Как решить иррациональное неравенство: Иррациональные неравенства – методическая разработка для учителей, Казекешева Гульнара

Иррациональным называют неравенства, в которых переменные входят под знак корня.

Совместная работа учителя и учащихся при разборе решения иррациональных неравенств методом интервалов.

Решим неравенства: Слайд  5

1)

2)

3)

Разберем решение неравенств: Слайды 6–9.

1. равносильно

Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию и найдем область определения

— область определения

Шаг 2. Вычислим нули функции

— нуль функции

Шаг 3. На координатной прямой отмечаем нуль функции принадлежащий области определения. Получается два промежутка: [5;6) и (6;+). Определяем знак функции на каждом промежутке. Выписываем промежуток, на котором

Ответ:

2. равносильно

Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию , найдем область определения

— область определения

Шаг 2. Вычислим нули функции

— нуль функции

Шаг 3. На координатной прямой отмечаем нуль функции, принадлежащий области определения. Получаем два промежутка [-7;2) и (2;+). Определяем знак функции на каждом промежутке. Выписываем промежуток на котором .

Ответ:

3.

Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию , найдем область определения

и область определения.

Шаг 2. Вычислим нули функции

-1; 1; 2 – нули функции

Шаг 3. На координатной прямой отмечаем нули функции, принадлежащие области определения, получается два промежутка (-;-1] и [2;+). Определяем знак функции на каждом промежутке и выписываем промежуток на котором

Ответ: и

III. Итак, мы рассмотрели с вами решение трех неравенств. Вы проследили порядок выполнения заданий. Какие вопросы появились по ходу объяснения? Если нет вопросов, то попробуйте сами сформулировать алгоритм решения иррационального неравенства методом интервала. (учащиеся сами формулируют этапы решения иррационального неравенства). Затем на экран проецируется алгоритм, и, учащиеся проговаривают этапы решения, особое внимание уделяется третьему этапу.

Алгоритм решения иррациональных неравенств. Слайд 10

1. Рассмотрим иррациональную функцию; найдем область определения функции.
2. Вычислим нули функции.
3. На координатной прямой:

• отметим нули функции, принадлежащие области определения;
• определим знак функции на каждом промежутке;
• с учетом знака неравенства выпишем ответ.

Сейчас мы перейдем к очень ответственному моменту, вы будете самостоятельно решать задания с применением приведенного алгоритма. Я предлагаю вам двигаться в своем собственном темпе.

(Во время самостоятельной работы проходит по рядам и смотрит, как ребята справляются с заданиями, выделяет для себя группу контроля. Если возникает необходимость дает незначительные консультации на местах)

IV. Задания для самостоятельной работы: Слайд 11

1.

2.

3.

V. Затем на экран проецируется пошаговая проверка. За каждый правильный шаг, учащиеся ставят себе плюс. Каждое задание оценивается отдельно.

Проверяем: Слайд 12

1 неравенство:

1 шаг

2 шаг

3 шаг

2 неравенство

1 шаг и

2 шаг

3 шаг

3 неравенство

1 шаг

2 шаг и

3 шаг

На экран проецируем критерии оценки. Слайд 13

• 5 баллов
– задание выполнено полностью и верно.
• 4 балла
– задание верно выполнено на первом и втором шаге. Допущена ошибка в вычислениях на третьем шаге.
• 3 балла
— задание верно выполнено на первом шаге, вычислительная ошибка на втором шаге.
• В остальных случаях – 2 балла.

VI. Затем каждый ученик получает лист самоконтроля, на котором дано полное решение всех трех неравенств, и с его помощью, устраняет ошибки, допущенные в своей работе.

VII. Подводятся итоги урока и дается задание на дом с ответами. Cлайд 14

1. Ответ

2. Ответ

3. Ответ

9.7: Решение рациональных неравенств — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Решение рациональных неравенств
• Решите неравенство с рациональными функциями

Будьте готовы

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

1. Найдите значение \(x-5\), когда ⓐ \(x=6\) ⓑ \(x=-3\) ⓒ \(x=5\)
   Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 1.2. .16.
2. Решите: \(8-2 x<12\)
   Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 2.6.13.
3. Запись в интервальной нотации: \(-3 \leq x<5 \)
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.6.4.

