Как решить систему из 2 уравнений с 2 неизвестными: Решение систем уравнений — метод как решить систему линейных уравнений

Решите для x и y, учитывая эти два уравнения, содержащие две неизвестные величины.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Мы хотим выделить член y в одном уравнении. Под этим мы подразумеваем, что нам нужно уравнение, которое выражает значение одного y через x.

Поскольку теперь у нас есть выражение для значения y через x, мы заменим член y в уравнении 2 этим новым выражением, которое мы получили выше. Это оставит нам только одну неизвестную величину, x, для решения уравнения 2 вместо двух неизвестных, которые у нас были раньше.

Имея значение x, мы можем использовать его в уравнении 1 или уравнении 2, чтобы найти значение y. (Используя уравнение 1)

3 (4) + 2 = 2y
12 + 2 = 2y
14 = 2y
y = 14/2
y = 7

использовать для решения двух неизвестных в тех же двух уравнениях.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

На этот раз наша цель – найти множитель для умножения одного из уравнений, на который мы сможем суммировать два уравнения и исключить одно из неизвестных. Если мы умножим обе части уравнения 1 на коэффициент -2, а затем просуммируем два уравнения, у нас останется выражение, содержащее только одно неизвестное. Мы выбрали -2 в качестве коэффициента для умножения уравнения 1, так что правая часть уравнения 1 при добавлении к правой части уравнения 2 приведет к исключению члена y из результирующего уравнения.

Теперь мы суммируем это новое выражение для уравнения 1 с нашим исходным уравнением 2. Добавление -4y из правой части нашего нового выражения для уравнения 1 к 4y в правой части уравнения 2 приведет к 0y, что эффективно исключает член y из результирующего уравнения.

Уравнение 1 -6x – 4 = — 4y (уравнение 1 изменено с коэффициентом -2) 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Чтобы просуммировать эти уравнения, добавьте члены из левой части каждого уравнения вместе, и сложите члены из правой части уравнений вместе следующим образом…. .

(-6x – 4) + (8x – 4) = (-4y) + (4y) 
2x – 8 = 0 
2x = 8
x = 8/2
x = 4

Теперь мы будем использовать значение 4 для x в любом из двух исходных уравнений, чтобы найти значение y. (Используя уравнение 2)

8(4) – 4 = 4y
32 – 4 = 4y
28 = 4y
y = 28/4
y = 7

легко узнаваемый способ сведения уравнения к одному неизвестному. Вместо этого мы могли бы исключить переменную x, оставив уравнение с y в качестве единственной неизвестной величины.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Чтобы убрать члены x из приведенных выше уравнений, необходимо применить коэффициент к обоим уравнениям, чтобы создать ситуацию мы желаем. Если мы умножим Eq.1 на 8 и Eq.2 на -3, члены x станут 24x и -24x соответственно. Они компенсируют друг друга при суммировании двух уравнений.

Уравнение 1 8(3x + 2) = 8(2y)
Уравнение 1 24x + 16 = 16y
Уравнение 2 -3(8x – 4) = -3(4y)
Уравнение 2 -24x + 12 = -12y

Теперь мы суммируем наши два новых уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной. Если мы напишем уравнения одно поверх другого, мы можем просто просуммировать по вертикали, чтобы получить наше уравнение с одной переменной.

Теперь мы будем использовать это известное значение y в одном из исходных уравнений, чтобы найти значение x. (Используйте уравнение 1)

3x + 2 = 2(7)
3x + 2 = 14
3x = 14 – 2
3x = 12
x = 12/3
x = 4

Практический пример того, как применяются эти методы, представлен в видеоролике, посвященном анализу петель ниже. В этом примере используются методы замены и исключения для решения одновременных уравнений цикла KVL, и он проиллюстрирован шаг за шагом.

Мы надеемся, что это было полезно для вас как практикующего или студента-техника. Если вам понравился этот пост, ознакомьтесь с нашей предыдущей статьей из серии «Практикующий техник»;

Использование функции Natural Log или «ln» при анализе цепей.
Как создать правильный закон Ома Уравнения ответвления KCL для узлового анализа

Мы ищем другие идеи для этой продолжающейся серии для практикующих техников. Пожалуйста, дайте нам знать, о чем вы хотели бы, чтобы мы написали, отправив нам свои мысли и вопросы по адресу [email protected].

