Как решить квадратное уравнение с двумя неизвестными: Решение уравнений с двумя переменными

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

П л а н    з а н я т и й

Урок 1. Арифметика

Урок 2.  Алгебраические преобразования

Урок 3.  Алгебраические уравнения

Урок 4 .  Логарифмические и показательные уравнения

Урок 5 .  Неравенства

Урок 6 .  Задачи на составление уравнений

Урок 7.  Последовательности и прогрессии

Урок 8.

  Планиметрия

Урок 9. Стереометрия

Урок 10. Тригонометрические функции и преобразования

Урок 11.  Тригонометрические уравнения

Урок 12.  Тригонометрические неравенства

Урок 13.  Векторы и комплексные числа

Урок 14. Функции и графики

Урок 15. Пределы

Урок 16.  Производная

Урок 17.  Интеграл

Урок 18. Множества

Урок 19.  Комбинаторика и бином Ньютона

Урок 20.  Основы теории вероятностей

Урок 21.  Основы аналитической геометрии

Урок 22.  Задачи смешанного типа

Контрольные работы

Урок 1. Арифметика

Теория: Целые (натуральные) числа. Арифметические операции. Порядок действий. Скобки. Законы сложения и умножения. Признаки делимости. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель.

Наименьшее общее кратное. Обыкновенные (простые) дроби. Действия с обыкновенными дробями. Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно. Проценты. Отношение и пропорция. Пропорциональность.

Задачи: Арифметика.

Урок 2. Алгебраические преобразования

Теория: Рациональные числа.

Действия с отрицательными и положительными числами. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Деление многочленов. Деление многочлена на линейный двучлен. Делимость двучленов. Разложение многочленов на множители. Алгебраические дроби. Пропорции.

Задачи: Алгебраические преобразования.

Урок 3. Алгебраические уравнения

Теория: Уравнения: общие сведения.

Основные методы решения уравнений. Линейные уравнения с одним неизвестным. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Степени и корни. Арифметический корень. Иррациональные числа. Формула сложного радикала. Квадратное уравнение. Мнимые и комплексные числа. Решение квадратного уравнения. Свойства корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Разложение на множители квадратного трёхчлена. Уравнения высших степеней.

Задачи: Алгебраические уравнения.

Урок 4 . Логарифмические и показательные уравнения

Теория: Логарифмы.

Задачи: Логарифмические и показательные уравнения.

Урок 5 . Неравенства

Теория: Математическая индукция. Неравенства: общие сведения.

Доказательство и решение неравенств.

Задачи: Неравенства.

Урок 6 . Задачи на составление уравнений

Теория: При решении задач на составление уравнений главным является удачный выбор неизвестных, которые, с одной стороны следуют из условий задачи, а с другой — позволяют легко решить полученные уравнения. Поэтому совсем необязательно в качестве неизвестных выбирать те величины, которые требуется найти. Для удобства и простоты решения иногда выгоднее выбрать в качестве неизвестных другие величины, найти их, решив полученные уравнения, а затем, используя условия задачи, найти и нужные величины.

Задачи: Задачи на составление уравнений.

Урок 7. Последовательности и прогрессии

Теория: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задачи: Последовательности и прогрессии.

Урок 8. Планиметрия

Теория: Теоремы, аксиомы, определения. Прямая линия, луч, отрезок. Углы. Параллельные прямые. Аксиомы геометрии Евклида. Многоугольник. Треугольник.

Параллелограмм и трапеция. Подобие плоских фигур. Признаки подобия треугольников. Геометрическое место точек. Круг и окружность. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники. Площади плоских фигур.

Задачи: Планиметрия.

Урок 9. Стереометрия

Теория: Общие понятия. Углы. Проекции. Многогранные углы. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.

Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида. Цилиндр. Конус. Шар (сфера). Касательная плоскость шара, цилиндра и конуса. Телесные углы. Правильные многогранники. Симметрия. Симметрия плоских фигур. Подобие тел. Объёмы и поверхности тел.

Задачи: Стереометрия.

Урок 10. Тригонометрические функции и преобразования

Теория: Радианное и градусное измерение углов.