Решение рациональных неравенств

Мы научились решать линейные неравенства после того, как научились решать линейные уравнения. Техники были почти такими же, за одним важным исключением. Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Только что научившись решать рациональные уравнения, мы теперь готовы решать рациональные неравенства. Рациональное неравенство — это неравенство, содержащее рациональное выражение. 9{2}} \leq \dfrac{3}{x}\quad \) являются рациональными неравенствами, поскольку каждое из них содержит рациональное выражение.

Когда мы решим рациональное неравенство, мы будем использовать многие методы, которые мы использовали при решении линейных неравенств. Мы особенно должны помнить, что когда мы умножаем или делим на отрицательное число, знак неравенства должен измениться.

Еще одно отличие состоит в том, что мы должны тщательно рассмотреть, какое значение может сделать рациональное выражение неопределенным и поэтому должно быть исключено.

Когда мы решаем уравнение и получаем \(x=3\), мы знаем, что есть одно решение, которое равно 3.

Когда мы решаем неравенство и получаем \(x>3\), мы знаем, что решений много. Мы графически отображаем результат, чтобы лучше показать все решения, и начинаем с 3. Три становится критической точкой, а затем мы решаем, следует ли заштриховать слева или справа от нее. Числа справа от 3 больше, чем 3, поэтому мы заштриховываем вправо.

Чтобы решить рациональное неравенство, мы сначала должны написать неравенство только с одним частным слева и 0 справа.

Затем мы определяем критические точки, чтобы использовать их для разделения числовой прямой на интервалы. Критическая точка — это число, которое делает рациональное выражение нулевым или неопределенным.

Затем мы оценим множители числителя и знаменателя и найдем частное в каждом интервале. Это позволит определить интервал или интервалы, содержащие все решения рационального неравенства.

Мы записываем решение в интервальной нотации, стараясь определить, включены ли конечные точки.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \(\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0\)

Решение

Шаг 1 . Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

Наше неравенство имеет следующий вид.\[\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0 \nonumber \]

Шаг 2 . Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет равно нулю или неопределенно.

Рациональное выражение будет равно нулю, если числитель равен нулю. Так как \(x-1=0\) при \(x=1\), то 1 является критической точкой.

Рациональное выражение будет неопределенным, если знаменатель равен нулю. Поскольку \(x+3=0\) при \(x=-3\), то -3 является критической точкой.

Критические точки 1 и -3.

Шаг 3 . Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Числовая строка делится на три интервала:

\[(-\infty,-3) \quad (-3,1) \quad (1,\infty) \nonumber \]

Шаг 4 . Проверьте значение в каждом интервале. Над числовой прямой показывают знак каждого множителя рационального выражения в каждом интервале. Ниже числовой строки укажите знак частного.

Чтобы найти знак каждого фактора в интервале, мы выбираем любую точку в этом интервале и используем ее в качестве контрольной точки. Любая точка интервала даст выражению тот же знак, поэтому мы можем выбрать любую точку интервала.

\[\text { Интервал }(-\infty,-3) \nonumber \]

Число -4 находится в интервале \((-\infty,-3)\). Проверка \(x=-4\) в выражении в числителе и знаменателе.

Числитель:

\[\begin{array}{l} {x-1} \\ {-4-1} \\ {-5} \\ {\text {Отрицательный}} \end{массив} \номер\]

Знаменатель:

\[\begin{array}{l} {x+3} \\ {-4+3} \\ {-1} \\ {\text {Отрицательный}} \end{массив} \nonumber \]

Над числовой строкой отметьте отрицательный множитель \(x-1\) и отрицательный множитель \(x+3\).

Поскольку отрицательное число, деленное на отрицательное, является положительным, отметьте положительное частное в интервале \((-\infty,-3)\).

\[\text {Интервал } (-3,1) \номер \]

Число 0 находится в интервале \((-3,1)\). Тест \(х=0\).

Числитель:

\[\begin{array}{l} {x-1} \\ {0-1} \\ {-1} \\ {\text {Отрицательный}} \end{массив} \ nonumber \]

Знаменатель:

\[\begin{array}{l} {x+3} \\ {0+3} \\ {3} \\ {\text {Положительный}} \end{массив } \nonumber \]

Над числовой строкой отметьте множитель \(x-1\) отрицательным и отметьте \(x+3\) положительным.