систем уравнений с двумя переменными | безграничная алгебра |

Введение в системы уравнений

Система уравнений состоит из двух или более уравнений с двумя или более переменными, где любое решение должно удовлетворять всем уравнениям системы одновременно.

Цели обучения

Объясните, какие системы уравнений могут быть представлены

Основные выводы

Ключевые моменты

• Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
• Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.
• Чтобы линейная система имела единственное решение, в ней должно быть как минимум столько уравнений, сколько переменных.
• Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара

  (x,y)(x, y)(x,y)

  , удовлетворяющая каждому уравнению независимо. Графически решения представляют собой точки, в которых пересекаются прямые.

Основные термины

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям системы одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное число решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, в ней должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальности решения.

В этом разделе мы сосредоточимся главным образом на системах линейных уравнений, которые состоят из двух уравнений, содержащих две различные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными:

2x+y=153x−y=52x + y = 15 \\ 3x — y = 52x+y=153x−y=5

Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара (4, 7) является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.

2(4)+7=153(4)−7=52(4) + 7 = 15 \\ 3(4) — 7 = 52(4)+7=153(4)−7=5

Оба утверждения верны, поэтому

(4,7)(4, 7)(4,7)

действительно является решением системы уравнений.

Обратите внимание, что система линейных уравнений может содержать более двух уравнений и более двух переменных. Например,

3x+2y-z=12x-2y+4z=-2-x+12y-z=03x + 2y — z = 12 \\ х — 2у + 4з = -2\ -x + 12y -z = 0 3x+2y−z=12x−2y+4z=−2−x+12y−z=0

представляет собой систему трех уравнений с тремя переменными

х, у, zx, у, zx, у, z

. Решение приведенной выше системы дается выражением

x=1y=-2z=-2x = 1 \\ y = -2 \\ z = — 2x=1y=-2z=-2

, так как оно составляет все три уравнения действительный.

Типы линейных систем и их решения

В общем, линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

1. Система имеет единственное уникальное решение.
2. Система не имеет решения .
3. В системе бесконечно много решений .

Каждая из этих возможностей представляет определенный тип системы линейных уравнений с двумя переменными. Каждый из них может быть отображен графически, как показано ниже. Обратите внимание, что решением системы линейных уравнений является любая точка, в которой пересекаются прямые.

Системы линейных уравнений: Графическое представление трех типов систем.

Независимая система имеет ровно одну пару решений

(x,y)(x, y)(x,y)

. Точка пересечения двух прямых является единственным решением. Несовместная система не имеет решений. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекаются.

Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совершенно одинаковы, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Решающие системы графически

Простой способ решить систему уравнений — найти точку или точки пересечения уравнений. Это графический метод.

Цели обучения

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Чтобы решить систему уравнений графически, нарисуйте уравнения и определите точки пересечения в качестве решений. Система уравнений может иметь более одного решения.
• Система линейных уравнений будет иметь одну точку пересечения или одно решение.
• Чтобы построить график системы уравнений, записанной в стандартной форме, вы должны переписать уравнения в форме наклона и точки пересечения.

Ключевые термины

• система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые можно решить, используя определенный набор значений.
• Графический метод : Способ визуального нахождения набора значений, который решает систему уравнений.

Система уравнений (также известная как одновременные уравнения) представляет собой набор уравнений с несколькими переменными, решаемый, когда значения всех переменных одновременно удовлетворяют всем уравнениям. Наиболее распространенные способы решения системы уравнений:

• Графический метод
• Метод замены
• Метод устранения

Здесь мы обратимся к графическому методу.

Решающие системы графически

Некоторые системы имеют только один набор правильных ответов, в то время как другие имеют несколько наборов, удовлетворяющих всем уравнениям. Как показано графически, набор уравнений, решенных только с одним набором ответов, будет иметь только одну точку пересечения, как показано ниже. Эта точка считается решением системы уравнений. В наборе линейных уравнений (например, на изображении ниже) есть только одно решение.

Система линейных уравнений с двумя переменными : На этом графике показана система уравнений с двумя переменными и только один набор ответов, который удовлетворяет обоим уравнениям.

