Валерий Волков 38 05.02.2015
Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!
Новости образования
Профильный уровень
Задание 1 Задание 2
Задание 3 Задание 4
Задание 5 Задание 6
Задание 7 Задание 8
Задание 9 Задание 10
Задание 11 Задание 12
Задание 13 Задание 14
Задание 15 Задание 16
Задание 17 Задание 18
Задание 19 Задание 20
Задание 21
ГИА по математикеЗадача 1 Задача 2
Задача 3 Задача 4
Задача 5 Задача 6
Задача 7 Задача 8
Задача 9 Задача 10
Задача 11 Задача 12
Задача 13 Задача 14
Задача 15 Задача 16
Задача 17 Задача 18
Задача 19 Задача 20
Задача 21 Задача 22
Задача 23 Задача 24
Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
Математика.
5 класс.Натуральные числа
Обыкновенные дроби
Десятичные дроби
Проценты
Математика. 6 класс.Делимость чисел
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение и деление обыкновенных дробей
Отношения и пропорции
Положительные и отрицательные числа
Измерение величин
Математика. 7 класс.Преобразование выражений
Многочлены
Формулы сокращенного умножения
Математика. 8 класс.Модуль числа. Уравнения и неравенства.
Квадратные уравнения
Квадратные неравенства
Уравнения с параметром
Задачи с параметром
Математика. 9 класс.Функции и их свойства
Прогрессии
Векторы
Комбинаторика, статистика и теория вероятностей
Математика. 10 — 11 класс.Числовые функции
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения
Преобразование тригонометрических выражений
Производная
Степенные функции
Показательная функция
Логарифмические функции
Первообразная и интеграл
Уравнения и неравенства
Комбинаторика
Создаёте видеоуроки?Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала.
Актуально
Физкультминутки для школьников и дошкольников
Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях.
Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.
Фотографии предоставлены
Задания №13. ОГЭ по математике
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Задания №13 ОГЭ по математике
https://math200.ru
ЗАДАНИЯ №13 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
НЕРАВЕНСТВА
1) Укажите решение неравенства:
1) 0,2;
3) 0,4;
3 2 х 8х 1
2) ;0,4
4) ; 0,2
2) Укажите решение неравенства:
4х 4 9х 6
3) Укажите решение неравенства:
6 7 х 3х 7
4) Укажите решение неравенства:
5х 4 х 6
1) 0,4;
3) 2;
1) 0,1;
3) 1,3;
1) ;0,5
3) ;2,5
1) ;3,1
3) ; 1,7
6) Укажите решение неравенства:
1) 1,5;
3) ; 1,5
7) Укажите решение неравенства:
1) ; 24
3) 18;
8) Укажите решение неравенства:
1) ;3,6
3) 7,2;
9) Укажите решение неравенства:
2) ; 2
4) ; 0,4
2) ;1,3
4) ;0,1
2) 2,5;
4) 0,5;
5 х 3 5 х 8 7
2) 1,7;
4) 3,1;
6 х 3 4 х 1 6
2) ; 0,5
4) 0,5;
2 х 3 х 7 3
2) ;18
4) 24;
8 х 3 х 9 9
2) ;7,2
4) 3,6;
4х 5 6х 2
Задания №13 ОГЭ по математике
https://math200.