Поскольку отрицательное число, деленное на положительное, равно отрицательному, частное в интервале \((-3,1)\ помечается как отрицательное).

\[\text {Интервал }(1, \infty) \nonumber \]

Число 2 находится в интервале \((1, \infty)\). Тест \(х=2\).

Числитель:

\[\begin{array}{l} {x-1} \\ {2-1} \\ {1} \\ {\text {Positive}} \end{array} \nonumber \]

Знаменатель:

\[\begin{array}{l} {x+3} \\ {2+3} \\ {5} \\ {\text {Положительный}} \end{массив} \nonumber \]

Над числовой строкой отметьте множитель \(x-1\) положительным и отметьте \(x+3\) положительным.

Поскольку положительное число, деленное на положительное, является положительным, отметьте положительное частное в интервале \((1, \infty)\).

Шаг 5 . Определите промежутки, на которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

Мы хотим, чтобы частное было больше или равно нулю, поэтому числа в интервалах \((-\infty,-3)\) и \((1, \infty) \) являются решениями.

А как же критические точки?

Критическая точка \(x=-3\) делает знаменатель равным 0, поэтому ее нужно исключить из решения и отметить скобкой.

Критическая точка \(x=1\) делает все рациональное выражение равным 0. Неравенство требует, чтобы рациональное выражение было больше или равно. Итак, 1 является частью решения и мы будем отмечать его скобкой.

Вспомните, что когда у нас есть решение, состоящее из более чем одного интервала, мы используем символ объединения \(\cup \), чтобы соединить два интервала. Решение в интервальной записи: \((-\infty,-3) \cup[1, \infty)\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \(\dfrac{x-2}{x+4} \geq 0\)

Ответ

\((-\infty,-4) \cup[2, \infty)\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \(\dfrac{x+2}{x-4} \geq 0\)

Ответ

\((-\infty,-2] \cup(4, \infty)\)

Мы суммируем шаги для удобства.

Как решить рациональное неравенство

Шаг 1. Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

Шаг 2. Определите критические точки – точки, в которых рациональное выражение будет равно нулю или неопределенно.

Шаг 3. Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Шаг 4. Проверьте значение в каждом интервале. Над числовой прямой показывают знак каждого множителя числителя и знаменателя в каждом интервале. Ниже числовой строки укажите знак частного.

Шаг 5. Определите интервалы, на которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

Следующий пример требует, чтобы мы сначала привели рациональное неравенство в правильную форму.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \(\dfrac{4 x}{x-6}<1\)

Решение

\[\ dfrac{4 x}{x-6}<1 \nonumber \]

Вычтите 1, чтобы получить ноль справа.

\[\dfrac{4 x}{x-6}-1<0 \nonumber \]

Перепишите 1 в виде дроби с помощью ЖК-дисплея.

\[\dfrac{4 x}{x-6}-\frac{x-6}{x-6}<0 \nonumber \]

Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.

\[\dfrac{4 x-(x-6)}{x-6}<0 \nonumber \]

Упростить.

\[\dfrac{3 x+6}{x-6}<0 \nonumber \]

Разложите числитель на множители, чтобы показать все множители.

\[\dfrac{3(x+2)}{x-6}<0 \nonumber \]

Найдите критические точки.

Частное будет равно нулю, если числитель равен нулю. Частное не определено, когда знаменатель равен нулю.

\[\begin{array}{rlrl} {x+2} & {=0} & {x-6} & {=0} \\ {x} & {=-2} & {x} & { =6} \end{массив} \номер \]

Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Проверка значения в каждом интервале.

Над числовой линией укажите знак каждого множителя рационального выражения в каждом интервале. {2}-2 x-15}>0\). 9{2}-2 x-15}>0 \номер \]

Разложите знаменатель на множители.

\[\dfrac{5}{(x+3)(x-5)}>0 \nonumber \]

Найдите критические точки. Частное равно 0, когда числитель равен 0. Поскольку числитель всегда равен 5, частное не может быть 0.

