Как решить уравнение с квадратным корнем: Иррациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с. Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы. Шестое издание „Алгебры» А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым. Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений. Оглавление ГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90. (1/3) § 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.

05.Иррациональные уравнения и системы — MAPHY.COM

Некоторые рекомендации к решению иррациональных уравнений и систем

Существуют два равноценных метода решения иррациональных уравнений с квадратными корнями:

• Метод равносильных переходов (с учетом ОДЗ). При этом для правильной записи области допустимых значений, в общем случае необходимо потребовать неотрицательности всех подкоренных выражений, а также выражений, которым равны корни квадратные (если таковые можно алгебраически выразить из уравнения).
• Метод перехода к уравнению-следствию (без учета ОДЗ). В этом методе обязательно требуется проверка корней подстановкой.

Честно говоря, в иррациональных уравнениях порой так сложно правильно записать ОДЗ, что даже если Вы будете пробовать это сделать, то корни всё равно лучше проверять подстановкой, особенно если корни представляют из себя целые числа.

Обратите внимание на очень частую ошибку – если Вы решаете уравнение типа:

То при записи ОДЗ необходимо требовать неотрицательность правой части, то есть накладывать условие:

Причем необходимо понимать, что данное условие нужно дополнительно добавлять в ОДЗ даже если к подобному уравнению Вы пришли уже после нескольких преобразований (возведений в квадрат), а не только в случае, когда уравнение изначально выглядело соответствующим образом.

В иррациональных уравнения особо актуально становится следующее замечание: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали. Когда множителями являются корни, а не просто скобки как в рациональных уравнениях, то они часто могут и не существовать. Так возникают ошибки.

Если в иррациональном уравнении много корней, то крайне желательно перед возведением этого уравнения в квадрат перенести корни справа налево или наоборот так, чтобы с каждой из сторон получилась именно сумма корней, то есть заведомо положительное выражение. Если же, по каким-то причинам, Вы решили возводить в квадрат разность корней (т.е. выражение чей знак неизвестен), то будьте готовы получить несколько посторонних корней. В этом случае обязательно нужно проверить все корни подстановкой, потому что правильно записать ОДЗ уже скорее всего не получится.

Если в иррациональном уравнении имеется корень в корне, то необходимо будет несколько раз возводить это уравнение в квадрат, при этом главное понимать, что в соответствии с изложенными выше условиями, при каждом таком возведении могут получаться всё новые и новые условия для ОДЗ. В таких уравнениях при возможности лучше проверять корни подстановкой.

При решении иррациональных уравнений часто удобно использовать замену. При этом главное помнить, что после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

• во-первых, стать проще;
• во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т. е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

При решении систем иррациональных уравнений с двумя неизвестными зачастую достаточно действовать по стандартной схеме. А именно, выразить одну из переменных из одного из уравнений и подставить данное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение. После чего получится некоторое иррациональное уравнение с одной неизвестной, которое затем следует решить с учетом всех правил решения иррациональных уравнений. Значение первой переменной затем нужно найти используя её выражение через уже найденную переменную.

При решении систем иррациональных уравнений с большим количеством переменных также зачастую достаточно использовать метод подстановки. Также при решении систем иррациональных уравнений часто помогает метод замены переменных. При этом нужно понимать, что после введения замены переменных в систему:

• во-первых, она опять-таки должна упроститься;
• во-вторых, новых переменных должно быть столько же сколько и старых;
• в-третьих, система больше не должна содержать старых переменных;
• в-четвёртых, нужно не забыть выполнить обратную замену.