Перевод градусной меры в радианную и обратно. Тригонометрические функции острого угла. Решение прямоугольных треугольников. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Тригонометрические функции любого угла. Формулы приведения. Формулы сложения и вычитания. Формулы двойных, тройных и половинных углов. Преобразование тригонометрических выражений в произведение. Некоторые важные соотношения. Основные соотношения между элементами треугольника. Решение косоугольных треугольников. Обратные тригонометрические функции. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций.

Задачи: Тригонометрические преобразования.

Урок 11. Тригонометрические уравнения

Теория: Тригонометрические уравнения. Основные методы решения. Системы тригонометрических уравнений.

Задачи: Тригонометрические уравнения.

Урок 12. Тригонометрические неравенства

Теория: Тригонометрические неравенства.

Задачи: Тригонометрические неравенства.

Урок 13. Векторы и комплексные числа

Теория: Основы векторного исчисления. Комплексные числа.

Задачи: Векторы и комплексные числа.

Урок 14. Функции и графики

Теория: Постоянные и переменные. Функциональная зависимость между двумя переменными. Представление функции формулой и таблицей. Обозначение функций. Координаты. Графическое представление функций. Основные понятия и свойства функций. Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции и их графики. Графическое решение уравнений. Графическое решение неравенств.

Задачи: Функции и графики.

Урок 15. Пределы

Теория: Пределы числовых последовательностей. Пределы функций.

Задачи: Пределы.

Урок 16. Производная

Теория: Производная. Геометрический и механический смысл производной. Дифференциал и его связь с производной. Основные свойства производных и дифференциалов. Производные элементарных функций. Правило Лопиталя. Применение производной в исследовании функций. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции.

Задачи: Производная.

Урок 17. Интеграл

Теория: Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла. Методы интегрирования. Некоторые неопределённые интегралы от элементарных функций. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определённого интеграла. Приложения определённого интеграла в геометрии и механике . Некоторые определённые интегралы. Интеграл с переменным верхним пределом.

Задачи: Интеграл.

Урок 18. Множества

Теория: Основные понятия. Примеры множеств . Операции над множествами .

Задачи: Множества.

Урок 19. Комбинаторика и бином Ньютона

Теория: Комбинаторика. Бином Ньютона.

Задачи: Комбинаторика. Бином Ньютона.

Урок 20. Основы теории вероятностей

Теория: События . Определение и основные свойства вероятности . Условная вероятность. Независимость событий . Случайные величины . Характеристики случайных величин . Нормальное (гауссово) распределение .

Задачи: Вероятность.

Урок 21. Основы аналитической геометрии

1. Теория (аналитическая геометрия на плоскости) : Преобразования координат. Прямая. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола.

2. Теория (аналитическая геометрия в пространстве) : Преобразования координат. Плоскость. Прямая. Сфера.

Задачи: Аналитическая геометрия.

Урок 22. Задачи смешанного типа

Теория: Здесь возможно использование любых понятий из любого раздела программы по элементарной математике.

Задачи: Смешанные задачи.

Контрольные работы

Выполнение каждой контрольной работы рассчитано на 3 часа. Здесь желательно засечь «чистое» время решения каждого контрольного задания, чтобы быть уверенным в том, что Вы уложетесь в о тведенное для этого время на экзамене.

Контрольные: Выбор варианта

2.

1.1 Квадратные уравнения

Видеоурок 1: Квадратное уравнение и его корни

Видеоурок 2: Решение квадратных уравнений

 

Лекция: Квадратные уравнения

Уравнение

Уравнение — это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная. 

Решить уравнение — значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

 

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

— линейное: a*x = b;

— квадратное: a*x² + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения

Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид: 

a*x² + b*x + c = 0.

При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А «х» — корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

«а» — коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

«b» — стоит перед неизвестной в первой степени.

«с» — свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2х²-5х+3=0

В нем «2» — это коэффициент при старшем члене уравнения, «-5» — второй коэффициент, а «3» — свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета

Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета.

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0), то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

2. Если второй коэффициент равен нулю (b = 0), то уравнение будет иметь следующий вид:

Для решения данного уравнения необходимо освободить корень от коэффициентов, в результате чего уравнение будет иметь следующий вид:

3. Если же свободный член равен нулю, то уравнение имеет следующий вид:

Для его решения необходимо вынести общий множитель за скобку. В результате этого мы имеем право каждый множитель приравнять к нулю. Это значит, что один корень всегда будет равен нулю, а второй вычисляется, как линейное уравнение по правилам нахождения неизвестного слагаемого.