Частное будет неопределенным, если знаменатель равен нулю.

\[\begin{aligned} &(x+3)(x-5)=0\\ &x=-3, x=5 \end{aligned} \nonumber \]

Используйте критические точки для разделения числовую прямую на интервалы. 9{2}=0} && {x-6=0} && {x+1=0} \\ {x=0} && {x=6} && {x=-1} \end{массив} \nonumber \ ]

Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Над числовой линией укажите знак каждого фактора в каждом интервале. Под числовой прямой покажите знак частного.

Поскольку 0 исключен, решение представляет собой два интервала \((-1,0) \cup(0,6)\), \((-1,0)\) и \((0,6) \).

Упражнение \(\PageIndex{7}\) 9{2}}

Ответить

\((3,6)\)

Решение неравенства с рациональными функциями

При работе с рациональными функциями иногда полезно знать, когда функция больше или меньше определенного значения. Это приводит к рациональному неравенству.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Учитывая функцию \(R(x)=\dfrac{x+3}{x-5}\), найдите значения x, при которых функция меньше или равно 0,

Решение

Мы хотим, чтобы функция была меньше или равна 0.

\[R(x) \leq 0 \nonnumber \]

Подставим рациональное выражение вместо \(R(x)\) .

\[\dfrac{x+3}{x-5} \leq 0 \quad x \neq 5 \nonumber \]

Найдите критические точки.

\[\begin{array}{rlrl} {x+3=0} && {x-5=0} \\ {x=-3} && {x=5} \end{array} \nonumber \]

Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Тестовые значения в каждом интервале. Над числовой линией покажите знак каждого фактора в каждом интервале. Под числовой прямой покажите знак частного. Запишите решение в интервальной записи. Поскольку 5 исключено, мы не включаем его в интервал.

\[[-3,5) \nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Учитывая функцию \(R(x)=\dfrac{x-2}{x+4} \), найдите значения \(x\), при которых функция меньше или равна 0.

Ответ

\((-4,2]\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Учитывая функцию \(R(x)=\dfrac{x+1}{x-4}\), найдите значения \(x\), которые делают функция меньше или равна 0.

Ответ

\([-1,4)\)

В экономике функция \(C(x)\) используется для представления стоимости производства \(x\) единиц товара. Среднюю стоимость единицы можно найти, разделив \(C(x)\) на количество товаров \(x\). Тогда средняя стоимость единицы равна \(c(x)=\dfrac{C(x)}{x}).

Пример \(\PageIndex{6}\)

Функция \(C(x)=10 x+3000\) представляет себестоимость производства \(x\), количество изделий. Найти:

1. Функция средней стоимости, \(c(x)\)
2. Сколько изделий нужно произвести, чтобы их средняя стоимость была меньше 40 долларов.

Решение

1. \[C(x)=10 x+3000 \номер\]

Функция средней стоимости имеет вид \(c(x)=\dfrac{C(x)}{x})\). Чтобы найти функцию средней стоимости, разделите функцию стоимости на \(x\).

\[\begin{aligned} &c(x)=\dfrac{C(x)}{x}\\ &c(x)=\dfrac{10 x+3000}{x} \end{aligned} \nonumber \]

Функция средней стоимости равна \(c(x)=\dfrac{10 x+3000}{x} \)

2. Мы хотим, чтобы функция \(c(x)\) была меньше 40.

\[c(x)<40 \nonumber \]

Подставить рациональное выражение forc(x).

\[\dfrac{10 x+3000}{x}<40, \quad x \neq 0 \nonumber \]

Вычтите 40, чтобы получить 0 справа.

\[\dfrac{10 x+3000}{x}-40<0 \номер\]

Перепишите левую часть как одно частное, найдя ЖК-дисплей и выполнив вычитание.

\[\begin{align} \dfrac{10 x+3000}{x}-40\left(\dfrac{x}{x}\right) &<0\\ \dfrac{10 x+3000}{ x}-\dfrac{40 x}{x} &<0\\ \dfrac{10 x+3000-40 x}{x} &<0 \\ \dfrac{-30 x+3000}{x} &< 0 \end{aligned} \nonumber \]

Умножьте числитель, чтобы показать все множители.

\[\begin{array}{ll} {\dfrac{-30(x-100)}{x}<0} \\ {-30(x-100)=0} && {x=0} \ конец {массив} \номер \]

Найдите критические точки.

\[\begin{array}{rl} {-30 \neq 0} & {x-100=0} \\ &{x=100} \end{array} \nonumber \]

Более 100 элементов должны быть произведены, чтобы средняя стоимость не превышала 40 долларов за единицу.

