Как решить уравнение со степенью: Как решать показательные уравнения. Методы и способы решения

Содержание

«Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем»

В седьмом классе при изучении темы «Степень и ее свойства» можно один из уроков посвятить изучению показательных уравнений. Задания в учебнике, несмотря на их разнообразие, направлены в основном на механическую отработку свойств степени и о практическом применении нет речи. Познавательная активность в этом возрасте достаточно высока, и поэтому тема вводится легко. Разумеется, мы не будем называть уравнения показательными, а назовем урок «Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем».

Ход урока

I. Ребята, сегодня вы сами определите тему урока, а для этого выполним следующее задание:

На доске записаны следующие степени:

Ребята, ответьте на вопрос: Какие свойства степени здесь перечислены?

Ученики называют свойства, которые параллельно оформляются на доске.

На доске появляется следующая таблица:

А теперь внимательно посмотрите на первую и вторую строку каждого столбца и назовите сходства и различия этих выражений.

Общее: в каждом из столбцов записано одно и то же свойство степени.

Различия: в первых строках переменная находится в показатели степени, во-вторых — в основании.

Вывод: при записи степени неизвестное может находиться как в показателе степени, так и в основании.

Ребята, ответьте на вопрос: что произойдет, если степень, содержащую переменную, прировнять к числу?

Получим равенство, содержащее переменную.

А как называют равенство, содержащее переменную?

Уравнение.

Рассмотрим следующие уравнения:

1). 4^х = 4²

Какое условие необходимо, чтобы равенство стало верным?

Чтобы показатели степени были равны.

Следовательно, х = 2.

2). х³= 7³

Когда такое равенство будет верным?

Когда основания степени равны.

Следовательно, х = 7.

На основании данных примеров, мы можем сделать вывод, что степени а^m = bⁿ, при условии, что основания этих степеней равны, т.е. a = b и показатели их тоже равны, т.е. m = n.

Ребята, открывайте тетради, записывайте число и оставьте строчку для записи темы.

Продолжаем работать с таблицей.

Используя свойства степени, решим каждое уравнение.

Решение уравнений происходит в форме соревнования: первый, правильно решивший уравнение, записывает его решение на доске.

Итак, ребята, чем мы занимались на этом уроке?

Решали уравнения, содержащие степень.

А теперь, давайте попробуем сформулировать тему

сегодняшнего урока.

Запишем ее в тетрадь.

Решим следующие уравнения (с последующей проверкой на доске):

1. 2.

Ответ х=3; Ответ х=36.

Уравнения для самостоятельной работы учащихся:

х⁴=5²·5²;
(2²)^х=16;
а^х=а⁴·а²;
(с²)^х=с⁸:с²;
2ⁿ·3ⁿ=6;
(3ⁿ)²=36.

Подводится итог урока.

Домашнее задание дается в следующей форме: ребята получают работу с готовым решением и оценкой, они должны самостоятельно найти ошибку и исправить ее. Примеры заданий:

В – 1

В — 2

а)81к⁴=3⁸
3⁴·к⁴=3⁴
(3к)⁴=(3⁴)⁴
3к=3⁴
к=3⁴:3
к=3
Ответ: 3

В – 3

а)120·5ⁿ-100·5ⁿ=500
5ⁿ·(120-100)=500
5ⁿ·20=500
5ⁿ=500:20
5ⁿ=125
5ⁿ=5³
n=3
Ответ: 3

б)х³·х²=32
х³·х²=2⁵
х⁵=2⁵
х=5
Ответ: 5

оценка 3

в) 2ⁿ⁺⁷:2ⁿ⁺³=(2ⁿ⁺¹)²
2ⁿ⁺⁷:2ⁿ⁺³=2²ⁿ⁺²
2¹⁰=2²ⁿ⁺²
2ⁿ⁺²=10
2ⁿ=8
n=4
Ответ: 4

оценка 3

в)3m+1·243=3
3m+1·35=3
3m+1+5=31
m+1+5=1
m=-5
Ответ: -5

оценка 3

Уравнение шестой степени | это.

.. Что такое Уравнение шестой степени?

График полинома 6-й степени, с 5 критическими точками.

Уравне́ние шесто́й сте́пени — это алгебраическое уравнение, имеющее максимальную степень 6. В общем виде может быть записано следующим образом:

Несмотря на то, что некоторые частные формы этого уравнения, например, триквадратное или бикубическое, можно решить графически или методом разложения на множители, общее аналитическое решение этого уравнения неизвестно. Теорема Абеля — Руффини утверждает, что в общем виде уравнение 6-й степени не может быть разрешено в радикалах. Существует также предположение, что методами математического анализа может быть решено уравнение^{[источник не указан 273 дня]}

в том числе, и в случае n=6.

Содержание

1 Алгоритмы решения
2 Частные формы
- 2.1 Триквадратное уравнение
- 2.2 Бикубическое уравнение
3 См. также
4 Примечания
5 Ссылки

Алгоритмы решения

Попытка построения общей теории решения уравнения шестой степени впервые была предпринята в 1886 году Франком Коулом (

англ.)^[1]. За восемь лет до этого были предложены алгоритмы решения уравнений пятой степени, и работа Коула пыталась обобщить развитые методы и на уравнение шестой степени.

В основе теории уравнений степени ниже пятой лежат определённые группы линейных преобразований одной переменной, соответствующих группам Галуа исходного уравнения. Такая группа преобразований для уравнения пятой степени соответствует 60-ти операциям знакопеременной группы . Для уравнения шестой степени такая группа преобразований должна соответствовать уже 360-ти операциям знакопеременной группы , которые могут быть представлены в виде следующего уравнения:

здесь z — это целое число, конгруэнтное 0, 1, 2, 3, 4, 5 или . При определённом выборе параметров α, β, γ, δ число z’ также будет целым.

Можно показать, что существует ровно 360 таких наборов параметров. Феликс Клейн показал, что конечных групп линейных трансформаций одной переменной, удовлетворяющих вышеприведённым условиям, не существует. Число переменных должно быть не меньше трёх в общем случае и не меньше четырёх, если линейные преобразования записаны в однородной форме. Эти особенности приводят к тому, что на практике использование алгоритмов нахождения решения уравнения шестой степени нецелесообразно^[2].

Частные формы

Триквадратное уравнение

Триквадратное уравнение — это алгебраическое уравнение вида

Заменой оно сводится к квадратному уравнению

Бикубическое уравнение

Бикубическое уравнение — это алгебраическое уравнение вида

Заменой оно сводится к кубическому уравнению

См. также

Теорема Абеля — Руффини

Примечания

↑ Cole F. N. Contribution to the theory of the general equation of the sixth degree (англ.) // Amer. J. Math.. — 1886. — Т. 8. — С. 265—286.
↑ R. Bruce King Chapter 8. Beyond the Quintic Equation // Beyond the Quartic Equation. — Birkhäuser Boston, 2008. — С. 139—149. — 149 с. — (Modern Birkhäuser Classics). — ISBN 0817648364

Ссылки

Weisstein, Eric W. «Sextic Equation». From MathWorld — A Wolfram Web Resource.

Как решить полиномиальное уравнение 5-й степени

Чтобы решить полиномиальное уравнение 5-й степени, мы должны как можно больше разложить данный полином на множители. После факторизации мы можем приравнять множители к нулю и найти переменную.

Пример 1:

Решение:

6x ⁵ — x ⁴ — 43x ³ + 43x ² + x — 6 = 0

: 9007

9000 2

9000 2 . ошибка, мы можем проверить значения 1 или -1 или 2 или -2 . ….. как ноль для приведенного выше уравнения, используя синтетическое деление.

Когда мы проверяем значение 1, мы получаем нулевой остаток. Итак, x = 1 является одним из нулей.

Полученное уравнение:

6x ⁴ + 5x ³ — 38x ² + 5x + 6 = 0

Разделив обе стороны на x ².

6x ⁴ /x ²+ 5x ³ /x ²— 38x ² /x ²+ 5x /x ²+ 6 /x ² = 0

12 2 + 6 /x ² = 0
12 2 + 6 /x ²+ 5x /x ²+ 6 /x ²+ 5x /x ²+ 6 /x ²+ 5x /x ² /x ²+ 5x /x ² /x ²+ 6x ² + 5x — 38 + 5/x + 6/x ² = 0
6(x ² + 1/x ² ) + 5 (x + 1/x) — 38 = 0 —-(1)
Пусть y = x + 1/ Икс.
y ² = (x + 1/x) ²
y ² = x ² + 2(x)(1/x) + (1/02 04 9 02 2 3 ² = x ²+ 2+ 1/x ²
Y ²-2 = x ²+ 1/x ²
(1) —-> 6 ( у ² — 2) + 5у — 38 = 0
6у ² — 12 + 5у — 38 = 0
6у ² + 5у — 50 = 0
6у ² — 15у + 20у — 5у — 50 = 0
4 3 — 5) = 0
(3у + 10)(2у — 5) = 0
3г + 10 = 0
г = -10/3
2г — 5 = 0
г = 5/2
Когда y = -10/3,
(x ² + 1)/x = -10/3
3(x ² + 1) = -10 2 0 9 2
3
13 + 3 = -10x
3x ² + 10x + 3 = 0
(3x + 1)(x + 3) = 0
x = -1/3 и 3
Когда y = 5/2 ,
x+ 1/x = y
(x ²+ 1)/x = 5/2
2 (x ²+ 1) = 5 x
2x ²+ 2 — 5x = 0
2x ² — 5x + 2 = 0
(2x — 1)(x — 2) = 0
x = 1/2 и 2
Следовательно, пять нулей равны 1, -1 /3, 3, 1/2 и 2.
Пример 2:
Решение:
8x ⁵ — 22x ⁴ — 55x ³ + 55x ² + 22x — 8 = 0
Решение:
1, получаем нулевой остаток. Итак, x = 1 является одним из нулей.
Полученное уравнение:
8x ⁴ — 14x ³ — 69x ² — 14x + 8 = 0
Разделив обе стороны на 2^3,
8x ⁴ /x ²— 14x ³ /x ²— 69x ² /x ²— 14x /x ²+ 8 /x ² = 0
8x ²— 14x-69-69-69- 14x-69-69- 14x-69- 14/x + 8/x ² = 0
8(x ² + 1/x ² ) — 14(x + 1/x) — 69 = 0 —-(1)
Пусть у = х + 1/х.
y ² = (x + 1/x) ²
y ² = x ² + 2(x)(1/x) + (1/02 04 9 0 2 2 3 ² = х ²+ 2+ 1/x ²
Y ²-2 = x ²+ 1/x ²
(1) —-> 8 (Y
2 -2 ) — 14y — 69 = 0
8y ² — 16 — 14y — 69 = 0
8y ² — 14y — 85 = 0
(2y + 5) (4y — 17) = 0
2г + 5 = 0
г = -5/2
4г — 17 = 0
г = 17/4
Когда у = -5/2,
x + 1/x = y
(x ² + 1)/x = -5/2
2(x ² + 1) = -5x
2x ² 5 x = + 2 0
2x ² + 5x + 2 = 0
2x ² + 4x + 1x + 2 = 0
2x(x + 2) + 1(x + 2) = 0
)(x + 2) = 0
x = -1/2 и -2
Когда y = 17/4,
x + 1/x = y
(x ² + 1)/x = 17/4
4(x ² + 1) = 17x
4x ² + 4 = 17x
4x ² — 17x + 4 = 0
(4x — 1)(x — 4) = 0
x = 1/4 и 4
4 1, -1/2, -2, 1/4 и 4.

Пример 3:
Решение:
6x ⁵+ 11x ⁴ — 33x ³ — 33x ²+ 11x + 6 = 0
Решение:
Когда мы проверяем значение -1, мы получаем нулевой остаток. Итак, x = -1 является одним из нулей.
Полученное уравнение:
6x ⁴ + 5x ³ — 38x ² + 5x + 6 = 0
Разделив обе части на x2 2 .
6x ⁴ /x ²+ 5x ³ /x ²— 38x ² /x ²+ 5x /x ²+ 6 /x ² = 0
12 2 + 6 /x ² = 0
12 2 + 6 /x ²+ 5x /x ²+ 6 /x ²+ 5x /x ²+ 6 /x ²+ 5x /x ² /x ²+ 5x /x ² /x ²+ 6x ² + 5x — 38 + 5/x + 6/x ² = 0
6(x ² + 1/x ² ) + 5(x + 1/x) — 38 = 0 —-(1)
Пусть у = х + 1/х.
у ² = (х + 1/х) ²
у ² = х ² + 2(х)(1/х) + (1/02 04 902 3 0 ² = х ² + 2 + 1/х ²
у ² — 2 = х ² + 1/х ^{1 (6-0>} ² — 2) + 5у — 38 = 0
6у ² — 12 + 5у — 38 = 0
6у ² + 5у — 50 = 0 1 0
— 15л + 20л — 50 = 0
3г(2г — 5) + 10(2г — 5) = 0
(3г + 10)(2г — 5) = 0
3г + 10 = 0
г = -10/3
2г — 5 = 0
г = 5/2
При y = -10/3
x + 1/x = y
(x ² + 1)/x = -10/3 -10x
3x ² + 3 = -10x
3x ² + 10x + 3 = 0
3x ² + 9x + x + 3 = 0
3x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(x + 3)(3x + 1) = 0
x = -3 и — 1/3
Когда y = 5/2,
x + 1/x = y
(x ² + 1)/x = 5/2
2(x ² + 1) = 5
2x ² + 2 — 5x = 0
2x ² — 5x + 2 = 0
2x ² — 4x — x + 2 = 0
2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0
(2x — 1)(x — 2) = 0
x = 1/2 и 2
Таким образом, пять нулей равны -1, -3, -1/3, 1/2 и 2.
Помимо материалов, приведенных в этом разделе, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google. здесь.
Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
Решение квадратных уравнений 2-й степени
Уравнения второй степени — это квадратные уравнения, где наибольшая степень в уравнении равна 2, и будет два решения для 2 ^и Уравнения степени. Стандартной формой уравнения второй степени является ax ² +bx+c, которое является трехчленным, поскольку уравнение состоит из трех членов. Но каждое уравнение второй степени не обязательно должно быть трехчленным, потому что оно может даже состоять из двух членов, причем наибольшая степень в нем равна двум. Пример:- x ² +2x-1, 2x ² -4, 3x ² +x+3
Для решения уравнений второй степени мы можем использовать квадратную формулу для уравнения ax ² +bx+ с=0
Где
b ² -4ac — дискриминант
если дискриминант положительный, то это означает, что существует два действительных решения
если ноль, то только одно решение
Вопрос 1: Решите уравнение x ² +3x-4=0?
Решение:
Данное уравнение:
x ² +3x-4=0
Сравните данное уравнение с ax ² +bx+c=0 и запишите значения a, b, c
a=1, b=3, c=-4
Для решения уравнения второй степени используется квадратичная формула а перед этим найдите значение дискриминанта, чтобы узнать, сколько решений возможно для уравнения.
√(b ² -4ac)=√(3 ² -(4×1×(-4)))
=√(9-(-16))
=√(9+16 )
=√25
=5>0
Итак, два возможных действительных решения
=(-3+5)/(2×1)
=2/2
x=1
=(-3-5)/(2×1)
=-8 /2
x=-4
При решении уравнения возможные решения: x=1,-4
Вопрос 2: Решить уравнение x ² -3x-10=0?
Решение:
Данное уравнение:
x ² -3x-10=0
Сравните данное уравнение с осью ² +bx+c=0 и обратите внимание на значения a, b, c
a=1, b=-3, c=-10
Для решения уравнения второй степени используется квадратичная формула, а перед этим находится дискриминант значение, чтобы найти, сколько решений возможно для уравнения.
=√(9+40)
=√49
=7>0
Итак, два возможных действительных решения
=(-(-3)+7)/(2×1) 9
=10/2
x=5
=(-(-3)-7)/(2×1)
=(3-7)/2
=-4/2
x=-2
При решении уравнения возможные решения x=5,-2
Вопрос Решите уравнение второй степени 2x ² -6 = 0
Решение:
Указано 2x ² -6 = 0
2x ² = 6
x ² = 6/6/6/2 = 6/6/6013 = 2 ² = 6
x ^{2 ^{= 6/2^{= 6/2} = 6/6013 = 2 ². 2}}
x ² =3
x=±√3
Уравнения второй степени также можно решить, следуя формуле факторизации трехчлена. Поскольку уравнение второй степени может иметь три члена.
Триномы бывают двух типов. Это
Трехчлен в идеальном квадрате
Трехчлен в несовершенном квадрате
2ab+b ², то их можно записать в виде: (а-б) ²
Трехчлен Несовершенный квадратный трехчлен , если он не является совершенным квадратным трехчленом и имеет форму ax ² +bx+c. Ниже приведены шаги, которые необходимо выполнить, чтобы найти факторы.
Этапы решения
Шаг 1: Найдите a, b, c и вычислите a × c
Шаг 2: Найдите два числа, произведение которых равно ac, а сумма равна b.
Шаг 3: Разделите средний член на сумму двух чисел, полученных на предыдущем шаге.
Шаг 4: Решите уравнение.
Образец Вопросы
Вопрос 1: Решение уравнения x ² +6x +9 = 0
Решение:
Уравнение
x ² +6x +
444444444444444444444444444444444444444444449449204
x ²
. можно записать в виде- x ² +2(3)(x)+3 ² =0
Приведенное выше уравнение имеет вид , b=3
Из формулы- a ² +2ab+b ² =(a+b) ²
(x+3) ² =0
(x+3)(x+3)=0
Итак, x =-3,-3
Здесь мы получили только одно решение.
Это можно проверить, вычислив дискриминант, который обсуждался выше.
√(b ² -4ac)=√(6 ² -4(1)(9))
=√(36-36)
=0 указывает, что будет только одно решение уравнения .
Таким образом, x=-3 является решением уравнения x ² +6x+9=0
Вопрос 2: Решить уравнение x ² -10x+21=0?
Решение:
Указано x ² -10x+21 = 0
.
No related posts.