Система с двумя наборами ответов, удовлетворяющих обоим уравнениям, имеет две точки пересечения (таким образом, два решения системы), как показано на изображении ниже.

Система уравнений с несколькими ответами: Это пример системы уравнений, показанной графически, которая имеет два набора ответов, удовлетворяющих обоим уравнениям системы.

Преобразование в форму пересечения уклонов

Прежде чем успешно решить систему графически, нужно понять, как изобразить уравнения, записанные в стандартной форме, или

Ax+By=CAx+By=CAx+By=C

. Вы всегда можете использовать графический калькулятор для графического представления уравнений, но полезно знать, как формулировать такие уравнения самостоятельно.

Для этого необходимо преобразовать уравнения в форму наклон-пересечение, или

y=mx+by=mx+by=mx+b

, где 91 314 м = уклон и b = точка пересечения с осью Y.

Лучший способ преобразовать уравнение в форму с пересечением наклона — сначала выделить переменную y  , а затем разделить правую часть на B , как показано ниже.

Ax+By=CBy=-Ax+Cy=-Ax+CBy=-ABx+CB\begin{align} \displaystyle Ax+By&=C \\By&=-Ax+C \\y&=\frac{-Ax+C}{B} \\y&=-\frac{A}{B}x+\frac{C}{B} \end{align}Ax+ByByyy​=C=-Ax+C=B-Ax+C​=-BA​x+BC​​

Сейчас

−AB\displaystyle -\frac{A}{B}−BA​

 это уклон м, и

CB\displaystyle \frac{C}{B}BC​

 это точка пересечения с координатой Y б .

Поиск решений на графике

После того, как вы преобразовали уравнения в форму пересечения наклона, вы можете построить уравнения. Чтобы определить решения системы уравнений, определите точки пересечения графических уравнений. Упорядоченная пара, представляющая пересечение (пересечения), представляет собой решение (я) системы уравнений.

Метод замены

Метод подстановки — это способ решения системы уравнений путем выражения уравнений только с одной переменной.

Цели обучения

Решите системы уравнений с двумя переменными с помощью подстановки

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Система уравнений — это набор уравнений, которые можно решить, используя определенный набор значений.
• Метод подстановки работает, выражая одну из переменных через другую, затем подставляя ее обратно в исходное уравнение и упрощая ее.
• Очень важно проверить свою работу после того, как вы нашли набор значений для переменных. Сделайте это, подставив найденные значения обратно в исходные уравнения.
• Решение системы уравнений можно записать в виде упорядоченной пары ( x , y ).

Ключевые термины

• метод подстановки : метод решения системы уравнений путем представления уравнения только с одной переменной
• система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые можно решить, используя определенный набор значений.

Метод подстановки  для решения систем уравнений — это способ упростить систему уравнений, выражая одну переменную через другую, таким образом удаляя одну переменную из уравнения. Когда полученное упрощенное уравнение имеет только одну переменную для работы, уравнение становится разрешимым.

Метод замены состоит из следующих шагов:

1. В первом уравнении найдите одну из переменных через другие.
2. Подставьте это выражение в остальные уравнения.
3. Продолжайте, пока не сведете систему к одному линейному уравнению.
4. Решите это уравнение, а затем подставьте обратно, пока решение не будет найдено.

Решение методом подстановки

Давайте попрактикуемся, решив следующую систему уравнений:

x−y=−1x-y=-1x−y=−1

x+2y=-4x+2y=-4x+2y=-4

Начнем с решения первого уравнения, чтобы выразить x через y .

x−y=−1x=y−1\begin{align} \displaystyle х-у&=-1 \\х&=у-1 \end{align}x−yx​=−1=y−1​​

Затем мы подставим наше новое определение x во второе уравнение:

x+2y=−4(y−1) +2y=−4\displaystyle \begin{выравнивание} x+2y&=-4 \\(у-1)+2у&=-4 \end{align}x+2y(y−1)+2y​=−4=−4​​

Обратите внимание, что теперь это уравнение имеет только одну переменную (y). Затем мы можем упростить это уравнение и решить для г :

