Как решаются квадратные уравнения: Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Корни квадратного уравнения – примеры, формула нахождения

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 314.

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 314.

Решение квадратных уравнений весьма важно для решения практических задач по физике, так как многие формулы имеют старшую степень 2, в программировании и многих других смежных дисциплинах. Способов решить уравнение не так много, но чем больше уравнений вы решаете, тем быстрее и проще становится нахождение корней. Сегодня мы рассмотрим решение полных квадратных уравнений стандартной формы.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – это уравнение, старшая степень которого равняется 2. Такое уравнение всегда имеет два корня, иногда эти корни совпадают, а иногда их нет среди действительных чисел. В последнем случае, мы пишем, что действительных корней нет.

В квадратном уравнении стандартной формы, есть три коэффициента:

а-первый коэффициент
в-второй коэффициент
с-свободный член уравнения. 2*х+в*х+с=0$$ – где а,в,с – численные коэффициенты.
Коэффициент а может равняться 1, тогда старший член записывается без чисел. Коэффициент при неизвестном равный 1 никогда не пишется, просто имеется в виду.
Виды квадратного уравнения
Квадратные уравнения бывают полные, где все коэффициенты имеют числовые значения, и неполные, где второй коэффициент или свободный член равен нулю.
Если первый коэффициент равен 1, то уравнение называют приведенным и его можно решить двумя способами. Если а>1, способ решения только один.
Способы нахождения корней квадратного уравнения
Стандартный способ определения корней уравнения – через дискриминант. Этот способ работает с любым квадратным уравнением, вне зависимости от его вида и коэффициентов. Если перед нами приведенное квадратное уравнение, то можно воспользоваться теоремой Виета. Она требует некоторого опыта, но при определенном навыке ускоряет решение уравнения в несколько раз.
Использование теоремы Виета позволяет не отвлекаться на промежуточные вычисления в задачах и легкие примеры, продолжая решать дальше.
2+3х-10=0 $$– это уравнение приведенное, значит воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета.
$$x_1+x_2=-3$$
$$x_1*x_2=-10$$
Произведение чисел отрицательно, значит один из корней отрицателен. Причем отрицательный корень больше положительного на 3, так как результат сложения получился отрицательным. Начнем перебор и найдем корни квадратного уравнения для этого примера. Предположим, что один из корней равен 3, тогда:
$$3-6=-3$$
$$3*(-6)=-18$$ – не совпало.
Попробуем 2:
$$2-5=-3$$
$$2*(-5)=-10$$
Вот так, перебором и решается уравнение. Чем больше решенных примеров, тем быстрее подбор. Но неопытный ученик может решать этим способом очень долго. Поэтому на контрольных и экзаменах, если вы не уверены в себе, лучше использовать стандартный способ вычисления.

Дискриминант
Дискриминант это число, характеризующее уравнение. Корни квадратного уравнения равны:
$$x_1= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}, x_1= \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$,
При этом дискриминант равен:
$$D=b^2-4ac$$
Имейте в виду, дискриминант может быть равен 0 и быть отрицательным. Но в первом случае, корни совпадают, а во втором – действительных корней нет.
Что мы узнали?
Мы узнали, как решаются квадратные уравнения. Привели два способа решения и сказали, в каком случае можно, а в каком нельзя пользоваться теоремой Виета. Привели формулу нахождения дискриминанта и решение через это значение.
Тест по теме
Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
- Патимат Кадиева
  4/5
- Галина Садыкова
  5/5
- Анастасия Петрова
  4/5
Оценка статьи
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 314.
А какая ваша оценка?
Математика по-американски: chuka_lis — LiveJournal
?
Category:
- Дети
- getCancelledCats().length > 0″ ng-click=»catSuggester.reacceptAll()»> Cancel
Молодежь в школе добралась до квадратных уравнений.
И начались, на мой взгляд, очередные образовтельные закидоны. Вообще-то они постоянно и регулярно, но иногда особенно бросаются в глаза.