 

Основные свойства степеней

При решении иррациональных уравнений необходимо помнить много свойств степеней и корней. Перечислим ниже основные из них. У математических степеней есть несколько важных свойств:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

 

Основные свойства математических корней

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

 

Основные свойства квадратного корня

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Обратите внимание на другой случай использования последнего свойства. Если под корнем квадратным имеется произведение двух отрицательных величин (т.е. по итогу величина положительная, а значит корень существует), то этот корень раскладывается на множители следующим образом:

7.4: Решение уравнений, содержащих квадратные корни

раздел 7.4 Цели обучения

7.4: Решение уравнений, содержащих квадратные корни

• Решите уравнение, содержащее один квадратный корень, возведя в квадрат обе части уравнения
• Выявление посторонних решений

 

Уравнение, содержащее подкоренное выражение , называется подкоренным уравнением . Решение радикальных уравнений требует применения правил показателей и соблюдения некоторых основных алгебраических принципов. В некоторых случаях это также требует поиска ошибок, возникающих при возведении неизвестных величин в четную степень. 9{2}}=x[/латекс]. Это свойство позволяет вам «удалить» радикалы из ваших уравнений.

Начнем с радикального уравнения, которое можно решить за несколько шагов: [латекс] \sqrt{x}-3=5[/латекс].

Чтобы проверить свое решение, вы можете заменить [латекс]64[/латекс] вместо [латекс]х[/латекс] в исходном уравнении. [латекс] 2\sqrt{64}-6=10[/латекс]? Да, основной квадратный корень из [латекс]64[/латекс] равен [латекс]8[/латекс], а [латекс]2(8)−6=10[/латекс].

Обратите внимание, как вы объединили одинаковые члены, а затем возвели в квадрат оба сторон уравнения в этой задаче. Это стандартный метод удаления радикала из уравнения. Важно выделить радикал на одной стороне уравнения и максимально упростить до возведения в квадрат . Чем меньше членов перед возведением в квадрат, тем меньше дополнительных членов будет сгенерировано в процессе возведения в квадрат.

В приведенном выше примере под радикалом находилась только переменная x . Иногда вам нужно будет решить уравнение, которое содержит несколько членов под корнем. Выполните те же шаги, чтобы решить их, но обратите внимание на критическую точку — возведите в квадрат оба числа 9.{2}[/латекс].

После удаления радикала найдите неизвестное.

Проверить все ответы.

Идентификация посторонних решений

Соблюдение правил важно, но не менее важно обращать внимание на математику перед вами, особенно при решении радикальных уравнений. Взгляните на следующую проблему, которая демонстрирует потенциальную ловушку, связанную с согласованием обеих сторон для устранения радикала.

Посмотрите на это — ответ [латекс]а=9[/латекс] не дает истинного утверждения при подстановке обратно в исходное уравнение. Что случилось?

Проверьте исходную проблему: [латекс]\sqrt{a-5}=-2[/латекс]. Обратите внимание, что радикал установлен равным [латекс]-2[/латекс], и помните, что главный квадратный корень числа может быть только положительным . Это означает, что никакое значение для и не приведет к подкоренному выражению, положительный квадратный корень которого равен [латекс]-2[/латекс]! Вы могли сразу это заметить и сделать вывод, что для и решений нет.

Резюме

Обычный метод решения радикальных уравнений заключается в возведении обеих частей уравнения в любую степень, при которой знак радикала будет удален из уравнения. Но будьте осторожны — когда обе части уравнения возводятся в даже мощность , существует вероятность того, что будут введены посторонние решения. При решении радикального уравнения важно всегда проверять свой ответ, подставляя значение обратно в исходное уравнение. Если вы получаете истинное утверждение, то это значение является решением; если вы получите ложное утверждение, то это значение не является решением.

Квадраты и квадратные корни — Решение радикальных уравнений

Предыдущий Следующий

Подкоренное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится в подкоренном члене. По крайней мере, не промокнет, если пойдет дождь.

Примером радикального уравнения является .

Уравнение , а не радикальное уравнение, потому что переменная не входит в подкоренное число. Судя по всему, 5 и 9 заставляют его ждать снаружи, и он уже промок.

Чтобы решить радикальное уравнение, которое имеет один радикал с одной стороны и число с другой, мы возводим обе стороны в квадрат, чтобы исключить радикал, а затем решаем полученное уравнение. Дальше будет только сложнее, так что наслаждайтесь, пока есть.

Пример задачи

Решить: .