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Функция \(C(x)=20 x+6000\) представляет стоимость производства \(x\), количества изделий. Найти:

1. Сколько изделий нужно произвести, чтобы их средняя стоимость была меньше 60 долларов.

Ответ

1. \(с(х)=\dfrac{20 х+6000}{х}\)
2. Необходимо произвести более 150 единиц товара, чтобы средняя стоимость за единицу не превышала 60 долларов.

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Функция \(C(x)=5 x+900\) представляет собой стоимость производства \(x\), количества изделий. Найти:

1. Сколько изделий нужно произвести, чтобы их средняя стоимость была меньше 20 долларов.

Ответить

1. \(с(х)=\dfrac{5 х+900}{х}\)
2. Необходимо произвести более 60 единиц продукции, чтобы средняя стоимость не превышала 20 долларов за единицу.

Эта страница под названием 9.7: Решение рациональных неравенств распространяется по лицензии CC BY и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Показать страницу TOC

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. источник[1]-math-5164

Решение составных неравенств — минутная математика

В этом разделе рассматриваются следующие темы:

• Решение сложных неравенств с помощью «и»
• Решение сложных неравенств с помощью «или»
• Решение приложений с помощью составных неравенств 50 90 3010 900 900 . 6.1 Решайте сложные неравенства с помощью «и»

  Теперь, когда мы знаем, как решать линейные неравенства, следующим шагом будет изучение составных неравенств. Составное неравенство состоит из двух неравенств, соединенных словом «и» или словом «или». Например, следующие составные неравенства.

  $x+3>-4$ и $4x-5≤3$

  $2(y+1)<0$ или $y-5≥-2$

  СЛОЖНОЕ НЕРАВЕНСТВО

  A  сложное неравенство  состоит из двух неравенств, соединенных словом «и» или словом «или».

  Решить составное неравенство означает найти все значения переменной, которые делают составное неравенство верным утверждением. Мы решаем сложные неравенства, используя те же методы, что и для решения линейных неравенств. Мы решаем каждое неравенство отдельно, а затем рассматриваем два решения.

  Чтобы решить составное неравенство со словом «и», мы ищем все числа, которые делают оба неравенства верными. Чтобы решить составное неравенство со словом «или», мы ищем все числа, которые составляют либо неравенство верно.

  Начнем с сложных неравенств с «и». Нашим решением будут числа, являющиеся решениями и неравенств, известных как пересечение двух неравенств. Рассмотрим пересечение двух улиц — часть, где улицы пересекаются, — принадлежит обеим улицам.

  Чтобы найти решение составного неравенства, мы смотрим на графики каждого неравенства, а затем находим числа, которые принадлежат обоим графикам — там, где графики перекрываются.

  Для составного неравенства $x>-3$ и $x≤2$ построим график каждого неравенства. Затем мы ищем, где графики «перекрываются». Числа, заштрихованные на обоих графиках, будут заштрихованы на графике решения составного неравенства. См. рис. 1.

  Рис. 1

  Мы видим, что числа между $-3$ и $2$ заштрихованы на первых двух графиках. Затем они будут заштрихованы на графике решения.

  Число $-3$ не заштриховано на первом графике, поэтому, поскольку оно не закрашено на обоих графиках, оно не включено в график решения.

  Число два заштриховано как на первом, так и на втором графике. Поэтому на графике решения оно заштриховано.

  Вот как мы покажем наше решение в следующих примерах.

  Пример 1

  Решите $6x-3<9$ и $2x+9≥3$. Нарисуйте график решения и запишите решение в интервальной записи.

  Решение

  	$6x-3<9$ и $2x+9≥3$
  Шаг 1.  Решите каждое неравенство.	$\begin{align*} 6x-3<9 \ \ \ \ & \ \ \ \ 2x+9≥3 \\ 6x<12 \ \ \ \ & \ \ \ \ 2x≥-6 \\ x< 2 \ a&nd \ x≥-3 \end{align*}$
  Шаг 2.  Постройте график каждого решения. Затем нарисуйте числа, которые делают оба неравенства верными. На последнем графике будут показаны все числа , которые делают оба неравенства верными — числа, заштрихованные на и на первых двух графиках.
  Шаг 3.  Запишите решение в интервальной записи.	$[-3,2)$

  Все числа, делающие оба неравенства верными, являются решением составного неравенства.

  КАК: Решите сложное неравенство с помощью «и».
  1. Решите каждое неравенство.
  2. Нарисуйте график каждого решения. Затем нарисуйте числа, которые делают оба неравенства истинными.
     На этом графике показано решение составного неравенства.
  3. Запишите решение в интервальной записи.
  Пример 2

  Решите $3(2x+5)≤18$ и $2(x-7)<-6$. Нарисуйте график решения и запишите решение в интервальной записи.

  Решение

  	$3(2x+5)≤18$ и $2(x-7)<-6$
  Решите каждое неравенство.	$\begin{align*} 6x+15≤18 \ \ \ \ & \ \ \ \ 2x-14<-6 \\ 6x≤3 \ \ \ \ & \ \ \ \ 2x<8 \\ x≤ \frac{1}{2} \ a&nd \ x<4 \end{align*}$
  Граф каждый решение.
  Нарисуйте числа , которые делают оба неравенства верными.
  Запишите решение в интервальной записи.	$(-∞,\frac{1}{2}]$

  пример 3 2(x-3)≥4$ Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи
  Решение

  	$\frac{1}{3}x-4≥-2$ и $-2 (x-3)≥4$
  Решите каждое неравенство.	$\begin{align*} \frac{1}{3} x – 4 ≥ -2 \ \ \ \ & \ \ \ \ -2x + 6 ≥ 4 \\ \frac{1}{3} x≥ 2 \ \ \ \ & \ \ \ \ -2x≥-2 \\ x≥6 \ a&nd \ x≤1 \end{align*}$
  Постройте график каждого решения.
  Нарисуйте числа, которые делают оба неравенства верными.
  	Нет чисел, которые делают оба неравенства верными. Это противоречие, поэтому решения нет.

  Иногда мы имеем сложное неравенство, которое можно записать более кратко. Например, $a Обе формы эквивалентны.

  ДВОЙНОЕ НЕРАВЕНСТВО

  Двойное неравенство – это составное неравенство, такое как $a

  $0$304 9080 90 9034 $x>b$ 902 801

  	$a	эквивалентно	$a≤x$	и	$x
  Другие формы:	$a≤x≤b$	эквивалентно	и	$x≤b$
  	$a>x>b$	эквивалентно	$a>x$	и	$а ≥x≥b$	эквивалентно	$a≥x$	и	$x≥b$

  Чтобы решить двойное неравенство, мы выполняем ту же операцию на всех трех «частях» двойного неравенства с целью выделения переменной в центре.

  Пример 4

  Решить $-4≤3x-7<8$. Нарисуйте график решения и запишите решение в интервальной записи.

  Решение

  	$-4≤3x-7<8$
  Добавьте 7$ ко всем трем частям.	$-4+7≤3x-7+7<8+7$
  Упростить.	$3≤3x<15$
  Разделите каждую часть на три.	$\frac{3}{3} ≤ \frac{3x}{3} < \frac{15}{3}$
  Упростить.	$1≤x<5$
  Нарисуйте решение.
  Запишите решение в интервальной записи.	$[1,5)$

  Если записать двойное неравенство $1≤x<5$, легко увидеть, что решения представляют собой числа, находящиеся в диапазоне от одного до пяти, включая один, но не пять. Затем мы можем сразу построить график решения, как мы сделали выше.

  Другой способ графического отображения решения $1≤x<5$ – это графическое изображение решения $x≥1$ и решения $x<5$. Затем мы найдем числа, которые делают оба неравенства верными, как мы это делали в предыдущих примерах.

  2.6.2 Решение составных неравенств с помощью «или»

  Чтобы решить составное неравенство с помощью «или», мы начинаем так же, как и с составными неравенствами с «и» — мы решаем два неравенства. Затем мы находим все числа, которые составляют или 9.0770 неравенство верно.

