Как решить значение выражения с дробями: Как решать дроби с дробями в знаменателе. Сложение дробей с целыми числами и разными знаменателями

5.1 Операции над дробными выражениями — Алгебра среднего уровня

Цели обучения

• Введение в дробные выражения
  • Распознать и определить дробное выражение
  • Определить домен дробного выражения
  • Упростить дробное выражение
• Умножение и деление дробных выражений
• Сложение и вычитание дробных выражений
  • Определение области определения суммы или разности дробных выражений
  • Определите наименьший общий знаменатель двух дробных выражений
  • Сложение и вычитание дробных выражений с использованием наибольшего общего знаменателя
• Вложенные дробные выражения
  • Перепишите вложенную дробь в виде задачи на деление и упростите
  • Перепишите вложенное дробное выражение в виде задачи на деление и упростите

Дробные выражения — это дроби, в знаменателе которых есть переменная. Они также часто имеют переменные в числителе. Поскольку дроби также можно рассматривать как отношения, эти выражения часто называют

рациональные выражения . Когда мы говорим о дробных выражениях в алгебре, мы чаще всего имеем в виду выражения, являющиеся отношением двух многочленов.

Дроби могут быть пугающими, а дробные выражения могут показаться сложными, поскольку они содержат так много факторов и терминов. Однако дробные выражения можно упростить, используя методы работы с дробями, которые вы уже изучили, в сочетании с более новыми методами разложения многочленов на множители. Есть две новые проблемы, на которые следует обратить внимание при работе с дробными выражениями: одна из них — деление на ноль, а другая — попытка деления путем сложения или вычитания. Мы рассмотрим оба вопроса в этом разделе.

Деление на ноль

Есть много объяснений того, почему деление на ноль не определено в алгебре. Многих студентов устраивает фраза «потому что я так сказал» от инструктора, но вот два кратких обоснования для тех, кто хочет более глубокого понимания.

Объяснение 1 : В начальной школе деление было введено как противоположность умножения. При задании задачи \(24\div8\) вы научились спрашивать: «Какое число нужно умножить на 8, чтобы получить 24?»

\( \displaystyle \frac{24}{8}=x \\\)
эквивалентно

\( \displaystyle 24=x\cdot 8 \\\)

Но что произойдет, если в знаменателе ноль?

\( \displaystyle \frac{24}{0}=x \\\)
другими словами

\(\displaystyle 24=x\cdot 0\)

Нет чисел, которые можно умножить на ноль и получить 24, поэтому \(x\) не имеет решений, а \(\frac{24}{0}\) не определено.

Объяснение 2 : Посмотрите, что произойдет, если вы возьмете дробь и сократите знаменатель до нуля.

\(\frac{24}{0.1}=240\)        \(\frac{24}{0.001}=24 000\)        \(\frac{24}{0.000001}=24 000 000\)        и т. д.

знаменатель приближается к нулю, значение дроби становится все больше и больше. Когда знаменатель максимально близок к нулю, значение дроби максимально возможное. Если бы знаменатель достиг нуля, то дробь имела бы значение бесконечности: самое положительное из всех чисел или самое дальнее, на которое вы можете пойти вправо по числовой прямой.

Однако посмотрите, что произойдет, если вы возьмете дробь и сократите знаменатель до нуля с отрицательной стороны.

\(\frac{24}{-0,1}=-240\)        \(\frac{24}{-0,001}=-24 000\)        \(\frac{24}{-0,000001}=-24 000 000\) и т.д.

Теперь по мере приближения знаменателя к нулю значение дроби становится все более и более отрицательным. Если бы знаменатель достиг нуля, то дробь имела бы значение отрицательной бесконечности: самое отрицательное из всех чисел или самое дальнее, что вы можете дойти до 9.0039 оставил

в числовой строке.

Что это: бесконечно положительное число или бесконечно отрицательное? Деление на ноль требует, чтобы оно было и тем, и другим одновременно, поэтому деление на ноль не определено.

При упрощении дробных выражений необходимо обращать внимание на то, при каких значениях переменных в выражении знаменатель будет равен нулю. Эти значения не могут быть включены в домен, поэтому они называются исключенными значениями. Откажитесь от них в самом начале, прежде чем идти дальше. При работе с дробными выражениями ваш первый шаг — решить следующее «не-уравнение»:

\(\текст{знаменатель}\ne0\)

Важное примечание знаменатель не может быть равен 0, а числитель может быть равен ! В такой дроби, как 0/24, нет ничего плохого. Это означает «разрезать пиццу на 24 части и не давать мне ни одной». Это может быть немного эгоистичным, но это вполне разумное заявление. Чего мы не можем сказать, так это 24/0, что означало бы «разрежьте вашу пиццу на НИКАКИХ кусочков и дайте мне 24 из ваших НИКАКИХ кусочков». Это чепуха.

Определение домена дробного выражения

Для дробных выражений домен будет исключать значения, для которых значение знаменателя равно 0.

Домен дробного выражения или уравнения

Домен дробного выражения или уравнения набор значений для переменной, которая будет , а не , приведет к неопределенной математической операции, такой как деление на ноль. Если \(a\) является значением, вызывающим деление на ноль, мы можем обозначить домен следующим образом:

\(x\) — все действительные числа, где \(x\neq{a}\)

\}\)

Что читается как «Набор всех действительных \(x\) таких, что \(x\) не равен \(a\)»

Следующий пример иллюстрирует нахождение области определения выражения . Обратите внимание, что точно такой же процесс будет использоваться для нахождения домена функции.

 

Упрощение дробных выражений

Прежде чем углубиться в упрощение дробных выражений, давайте рассмотрим разницу между множителем, термином и выражением. Это один из немногих случаев, когда словарный запас действительно имеет большое значение, потому что некоторые операции действительны при выполнении над факторами, но не над терминами. 92}{12x} + \displaystyle\frac{5}{12x} \;\;=\;\; \displaystyle\frac{x}{6} + \displaystyle\frac{5}{12x}\)

Умножение на 1 не имеет никакого эффекта, поэтому мы можем его игнорировать, но добавление или вычитание 1 может игнорировать , а не . Вот почему мы можем упростить только то, что умножается в дроби, но никогда не то, что прибавляется или вычитается.

Клянусь только упростить на что умножить !

В следующих примерах числитель и знаменатель представляют собой многочлены с более чем одним членом, и вы увидите, как правильно упростить их с помощью факторизации, которая превращает выражения, связанные сложением и вычитанием, в множители, связанные умножением.

Анализ решения

В последнем примере упрощенная форма выражения имела только \(x+9\) в знаменателе, но домен по-прежнему ограничивался исключением как \(-9\), так и \( -3\). Тот факт, что \(-3\) не ставит ноль в знаменателе окончательного ответа , не имеет значения. Никогда нельзя делить на ноль: ни в начале задачи, ни в середине процесса решения, ни в конце.

Мы покажем последний пример упрощения дробного выражения. Посмотрите, сможете ли вы распознать особый продукт в числителе. 9{2}+4x+3}\), укажите домен.

Показать ответ

В следующем видео мы представляем еще один пример нахождения домена дробного выражения.

Действия по упрощению дробного выражения

Чтобы упростить дробное выражение, выполните следующие действия:

• Определите домен, разложив знаменатель на множители, установив его \(\ne\) равным нулю и найдя исключенные значения.
• Разложить числитель на множители.
• Найдите общие делители для числителя и знаменателя и упростите.

Умножение и деление дробных выражений

Так же, как вы можете умножать и делить дробные числа, вы можете умножать и делить дробные выражения . Фактически, для умножения и деления дробных выражений используются те же процессы, что и для умножения и деления числовых дробей. Процесс тот же, хотя выражения выглядят по-разному!

Умножение и деление

Умножение дробных выражений

При умножении дробных выражений сначала убедитесь, что числители и знаменатели полностью разложены. Новый числитель будет содержать все факторы из всех исходных числителей. Новый знаменатель будет содержать все дроби исходного знаменателя. Определите все значения, которые необходимо исключить из домена, а затем упростите все факторы, которые появляются как в верхней, так и в нижней части дроби. 92\cdot7\). Три множителя сократятся, но \(1\) все равно останется в числителе.

Некоторые дробные выражения содержат квадратные выражения и другие многочленные многочлены. Чтобы умножить эти дробные выражения, лучше всего сначала разложить многочлены на множители, а затем найти общие множители. (Умножение членов перед разложением на множители часто приводит к созданию сложных многочленов, и тогда вам все равно придется разлагать эти многочлены на множители! По этой причине лучше разложить на множители, упростить, а затем умножить. ) Просто делайте это шаг за шагом, как в примеры ниже.

Обратите внимание, что в ответе выше вы не можете еще больше упростить дробное выражение. Может быть заманчиво попытаться сократить 5, но вы поклялись упростить только то, что было умножено. Отмена 5-х приведет к неверному результату.

Это неправильно: \(\displaystyle\require{cancel}\frac{a+\cancel{5}}{a\left(2a-\cancel{5}\right)}\)    Не делайте этого!

В следующем видео мы представляем еще один пример умножения дробных выражений.

Разделение дробных выражений

Вы видели, что вы умножаете дробные выражения так же, как умножаете числовые дроби. Неудивительно, что вы также делите дробные выражения так же, как вы делите числовые дроби. В частности, чтобы разделить дробные выражения, оставьте первое дробное выражение без изменений, возьмите обратное значение второго дробного выражения, а затем измените знак деления на умножение.

Вам все еще нужно подумать о предметной области, особенно о значениях переменных, при которых любой знаменатель будет равен нулю. Но на этот раз есть новое соображение, потому что вы делите, умножая на обратное одного из дробных выражений. Изучите этот упрощенный пример:

\(\displaystyle \frac{A}{\color{red}{B}}\div\frac{C}{\color{red}{D}}\)    из этого выражения мы видим, что \(\color{red}{B}\ne0\) и \(\color{red}{D}\ne0\)

\(\displaystyle \frac{A}{B}\cdot\frac{ D}{\color{red}{C}}\)    после обратного вычисления мы также находим, что \(\color{red}{C}\ne0\)

Знание того, как найти домен, может показаться здесь неважным, но это поможет вам, когда вы научитесь решать дробные уравнения.

Обратите внимание, что как только вы перепишете деление как умножение на обратное, вы будете следовать тому же процессу, что и для умножения дробных выражений.

В следующем видео мы представляем еще один пример деления дробных выражений.

Сложение и вычитание дробных выражений

На начальном этапе математики учащиеся обычно учатся складывать и вычитать целые числа до того, как их научат умножению и делению. Однако с дробями и дробными выражениями умножение и деление иногда изучают в первую очередь, потому что эти операции легче выполнять, чем сложение и вычитание. Сложение и вычитание дробных выражений выполнить не так просто, как умножение, потому что, как и в случае с числовыми дробями, процесс включает в себя поиск общих знаменателей.

Сложение и вычитание

Сложение дробных выражений

Мы создаем общие знаменатели, включая любые множители, которые отсутствовали в первоначальных знаменателях. Мы делаем это путем умножения на дроби-подражатели, состоящие из одного и того же множителя сверху и снизу, например \(\frac{5x}{5x}\). Таким образом, исходные дроби получают необходимые коэффициенты, но, поскольку подражатели имеют значение \(1\), они не влияют на значение исходных дробей. Чтобы составить общие знаменатели, необходимо определить, каких множителей «не хватает» в знаменателях исходных дробей. Исследуйте знаменатели в следующей сумме: 92}\)

В этот момент мы обычно множим наш новый числитель и пытаемся упростить нашу дробь, но этот пример уже максимально упрощен.

Как: Создать общие знаменатели и добавить или вычесть

1. Фактор знаменателя каждого термина. (Не тратьте время на разложение числителей)
2. Изучите знаменатели, по одному фактору за раз, и определите, каких факторов не хватает.
3. Умножить на подражательные дроби (например, \(\frac{5x}{5x}\)) для включения отсутствующих множителей.
4. Когда все знаменатели имеют одинаковые множители, возведенные в одинаковые степени, у вас есть общие знаменатели. Сложите или вычтите числители, чтобы получилась одна большая дробь (оставьте прежним знаменатель).
5. Распределите, соберите одинаковые термины и разложите новый числитель.
6. Упростите все множители, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе.

Если ваши термины имеют общий знаменатель и у вас нет лишних множителей, то вы нашли наименьший общий знаменатель или LCD. Использование ЖК-дисплея может помочь вам избежать ненужных осложнений, возникающих из-за наличия дополнительных, ненужных факторов.

В следующем примере в знаменателе используются биномиальные множители, а не множители с одной переменной. При факторинге и распределении биномов требуется немного больше работы, но общий процесс решения такой же.

\(\displaystyle\frac{6}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}+\frac{9x}{\left(x+4\right)\left( х+5\вправо)}\)

В первом члене отсутствует множитель \((x+5)\), а во втором члене отсутствует множитель \((x+3)\), поэтому мы умножим каждый член на дробь-подражатель, содержащую множители отсутствует в знаменателе этого термина.

\(\displaystyle \frac{(x+5)}{(x+5)}\cdot\frac{6}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}+ \frac{9x}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}\cdot\frac{(x+3)}{(x+3)}\)

\(\ стиль отображения \frac{6(x+5)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{9x(x+5) }{\влево(х+3\вправо)\влево(х+4\вправо)\влево(х+5\вправо)}\) 92 + 17x+10)}{\влево(x+3\вправо)\влево(x+4\вправо)\влево(x+5\вправо)}\)

\(\displaystyle \frac{3(3x) +12)(x+5)}{\влево(x+3\вправо)\влево(x+4\вправо)\влево(x+5\вправо)}\)

\(\require{cancel}\ displaystyle \ frac {3 (3x + 12) \ cancel {(x + 5)}} {\ left (x + 3 \ right) \ left (x + 4 \ right) \ Cancel {\ left (x + 5 \ right) )}}\)

\(\displaystyle \frac{3(3x+12)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}\)

Надеюсь, этот процесс станет яснее после того, как вы попрактикуетесь сами. 2-4\) — это разность квадратов, и ее можно разложить на множители с помощью специальных произведений. 9{2}}-4}+\frac{x}{x-2}\) и указать домен.

Укажите результат в простейшей форме.

Показать решение

В следующем видеоролике мы представляем пример сложения двух дробных выражений, знаменателями которых являются двучлены без общих множителей.

Вычитание дробных выражений

Чтобы вычесть дробные выражения, следуйте тому же процессу, который вы используете для сложения дробных выражений. А вот со знаками нужно быть осторожнее. Часто полезно преобразовать вычитание, например \(\displaystyle \frac{a}{7}-\frac{b}{5}\), в сложение \(\displaystyle \frac{a}{7}+\ frac{(-1)\cdot b}{5}\). 9{2}+4x+4}\).
Следующее видео содержит пример вычитания дробных выражений.

Вложенные дробные выражения

Дроби и дробные выражения можно интерпретировать как частные. Когда и делимое (числитель), и делитель (знаменатель) включают дроби или дробные выражения, получается нечто более сложное, чем обычно. Не бойтесь: у вас есть все инструменты, необходимые для упрощения этих выражений!

Дробь, содержащая дроби, называется вложенная дробь или иногда сложная дробь . Эти вложенные дроби никогда не считаются простейшими, но их всегда можно упростить, используя деление дробей. Помните, чтобы разделить дроби, вы умножаете на обратную.

Перед упрощением вложенной дроби вычислите все суммы или разности, встречающиеся в числителе или знаменателе (или в обоих). Затем упростите частное, как показано выше.

В следующем видео мы покажем еще несколько примеров того, как можно упростить вложенные дроби.

Вложенные дробные выражения

Вложенное дробное выражение представляет собой частное с дробными выражениями в делимом, делимом или в обоих. Упростите их точно так же, как вложенную дробь, содержащую только числа.

В следующем видео-примере мы покажем, что упрощение вложенной дроби может потребовать сначала факторизации.

Те же идеи можно использовать при упрощении вложенных дробных выражений, которые включают более одного дробного выражения в числителе или знаменателе. Однако есть ярлык, который можно использовать. В следующих двух примерах сравниваются две разные стратегии решения для упрощения вложенной дроби.

Второй метод может показаться вам более быстрым, но попробуйте оба способа, чтобы понять, что вам больше нравится.

В нашем последнем примере мы показываем пример, аналогичный приведенному выше.

Сводка

Дополнительным фактором для дробных выражений является определение того, какие значения исключаются из домена. Поскольку деление на 0 не определено, любые значения переменных, знаменатель которых равен 0, должны быть исключены. Исключенные значения должны быть идентифицированы в исходном уравнении, а не только в его факторизованной форме. Дробные выражения — это дроби, содержащие многочлены. Их можно упростить так же, как числовые дроби. Чтобы упростить дробное выражение, сначала определите общие множители числителя и знаменателя, а затем удалите их, переписав в виде выражений, равных 1.

Дробные выражения умножаются и делятся так же, как и числовые дроби. Чтобы разделить, сначала перепишите деление как умножение на обратную величину знаменателя. Затем шаги те же, что и для умножения.

При выражении произведения или частного важно указать исключенные значения. Это все значения переменной, при которых знаменатель будет равен нулю на любом шаге вычислений.

Вложенные дробные выражения — это частные с дробными выражениями в делителе, делимом или в том и другом. Когда они написаны в дробной форме, они кажутся дробями внутри дроби. Их можно упростить, если сначала рассматривать частное как задачу деления. Затем вы можете переписать деление как умножение, используя обратную величину делителя. Или вы можете упростить вложенное дробное выражение, умножив и числитель, и знаменатель на знаменатель, общий для всех дробных выражений во вложенном выражении.

Простой поиск областей рациональных выражений

УпрощениеБольше примеров

Purplemath

Что такое рациональное выражение?

«Рациональное выражение» представляет собой полиномиальную дробь; с переменными хотя бы в знаменателе. (Если переменные находятся только в числителе, то выражение на самом деле является только линейным или полиномиальным.) Практически все, что можно сделать с правильными дробями, можно сделать и с рациональными выражениями.

Содержимое продолжается ниже

MathHelp.com

Упрощение рациональных выражений

Однако, поскольку в рациональных выражениях есть переменные, есть некоторые дополнительные соображения.

Когда вы имели дело с дробями, вы знали, что у дроби могут быть любые целые числа в качестве числителя и знаменателя, пока вы не пытались поставить ноль в качестве знаменателя.

При работе с рациональными выражениями вам часто придется вычислять выражение, и может быть полезно знать, какие значения вызовут деление на ноль, чтобы избежать этих 9 ошибок.0424 x -значения. Так что, вероятно, первое, что они заставят вас сделать с рациональными выражениями, это найти их домены.

Как найти область определения рационального выражения?

Чтобы найти область определения рациональной функции:

1. Возьмите знаменатель выражения.
2. Установите этот знаменатель равным нулю.
3. Решите полученное уравнение относительно нулей знаменателя.
4. Домен — все другие x -значения.

---

• Найти домен ³ / _x

Домен содержит все допустимые значения x . Я не могу делить на zerp — потому что деление на ноль никогда не допускается. Поэтому мне нужно найти все значения x , что будет причиной деления на ноль. Домен тогда будет все остальные x -значения.

Когда этот знаменатель равен нулю? Когда x  = 0,

По определению рациональных выражений, домен является противоположным решениям знаменателя. Когда вы устанавливаете знаменатель равным нулю и решаете, областью будут все других значений x . В данном случае это означает, что домен:

все x ≠ 0

---

• Определите домен ^x / ₃

Домену все равно, что находится в числителе рационального выражения. На домен влияют только нули знаменателя. И этот знаменатель равен 3.

Будет ли 3 когда-либо равняться нулю? Нет; конечно нет. А так как знаменатель никогда не будет равен нулю, каким бы ни было значение х , то для этого выражения нет запрещенных значений, а х может быть любым. Итак, домен:

все x

Примечание. В данном случае они дали нам просто линейное выражение. На самом деле это было нерационально, потому что в знаменателе не было переменных.

---

• Найдите домен следующего выражения:

Чтобы найти домен, я проигнорирую « x + 2» в числителе (поскольку числитель не вызывает деления на ноль) и вместо этого посмотрю на знаменатель. Приравняю знаменатель к нулю и решу. 9Значения 0424 x в решении будут значениями x , что приведет к делению на ноль. Тогда доменом будут все остальные значения x .

x ² + 2 x — 15 = 0

( x + 5) ( x — 3) = 0

x — 3) = 0

x — 3) = 0

x — 3) = 0

x — 3) = 0

x — 3) = 0

x — 3) = 0

x — 3)

Разложив квадратное число на множители, я нашел нули знаменателя. Домен тогда будет все остальные x -значения:

все x ≠ −5, 3

---

• Найдите домен следующего выражения:

Чтобы найти область определения, я найду нули знаменателя:

x ² + 4 = 0

x ^{2 9044 Это уравнение не имеет решения , поэтому знаменатель никогда не равен нулю. Тогда домен:}

все x

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/rtnldefs.htm

Page 2Page 3

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске области рациональных функций. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Найти домен» (или «Найти домен и диапазон»), чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

Пожалуйста, примите «предпочтительные» файлы cookie, чтобы включить этот виджет.