(y−1)+2y=−43y−1=−43y=−3y=−1\displaystyle \begin{выравнивание} (y-1)+2y&=-4 \\3y-1&=-4 \\3y&=-3 \\у&=-1 \end{align}(y−1)+2y3y−13yy​=−4=−4=−3=−1​​

Теперь, когда мы знаем значение y , мы можем использовать его, чтобы найти значение другой переменной, x. Для этого подставьте значение y в первое уравнение и найдите x .

x−y=−1x−(−1)=−1x+1=−1x=−1−1x=−2\displaystyle \begin{выравнивание} x-y&=-1 \\х-(-1)&=-1 \\х+1&=-1 \\х&=-1-1 \\х&=-2 \end{align}x−yx−(−1)x+1xx​=−1=−1=−1=−1−1=−2​​

Таким образом, решение системы:

(-2,-1)(-2, -1)(-2,-1)

, что является точкой графического пересечения двух функций. Проверьте решение, подставив значения в одно из уравнений.

x−y=−1(−2)−(−1)=−1−2+1=−1−1=−1\displaystyle \begin{выравнивание} x-y&=-1 \\(-2)-(-1)&=-1 \\-2+1&=-1 \\-1&=-1 \end{align}x−y(−2)−(−1)−2+1−1​=−1=−1=−1=−1​

Метод исключения

Метод исключения используется для исключения переменной, чтобы упростить решение оставшейся переменной (переменных) в системе уравнений.

Цели обучения

Решение систем уравнений с двумя переменными с помощью исключения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Этапы метода исключения: (1) составить уравнения так, чтобы переменные совпадали, (2) изменить одно уравнение, чтобы оба уравнения разделить непротиворечивую переменную, которую можно исключить, (3) сложить уравнения вместе, чтобы исключить переменную, (4) решить и (5) выполнить обратную замену, чтобы найти другую переменную.
• Всегда проверяйте ответ. Это делается путем подстановки обоих значений в одно или оба исходных уравнения.

Ключевые термины

• метод исключения : Процесс решения системы уравнений путем исключения одной переменной для более простого решения для оставшейся переменной.
• система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые можно решить, используя определенный набор значений.

Метод исключения для решения систем уравнений, также известный как исключение путем сложения , представляет собой способ исключить одну из переменных в системе, чтобы более просто оценить оставшуюся переменную. Как только значения оставшихся переменных были успешно найдены, они подставляются в исходное уравнение, чтобы найти правильное значение для другой переменной.

Метод исключения состоит из следующих шагов:

1. Перепишите уравнения так, чтобы переменные выровнялись.
2. Измените одно уравнение, чтобы в обоих уравнениях была переменная, которая самоуничтожается при сложении уравнений.
3. Добавьте уравнения и исключите переменную.
4. Найдите оставшуюся переменную.
5. Обратно подставить и найти другую переменную.

Решение методом исключения

Метод исключения можно продемонстрировать на простом примере:

4x+y=82y+x=9\displaystyle 4х+у=8 \\ 2у+х=94x+y=82y+x=9

Сначала выровняйте переменные, чтобы уравнения можно было легко сложить на следующем шаге:

4x+y=8x+2y=9\displaystyle \begin{выравнивание} 4x+y&=8 \\х+2у&=9 \end{align}4x+yx+2y​=8=9​​

Затем посмотрите, не настроены ли уже какие-либо переменные таким образом, что их сложение аннулирует их из системы. Если нет, умножьте одно уравнение на число, позволяющее сократить переменные. В этом примере переменная y можно исключить, если умножить первое уравнение на

−2-2−2

, а затем сложить уравнения вместе.

Шаг умножения:

−2(4x+y=8)x+2y=9\displaystyle \begin{выравнивание} -2(4x+y&=8) \\х+2у&=9 \end{align}−2(4x+yx+2y​=8)=9​​

Результат:

−8x−2y=−16x+2y=9\displaystyle \begin{выравнивание} -8x-2y&=-16 \\х+2у&=9 \end{align}−8x−2yx+2y​=−16=9​​

Теперь добавьте уравнения, чтобы исключить переменную y .

−8x+x−2y+2y=−16+9−7x=−7\displaystyle \begin{выравнивание} -8x+x-2y+2y&=-16+9 \\-7x&=-7 \end{align}−8x+x−2y+2y−7x​=−16+9=−7​

Наконец, найдите переменную x .

−7x=−7x=−7−7x=1\displaystyle \begin{выравнивание} -7x&=-7 \\x&=\frac{-7}{-7} \\х&=1 \end{align}−7xxx​=−7=−7−7​=1​

Затем вернитесь к одному из исходных уравнений и подставьте найденное значение вместо x . Легче всего выбрать самое простое уравнение, но любое уравнение будет работать.

4x+y=84(1)+y=84+y=8y=4\displaystyle \begin{выравнивание} 4x+y&=8 \\4(1)+у&=8 \\4+у&=8 \\у&=4 \end{align}4x+y4(1)+y4+yy​=8=8=8=4​

Таким образом, решением уравнения является (1,4). Всегда важно проверить ответ, подставив оба этих значения вместо соответствующих переменных в одно из уравнений.

4x+y=84(1)+4=84+4=88=8\displaystyle \begin{выравнивание} 4x+y&=8 \\4(1)+4&=8 \\4+4&=8 \\8&=8 \end{align}4x+y4(1)+44+48​=8=8=8=8​

Несогласованные и зависимые системы с двумя переменными

Для линейных уравнений с двумя переменными несовместные системы не имеют решений, а зависимые системы имеют бесконечно много решений.

Цели обучения

Объясните, когда системы уравнений с двумя переменными несовместимы или зависимы как графически, так и алгебраически.

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Графически уравнения в зависимой системе представляют одну и ту же линию. Уравнения в несовместной системе представляют собой параллельные линии, которые никогда не пересекаются.
• Мы можем использовать методы решения систем уравнений для идентификации зависимых и несовместных систем: Зависимые системы имеют бесконечное число решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к истинному тождеству, такому как

  0=00 = 00=0

  . Несовместные системы не имеют решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к противоречию, например, к утверждению

  0=10 = 10=1

  .

Основные термины

Напомним, что линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

1. Система имеет единственное уникальное решение.
2. Система не имеет решения.
3. Система имеет бесконечно много решений.

Напомним также, что каждая из этих возможностей соответствует типу системы линейных уравнений с двумя переменными. Независимая система уравнений имеет ровно одно решение

(x,y)(x,y)(x,y)

. Несовместная система не имеет решений, а зависимая система имеет бесконечное число решений.

В предыдущих модулях обсуждалось, как найти решение для независимой системы уравнений. Теперь мы сосредоточимся на выявлении зависимых и несовместных систем линейных уравнений.

Зависимые системы

Уравнения линейной системы являются независимыми , если ни одно из уравнений не может быть алгебраически выведено из других. Когда уравнения независимы, каждое уравнение содержит новую информацию о переменных, и удаление любого из уравнений увеличивает размер набора решений. Системы, которые не являются независимыми, по определению зависимый . Уравнения в зависимой системе могут быть получены одно из другого; они описывают одну и ту же линию. Они не добавляют новой информации о переменных, а потеря уравнения из зависимой системы не меняет размер множества решений.

Мы можем применять методы замены или исключения для решения систем уравнений для идентификации зависимых систем. Зависимые системы имеют бесконечное число решений, потому что все точки на одной прямой находятся также и на другой прямой. После использования замены или сложения результирующее уравнение будет тождеством, например

0=00 = 00=0

.

Например, рассмотрим два уравнения

3x+2y=66x+4y=123x+2y = 6 \\ 6x+4y = 123x+2y=66x+4y=12

Мы можем применить метод исключения для оценки этих . Если бы мы умножили первое уравнение на коэффициент

−2-2−2

, мы бы получили:

−2(3x+2y=6)−6x−4y=−12\displaystyle \begin{выравнивание} -2(3x+2y&=6) \\-6x-4y&=-12 \end{align}−2(3x+2y−6x−4y​=6)=−12​​

Добавление этого ко второму уравнению даст

0=00=00=0

. Таким образом, две линии являются зависимыми. Также обратите внимание, что это одно и то же уравнение, увеличенное в два раза; другими словами, второе уравнение может быть получено из первого.

На графике два уравнения дают одинаковые линии, как показано ниже.