  Так как Соединенные Штаты являются объединением всех штатов с 50-долларовым $50$, решением будет объединение всех чисел, которые делают любое неравенство верным. Чтобы найти решение составного неравенства, мы смотрим на графики каждого неравенства, находим числа, принадлежащие любому графику, и складываем все эти числа вместе.

  Чтобы записать решение в интервальной записи, мы часто будем использовать символ объединения $\cup$, чтобы показать объединение решений, показанных на графиках.

  КАК: решить сложное неравенство с помощью «или».
  1. Решите каждое неравенство.
  2. Нарисуйте график каждого решения. Затем нарисуйте числа, которые делают любое неравенство верным.
  3. Запишите решение в интервальной записи.
  Пример 5

  Решите $5-3x≤-1$ или $8+2x≤5$. Нарисуйте график решения и запишите решение в интервальной записи.

  Решение

  	$5-3x≤-1$ или $8+2x≤5$
  Решите каждое неравенство.	$ \begin{align*} 5-3x≤-1 \ \ \ \ & \ \ \ \ 8+2x≤5 \\ -3x≤-6 \ \ \ \ & \ \ \ \ 2x≤-3 \ \ x≥2 \ \ \ &or \ \ \ x≤ -\frac{3}{2} \end{align*}$
  Постройте график каждого решения.
  Нарисуйте числа, подтверждающие истинность любого из неравенств. Пример 60041 Решите $\frac{2}{3} x-4≤3$ или $\frac{1}{4}(x+8)≥-1$. Нарисуйте график решения и запишите решение в интервальной записи. Решение $\frac{2}{3} x-4≤3$ или $\frac{1}{4}(x+8)≥-1$ Решить каждое неравенство. $\begin{align*} 3(\frac{2}{3}x-4) ≤ 3(3) \ \ \ \ & \ \ \ \ 4 \cdot \frac{1}{4}(x +8)≥4 \cdot (-1) \\ 2x-12≤9 \ \ \ \ \ \ & \ \ \ \ \ x+8≥-4 \\ 2x≤21 \ \ \ \ \ \ & \ \ \ \ \ x≥-12 \\ x≤ \frac{21}{2} \ \ \ \ &or \ \ \ \ x≥-12 \end{align*}$ График каждого решения . Нарисуйте числа , подтверждающие истинность любого неравенства. Решение охватывает все действительные числа. $(-∞, ∞)$ 2. 6.3 Решение приложений с составными неравенствами Реальные ситуации также включают сложные неравенства. Мы будем использовать ту же стратегию решения задач, которую мы использовали для решения приложений линейного уравнения и неравенства. Помните, что стратегия решения проблем заключается в том, чтобы сначала прочитать задачу и убедиться, что все слова поняты. Затем определите, что мы ищем, и назначьте переменную для ее представления. Затем переформулируйте проблему в одном предложении, чтобы ее было легко перевести в сложное неравенство. Наконец, решим составное неравенство. Пример 7 Из-за засухи в Калифорнии во многих населенных пунктах установлены многоуровневые тарифы на воду. Существуют разные тарифы для резервного использования, нормального использования и чрезмерного использования. Использование измеряется количеством сотен кубических футов (hcf), которые использует владелец собственности. Летом владелец недвижимости будет платить $\$24,72$ плюс $\$1,54$ за час в час при нормальном использовании. Счет за обычное использование будет составлять от $\$57,06$ до $\$171,02$. Сколько hcf может использовать владелец, если он хочет, чтобы его использование оставалось в нормальном диапазоне? Решение Определите, что мы ищем. Количество hcf, которое он может использовать и оставаться в диапазоне выставления счетов за «нормальное использование». Назовите то, что мы ищем. Пусть $x=$ количество hcf, которое он может использовать. Переведем в неравенство. Сумма счета составляет $\$24,72$ плюс $\$1,54$, умноженное на количество используемых им hcf, или $24,72+1,54x$. Его счет будет между или равным $\$57,06$ и $\$171,02$. $57,06≤24,72+1,54x≤171,02$ Решите неравенство. $57,06 ≤ 24,72+1,54x ≤ 171,02$ $57,06–24,72 ≤ 24,74–24,72+1,54x ≤ 171,02–24,72$ $32,4≤1,54x≤146,3$ $\frac{32. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт