Как складывать и вычитать степени – Что делать со степенями при сложении и вычитании числа? — Любопытная Варвара

Содержание

Свойства степеней с одинаковыми основаниями

☰

Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это

Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть сумма показателей исходных множителей.
Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание — это то же самое число, а показатель — это произведение двух степеней.

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

a^m × aⁿ = a^m+n
a^m ÷ aⁿ = a^m–n
(a^m)ⁿ = a^mn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

5² × 5³ = 5⁵ — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

5² × 5³ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁵ — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5⁵.

3⁹ ÷ 3⁵ = 3^9–5 = 3⁴. Запишем деление в виде дроби:

Ее можно сократить:

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a

m ÷ aⁿ = a^m–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:
(2²)⁴ = 2^2×4 = 2⁸

Запишем в развернутом виде:
(2²)⁴ = (2 × 2)⁴ = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁸

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

scienceland.info

Сложение и вычитание многочленов: правила и примеры

С многочленами, как и с любыми другими алгебраическими выражениями, можно производить различные действия. Разберемся, как складывать и вычитать многочлены.

Пусть даны два многочлена. Чтобы их сложить, их записывают в скобках и ставят знак «плюс» между ними. Потом раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые. При вычитании мы ставим между скобками знак «минус».

Раскрываем скобками и приводим подобные слагаемые. Если перед скобкой стоит знак «плюс» то, раскрывая скобки, мы сохраняем знак каждого из одночлена входящего в многочлен, заключенный в скобки. Если перед скобками стоит знак «минус», то, раскрывая скобки, следует заменить знаки у каждого из одночленов входящих в многочлен, заключенный в скобки.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты у подобных одночленов, а потом, полученное число умножить на буквенное выражение.

Примеры

Рассмотрим пример.

Даны два многочлена x^3 +5*x^2 – 4*x + 5 и –x^3 + 3*x^2 – x + 2. Найти сумму и разность этих многочленов.

Решение:

(x^3 +5*x^2 – 4*x + 5) + (–x^3 + 3*x^2 – x + 2) =

x^3 +5*x^2 – 4*x + 5 – x^3 + 3*x^2 – x + 2 =

8*x^2 – 5*x + 7.

(x^3 +5*x^2 – 4*x + 5) — (–x^3 + 3*x^2 – x + 2) =

x^3 +5*x^2 – 4*x + 5 + x^3 — 3*x^2 + x – 2 =

2*x^3 + 2*x^2 -3*x +1.

Алгебраическая сумма многочленов

Следует обратить внимание, x^3 – x^3 = 0. И поэтому при сложении, у нас исчез одночлен x^3. В таком случае говорят, что члены х^3 и -x^3 взаимно уничтожились. Как видно сложение и вычитание многочленов производятся по одному и тому же правилу. При этом нет необходимости в использовании терминов «сложение многочленов» или «разность многочленов». Их можно заменить одним выражением – «алгебраическая сумма многочленов».

Можно записать общее правило нахождения алгебраической суммы нескольких многочленов.
Для того чтобы найти алгебраическую сумму нескольких многочленов, записанную в стандартном виде, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

При этом, если перед скобкой стоит знак «плюс», то раскрывая скобки, знаки перед слагаемыми нужно оставить без изменений. Если же перед скобкой стоит знак «минус», то раскрывая скобки, знаки перед слагаемыми нужно заменить на противоположные. «Плюс» на «минус», а «минус» на «плюс».

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Многочлен: понятие и его стандартный вид, степень многочлена
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspУмножение одночлена на многочлен: распределительный закон умножения

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Как складывать степени — Как? Так!

Содержимое:

3 метода:

Степень, а точнее показатель степени, говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.^{Чтобы найти сумму степеней, следует уметь определить, вручную либо на калькуляторе, значение каждого слагаемого. При сложении переменных со степенями необходимо знать правила суммирования схожих членов.}

Шаги

Метод 1 Сложение чисел со степенями вручную

1 Вычислите первое степенное выражение. Оно состоит из основания (крупное число внизу) и показателя (меньшее по размеру число справа вверху) степени. Показатель степени определяет, сколько раз следует умножить основание само на себя (например, 23=2×2×2
- Например, если дано выражение 34+25 2 Вычислите второе степенное выражение. Для этого умножьте основание степени на само себя столько раз, сколько указано в показателе степени.
  - После предыдущего действия наш пример имеет вид 81+25 3 Сложите полученные значения. Таким образом вы найдете сумму двух степенных выражений.
    - В нашем примере:
      34+25
      Метод 2 Сложение чисел со степенями на калькуляторе
      1. 1 Найдите на калькуляторе клавишу степени. Как правило, на ней написано yx 2 Введите первое степенное выражение. Для этого введите сначала основание степени (более крупное число), а затем показатель степени.
        Например, если дано выражение 34+25 3 Нажмите клавишу сложения. В результате у вас получится значение первого слагаемого. После этого не нужно нажимать знак равенства (клавишу = 4 Введите второе степенное выражение. Для этого введите сначала основание степени (более крупное число), а затем показатель степени.
        Например, если дано выражение 34+25 5 Нажмите знак равенства (клавишу =
        Метод 3 Сложение переменных со степенями
        1 Найдите слагаемые с одинаковыми основаниями и показателями степени. Основание имеет вид более крупного числа (или переменной) внизу, а показатель степени стоит справа вверху.
        Показатель степени определяет, сколько раз следует умножить основание степени само на себя (например, x3=x×x×x
        В случае переменных перед ними могут стоять коэффициенты, на которые их следует умножить.
        Если перед какой-либо переменной нет коэффициента, это значит, что она умножается на 1 2 Сложите слагаемые с одинаковыми основаниями и показателями степени.^{При работе с переменными можно складывать лишь те члены, у которых одинаковые основания и показатели степени. То есть одинаковыми должны быть ОБЕ эти части.Например, если дано выражение x4+3×6+4×4+2y4
        3 Сложите коэффициенты при схожих членах. Помните о том, что при отсутствии коэффициента он равен 1
        4 Запишите окончательное упрощенное выражение. Помните о том, что складывать следует лишь коэффициенты при членах с одинаковым основанием И показателем степени, причем основание и показатель останутся прежними.В нашем примере выражение x4+3×6+4×4+2y4}

Прислал: Беляева Екатерина . 2017-11-11 23:48:33

kak-otvet.imysite.ru