Мы конечно с домашкой выкрутились, но не могу не сказать свое «фе».
Итак, детям ничего не рассказывали про то, что такое квадратные уравнения, к ним плавно перешли через упрощение и порядок расположения членов в примерах на сложение-вычитание в многочленах с разными степенями и коэффециентами.
Ну ладно, чем не путь. Дальше этот многочлен с неизвестными в квадрате (не больше) уже пишется как уравнение, произвольной формы, и его надо преообразовать и решать (полагается, что ребенок автоматически сам приведет его к соотествующему виду,).
Мне показался любопытный начальный подход к решению квадратного уравнения, потому что нас учили- не так.
В нашей школе предлагаемый первым- способ, где-то, наверное, упрощенный, и тут называемый «факторынм анализом». А у нас он назывался использованием теоремы Виетта для приведенных квадратных уравнений.
Разумеется, тут детям не поясняли ни про приведенные уравнения, ни про неполные. А просто так, берем- да и -решаем.
«Факторный анализ» выглядит, например, так:
x²-11х+24=0
(х+8)(х+3)=0
тогда х=-8 (первый корень)
и х=-3.(второй корень)
Как их найти? Методом подбора. Или «угадать». Решишь -дцать уравнений, и эти корни сами начнут бросаться в глаза.
Такая, во всяком случае, идея метода. Быстро и четко.
Разумеется, имеется ввиду то, что сумма корней квадратного уравнения будет равна коэффециенту при втором многочлене (с противоположным знаком), а их произведение- свободному члену уравнения.
То есть, они используют эту теорему, без названия и упоминания ее.
Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x₁ и x₂. В этом случае верны следующие утверждения:
1. x₁ + x₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
2. x₁ · x₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.
подставляя разные x_{1 и}x₂ в скобочки, чтоб они «совпали» с этими условиями. Ну, при сноровке-тренировке, можно научиться сравнительно быстро «вычленять» корни таким «факторным анализом». Но я б предпочла, чтобы перед тем как давать такой «практический» метод, дали б чуть больше «базы». Потому что, такой способ годится, наверное, только для специально написанные под такой способ уравнения, а не вообще.
И, не плохо было б, если б детям пояснили, что обычные и неполные уравнения можно делать «приведенными» для решения таким способом, и как это делать (хоть это и не сложно- но- не лишне, если идет от учителя,, а не чтобы дети «догадывались» сами). .
Ну ладно, чуть поразбирались, всего штук 30 уравнений, но метод ведь «упрощенный». Потому времени ушло, не так чтоб уж сильно много.
Но последняя задача в домашнем задании, поставила меня слегка в тупик. Молодежь затруднилась ее решить, а я затруднилась понять, чем руководствовались составители такого задания детям, которые только начинают учиться решать квадратные уравнения.
Итак,
Задача.
По воде идет судно, на нем установлен глубиномер. Высота (длина) каната от носа судна до до грузила глубиномера, расположенного на носу корабля, при его свободном спуске в воду, определяется по формуле
Р= -16x² + 104x +56
где р- длина(высота) каната от установки на судне и до воды, х- время спуска (в секундах),
Найдите время, за которое грузило, спушенное с носа корабля,, достигнет воды.
Я почему затруднилсь понять идею составителей- ведь, дети решали те уравнения, которые худо-бедно можно было сделать «приведенными.
Ладно, предположим, что Р у нас 0, и это уравнение можно так решать (что это имелось ввиду)
Если его сделать «приведенным»- оно нельзя сказать чтоб решалось с помощью теореми Виетта (Фаторный анализ). Неудобные цифры выходят. Замучаешься «подюирать»..
Далее, если предположить, что ребенок может пойти решать ее, обнулив Р, чтобы сделать хоть что-то с этим квадратным уравнением (то, чему его учили в школе, и о чем было домашнее задание) -задача теряет смысл, т к при 0 высоте, носа судна над водой, не нужно никакого времени, чтоб грузило достигло воды. Нонсенс. х найти можно, но оно просто по условию задачи-0, ибо уже на уровне воды (вместе с носом судна).