1.6.3 Построение алгоритмов и практические вычисления

2. 2 Характерные химические свойства и получение простых веществ — металлов: щелочных, щелочноземельных, алюминия; переходных элементов (меди, цинка, хрома, железа)

1.2.4 Общая характеристика неметаллов IVA – VIIA групп в связи с их положением в Периодической системе химических элементов Д.И.Менделеева и особенностями строения их атомов

4.1 Самостоятельные части речи. Имя числительное

6.5 Правописание корней

• Вконтакте
• Сайт

Квадратные одновременные уравнения — шаги, примеры, рабочий лист

Введение

Что такое квадратные одновременные уравнения?

Рабочие листы для квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения

Распространенные заблуждения

Практика квадратных уравнений вопросы

Квадратные одновременные уравнения GCSE вопросы

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE

Узнать больше

Введение

Что такое квадратные одновременные уравнения?

Рабочие листы для квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения

Распространенные заблуждения

Практика квадратных уравнений вопросы

Квадратные одновременные уравнения Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Вот все, что вам нужно знать о квадратных уравнениях для GCSE по математике (Edexcel, AQA и OCR).

Вы узнаете, что такое одновременные квадратные уравнения и как их решать алгебраически. Мы также обсудим их связь с графами и то, как их можно решить графически.

Ищите рабочие листы с одновременными квадратными уравнениями и экзаменационные вопросы в конце.

Что такое квадратные одновременные уравнения?

Квадратные одновременные уравнения представляют собой два или более уравнений, в которых используются общие переменные, возведенные в степень до 2, например. х ² и у ² .

Ниже приведены примеры квадратных уравнений, составленных из пары уравнений; одно линейное уравнение и одно уравнение с квадратичными элементами. 9{2}&=18 \\ 3 х+4 у&=7 \end{aligned}\]

Одно из ключевых отличий квадратных уравнений заключается в том, что мы можем ожидать несколько ответов. Это связано с тем, что графики линейных и квадратичных или других нелинейных функций могут пересекаться.

На графике ниже видно, что прямая линейного уравнения пересекла изогнутую параболу квадратного уравнения в двух точках пересечения.

Это означает, что одновременные уравнения имеют два правильных ответа. 9{2}-4 х-2 \end{aligned}\]

На графике эти два уравнения пересекаются в двух точках (− 6, 10) и (1, 3) .

Таким образом, решениями одновременных уравнений являются:

\[x = -6, y = 10\]

и

\[x = 1, y = 3\]

Рабочие листы квадратных уравнений

Получить ваш бесплатный рабочий лист с квадратными одновременными уравнениями, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочие листы по одновременным квадратным уравнениям

Получите бесплатный рабочий лист по одновременным квадратным уравнениям, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Квадратные одновременные уравнения является частью нашей серии уроков для поддержки пересмотра одновременных уравнений . Возможно, вам будет полезно начать с основного урока по одновременным уравнениям, чтобы получить общее представление о том, чего ожидать, или использовать пошаговые руководства ниже для получения более подробной информации по отдельным темам. Другие уроки в этой серии включают в себя:

• Одновременные уравнения
• Графическое решение одновременных уравнений

Как решать квадратные одновременные уравнения

Чтобы решить систему одновременных уравнений, вам необходимо:

1. Исключить одну из переменных.
2. Найти значение одной переменной.
3. Найдите значение остальных переменных с помощью подстановки.
4. Четко укажите окончательные ответы.
5. Проверьте свой ответ, подставив оба значения в любое из исходных уравнений. 9{2}+4 х-5\\ 0 &=(х+5)(х-1)\\ x&=-5\quad или \quad x=1 \end{aligned}\]

   ПРИМЕЧАНИЕ: помните, что мы вычитаем целое из (x + 3).

   ПРИМЕЧАНИЕ: здесь мы решили разложением на множители, но вы также можете решить, используя квадратное уравнение или заполнив квадрат.

   ПРИМЕЧАНИЕ: мы нашли два возможных значения x с помощью квадратного уравнения.

   3Найдите значение остальных переменных путем подстановки.

   Поскольку у нас есть два значения x, мы можем подставить оба значения в одно из исходных уравнений и найти два возможных значения y.

