Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?
Анна Малкова
Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.
Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.
По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство.
Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень . Он определен
при .
В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.
Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:
1.
Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:
Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, — повторите эту тему.
или
В ответ запишем меньший из корней: — 9.
Теперь уравнение, в котором есть ловушка.
2. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Что получилось у вас? Правильный ответ: . Если у вас получилось – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
не может быть корнем этого уравнения.
3.
Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.
4. Решите уравнение:
Ответ: или .
А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.
Причем новая переменная будет не одна, а целых две.
5. Решите уравнение
Найдем ОДЗ:
.
Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.
Есть короткий путь!
Сделаем замену: , .
Выразим через и :
и . Это выражения можно приравнять друг к другу.
Решим одно из уравнений. Все равно, какое, — ведь нам надо найти .
Ответ: .
Заметим, что является также и корнем уравнения
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из #cat_parent.
Публикация обновлена: 25.12.2022
5.Решение числовых уравнений
10
Лекция 4 27.10.2006
Два дополнения к предыдущей лекции :
Интерполяционный полином Ньютона может быть записан в виде :
а) Для интерполяции вперед ( используются конечные разности верхних строк таблицы)
Здесь
б) Для интерполяции назад ( используются конечные разности нижних строк таблицы)
Применение
полинома Ньютона имеет практические
преимущества по сравнению с полиномом
Лагранжа, поскольку может быть использован
как в случае неравноотстоящих узлов ,
так и при постоянном шаге.
Пример использования полинома Ньютона рассмотрен в пособии по лабораторным работам.
Погрешность приближения кубическими сплайнами.
Если функция имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную четвертого порядка , то для интерполяционного кубического сплайна справедлива оценка погрешности:
или
5.1Постановка задачи
Математические уравнения различаются по типу искомых величин на числовые и функциональные, а по количеству искомых величин – на уравнения с одним неизвестным и системы уравнений.
Числовые уравнения – это форма связи
значений одной неизвестной
скалярной величины или упорядоченной
группы из нескольких скалярных
величин (то есть вектора) с
известными величинами (параметрами
уравнений). В первом случае имеем
уравнение с одним неизвестным,
во
втором – систему из N уравнений c N неизвестными.
Искомые значения
называют корнями уравнений.
Для функциональных уравнений искомыми являются функции : одиночные для уравнений с одним неизвестным или упорядоченные группы ( вектор-функции) для систем уравнений. Примером могут служить дифференциальные уравнения и системы таких уравнений.
Методы решения числовых и функциональных уравнений заметно различаются, хотя по ряду позиций есть аналогии.
Числовые уравнения с одним неизвестным.
Будем рассматривать уравнения алгебраические и трансцендентные.
Такие уравнения имеют вид f(x) = 0.
Будем полагать, что в конечном или бесконечном интервале [А, В] f(x) определена и непрерывна и что корни уравнения вещественны.
Всякое значение x* ,
обращающее функцию f(x)
в нуль называется корнем уравнения
или нулем функции.
Будем предполагать , что уравнение имеет изолированные корни , т.е. для каждого корня уравнения существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Отыскание приближенных изолированных действительных корней уравнений состоит из двух этапов – отделение корней и их уточнение с заданной степенью точности.
Отделение корней представляет процедуру по разбиению всей области числовой оси на интервалы, в каждом из которых содержится один и только один корень, и ее можно выполнить двумя способами – графическим и аналитическим. При графическом методе строят график функции, который позволяет легко находить отрезки, заключающие в себе только один корень.
При аналитическом методе корни уравнения f(x)=0 можно отделить, используя следующую теорему:
Теорема 1:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная
f’(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x)=0 и при том единственный.
Замечание : если существует непрерывная производная f’(x) и можно решить уравнение f’(x)=0 , то для отделения корней достаточно посчитать знаки самой функции f(x) в точках нулей ее производной и в граничных точках .
Пример:
Уравнение имеет только два действительных корня в интервалах [,1[ и [1,+]
Теорема 2:
Для точного и приближенного корней уравнения f(x)=0 , находящихся на одном отрезке [,
При
графическом решении уравнений часто
бывает выгодно заменить исходное
уравнение f(x)=0 равносильным
ему уравнением (x)= (x), где
новые функции более простые .
тогда ,
построив графики этих функций , искомые
корни получим как абсциссы пересечения
этих графиков.
Пример:
Численные методы решения алг. и трансц. уравнений.
Решение радикальных уравнений с более высокими индексами | Purplemath
ConceptsSimple EqnsHarder EqnsPainful Eqns
Purplemath
Хотя большинство («почти все»?) радикальных уравнений, которые вам предстоит решить, будут включать квадратные корни, вы также можете увидеть некоторые уравнения с более высоким индексом. Они работают примерно одинаково. Например, если вам дано уравнение, в котором радикал является кубическим корнем, вы возведете в куб обе части (после выделения радикала), чтобы преобразовать уравнение в полином, который вы сможете решить.
Так как это КУБИЧЕСКИЙ корень, а не квадратный корень , я отменю радикал, возведя в куб обе части уравнения, а не возводя его в квадрат:
Содержание продолжается ниже
MathHelp.
com Расширенные радикальные уравненияМой ответ:
x = 16
Вы можете удивиться, почему я не проверил свое решение. Я должен проверить свои решения для уравнений, где я возведен в квадрат или где я возвел обе части уравнения в какую-то другую четную степень. Почему?
Потому что возведение в квадрат и тому подобное избавляет от знаков минус, которые могут создавать решения, которых на самом деле не существует. Но процесс решения в приведенном выше упражнении включал кубирование, которое сохраняет знаки минус. Вот почему мне не нужно было проверять.
(Примечание: если ваш инструктор хочет, чтобы вы проверяли и показывали чек для каждого упражнения, независимо от индекса вовлеченных радикалов, то проверка каждый раз является «правильным способом» для этого класса. Если вы не знаете, что делать, спросите сейчас, до следующего теста.)
Я заметил, что «плюс один» в левой части уравнения находится за пределами кубического корня.
Мне нужно переместить его в правую часть уравнения, прежде чем я возьму в куб обе стороны.
Это решение включало в себя кубирование, а не возведение в квадрат, поэтому мне (технически) не нужно проверять свое решение. Мой ответ:
x = 1/3
Поскольку это корень четвертой степени, я возведу обе части в четвертую степень. (Кроме того, поскольку это корень с четным индексом, мне обязательно нужно проверить свой ответ.)
Исходное уравнение представляло собой корень четвертой степени, и в процессе решения я возводил обе части уравнения в четвертую степень (в частности, в степень и даже ). Так что мне придется проверить свои ответы. Вот одна из проверок:
x = −1 / 2 :
Левая часть (LHS) оказалась равной правой части (RHS), так что это решение проверяет. (Я оставлю вам проверку другого решения.) Мой ответ:
x = -½, -1/3
Между прочим, график показывает, что оба решения верны.
Если мы рассмотрим левую и правую части исходного уравнения как свои собственные функции, мы получим:
График, мы получим это:
Это довольно трудно увидеть, поэтому мы увеличим среднюю часть. пока мы не будем уверены, что видим две точки пересечения (и, следовательно, два решения исходного уравнения):
Если вам интересно, почему график радикальной стороны разбит на три части, то это потому, что у нас не может быть отрицательных значений внутри корня четвертой степени. График существует только в том случае, если аргумент радикала, представляющий собой полином x 4 + 4 x 3 − x , неотрицательный. Это происходит в трех частях, когда график аргумента находится на оси x или выше:
Не стесняйтесь использовать свой графический калькулятор для подтверждения (или исправления) ваших решений.
От вас может требоваться или не требоваться графическое представление решений, но если у вас есть графический калькулятор (поэтому для рисования графиков достаточно быстро нажать несколько кнопок), вы можете использовать графики для проверки своей работы на тестах .
Поскольку кубические корни могут содержать отрицательные числа, у вас не возникнет проблем с проверкой ответов, которые вы делали с квадратными корнями. Однако у вас будут трудности с корнями четвертой, шестой, восьмой и т. д.; а именно, любой корень с четным индексом. Будьте осторожны и не забывайте проверять свои решения, когда этого требует указатель. И помните, что у вас квадрат (или куб, или что угодно) стороны уравнения, а не отдельные члены.
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении радикальных уравнений. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Найти x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.
Пожалуйста, примите куки «предпочтения», чтобы включить этот виджет.
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
URL: https://www.
purplemath.com/modules/solverad5.htm
Страница 1Страница 2Страница 3Страница 4
Факторинг и свойство квадратного корня Это.
Уравнение, содержащее многочлен второй степени, называется 9{2}-4=0[/latex] — квадратные уравнения. Они бесчисленным образом используются в инженерии, архитектуре, финансах, биологических науках и, конечно же, в математике.
Часто самым простым методом решения квадратного уравнения является факторизация . Факторинг означает нахождение выражений, которые можно перемножить, чтобы получить выражение на одной стороне уравнения.
Если квадратное уравнение можно разложить на множители, оно записывается как произведение линейных членов. Решение факторингом зависит от свойства нулевого произведения, которое гласит, что если [латекс]а\cdot b=0[/латекс], то [латекс]а=0[/латекс] или [латекс]b=0[/латекс] , где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.
Другими словами, если произведение двух чисел или двух выражений равно нулю, то одно из чисел или одно из выражений должно быть равно нулю, потому что ноль, умноженный на что-либо, равен нулю.
Умножение коэффициентов расширяет уравнение до строки членов, разделенных знаками плюс или минус. Таким образом, в этом смысле операция умножения отменяет операцию факторизации. Например, разложите факторизованное выражение [латекс]\влево(х — 2\вправо)\влево(х+3\вправо)[/латекс], перемножив два множителя. 9{2}+x — 6=0[/latex] имеет стандартную форму.
Мы можем использовать свойство нулевого произведения для решения квадратных уравнений, в которых мы сначала должны вынести наибольшего общего делителя (НОК), а также для уравнений, которые имеют специальные формулы факторизации, такие как разность квадратов, оба из которых мы увидим позже в этом разделе.
Общее примечание: свойство нулевого произведения и квадратные уравнения текст{ или }b=0[/латекс], 9{2}[/latex], равно 1.
У нас есть один метод факторизации квадратных уравнений в этой форме.Как: Имея квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1, разложите его на множители
- Найдите два числа, произведение которых равно c и сумма которых равна b .
- Используйте эти числа для записи двух множителей вида [латекс]\влево(х+к\вправо)\текст{ или }\влево(х-к\вправо)[/латекс], где k — одно из найденных чисел на шаге 1. Используйте числа точно так, как они есть. Другими словами, если эти два числа равны 1 и [латекс]-2[/латекс], множители будут [латекс]\влево(х+1\вправо)\влево(х — 2\вправо)[/латекс]. 9\circ [/latex] угол, а [latex]c[/latex] относится к гипотенузе. Он имеет неизмеримое применение в архитектуре, технике, естественных науках, геометрии, тригонометрии и алгебре, а также в повседневных приложениях.
Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти длину одной стороны треугольника, зная длины двух других. Поскольку каждое из слагаемых в теореме возводится в квадрат, когда мы находим сторону треугольника, у нас получается квадратное уравнение.
