое, нужно из суммы вычесть известное второе слагаемое.
Решение уравнения:
х + 5 = 9
х = 9 — 5
х = 4
Проверка:
4 + 5 = 9
9 = 9
5 + х = 9
В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Чтобы найти неизвестное второе слагаемое, нужно из суммы вычесть известное первое слагаемое.
Решение уравнения:
5 + х = 9
х = 9 — 5
х = 4
Проверка:
4 + 5 = 9
9 = 9
9 — х = 5
В данном уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемое вычесть разность.
Решение уравнения:
9 — х = 5
х = 9 — 5
х = 4
Проверка:
9 — 4 = 5
5 = 5
х — 4 = 5
В данном уравнении неизвестно уменьшаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно из к разности прибавить вычитаемое.
Решение уравнения:
х — 4 = 5
х = 5 + 4
х = 9
Проверка:
9 — 4 = 5
5 = 5
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Числовые и буквенные выражения
Правило встречается в следующих упражнениях:
1 класс
Страница 24. Урок 13, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 32. Урок 17, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 39. Урок 20, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 41. Урок 21, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 55. Урок 28, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 71.
Урок 36,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 72. Урок 37, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 81. Урок 41, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 86. Урок 44, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 95. Повторение, Петерсон, Учебник, часть 3
2 класс
Страница 28, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 76, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 29. Урок 15, Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 50. Урок 26, Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 81.
Урок 33,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 95. Урок 40, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 7. Урок 2, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 10. Урок 3, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 65. Урок 23, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 67. Урок 24, Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 34, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 83, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 27. Вариант 2.
Тест 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 102, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 11. Урок 3, Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 33. Урок 12, Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 46. Урок 18, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 85. Урок 37, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 8. Урок 3, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 12. Урок 5, Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 85, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 86, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 76.
Тест. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 47, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 51, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 61, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 63, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 65, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 114, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 31, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
6 класс
Задание 380, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 381, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 82, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 104, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 200, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Алгебра.
Учебник для 6-8 классов Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.  § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений.  § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ.  КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.§ 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Решение буквенных уравнений: обзор и примеры
Смотри, ты идешь! Теперь вы научились решать одношаговые уравнения, двухшаговые уравнения и многошаговые уравнения.
Теперь пришло время обсудить решение буквальных уравнений .
На этом уроке мы дадим определение буквальным уравнениям, рассмотрим примеры буквальных уравнений, а также научимся решать буквальные уравнения. Давайте буквально взволнованы, чтобы начать!
Что мы рассматриваем
Что такое буквальное уравнение?
Напомним из нашего предыдущего исследования, что уравнение — это математическое предложение, в котором используется знак равенства = , чтобы показать, что два выражения равны. В отличие от других уравнений, с которыми вы уже работали, буквенных уравнений — это уравнения, в основном состоящие из букв и переменных.
Многие буквальные уравнения, с которыми вы работали в своей жизни, были формулами. Хотя эти уравнения будут выглядеть иначе, чем наши обычные уравнения, они по-прежнему подчиняются тем же правилам решения.
Вернуться к оглавлению
Примеры буквенных уравнений
Хотя идея уравнений, состоящих в основном из букв, может показаться чуждой, вы много раз использовали буквальные уравнения в своей жизни. Вот несколько примеров буквенных уравнений, с которыми вы уже работали в своей жизни:
Площадь прямоугольника
A = b \cdot h
Длина окружности
5
С = \pi \cdot DФормула простых процентов
I = p \cdot r \cdot t
Каждая буква (или переменная) в буквальном уравнении имеет особое значение и изменяется от задачи к задаче.
Вернуться к оглавлению
Как решать буквенные уравнения
Решение буквенных уравнений следует тем же правилам, что и решение одношагового или двухэтапного уравнения.
Идея «решения» буквального уравнения, по сути, означает, что мы переставляем буквы (или переменные), чтобы изолировать новую переменную. Буквальное уравнение «решено», когда интересующая переменная находится одна на одной стороне уравнения.
Ознакомьтесь с лицензиями школы Альберта !
Подобно решению уравнений, мы будем использовать обратные операции, чтобы изолировать переменную саму по себе. Вот примеры обратных операций:
\text{Сложение} \leftrightarrow \text{Вычитание}
\text{Умножение} \leftrightarrow \text{Деление}
Вот несколько примеров решения буквенных уравнений:
Пример 1
Найдите h в следующем буквальном уравнении:
А = b \cdot h
Помните эту формулу? Как сказано выше, это площадь прямоугольника. Как отмечалось ранее, в буквенных уравнениях в основном используются буквы и переменные. Если бы это было простое уравнение, такое как 10 = 2x, мы бы просто разделили обе части на 2, чтобы получить мой окончательный ответ.
При «решении» буквенных уравнений мы следуем тем же правилам, что и простые уравнения. Следовательно, чтобы найти h в этом уравнении, нам нужно выделить его отдельно. Поэтому мы разделим обе части на b .
\dfrac{A}{b} = \dfrac{b \cdot h}{b}
Это изолирует h , что даст нам ответ:
h = \dfrac{A}{b}
Пример 2:
Хотя формулы являются распространенным примером буквенных уравнений, не все буквальные уравнения являются формулами. Мы также можем изменить и «решить» буквальное уравнение для любой переменной. Например:
Найдите m в следующем уравнении:
| x = m + n | Исходное уравнение |
| x \textcolor{red}{- n} = m + n \textcolor{red}{- n} | Вычесть n с обеих сторон |
| x — n = m | m теперь изолировано |
| m = x — n |
Несмотря на то, что в уравнении не было чисел, мы «решили» буквальное уравнение для m .
Вернуться к оглавлению
Многошаговые буквенные уравнения
Пример 1
Не все буквальные уравнения решаются только за один шаг. Вот пример использования нескольких шагов для решения буквенных уравнений. 92}
Теперь у нас есть r, изолированный сам по себе, что дает нам новое буквальное уравнение:
r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}
Пример 2
Вот пример буквального уравнения, которое не является формулой, но которое мы можем решить для переменной.
Найдите x в следующем уравнении:
4(x + y) = P
Есть два способа решить эту проблему. Первый метод состоит в том, чтобы рассматривать его как уравнение и распределять 4 , а затем решать:
4x + 4y = Р
Затем мы можем вычесть 4y с каждой стороны:
4x + 4y \textcolor{red}{- 4y} = P \textcolor{red}{ — 4y}
Затем нам нужно разделить каждую сторону на 4 :
\dfrac{4x}{4} = \dfrac{P — 4y}{4}
Наконец, нам нужно упростить наше уравнение:
x = \dfrac{P}{4} — \dfrac{4y}{4}
х = \dfrac{P}{4} — у
Теперь мы, наконец, нашли x в буквальном уравнении.
Давайте посмотрим, как можно решить уравнение, не упрощая в конце.
В другом методе мы можем просто разделить на 4 в начале, чтобы избежать использования свойства распределения. Например:
\dfrac{4(x + y)}{4} = \dfrac{P}{4}
Тогда нам просто нужно вычесть y с каждой стороны:
x + y \textcolor{red}{- y} = \dfrac{P}{4} \textcolor{red}{ — y}
Таким образом, мы получаем:
x = \dfrac{P}{4}- y
Обратите внимание, что уравнение уже упрощено, и никаких других шагов не требуется.
Вернуться к оглавлению
Вот короткое видео, демонстрирующее, как решать буквенные уравнения:
Буквенные уравнения с дробями
Давайте поработаем над некоторыми примерами буквенных уравнений с дробями!
Ознакомьтесь с лицензиями школы Альберта !
Пример 1
Многие уравнения и формулы в той или иной степени содержат дроби.
Например, вот формула объема сферы:
Теперь, когда r изолировано, мы успешно нашли r .
Пример 2
Что произойдет, если мы просто захотим изменить уравнение для другой переменной?
Например, решите следующее уравнение для x :
y = \dfrac{x}{4} — \dfrac{1}{8}
Обратите внимание, что в уравнении две переменные, и наша конечная цель по-прежнему состоит в том, чтобы изолировать x . Помните, мы можем убрать все дроби за один ход, умножив все члены на 9.0005 Наименьший общий знаменатель .
В этом буквальном уравнении наименьший общий знаменатель равен 8 . Следовательно, мы умножим каждое слагаемое на 8.
8 \cdot y = 8 \cdot \dfrac{x}{4} — 8 \cdot \dfrac{1}{8}
Это даст нам уравнение, в котором больше нет дробей:
8y = 2x — 1
Затем продолжайте решать, как обычное уравнение:
| 8y = 2x — 1 | Исходное уравнение |
| 8y \textcolor{red}{+ 1} = 2x — 1 \textcolor{red}{+ 1} | Добавить по 1 с каждой стороны |
| 8y + 1 = 2x | Упростить | 2 \fracd {8y + 1}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{2x}{\textcolor{red}{2}} | Разделите каждую сторону на 2 |
| \dfrac{8y}{2} + \dfrac{1}{2} = x | Упрощение |
| 4y + \dfrac{1}{2} = x | Упрощение |
Теперь, когда мы изолировали x отдельно, мы имеем правильно «решил» буквальное уравнение.
Вернуться к оглавлению
Ключи для запоминания: Решение буквенных уравнений
- Буквенное уравнение — это уравнение, которое содержит все буквы (или переменные), или уравнение, которое имеет несколько переменных
- Формулы, такие как P = 2L \cdot 2W , являются распространенными примерами буквенных уравнений.
- Мы решаем буквенные уравнения, выделяя определенную переменную на одной стороне уравнения
- Помните, что вы делаете с одной стороны, вы должны сделать с другой!
- Чтобы решить буквенные уравнения с дробями, вы можете умножить каждый член на наименьший общий знаменатель, чтобы исключить дроби.
Вернуться к оглавлению
Вернуться к оглавлению
Заинтересованы в школьной лицензии?
Пригласите Альберта в свою школу и предоставьте всем учителям лучший в мире банк вопросов для:
➜ SAT® и ACT®
➜ AP®
➜ ELA, математика, естественные науки и социальные науки
➜ State Assessments
Варианты для учителей, школы, районы.
УЗНАТЬ О ВАРИАНТАХ
Буквенные уравнения и уравнения… Пошаговое решение математических задач
7.6 Буквенные уравнения
Некоторые уравнения, называемые буквальными уравнениями, включают более одного буквенного числа. Мы можем решить для одного из литералов, называемого переменной, в терминах других литералов, Таким образом, присваивая значения для этих литералов. мы получаем соответствующие значения для переменной.
Чтобы найти набор решений буквального уравнения, составьте эквивалентное уравнение со всеми членами, которые имеют переменную в качестве множителя на одной стороне уравнения, и теми членами, которые не имеют переменной в качестве множителя, на другой стороне. Факторируйте переменную из условий, которые имеют переменную в качестве фактора, а затем разделите обе части уравнения на коэффициент переменной.
Упростите ответ и проверьте, подставив полученное значение переменной в исходное уравнение.
ПРИМЕР Решите следующее уравнение относительно x: 2y-3x=8.
Решение 2y-3x=8
-3x = 8-2y
x=(8-2y)/-3 или x=(2y-8)/3
)/3}.
Чек оставлен в качестве упражнения.
ПРИМЕР Решите следующее уравнение относительно x:
a(x-3)=2(1-x)
Решение a(x-3)=2(1-x)
AX-3A = 2-2x
AX+2x = 3a+2
x (a+2) = 3a+2
Если A+2 ≠ 0, то есть A гать -2, мы можем разделить оба стороны уравнения на (a+2), чтобы получить
x=(3a+2)/(x+2)
Следовательно, набор решений равен
Примечание. Когда a=-2, мы имеем ложное утверждение ,
ПРИМЕР Решите следующее уравнение для x: 3ax+4 = 2x+6a.
Решение 3ax+4 = 2x+6a
=3ax-2x = 6a-4
=x(3x-2) = 6a-4
Если (3a-2) ≠ 0, то есть a ≠ 2/3, мы можем разделить обе части уравнения на (3a-2), чтобы получить
x=(3a-4)/(3a-2) = (2(3a-2))/(3a-2) = 2
Следовательно, набор решений равен
Примечание. Для любого значения a ≠ 2/3 значение x равно 2.
Когда a = 2/ 3 уравнение становится тождеством, то есть утверждением, истинным для всех значений x.
Давайте посмотрим, как наш пошаговый математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров. 92-2a-8)/(a-4)
=((a-4)(a+2))/(a-4)
=a+2
Для проверки подставьте a+2 вместо x в исходном уравнении.
Формулы — это правила, выраженные в символах или буквенных числах. Они широко используются во многих областях науки. Формулы можно рассматривать как специальные типы буквенных уравнений. Многие задачи требуют решения формулы для одной из задействованных букв.
ПРИМЕР
Решение
7.7 Уравнения с алгебраическими дробями
Если в уравнении участвуют дроби, его можно представить в более простой форме, умножив обе части уравнения на ЖКД всех дробей в уравнении.
Когда уравнение умножается на ЖК-дисплей (который является полиномом переменной).