ru10) Укажите решение неравенства:
2 х 5х 8
11) Укажите решение неравенства:
х 4 4х 5
12) Укажите решение неравенства:
2 х 5 3 х 3
13) Укажите решение неравенства:
х 2 49 0
1) нет решений
3) ;
14) Укажите решение неравенства:
1) нет решений
3) ;
15) Укажите решение неравенства:
1) нет решений
3) ;
16) Укажите решение неравенства:
1) нет решений
3) ;
17) Укажите решение неравенства:
1) 3;8
3) 8;
18) Укажите решение неравенства:
1) 2;7
3) ;7
2) 7;7
4) ; 7 7;
х 2 64 0
2) 8;8
4) ; 8 8;
х 2 36 0
2) 6;6
4) ; 6 6;
х 2 25 0
2) 5;5
4) ; 5 5;
х 3 х 8 0
2) ; 3 8;
4) 3;
х 2 х 7 0
2) ; 2 7;
4) ; 2
Задания №13 ОГЭ по математике
19) Укажите решение неравенства:
1) 5;
3) 9;
20) Укажите решение неравенства:
1) ;1
3) ; 6
21) Укажите решение неравенства:
1) 0;
3) 0;7
22) Укажите решение неравенства:
1) 3;
3) 0;
23) Укажите решение неравенства:
1) 8;
3) 0;8
24) Укажите решение неравенства:
1) 4;
3) 0;
https://math200.
ru2) 5;9
4) ; 5 9;
х 6 х 1 0
2) 6;1
4) ; 6 1;
7х х2 0
2) 7;
4) ;0 7;
3х х 2 0
2) 0;3
4) ;0 3;
8х х 2 0
2) 0;
4) ;0 8;
4х х2 0
2) 0;4
4) ;0 4;
25) Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) х 2 49 0
2) х 2 49 0
3) х 2 49 0
4) х 2 49 0
26) Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) х 2 36 0
2) х 2 36 0
3) х 2 36 0
4) х 2 36 0
27) Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) х 2 64 0
2) х 2 64 0
3) х 2 64 0
4) х 2 64 0
Задания №13 ОГЭ по математике
https://math200.ru
28) Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) х 2 9 0
2) х 2 9 0
3) х 2 9 0
4) х 2 9 0
29) Укажите решение неравенства:
7х х2 0
30) Укажите решение неравенства:
6х х2 0
31) Укажите решение неравенства:
х 4 х 9 0
32) Укажите решение неравенства:
х 1 х 6 0
33) Укажите неравенство, решением которого является любое число.
1) х 2 78 0
2) х 2 78 0
3) х 2 78 0
4) х 2 78 0
34) Укажите неравенство, решением которого является любое число.
1) х 2 64 0
2) х 2 64 0
3) х 2 64 0
4) х 2 64 0
35) Укажите решение неравенства:
49 х 2 36
Задания №13 ОГЭ по математике
https://math200.ru
36) Укажите решение неравенства:
49 x 2 36
37) Укажите решение неравенства:
х2 9
38) Укажите решение неравенства:
х 2 36
39) Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) х 2 6 х 51 0
2) х 2 6 х 51 0
3) х 2 6 х 51 0
4) х 2 6 х 51 0
40) Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) х 2 2 х 65 0
2) х 2 2 х 65 0
3) х 2 2 х 65 0
4) х 2 2 х 65 0
41) Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) х 2 70 0
2) х 2 70 0
4) х 2 70 0
42) Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) х 2 15 0
2) х 2 15 0
3) х 2 15 0
4) х 2 15 0
43) Укажите решение системы неравенств:
1) ; 3,6 3;
3) 3,6; 3
х 3,6 0
х 2 1
2) ; 3,6
4) 3,6;
Задания №13 ОГЭ по математике
https://math200.
ru44) Укажите решение системы неравенств:
1) ; 3 0,6;
3) 3; 0,6
2) ; 3
4) 0,6;
45) Укажите решение системы неравенств:
1) 4;
3) ;4
х 6,6 0
х 1 5
2) 4;6,6
4) 6,6;
46) Укажите решение системы неравенств:
1) ; 7,4 5;
3) 7,4; 5
х 0,6 0
х 1 4
х 4 3,4
х 5 0
2) ; 7,4
4) 5;
47) Укажите решение системы неравенств:
х 8
9 х 0
48) Укажите решение системы неравенств:
х 1
3 х 0
49) Укажите решение системы неравенств:
х 3 2
х 1,1 0
Задания №13 ОГЭ по математике
https://math200.ru
50) Укажите решение системы неравенств:
х 4,3 0
х 5 10
51) Укажите решение системы неравенств:
35 5 х 0
6 3 х 3
52) Укажите решение системы неравенств:
12 3 х 0
9 4 х 3
ОТВЕТЫ
1) 2. 2) 2. 3) 3. 4) 1. 5) 4. 6) 3. 7) 3. 8) 4. 9) 2. 10) 4. 11) 4. 12) 2. 13) 2.