Мы выравниваем обе стороны, чтобы исключить радикал. Это дает нам x + 1 = 49, поэтому x = 48.

Убедитесь, что это работает. Подстановка x = 48 в левую часть уравнения дает , что в сумме равно 7. уравнение. Бедный маленький радикал.

Пример задачи

Решить: .

Сначала нам нужно добавить 1 к каждой стороне, чтобы получить радикал сам по себе в левой части уравнения. Не переживайте за него; он все-таки одиночка. Он оценит одиночество:

.

Затем возводим в квадрат обе части, чтобы исключить радикал:

5 + x = 16.

Решая это уравнение, мы получаем x = 11.

Мы снова вернемся к нашей программе двойной проверки. Подставьте x = 11 в левую часть уравнения:

…что на самом деле 3. Похоже, наш поезд не сошел с рельсов. Две части уравнения совпадают, поэтому наше решение равно x = 11.

Как мы уже упоминали, некоторые радикальные уравнения не имеют решения и настолько очевидны, что нам не нужно выполнять какую-либо работу. У нас нет проблем с этим. Тонкость переоценена.

Пример задачи

Решить: .

Радикал уже сам по себе. На дверь даже повесили табличку «Не беспокоить». Возводим обе стороны в квадрат:

2 x + 6 = x ² + 6 x + 9

Теперь составим красивое квадратное уравнение, убедившись, что у нас есть ноль с одной стороны:

0 = 9 x ² + 4 x + 3

В этом уравнении учитываются следующие факторы:

0 = ( x + 3)( x + 1)

906 -9004 х = -1.

Как всегда, мы прикроем наши задницы, проверив, чтобы оба эти решения были правильными.

Когда x = -3, левая часть исходного уравнения:

А правая часть исходного уравнения:

-3 + 3 = 0

Поскольку два стороны согласны, x = -3 является решением исходного уравнения.

Когда x = -1, левая часть исходного уравнения:

А правая часть:

(-1) + 3 = 2

Итак, x = -1 также является решением исходного уравнения. Отличный. Попы официально прикрыты.

Будьте осторожны: При решении радикальных уравнений обязательно проверяйте свои ответы. Иногда они на самом деле не будут решениями исходного уравнения. Вы же не хотите, чтобы яйцо было на вашем лице. Особенно, если оно было сварено всмятку.

Пример задачи

Решить:

Возведем в квадрат обе стороны, чтобы найти:

4 x + 5 = x ²

Преобразуйте красивое квадратное уравнение. Вау, эта штука заработала?

0 = x ² — 4 x — 5

Это факторы:

0 = ( x — 5) ( x + 1)

Таким образом = 5 и х = -1. Теперь мы проверяем, чтобы убедиться, что оба они являются решениями исходного уравнения.

Когда x = 5, левая часть исходного уравнения равна , а правая часть исходного уравнения также равна 5, поэтому x = 5 является решением.

Когда x = -1, левая часть исходного уравнения равна .

Однако, когда x = -1, правая часть исходного уравнения равна -1. О-о.

Поскольку левая и правая части уравнения не совпадают для x = -1, это не решение. Argh, так близко: x = -1 это постороннее решение . Другими словами, это число, которое мы нашли законными способами, но это не решение исходного уравнения.

Это как если бы вы честно отработали день, а потом получили жевательную резинку Trident. Вы что-то получили за свои усилия, но это не то, что вы хотели, и это не поможет вам платить ни за что. Хотя, по крайней мере, на вкус он точно такой же, как зеленое яблоко и золотой ананас. Ну, это что-то.

Наш окончательный ответ для этой задачи — единственное решение x = 5.

• Теорема Пифагора

  Прежде чем мы сформулируем теорему Пифагора, мы введем прямоугольный треугольник. Читатель, прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник, читатель. У нас есть ощущение, что вы двое поладите. У вас много общего. У вас обоих две ноги, вам удобнее в 90 градусов, и всегда играет какой-то угол. У вас такой же вкус в музыке.

  Прямоугольный треугольник – это треугольник с прямым углом внутри, как показано на изображении ниже в виде квадратика в правом нижнем углу.

  Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются катетами , а длинная сторона напротив прямого угла — гипотенузой .

  Мы очень, очень, очень надеемся, что вам нравятся прямоугольные треугольники. Мы хотим, чтобы они соответствовали всем гипотенузам.

  Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника с катетами длиной a и b и гипотенузой длины c верно следующее уравнение: 5 2 9017

  + b ² = c ²

  После этой головокружительной квадратичной формулы это совсем неплохо. Мы можем обрабатывать квадрат для каждой переменной. Это звучит нормально. Однако что это означает по отношению к прямоугольному треугольнику? Другими словами, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Это простая концепция, но немного многословная, поэтому не стесняйтесь вернуться и прочитать ее еще раз. И опять. Ничего страшного, перечитал несколько десятков раз. Вы будете использовать его много.

  Почему теорема Пифагора верна? Потому что Шмуп так говорит? Нет, мы подкрепим наши утверждения некоторыми доказательствами… на этот раз. Вот один из способов понять, почему теорема имеет смысл. Возьмите показанный выше прямоугольный треугольник, сделайте 3 его копии и разложите их следующим образом:

  Теперь у нас есть большой квадрат со стороной ( a + b ), а внутри меньший квадрат со стороной длина c . Кто знал, что из треугольников могут получиться такие большие квадраты? Вы должны видеть их трапеции.

  Площадь большого квадрата можно найти двумя способами. Мы знаем, мы знаем: почему никогда не может быть только одного пути?

  Мы можем найти площадь большого квадрата, используя длину его стороны, или мы можем сложить площади четырех треугольников и меньшего квадрата. С первым способом у нас есть:

  со вторым способом, мы имеем:

  С A ² + 2 AB + B ² и 2 AB B ² и 2 AB B ² и 2 AB B ² и 2 AB B ² и 2 AB B6 + C ² — это площадь большого квадрата, они должны быть равны:

  A ² + 2 AB + B ² = 2 AB + C ² = 2 AB + C ² = 2 AB + C ² = 2 AB + C ² = 2 AB + ² = 2 AB B ^{2 . 2}

  Subtracting 2 ab from each side, we see that:

  a ² + b ² = c ²

  Which is the statement of the Pythagorean Theorem. Если это не было похоже на волшебство, мы не знаем, что это такое. Вверху, Дэвид Блейн.

  Дополнительные доказательства теоремы Пифагора см. здесь.

  Даже если вы их не читаете, довольно забавно проверить, сколько существует доказательств… особенно если вам забавно видеть, какими одержимо-ненормальными могут быть математики. Разве нам действительно нужно было столько доказательств, ребята? Мы поверили тебе с первого раза.

  Мы используем теорему Пифагора, чтобы узнать длину различных сторон треугольника. Обычно нам говорят длины двух сторон треугольника, а затем просят найти длину третьей стороны. Хотя мы не знаем, почему тот, кто измерил первые две стороны, не мог измерить и третью, пока он этим занимался. Это был бы хороший жест.

  Пример задачи

  У прямоугольного треугольника одна сторона имеет длину 3 см, а другая — 4 см. Какой длины его гипотенуза?

  Мы используем теорему Пифагора, чтобы выяснить это. Назовем гипотенузу c . Две стороны имеют длину 3 и 4, поэтому 3 ² + 4 ² = c ² .

  Упрощая, мы видим, что 25 = c ² .

  Решениями этого уравнения являются c = ±5, но так как c это длина, возьмем только c = 5см. Никаких нам треугольников длиной -5 см.

  Понимаете, недостаточно прийти к ответу; вам нужно подумать об этом логически и посмотреть, имеет ли это смысл. Если нет, скажите «до свидания» и выбросьте в мусоропровод. Если бы вы когда-нибудь побывали на свалке, вы были бы поражены тем, сколько треугольников с отрицательными длинами валяются повсюду.