Далее. В уравнении знак равно, но с размерностями как-то не очень- с одной стороны высота (длина) измеряемая непонятно в чем, а с другой- найти время, секунды. Ну, может там и скорость где то внутри, и ускорение, в этом уравнении, но они не очевидны и не понятны. Тем более детям, и без пояснений. Чему учим-то..

Потом, квадратные уравнения, как пока еще показали детям в школе (и дома) -имеют 2 корня (про то, что корней можети не быть, или что может быть 1, пока еще не учили, только ж начали).
Т.е, исходя из условий задачи ( где время спуска зависит от высоты, именно по такой формуле)-у нас может быть 2 времени, за которое грузик коснется воды (при всех прочих равных, то ж самое судно, та же самая высота от его носа до воды). И, еще может выйти так, что один из корней уравнения может оказаться отрицательным (время в секундах, напомню).
До такой степени, «все относительно» с этим временем спуска.
Можно ли предположить, что составители задачи просто забыли задать значение переменной Р? Не знаю. И учитель забыл глянуть, тоже. И так сойдет.
Или все предположили, что ребенок может самостоятельно «поиграться» с высотой суден, вот, хочу- у меня будет судно с высотой носа на 5 метров от воды, хочу- на 15 (лайнер какой-нить), или там, на 3.5. Или 0.4- какая-то лодочка.
Или решили- что раз уж дети начали решать квадратные уравнения, то что им стоит, решить уравнение с двумя переменными?
Ну, молодежь ответила как смогла, а мне, требуется помощь клуба, чтобы понять, чем руководствались составители задачи и чего они хотели этой задачей от детей
Хочу .сказать спасибо всем откликнувшимся и высказавшим мнение.Хоть смысл задания, все равно, еще туманен- не смотря на дружные подсказки.
Но, уже начинает проясняться.
Много светлых умов занлянуло и поделились мнениями.
Посмотрим, будут ли дети в школе возвращаться к этой задаче из дмоашке, чтобы сравнить подходы.
Ккстати, тут учитель детей не спрашивает про домашку. Наш учитель математики тратит на проверку домашки пару минут- проходит между рядами парт и смотрит, страницы с выполненной работой, если есть что-то написано- значит домашка сделана.
Успел ли прочесть, что там написано -не, 100%. Очень быстро мимо (ему нужно «проверить» наличие работ у 30 учеников за это время), и очень мелко написано (тк пространство на ответ выделено миниатюрное, а написать надо там много).
Иногда, может называть ответы- и дети сами сверяют со своими.
Вот и вся проверка домашних заданий.
А на счет разобрать- спросить- пояснить?
Этого обычно не происходит. Но, шансы -есть.
Tags: математика, сша
Subscribe
- Не для дронов интернет!
  Старилинк заявил, что они ограничивают использование интернета для дронов ВСУ на линии фронта, потому что — нельзя. Интернет нужно использовать…
- Орегон
  https://youtu.be/qa392GzFygs Latourell Falls in and Vista Points near Portland, Oregon
- О порочности системы
  Salve Lucrum: The Existential Threat of Greed in US Health Care Donald M. Berwick, MD, MPP1 JAMA. Published online January 30, 2023.…
Photo

Hint http://pics.livejournal.com/igrick/pic/000r1edq
- Не для дронов интернет!
  Старилинк заявил, что они ограничивают использование интернета для дронов ВСУ на линии фронта, потому что — нельзя. Интернет нужно использовать…
- Орегон
  https://youtu.be/qa392GzFygs Latourell Falls in and Vista Points near Portland, Oregon
- О порочности системы
  Salve Lucrum: The Existential Threat of Greed in US Health Care Donald M. Berwick, MD, MPP1 JAMA. Published online January 30, 2023.…
3-06 Решение квадратных уравнений любым методом (обзор)
3-06 Решение квадратных уравнений любым методом (обзор)
Алгебра 2 Ричард Райт
Предыдущий урокСодержание Следующий урок
Вы не мой ученик и
вам это помогло?
Цели:
- Выберите лучший метод решения квадратных уравнений.
- Решение квадратных уравнений без указания метода.
Стандарты содержания SDA NAD (2018 г.): AII.4.1, AII.4.2, AII.5.1, AII.6.3
Рисунок 1: Выбор. (Pixabay/PixxlTeufel)
На последних уроках мы рассмотрели несколько методов решения квадратных уравнений. Проблема в том, какой метод использовать.
Выбор метода решения
Обычно в приложениях к квадратным уравнениям метод их решения не дается. Решающий должен выбирать. Поскольку квадратичная формула получается из завершения квадрата, она обычно быстрее и, следовательно, предпочтительнее.
Чтобы решить, какой метод использовать для решения квадратных уравнений, обычно быстрее всего сначала попробовать разложение на множители или квадратные корни.
Выберите наилучший метод решения квадратного уравнения
Чтобы наиболее эффективно решить квадратное уравнение,
1. Если x встречается только один раз и оно возведено в квадрат, то x ² или ( x k ) ² — решить методом извлечения квадратных корней.
2. Если появляются оба x ² и x , приравняйте уравнение к нулю и…
Пример 1: Решение квадратично по любому методу
Решение x ² — 18 x + 81 = 0,
Раствор
Оба x ² и 333. Уравнение уже равно нулю.
Попробуйте решить факторингом.
x ² — 18 x + 81 = 0
( x — x —
x — 9003
343434333. = 9
Попробуйте 1
Решите x ² = 11 x – 24
Ответ
(факторинг) 3, 8
Пример 2. Решение квадратичного уравнения любым методом
Решение 3 x ² = x + 14
Решение
Появляются оба x ² и x . Сделай уравнение равным нулю.
3 x ² = x + 14
3 x ² — x — 14 = 0
. Оба x ² и
333333334. Уравнение уже равно нулю.
Попробуйте решить факторингом.
(3 х — 7) ( x + 2) = 0
3 x — 7 = 0 или x + 2 = 0
3 x = 7 или x = — 2
333 x = — 2
333333333 = — 2
3333333 = –2
333333. x = $\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{3}}$ или x = −2
Попробуйте 2
Решите x ² − 6 x = 0
Ответ
(факторинг) 0, 6
Пример 3. Решение квадратичного уравнения любым методом
Решение 3 x ² = 147.
Решение
Появляется только x ², поэтому решайте квадратным корнем.
3 x ² = 147
x ² = 49
x = ±7
Попробуйте 3
Решите −3( x + 9) ² = −63.
Ответ
(Корни) $-9\pm\sqrt{21}\приблизительно-13,58,-4,42$
Пример 4. Решение квадратного уравнения любым методом
Решение — x ² + 4 = 2 x ² — 5.
Раствор
x появляются дважды, но они оба x . Это можно упростить, если собрать одинаковые термины.
— x ² + 4 = 2 x ² — 5
−3 x ² + 4 = −5
Теперь x ^{2 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2 9003 2}. по квадратным корням.
-3 х ² = -9
х ² = 3
х 5)9 03
Попробуйте его 4
Решение x ² — 7 = 14 — 2 x ²
Ответ
(Корты) \ (\ PM \ Sqrt7 \ aT. \ PM2.65 \)
3
3
3
3
3
3
\ (\ pm \ sqrt7 \ aT.
Пример 5. Решение квадратного уравнения любым методом
Решение x ² – 3 x – 3 = 0.
Solution
Появляются оба x ² и x , и это уже равно нулю.
Попробуйте факторинг.
( x – 3)( x + 1) = 0
Этап проверки показывает, что это не работает.
внешние + внутренние = средние
x + (-3 x ) = -2 x ≠ -3 x
Поскольку факторизация не работает, попробуйте использовать квадратичную формулу, которая всегда работает. 92-4\влево(1\вправо)\влево(-3\вправо)}}{2\влево(1\вправо)} $$
$$ x =\frac{\mathbf{3}\pm\sqrt {\mathbf{21}}}{\mathbf{2}} $$
1 = 0 }\приблизительно-2,69,0,19\)
Пример 6. Решить квадратное уравнение любым методом
Решить x ² = 27 x .
Раствор
Появляются оба x ² и x . Приравняйте уравнение к нулю.
x ² – 27 x = 0
Попробуйте факторинг. Сначала разложите общий множитель.
x ( x – 27) = 0
x = 0 or x – 27 = 0
x = 0 or x = 27
Попробуйте 6
Решите x ² = 81
Ответ
(Корни) ±9
Практические задачи
Найдите реальные решения уравнения.
2 х ² – 5 = 7
( х – 5) ² = 16
х ² + х = 20
х ² = 16 х
х ² + 8 х = –16
х ² + 7 х – 2 = 0
2 х ² + 5 х – 12 = 0
х ² – 3 х – 5 = 0
3 х ² + 192 х = 0
2( х – 1) ² = –50
2 х ² – 5 х – 1 = 0
4 х ² + 2 = 3 х
2 х ² – 8 х = 10
x ² + 10 = –14 – x ²
3 х ² + 2 х = –2
Смешанный обзор
(0-01) Решите: 2 x + 7 = 19
(0-01) Решите: 4(5 – x ) = 12
(0-03) Решите: |2 x + 1| = 5
(0-03) Решите: $\frac{1}{2}\left|x-3\right|=16$
(3-03) Решите графически: x ² + 3 x = 4
Ответы
$\pm\sqrt{6}$ (Корни)
1, 9 (Корни)
-5, 4 (фактор)
0, 16 (фактор)
−4 (фактор)
$\frac{-7\pm\sqrt{57}}{2}$ (Формула)
-4, 3/2 (фактор)
$\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$ (Формула)
0, −64 (Коэффициент)
1 ± 5 i (Корни)
$\frac{5\pm\sqrt{33}}{4}$ (Формула)
$\frac{3}{8}\pm\frac{\sqrt{23}}{8}i$ (формула)
-1, 5 (фактор)
$\pm 2 \sqrt{3}i$ (Корни)
$-\frac{1}{3}\pm\frac{\sqrt5}{3}i$ (Формула)
6
2
−3, 2
−29, 35
−4, 1
Решение квадратных уравнений: 4 способа решения
Квадратные уравнения определяются как уравнения второй степени, в которых по крайней мере одна переменная или член возведены в степень 2. 2 — 35x = 0\) 92 — 35x = 7x \cdot (2x) — 7x(5)\)
Шаг 4: Примените закон распределительной собственности и вынесите наибольший общий множитель.
$ 7x(2x) -7x(5) = 7x(2x-5)$
Шаг 5: Приравняйте факторизованное выражение к 0 и найдите точки пересечения x.
$ x_1: \begin{split} 7x = 0 \\ x = 0 \end {split} $
$ x_2: \begin{split}2x — 5= 0 \\ x = \frac{5 }{2}\end {split}$
Полный квадрат
Метод идеального квадрата заключается в преобразовании трехчлена идеального квадрата, 92 — 7x — 15\)
Шаг 1: Перечислите значения a, b и c.
$ a = 2, b = -7, c = -15$
Шаг 2: Найдите множители, которые при умножении равны $a \cdot c$ , а при сложении равны b. T где цифры, что произведение ac, а также добавить к b.
$ac = -30, b = -7$
$1 \cdot 30 = 30$
$2 \cdot 15 = 30$
$3 \cdot 10 = 30 \ qquad 3-10 = -7$
$5 \cdot 6 = 30$
Таким образом, эти два числа равны 3 и -10, так как в сумме они дают -7.
No related posts.