14) 4. 15) 4. 16) 2. 17) 2. 18) 1. 19) 4. 20) 2. 21) 3. 22) 2. 23) 3. 24) 4. 25)
1.
26) 2. 27) 2. 28) 1. 29) 1. 30) 1. 31) 3. 32) 1. 33) 1. 34) 3. 35) 4. 36) 2.37) 1. 38) 1. 39) 4. 40) 3. 41) 1. 42) 1. 43) 2. 44) 3. 45) 4. 46) 3. 47) 2. 48) 2.
49) 2. 50) 4. 51) 3. 52) 1.
English Русский Правила
Неравенства Пошаговое решение математических задач
Неравенства
9.1 Основные свойства
Из главы 1 мы помним, что действительные числа рассматриваются геометрически, глядя на линию действительных чисел. Множество действительных чисел представляет собой объединение трех непересекающихся множеств:
P : положительные действительные числа
N: отрицательные действительные числа
{0}: множество с единственным нулевым элементом
Кроме того, каждое действительное число a либо положительно, либо равно 0, либо -a положительно, а умножение и сложение подчиняются следующим правилам вычисления:
(положительное) ⋅ (положительное) = (положительное) дательный) ⋅ (отрицательный) = (положительный)
(положительный) ⋅ (отрицательный) = (отрицательный)
(отрицательный) ⋅ (положительный) = (отрицательный)
(положительный) + (положительный) = (положительный)
(отрицательный) активный) + ( отрицательный) = (отрицательный)
Отношение порядка меньше, чем в действительной системе счисления, определяется с помощью набора положительных действительных чисел.
Пусть a и b — любые действительные числа.
a меньше b, обозначается (a)<(b), тогда и только тогда, когда b-a положительное
Три других отношения порядка
a меньше или равно b, обозначается a<=b, тогда и только тогда, когда (a)<(b) или a=b
a больше, чем b, обозначаемое a>b, тогда и только тогда, когда (b)<(a)
a больше или равно b , обозначаемый как a>=b, если (b)<(a) или b=a
Иногда мы хотим подчеркнуть, что отношение порядка a к b <, а не ≤ , и в этом случае мы говорим, что a строго меньше б.
Любое утверждение, использующее одно из четырех отношений порядка, называется неравенством. В вычислениях с неравенствами используются пять основных правил.
I.1 Если a и b — любые действительные числа, то верно ровно одно из следующего
: 2 Если (a)<(b) и (b)<(c), то (a)<(c).
I.3 Если (a)<(b) и c — любое действительное число, то a+c=b+c.
I.4 Если (a)<(b) и c>0, то (ac)<(bc).
I.5 Если (a)<(b) и (c)<0, то ac>bc.
В наших вычислениях наиболее полезными являются правила I.3, I.4 и I.5.
В более продвинутых курсах доказывается, что правила с I.1 по I.5 верны для действительных чисел, используя определение < и свойства P, N. и {0}, перечисленные выше. Для интересующихся мы приводим в качестве образца доказательство 1.2.
Если (a) < (b) и (b) < (c), то по определению b-a положительно, а c-b положительно. Из того свойства P, что (положительное) + (положительное) = (положительное), следует, что (c — b) + (b — a) положительно. Но
(c-b)+(b-a)=c-b+b-a=c-a
Таким образом, c — a положительно, поэтому по определению (a) < (c).
Используя прямую числовую прямую, мы видим, что (a) < (b) тогда и только тогда, когда a находится левее b. Другие отношения порядка имеют аналогичную интерпретацию. Используя геометрическую интерпретацию <, мы можем интерпретировать пять основных правил.
I.1 Если a и b точки на прямой с действительными числами, то ровно одна из
верно следующее:
a находится слева от b, a = b, b находится слева от a
I.
2 Если a находится слева от b и b слева от c, то a находится слева от c
I.3 Если a находится слева от b и c — любое действительное число, тогда a+c находится слева от b+c.
I.4 Если a находится слева от b и c больше 0, то ac находится слева от bc.
I.5 Если a находится слева от b, а c меньше 0, то be находится слева от ac.
В главах 6 и 7 мы рассмотрели методы решения уравнений с одной или несколькими переменными. В этой главе мы рассмотрим методы решения неравенств с одной или двумя переменными. Под множеством решений неравенства с одной переменной мы понимаем все те действительные числа, которые удовлетворяют неравенству. Часто такие наборы решений представляют собой объединение отрезков и полустрок на прямой с действительными числами. Некоторые условные обозначения показаны ниже:
Первые три подмножества линии являются интервалами, а четвертое — полупрямой или лучом.
Множество решений неравенства с двумя переменными – это множество всех пар чисел, удовлетворяющих неравенству.
Его график представляет собой область координатной плоскости.
Два неравенства, имеющие одно и то же множество решений, эквивалентны. Как и в случае с уравнениями, решение данного неравенства получается путем поиска эквивалентного неравенства, набор решений которого известен.
Мы завершаем этот раздел несколькими примерами, связанными с отношениями неравенства.
Пример 1. Что из следующего верно? (а) -1/2<-3/7, (б) 3,2>=17/5.
(a) Компьютер -3/7-(-1/2).
-3/7-(-1/2)
=-3/7+1/2
=-6/14+7/14
=1/14
900 02 С -3/7-( -1/2)=1/14 положительно, неравенство верно.(b) Вычислить 3.2-17/5.
3,2-17/5
=32/10-17/5
=16/5-17/5
=-1/5
Поскольку 3,2-17/5=-1/5 отрицательно, неравенство неверно.
пример 2 (а) =(-3 +∞) {пересекаются} (-∞,1) =(-3,1) (b) =(1,4) {союз} [2,5 =( 1,5) Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Решить похожую задачуВведите свою задачу (-3,0) Из графика видно, что дальнейшее упрощение невозможно 9.2 Линейные неравенства с одной переменной Мы можем использовать свойства неравенств, которые мы перечислили в предыдущем разделе, для решения линейных неравенств с одной переменной, то есть любого неравенства, которое элементарными операциями может быть преобразовано к одному из следующих видов . ax+b<0 ax+b<=0 ax+b>0 ax+b>=0 Пример 1. Решите неравенство 4x-3>=2x+5 Добавить -2x к обеим сторонам (I.3) 2x-3>=5 Добавить 3 к обеим сторонам (I.3) 2x> =8 Умножьте обе части на 1/2 (I .4) x>=4 Следовательно, набор решений равен = (4,+∞) Это представлено геометрически к 9Пример 2 2x+1>=-6 Обратите внимание, что умножение на отрицательную число обращает неравенство. Добавьте -1 к обеим сторонам, затем умножьте на 1/2. (I.3,I.4) x>=-7/2 Таким образом, набор решений равен =(-7/2,+∞) Геометрически это показано как Пример 3. Решите неравенство -3<3x-2<=7 Это неравенство означает, что x должен удовлетворять системе неравенств х-2 3x-2<=7 Однако мы можем решить оба неравенства одновременно. -2<3x-2<=7 Прибавьте 2 ко всем трем выражениям 0<3x<=9 Умножьте все три выражения на 1/3. 0<(x)<=3 Таким образом, набор решений равен =(0,3) Геометрически это представлено как Пример 4. 