   Помните, что вы можете использовать любое уравнение, так почему бы не выбрать самое простое!

   \[y=x+3\]

   \[\begin{выровнено} х&=-5 \\ у&=х+3 \\ у&=-5+3 \\ у&=-2 \end{выровнено}\]

   \[\begin{выровнено} х&=1 \\ у&=х+3 \\ у&=1+3 \\ у&=4 \end{aligned}\]

   4Четко укажите окончательный ответ/с.

   \[х=-5,у=-2\] 9{2}+7 х+10&=0 \\ (х+5)(х+2)&=0 \\ x&=-5\quad или \quad x=-2 \end{align}\]

   ПРИМЕЧАНИЕ: помните, что (x + 7) ² означает (x + 7)(x + 7).

   ПРИМЕЧАНИЕ: мы можем упростить на ÷ 2.

   ПРИМЕЧАНИЕ: мы нашли два возможных значения x, используя квадратное уравнение.

   Найдите значение остальных переменных с помощью подстановки.

   Поскольку у нас есть два значения x, мы можем подставить оба значения в одно из исходных уравнений и найти два возможных значения y.

   Помните, что вы можете использовать любое уравнение, так почему бы не выбрать самое простое!

   \[x+7=y\]

   \[\begin{выровнено} х&=-5\\ х+7&=у\\ -5+7&=у\\ 2&=у \end{выровнено}\]

   \[\begin{выровнено} х&=-2\\ х+7&=у\\ -2+7&=у\\ 5&=г \end{aligned}\]

   Четко сформулируйте окончательный ответ.

   \[x=-5,y= 2\]

   или

   \[x=-2,y=5\]

   Проверьте свой ответ, подставив оба значения в одно из исходных уравнений. 9{2}&=29 \\ 25+4&=29 \end{aligned}\]

   Оба верны, поэтому мы можем быть уверены, что наш ответ правильный.

   Графическое представление

   На графике эти два уравнения пересекаются в точках (− 2, 5) и (− 5, 2). Таким образом, решения одновременных уравнений таковы:

   \[x=-5,y= 2\]

   или

   \[x=-2,y=5\]

   Обратите внимание, что график y ² + х ² = 29 это круг!

   Пример 3: исключение заменой с изменением подлежащего формулы 9{2}-4(5)(85)}}{2(5)} \\ х&=3.

   4, \qquad х=5 \end{aligned}\]

   Обратите внимание, что решения могут быть как десятичными, так и целыми числами.

   Найдите значение остальных переменных с помощью подстановки.

   Поскольку у нас есть два значения x, мы можем подставить оба значения в одно из исходных уравнений и найти два возможных значения y.

   Помните, что вы можете использовать любое уравнение, так почему бы не выбрать самое простое!

   \[\begin{выровнено} х&=3,4\\ 3x+4y&=7\\ 3(3.4)+4у&=7\\ 10,2+4у&=7\\ 4у&=-3,2\\ у&=-0,8 \конец{выровнено}\] 9{2}&=18 \\ 50-32&=18 \end{aligned}\]

   Оба верны, поэтому мы можем быть уверены, что наш ответ правильный.

   Графическое представление

   На графике эти два уравнения пересекаются в точках (3.4, − 0,8) и (5, − 2). Таким образом, решения одновременных уравнений:

   \[x= 3,4,y= -0,8\]

   или

   \[x=5,y=-2\]

   Распространенные заблуждения

   • Отрицательные числа

   Небольшие ошибки при использовании +, −, ✕, ÷ с отрицательными числами.

   Помните, что при возведении в квадрат отрицательного числа вы получите положительное.

   • Отсутствующие решения

   Легко забыть, что одновременные квадратные уравнения могут иметь две пары решений. Нам нужно использовать замену, чтобы найти все возможные решения.

   • Не проверять ответ с помощью подстановки

   Ошибки можно быстро обнаружить, подставив свои решения в исходное первое или второе уравнение, чтобы проверить, работают ли они. 9{2}+3x-2 .

    

   Затем мы используем наши стандартные методы для решения этого квадратного уравнения. Подставьте оба ответа для x в первое уравнение, чтобы найти необходимые значения y.

    

   x=5, \quad y=9
   x=1, \quad y=3

   x=-5, \quad y=9
   x=1, \quad y=3

   x =-5, \quad y=9
   x=-1, \quad y=-3

   x=-5, \quad y=9
   x=1, \quad y=-3

   Преобразование первого уравнения дает y=4-x 9{2}+3 x-1

    

   Затем мы используем наши стандартные методы решения квадратных уравнений. Подставьте оба ответа для x в первое уравнение, чтобы определить необходимые значения y.

    

   x=-\frac{1}{3},\quad y=\frac{1}{3}

   x=-\frac{1}{3},\quad y=-\ frac{1}{3}

   x=\frac{1}{3},\quad y=\frac{1}{3}

   x=\frac{1}{3},\quad y=- \frac{1}{3}

   Преобразование первого уравнения дает  y=5x+2

    

   9{2}+11 x+3

    

   Затем мы используем наши стандартные методы решения квадратных уравнений. Это уравнение имеет повторяющийся корень, поэтому существует только одна пара решений.

    

   Существует только одна пара решений, поэтому графики пересекаются только в одной точке. 0,5

   x=4,5, \quad y=-6,5
   x=2,5, \quad y=-0,5 9{2}+2x-11=0 .

    

   Затем мы используем наши стандартные методы решения квадратных уравнений. Это можно решить, заполнив квадрат, но, вероятно, в этом случае проще использовать формулу квадрата.

    

   Подставьте оба ответа вместо x в первое уравнение, чтобы получить необходимые значения y.

    

   Квадратные одновременные уравнения Вопросы GCSE

   1. Решите одновременные уравнения:

     9{2}-9 х=12

   (1)

   Уравнение = 0

   (1)

   Решение для x правильно (4 и 1)

   Правильное замена X обратно в любое уравнение

   Ft (1000 (1000 (1000 (1000 1000 2

   )

    

   Правильный окончательный ответ четко отображается

   \begin{выровнено} &x=4, \quad y=3 \\ &x=-1, \quad y=-12 \end{выровнено}

   (2)

   2. Решить одновременные уравнения: 9{2}-42 х+85=0

   (1)

    

   Правильный способ решения квадратных уравнений \begin{выровнено} &x=\frac{17}{5}, y=-\frac{4}{5} \\ &х=5, у=-2 \end{выровнено}

   (2)

   Учебный контрольный список

   • Решите два одновременных уравнения с двумя переменными (где одно уравнение линейное, а другое квадратичное) алгебраически

   Все еще застряли?

   Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

   Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике. …0003

   Бесплатный калькулятор линейных уравнений — шаг за шагом решайте линейные уравнения.

   Решатель систем уравнений онлайн — Wolfram|Alpha

   www.wolframalpha.com › system-equation-calculator

   Решатель систем уравнений Wolfram|Alpha может помочь вам найти решения систем линейных уравнений, а также многое другое общие системы ограничений.

   Решение систем линейных уравнений — Калькулятор матриц

   matrixcalc.org › slu

   Этот калькулятор решает системы линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса, метода обратной матрицы или правила Крамера. Также вы можете вычислить ряд …

   Linear Equations — Microsoft Math Solver

   mathsolver.microsoft.com › тема › алгебра › linear-…

   Узнайте о линейных уравнениях с помощью нашего бесплатного математического решателя с шагом -пошаговые решения.

   Калькулятор алгебры — MathPapa

   www.mathpapa.com › алгебра-калькулятор

   Алгебра Калькулятор показывает вам пошаговые решения! Решит задачи по алгебре и проведет вас через них.

   Решение систем уравнений… · Учебное пособие по калькулятору · Примеры алгебраического калькулятора

   Ähnliche Fragen

   Как вы рассчитываете линейные уравнения?

   Может ли PhotoMath решать линейные уравнения?

   Какие существуют 4 метода решения линейных уравнений?

   Как шаг за шагом решить линейное уравнение?

   Калькулятор системы уравнений — MathPapa

   www.mathpapa.com › системный калькулятор

   Пошаговое руководство по решению систем уравнений! Этот калькулятор решит ваши проблемы.

   Многошаговый калькулятор уравнений — Mathepower

   www.mathepower.com › уравнения

   Решение уравнений · Как решать основные линейные уравнения? · Как Mathepower показывает решения? · А если я хочу, чтобы решалось другое уравнение? · Что особенного .

   No related posts.