• Проблемы со словами

  
  Теорема Пифагора отлично подходит для решения задач со словами. Это также хорошо для того, чтобы зажечь яркую беседу за ужином. По крайней мере, мы так думаем; пока нет ни слова от того чувака, который с криком выбежал из комнаты. Когда словесная задача описывает ситуацию, которую можно визуализировать с помощью треугольника, вполне вероятно, что где-то поблизости скрывается теорема Пифагора.

  Даже Дарт Вейдер, классический луркер, знает это.

  Образец задачи

  Хуан и Ленор встретились за обедом. В 13:00 они разошлись. Может быть, навсегда, учитывая, как они оставили вещи. Хуан ехал прямо на юг со скоростью 30 миль в час, а Ленор ехал прямо на восток со скоростью 60 миль в час. Видимо, она была расстроена больше, чем он. В 13:30 на каком расстоянии Хуан и Ленор друг от друга?

  Здесь нужна картинка, и где-то здесь определенно есть треугольник. Хуан ехал на юг или прямо вниз, а Ленор ехал на восток или прямо направо:

  Вопрос заключается в том, чтобы мы нашли c , и нам дали достаточно информации, чтобы найти , и . б . Эти двое путешествовали уже полчаса… надеюсь, достаточно долго, чтобы остыть и пожалеть, что выбросили всю эту мебель.

  Ленор путешествовала .

  Хуан путешествовал.

  Через полчаса треугольник выглядит так:

  Мы должны найти расстояние между Ленор и Хуаном, поэтому нам нужно найти c . Мы можем сделать это с теоремой Пифагора:

  (15) ² + (30) ² = C ²
  225 + 900 = C ²
  900 = C ² 9045 3 C ^.

  Теперь извлеките квадратный корень:

  Отрицательное расстояние не имеет смысла, хотя они находились практически на отрицательном расстоянии друг от друга полчаса назад, когда вцепились друг другу в глотки. Поэтому мы берем только положительный квадратный корень и делаем вывод, что в 13:30 Хуан и Ленор находятся на расстоянии нескольких миль друг от друга (около 33,5 миль).

  Для приведенной выше задачи приемлемым ответом, вероятно, будет 33,5 мили. Кого волнует, что расстояние между Хуаном и Ленор ближе 33,541 мили? Тем не менее, мы дали ответ, потому что это точный ответ . Мы можем не знать всех знаков после запятой в числе, но точно знаем, как далеко они друг от друга в 13:30.

  Если задача требует дать точный ответ, а в вашем ответе есть радикалы, оставьте радикалы там. Точный ответ на вопрос «чему равен корень квадратный из 2?» , а не 1,414. Возможно, вас не удивит, что математика является чем-то вроде точной науки, поэтому точные ответы очень важны.

  Примечание. С момента написания этого примера мы в Shmoop рады сообщить, что Хуан и Ленор снова сошлись, поговорили и уладили дела. При этом ни один складной стул не был брошен.

  Пример задачи

  Найдите точную площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой длиной 20 и катетом длиной 7.

  Нам лучше нарисовать картинку, отчасти потому, что мы ищем любой предлог, чтобы размять свои художественные мускулы. Используйте b для неизвестного катета и сделайте его основанием треугольника:

  Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна .

  Другими словами, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Мы знаем длину одной ноги, и если бы мы знали длину другой ноги, все было бы готово. К счастью, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину этой недостающей части. В противном случае этот треугольник, возможно, придется приспособить для штифтовой ножки.

  Мы знаем, что b ² + 7 ² = 20 ² , поэтому b ² = 351.

  ), мы видим, что:

  Это здорово. Однако если вы запишете это как свой окончательный ответ, вся ваша работа будет напрасной. Мы еще не ответили на фактический вопрос в задаче. Оглядываясь назад на проблему, чтобы напомнить себе, что мы должны были искать (о, верно, область треугольника), мы видим, что теперь у нас есть все нужные нам части. Мы знаем, что высота треугольника равна 7, а его основание равно , поэтому его площадь равна:

  Это немного неприятно выглядит, но, к сожалению, нет более красивого способа написать это.

  No related posts.