900 04 Решите неравенство -8<=2-3x<6 Добавьте -2 ко всем трем выражениям. -10<=-3x<4 Умножить на -1/3, изменив направление обоих неравенств. 10/3>=x>-4/3 Поэтому набор решений равен =(-4/3,10/3) Это представлено геометрически Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Решите аналогичную задачуВведите свою задачу 9.3 Неравенства, включающие абсолютные значения Вспомните из главы 1, что расстояние между x и a на прямой с действительными числами равно |x-a|. Если x, a и b — действительные числа и |x-a| < (b), то x должен находиться на расстоянии меньшем, чем b, от a. Геометрически это представлено на рис. 1. Рисунок 1 Мы видим, что неравенство |x- a| < (b) имеет своим решением множество =(a-b,a+b) Аналогично, если x удовлетворяет неравенству |х- а| < (b) тогда x должен находиться на расстоянии, большем чем b, от a. Это представлено на рис. 2. Рис. 2. Мы видим, что неравенство |x- a| < (b) имеет в качестве решения множество =(-∞,a-b) {объединение} (a+b,+∞) Пример 1. |x-1/2|<5 Построение графика Набор решений: =(-9/2,11/2) Пример 2. Решим неравенство |x-2|>3 Построим график Набор решений равен =(-∞,-1) {union} (5,+∞) Пример 3. Решите неравенство |x+1|<=3 Сначала заметим, что |x+1|=|x-(-1 )| , так что |x+1| есть расстояние от x до -1 Поскольку отношение ≤ , конечные точки включены в множество решений, которое равно 005 =-4,2 Пример 4 Решите неравенство |4-x|>5 Заметим, что |4-x| есть расстояние между 4 и x, такое же, как расстояние между x и 4, а именно |x-4|. Таким образом, приведенное выше неравенство эквивалентно неравенству |x-4|>5 чей график равен Набор решений равен =(-∞,-1) {union} (9,+∞) Поскольку |u| = |u-0|, которое является расстоянием от u до 0, неравенство |u|<(a) эквивалентно |u-0|<(a) что эквивалентно 90 005 (-a)<(u)<(a) Если u=ax+b, мы видим, что |ax+b|<(c) эквивалентно (-c)<(ax+b)<(c) , которое можно решить, как в предыдущем разделе. |ax+b|>(c) эквивалентно Пример 5. Решите неравенство
Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решите неравенство
На графике имеем
Аналогично
Это неравенство эквивалентно
-4< 2x-3<4
Прибавляем 3 и умножаем на 1/2.
-1<(2x)<7
-1/2<(x)<7/2
Набор решений равен
=(-1/2,7/2)
Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
Пример 6. Выразите -1<(x)<5 в виде |x-a|<(b).
График -1<(x)<5 равен
Середина этого интервала равна
(5+(-1))/(2)=2
, который находится на расстоянии 3 от конечные точки -1 и 5. Таким образом, x должно быть a. расстояние менее 3 от середины 2, что дает нам 92+2x+c>=0
где a!=0. Любое неравенство, которое с помощью наших элементарных операций может быть преобразовано в неравенство указанного выше типа, конечно, может быть обработано теми же методами.
Мы будем использовать следующие свойства действительных чисел.
R.1 Если AB<0, то возможны два случая:
(a) A<0 и B>0
(b) A>0 и B<0
900 02 П.2 Если AB>0, тогда возможны два случая:(a) А>0 и В>0
92+5x-3>0 Мы первый множитель для получения
(2x-1)(x+3)>0
Из R.2 есть два случая:
(а) 2x- 1>0 и x+3>0
(b) 2x-1<0 и x+3<0
Поскольку число x является решением исходного неравенства тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет либо (a), либо ( б) полный набор решений исходного неравенства представляет собой объединение набора решений (а) с набором решений (б).
(a) 2x-1>0 и x+3>0
Следовательно
2x-1>0 и x+3>0
2x>1 и x>-3
x>1/2 и x>-3
9000 2 Поскольку x должен удовлетворять обоим условиям, множество решений для (a) равно
=
= (1/2,+∞)
Геометрически
90 003
(b) 2x-1<0 и x+3<0
Следовательно,
2x-1<0 и x+3<0
2x<1 и x<-3
x<1/2 и x<-3
Набор решений для (b) равен -3)
Геометрически,
Напомним, что множеством решений исходного уравнения является объединение множеств, полученных в пунктах (б) и (а), а именно,
S=S_b {объединение} S_a
=(-∞,-3) {объединение} (12, +∞)
Геометрически,
Еще один метод решения квадратного неравенства заключается в указании на числовой прямой, где каждый множитель положительный, отрицательный или нулевой.
Применяя этот метод к примеру 1, мы имеем
Поскольку произведение (x+3)(2x-1) должно быть положительным, набор решений задается областями, в которых оба множителя имеют одинаковый знак. Из диаграммы видно, что это S = (-∞, -3) {union} (1/2,+∞)
Этот метод проще в использовании, чем первый, особенно если линейных множителей больше двух.
Пример 2. Решить неравенство
(x-2)(x+1)(x-1)<=0 — те числа, у которых хотя бы один из сомножителей равен нулю или нечетное число сомножителей отрицательно.
Таким образом, набор решений равен
S=(-∞,-1) {union} [1,2
Этот метод также применим к рациональному выражению, числитель и знаменатель которого можно разложить на линейные факторы.
Пример 3. Решите неравенство
(x-1)/(x+2)<=2
Сначала преобразуем это неравенство в эквивалентное неравенство с нулем в правой части.
(x-1)/(x+2)-2<=2
(x-1-2(x+2))/(x+2)<=0
(-x-5)/(x+2)<=0
Как и прежде,
Обратите внимание, что -2 исключается, поскольку знаменатель здесь равен нулю.
Набор решений:
S=(-∞,-5) {union} (-2,+∞)
Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
9.5 Линейные неравенства с двумя переменными
Неравенство любого из видов
ax+by+c<0
ax+by+c<=0
ax+by+c>0
ax+by+c>=0 900 05
с и b не равно нулю, называется линейным неравенством с двумя переменными.
Множеством решений такого неравенства является одна из двух полуплоскостей, определяемых линией ax+ по формуле + c = 0.
2x-y+2<0
Первый график
Чтобы убедиться, что множество решений на самом деле является одной из полуплоскостей прямой, решим неравенство для y, получив
y>2x+2
Точки (x,y), удовлетворяющие y>2x+2, это те, которые находятся выше точек на прямой y = 2x +2, а именно, точки в полуплоскости над прямой .
Поскольку неравенство строгое, точки на прямой не входят в множество решений. Обозначим это пунктирной линией.
Алгебраически множество решений равно
x-3y+2>=0
Решите неравенство для x, получив
x>=3y-2
Поскольку x больше справа, множество решений представляет собой полуплоскость справа от прямой x-3y+2=0. Поскольку неравенство не является строгим, точки прямой включаются в множество решений. Сначала мы рисуем линию, а затем заштриховываем полуплоскость.
Альтернативный метод нахождения полуплоскости решения состоит в том, чтобы подставить в неравенство координаты точки, не лежащей на прямой. Если неравенство выполнено, множество решений представляет собой полуплоскость, включающую эту точку, и другую полуплоскость в противном случае. Точку (0,0) легко использовать, если она не находится на прямой. В примере 2 подставляя (0,0) получаем
x-3y+2> 0
(0) -3 (0) +2> 0
2> 0
, поскольку (0,0) Соответствует неравенство, набор решений содержит полуплоскую (0 ,0).
С системами неравенств можно работать аналогичным образом. Мы получаем набор решений графически, находя пересечение полуплоскостей решений отдельных неравенств в системе.
Пример 3. Решить неравенство
(1) y-2x+3>0
(2) 2y+x-1<=0
Нарисуйте соответствующие линии l_1l_2:
l_1 y-2x+3=0
l_2 2y+x-1=0
Тем или иным из вышеперечисленных методов мы находим, что множество решений S_1, (1) представляет собой полуплоскость над l_1, тогда как набор решений S_2 из (2) представляет собой полуплоскость ниже l_2. Набор решений S_1 показан вертикальными линиями, а S_2 показан горизонтальными линиями. Следовательно, множество решений S системы равно
S=S_1 {пересечение} S_2
=
, то есть область, в которой пересекаются горизонтальные и вертикальные линии.
Пример 4. Решить систему
(1) x-y+1>=0
(2) x<1
(3) y>=-3
Рассмотрите следующие уравнения.
l_1: x-y+1=0
l_2: x=1
l_3: y=-3
We найти, что набор решений S_1, из (1) является полуплоскостью ниже l_1, решение набор S_2 из (2) — это полуплоскость слева от l_2, а набор решений S_3 из (3) — это полуплоскость над la. Набор решений равен 9.2
Множество решений S_p — это множество всех точек над параболой и на ней, а множество решений S_l — это множество всех точек внутри и на окружности. Таким образом, набор решений исходной системы равен
S=S_p {intersect} S_l
Методы решения системы нелинейных уравнений
Результаты обучения
- Решите систему, представляющую пересечение параболы и строка с использованием замены.
- Решите систему, представляющую пересечение окружности и прямой, используя подстановку.
- Решите систему, представляющую пересечение окружности и эллипса, методом исключения.
Система нелинейных уравнений — это система двух или более уравнений с двумя или более переменными, содержащая хотя бы одно нелинейное уравнение.
Напомним, что линейное уравнение может иметь вид [латекс]Ах+Ву+С=0[/латекс]. Любое уравнение, которое нельзя записать в таком виде, является нелинейным. Метод подстановки, который мы использовали для линейных систем, — это тот же метод, который мы будем использовать для нелинейных систем. Мы решаем одно уравнение для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения другой переменной и так далее. Однако есть вариация возможных результатов.
Пересечение параболы и прямой
Существует три возможных типа решений системы нелинейных уравнений, включающих параболу и прямую.
Общее примечание: возможные типы решений для точек пересечения параболы и прямой
На приведенных ниже графиках показаны возможные наборы решений для системы уравнений, включающей параболу и прямую.
- Нет решения. Линия никогда не пересечет параболу.
- Одно решение. Прямая касается параболы и пересекает параболу ровно в одной точке.
- Два решения. Прямая пересекает параболу внутри и пересекает параболу в двух точках.
Как: Дана система уравнений, содержащая прямую и параболу, найти решение.
- Решите линейное уравнение для одной из переменных.
- Подставьте выражение, полученное на первом шаге, в уравнение параболы. 9{2}-y=0 \end{gathered}[/latex]
Показать решениеПересечение окружности и прямой
Как и в случае с параболой и прямой, при решении системы уравнений, представляющей окружность и прямую, возможны три исхода.
Общее примечание: возможные типы решений для точек пересечения окружности и прямой
На приведенном ниже графике показаны возможные наборы решений для системы уравнений, включающей окружности и строка.
- Нет решения. Линия не пересекает окружность.
- Одно решение. Прямая касается окружности и пересекает окружность ровно в одной точке.
- Два решения. Прямая пересекает окружность и пересекает ее в двух точках.
Как: Дана система уравнений, содержащая прямую и окружность, найти решение.
- Решите линейное уравнение для одной из переменных. 9{2}=10\hfill \\ x — 3y=-10\hfill \end{массив}[/latex] Показать решение
Решение системы нелинейных уравнений с помощью исключения
Мы видели, что подстановка часто является предпочтительным методом, когда система уравнений включает линейное уравнение и нелинейное уравнение. Однако, когда оба уравнения в системе имеют одинаковые переменные второй степени, решить их методом исключения путем сложения часто проще, чем подстановкой. Как правило, метод исключения является гораздо более простым методом, когда система включает только два уравнения с двумя переменными (система два на два), а не система три на три, поскольку шагов меньше. В качестве примера исследуем возможные типы решений при решении системы уравнений, представляющей круг и эллипс.