Зависимая система : Уравнения

3x+2y=63x + 2y = 63x+2y=6 при построении графика производят ту же линию. Заметим, что существует бесконечное число решений зависимой системы, и эти решения попадают на общую прямую.

Несовместимые системы

Линейная система совместна, если она имеет решение, и несовместна в противном случае. Напомним, что графическое представление несовместной системы состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные

yyy

-пересечения. Они никогда не пересекутся.

Мы также можем применять методы решения систем уравнений для выявления несовместных систем. Когда система несовместна, из уравнений можно вывести противоречие, например утверждение

0=10 = 10=1

.

Рассмотрим следующие два уравнения:

3x+2y=63x+2y=123x+2y = 6 \\ 3x+2y = 123x+2y=63x+2y=12

Мы можем применить метод исключения, чтобы попытаться решить эта система. Вычитая первое уравнение из второго, обе переменные исключаются, и мы получаем

0=60 = 60=6

. Это противоречие, и мы можем определить, что это противоречивая система. Графики этих уравнений на

xyxyxy

-плоскость представляет собой пару параллельных прямых.

Несовместная система: Уравнения

3x+2y=63x + 2y = 63x+2y=6

и

3x+2y=123x + 2y = 123x+2y=12

В общем случае несоответствия возникают, если левые части уравнений в системе линейно зависимы, а постоянные члены не удовлетворяют соотношению зависимости. Система уравнений, левые части которой линейно независимы, всегда совместна.

Применение систем уравнений

Системы уравнений можно использовать для решения многих реальных задач, в которых используется несколько ограничений для одних и тех же переменных.

Цели обучения

Применение систем уравнений с двумя переменными к примерам из реальной жизни

Основные выводы

Ключевые моменты

• Если у вас есть проблема, включающая несколько переменных, вы можете решить ее, составив систему уравнений.
• После определения переменных определите отношения между ними и запишите их в виде уравнений.

Ключевые термины

• система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые можно решить, используя определенный набор значений.

Системы уравнений реального мира

Система уравнений, также известная как одновременные уравнения, представляет собой набор уравнений с несколькими переменными. Ответом на систему уравнений является набор значений, который удовлетворяет всем уравнениям в системе, и таких ответов для любой данной системы может быть много. Ответы обычно записываются в виде упорядоченной пары:

(х,у)\влево(х,у\вправо)(х,у)

. Подходы к решению системы уравнений включают замену и исключение, а также графические методы.

Существует несколько практических применений систем уравнений. Они подробно показаны ниже.

Планирование мероприятия

Систему уравнений можно использовать для решения задачи планирования, где необходимо учитывать несколько ограничений:

Эмили устраивает крупную вечеринку после школы. Директор наложил два ограничения. Во-первых, общее количество присутствующих (учителей и учеников вместе взятых) должно быть 9 человек.0007

565656

. Во-вторых, на каждые семь учеников должен приходиться один учитель. Итак, сколько учеников и сколько учителей приглашено на вечеринку?

Во-первых, нам нужно идентифицировать и назвать наши переменные. В данном случае нашими переменными являются учителя и ученики. Количество учителей будет

ТТТ

, а количество учеников будет

SSS

.

Теперь нам нужно составить уравнения. Существует ограничение, ограничивающее общее количество присутствующих до 9 человек. 0007

565656

, поэтому:

T+S=56T+S=56T+S=56

На каждые семь учеников должен быть один учитель, поэтому:

S7=T\frac{S}{7 }=T7S​=T

Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить подстановкой, исключением или графически. Решение системы:

S=49S=49S=49

и

T=7T=7T=7

.

Поиск неизвестных количеств

Следующий пример иллюстрирует, как системы уравнений используются для нахождения величин.

Группа из

757575

студентов и преподавателей собирает сладкий картофель для нуждающихся в поле. Кейси собирает в три раза больше сладкого картофеля, чем Дэвис, а затем, возвращаясь к машине, собирает еще пять! Глядя на ее недавно увеличенную кучу, Дэвис замечает: «Вау, у тебя на

292929

картошки больше, чем у меня!» Сколько бататов собрали Кейси и Дэвис?

Чтобы решить, мы сначала определяем наши переменные. Количество бататов, которые выбрала Кейси, равно 9.0007

KKK

, а количество сладкого картофеля, которое выбирает Дэвис, равно

DDD

.

Теперь мы можем написать уравнения исходя из ситуации:

K−5=3DK-5 = 3DK−5=3D

D+29=KD+29 = KD+29=K

Отсюда замена, исключение , или график покажет, что

K=41K=41K=41

 и

D=12D=12D=12

.

Важно всегда проверять свои ответы. Хороший способ проверить решения системы уравнений — посмотреть на функции графически, а затем посмотреть, где графики пересекаются. Или вы можете подставить свои ответы в каждое уравнение и убедиться, что они приводят к точным решениям.

Другие приложения

Существует множество других приложений для систем уравнений, таких как выяснение того, какой ландшафтный дизайнер предлагает лучшее предложение, сколько разные операторы сотовой связи взимают в минуту или сравнение информации о питании в рецептах.

Лицензии и атрибуции

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и доработка. Автор : Boundless.com. Лицензия : Общественное достояние: Авторские права неизвестны

Лицензионный контент CC, конкретное указание авторства

• Система линейных уравнений. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы линейных уравнений: две переменные. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
• Системы линейных уравнений: две переменные. Предоставлено : OpenStax. Лицензия : CC BY: Attribution
• Системы уравнений. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Линейное уравнение. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безгранично. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Бескрайний. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы линейных уравнений: две переменные. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
• Метод добавления двух линейных уравнений. Предоставлено : Wikibooks. Расположен по адресу : https://en.wikibooks.org/wiki/File:Two_linear_equation_add_method.PNG. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Пример одновременных уравнений 1. Предоставлено : Wikipedia. Расположен по адресу : https://en.wikipedia.org/wiki/File:Simultaneous_equations_example_1.svg. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы уравнений. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безгранично. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безгранично. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безгранично. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы линейных уравнений: две переменные. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx. org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
• Метод добавления двух линейных уравнений. Предоставлено : Wikibooks. Расположен по адресу : https://en.wikibooks.org/wiki/File:Two_linear_equation_add_method.PNG. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Пример одновременных уравнений 1. Предоставлено : Wikipedia. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Алгебра/системы уравнений. Предоставлено : Wikibooks. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы уравнений. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безгранично. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безгранично. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы линейных уравнений: две переменные. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
• Метод добавления двух линейных уравнений. Предоставлено : Wikibooks. Расположен по адресу : https://en.wikibooks.org/wiki/File:Two_linear_equation_add_method.PNG. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Пример одновременных уравнений 1. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы линейных уравнений: две переменные.. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
• Система линейных уравнений. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы линейных уравнений: две переменные. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
• Метод добавления двух линейных уравнений. Предоставлено : Wikibooks. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Пример одновременных уравнений 1. Предоставлено : Wikipedia. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Параллельные линии. Предоставлено : Википедия. Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторское право
• Оригинальная фигура Бриттани Мередит. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Бриттани Мередит. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Система уравнений. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: ограничение Attribution-ShareAlike
• . Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безграничный. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Системы линейных уравнений: две переменные. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
• Метод добавления двух линейных уравнений. Предоставлено : Wikibooks. Расположен по адресу : https://en.wikibooks. org/wiki/Файл:Two_linear_equation_add_method.PNG. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Пример одновременных уравнений 1. Предоставлено : Wikipedia. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Параллельные линии. Предоставлено : Википедия. Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторское право
• Оригинальная фигура Бриттани Мередит. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Бриттани Мередит. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike

Урок Геометрическая интерпретация линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными

This Lesson (Геометрическая интерпретация линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными) был создан пользователем ikleyn(45816)   : Просмотр исходного кода, Показать О ikleyn : Геометрическая интерпретация линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными — это геометрическое представление двух прямых, соответствующих линейным функциям этих уравнений. Это дает вам визуальное изображение, показывающее, является ли данная линейная система последовательной или противоречивой; являются ли уравнения зависимыми или нет. Ниже приведены некоторые примеры. Обратите внимание, что системы уравнений в этих примерах как раз рассматривались с точки зрения их решений на уроках     — Решение линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки и     — Решение линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными методом исключения  в этом модуле. Этот урок посвящен геометрической интерпретации, и его цель — расширить ваши возможности анализа таких систем уравнений. Пример 1 Рассмотрим систему уравнений На рис. 1   справа показаны две прямые линии    (черным цветом) и    (синим цветом). Эти прямые пересекаются в точке   (x,y) = (2,1) . Обратите внимание, что эта точка пересечения и есть решение системы (см. уроки, упомянутые выше). Тот факт, что эти прямые пересекаются и имеют только одну общую точку, соответствует тому, что система                  уравнений   непротиворечива   и уравнения   независимы . Рисунок 1. Геометрическое представление              к примеру 1 Пример 2 Рассмотрим систему уравнений На рис. 2   справа показаны две прямые линии    (черным цветом) и    (синим цветом). Эти прямые пересекаются,  и точкой пересечения является   (x,y) = (1,-1) . Это в точности решение системы (см. уроки, упомянутые выше). Тот факт, что эти прямые пересекаются и имеют только одну общую точку, соответствует тому, что система                  уравнений равна   согласуются с  и уравнения   независимы . Рисунок 2. Геометрическое представление              к примеру 2 Пример 3 Рассмотрим систему уравнений На рис. 3   справа показаны две прямые линии    (черным цветом) и    (синим цветом). Эти прямые на самом деле совпадают, поэтому все их точки являются общими и представляют собой решения системы уравнений     (см. уроки, упомянутые выше). Тот факт, что эти прямые совпадают и имеют все общие точки, соответствует тому, что система                          уравнений   непротиворечива   и уравнения   зависимы . Рисунок 3. Геометрическое представление              к примеру 3 Пример 4 Рассмотрим систему уравнений На рис. 4   справа показаны две прямые линии    (черным цветом) и    (синим цветом). Эти прямые линии на самом деле параллельны, поэтому у них нет общих точек (см. уроки, упомянутые выше). Тот факт, что эти прямые параллельны и не имеют общих точек, соответствует тому, что система                       уравнений   несовместна   и уравнения   зависимых . Рисунок 4. Геометрическое представление              к примеру 4 В таблице ниже перечислены в упорядоченном виде свойства линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными, а также соответствующие свойства их геометрических представлений. Эквивалентные свойства перечислены в ячейках строк таблицы слева направо, а другие свойства перечислены в ячейках столбца,  сверху вниз.    Существование и кратность решения            Терминология                                Свойства коэффициента                             Геометрическое представление        1.       Система уравнений имеет решение, и существующее решение единственное.    Система уравнений непротиворечива , и уравнения независимы .    Ряд коэффициентов первого уравнения не пропорционален ряду коэффициентов второго уравнения. В геометрическом представлении две прямые пересекают и имеют только одну общую точку. 2.             Система уравнений имеет больше         , чем одно решение. (==) Система уравнений имеет бесконечно много решений. Система уравнений непротиворечива , и уравнения зависимы .       Строка коэффициентов и правая     часть первого уравнения пропорциональны второму уравнению . В геометрическом представлении две прямые совпадают и имеют общие точки.    3.          Система уравнений не имеет решений             решений.       Система уравнений противоречива , и уравнения зависимы .       Ряд коэффициентов первого уравнения пропорционален ряду коэффициентов второго уравнения , но правые части не пропорциональны таким образом. В геометрическом представлении две прямые параллельны и не имеют общих точек.    Другие мои уроки по решению линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными на этом сайте:     — Решение линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки     — Решение линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными методом исключения     — Решение линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными с помощью определителя     — Полезные приемы при решении систем из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными методом подстановки     — Решение текстовых задач с использованием линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными     — Словесные задачи, приводящие к простой системе из двух уравнений с двумя неизвестными     — Апельсины и грейпфруты     — Использование систем уравнений для решения задач с билетами     — Три метода решения стандартных (типовых) задач по тикетам     — Использование систем уравнений для решения задач на акции     — Использование систем уравнений для решения инвестиционных задач     — Два механика работают с автомобилем     — Прошлым летом семьи Робинсонов и Сандерсов использовали свои разбрызгиватели. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт