2 на 2 и 3 на 3, когда это возможно, можно ли разной размерности
Мы уже знаем, что матрица – это объект, который представляет собой совокупность взаимосвязанных строк (m) и столбцов (n). С ней можно проводить различные действия, от обычного вычитания до транспортирования. Разберёмся с самой простой матричной операцией – сложением.
Сложение матриц — теория
Сложение матриц – это алгоритм вычисления новой матрицы С при помощи попарного суммирования соответствующих элементов матриц А и В.
Формула:
\(с_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)
где i – номер строки, а j – номер столбца.
То есть, чтобы получить, например, элемент \(с_{11}\), нужно сложить \(а_{11}\) и \(b_{11}\).
Когда это возможно, можно ли складывать матрицы разной размерности
Как сложение, так и вычитание матриц возможно только в том случае, когда они равны по размеру.
Также подметим, что нельзя складывать матрицы с обычными целыми числами и дробями.
Порядок элементов в таблице менять нельзя.
Экономический смысл сложения матриц
Матрица имеет прикладное значение, так как часто используется в экономике для систематизации информации и облегчения вычислений. К примеру, с помощью неё можно предоставить отчёт о продажах:
Пусть \(х_{ij}\) – это количество определённого товара, проданного в определённом магазине за первый год. Матрица У – отчёт о продажах за второй год. Тогда, чтобы посчитать сумму продаж за оба года, нужно сложить отчёты Х и У.
Свойства операции сложения матриц
Свойств немного, и все они легки для запоминания:
- Свойство коммутативности: A+ B = B + A.
- Свойство ассоциативности: (A+ B) + C= A + (B + C).
- Свойство дистрибутивности: (A+ B) * C= AC + BC.
При сложении А с нулевой матрицей 0, у которой все элементы равны нулю, исходная матрица не меняется:
А + О = А
При сложении А с противоположной матрицей (-А) сумма равна нулю:
А + (-А) = О
Примеры с решением на нахождение суммы матриц
Задача №1
Даны слагаемые:
Найти: С
Решение
\(с_{11} = а_{11} + б_{11} = 2 + 1 = 3\)
\(с_{12} = а_{12} + б_{12} = 3 + (-3) = 0\)
\(с_{21} = а_{21} + б_{21} = (-1) + 2 = 1\)
\(с_{22} = а_{22} + б_{22} = 4 + 5 = 9\)
Ответ:
Задача №2
Даны слагаемые:
Найти: С
Решение: так как матрицы разного размера (А = 2 × 3; В = 3 × 2), данная операция невозможна.
Ответ: нет решения.
Не справляетесь с заданиями по учебе? Обращайтесь в ФениксХелп за помощью!
определения, свойства и примеры решения задач
Содержание:
- Сумма матриц
- Разность матриц
- Свойства сложения и вычитания матриц:
Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.
Сумма матриц
Определение
Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:
$$ A_{m \times n}+B_{m \times n}=C_{m \times n} ; c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}, i=\overline{1 ; m}, j=\overline{1 ; n} $$
Замечание
Складывать можно только матрицы одинакового размера.
Пример
Задание. Найти $A+B$, если $ A=\left( \begin{array}{ll}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right) $
Решение. $ C=A+B=\left( \begin{array}{cc}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right)_{2 \times 2}+\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $
$ =\left( \begin{array}{cc}{1+4} & {4+4} \\ {2+5} & {3+2}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $
Ответ.
$ A+B=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $
Свойства сложения и вычитания матриц:
- Ассоциативность $ (A+B)+C=A+(B+C) $
- $ A+\Theta=\Theta+A $, где $\Theta$ — нулевая матрица соответствующего размера.
- $ A-A=\Theta $
- Коммутативность $ A+B=B+A $
Разность матриц
Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число.
Вычитание матриц вводится следующим образом: $ A-B=A+(-1) \cdot B $
То есть к матрице $A$ прибавляется матрица $B$, умноженная на (-1).
Определение
Разностью матриц $A$ и $B$ одного и того же размера называется матрица $C = A-B$ такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице $A$ матрицы $B$, умноженной на (-1).
На практике же от элементов матрицы $A$ попросту отнимают соответствующие
элементы матрицы $B$ при условии, что заданные матрицы одного размера.
Замечание
Вычитать можно только матрицы одинакового размера.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти матрицу $ C=A-3 B $, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right) $
Решение. $ C=A-3 B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-3 \cdot \left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right)= $
$ \left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-\left( \begin{array}{rr}{-3} & {3} \\ {3} & {6} \\ {0} & {0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{1-(-3)} & {2-3} \\ {2-3} & {-1-6} \\ {3-0} & {0-0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $
Ответ.
$ C=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $
Сложение и вычитание матриц
Горячая математикаА матрица можно добавить к другой матрице (или вычесть из нее) только в том случае, если две матрицы имеют одинаковые размеры .
Чтобы добавить две матрицы, просто добавьте соответствующие элементы и поместите эту сумму в соответствующую позицию в полученной матрице.
Пример 1:
Добавьте матрицы.
[ 1 5 − 4 3 ] + [ 2 − 1 4 − 1 ]
Во-первых, обратите внимание, что оба дополнения
2
×
2
матрицы, поэтому мы можем добавить их.
[ 1 5 − 4 3 ] + [ 2 − 1 4 − 1 ] «=» [ 1 + 2 5 + ( − 1 ) − 4 + 4 3 + ( − 1 ) ]
«=» [ 3 4 0 2 ]
Вычитание с матрицами так же просто.
Пример 2:
Вычесть.
[ 4 5 6 2 3 4 ] − [ 2 4 6 1 2 3 ]
Вычтите соответствующие записи.
[ 4 5 6 2 3 4 ] − [ 2 4 6 1 2 3 ] «=» [ 4 − 2 5 − 4 6 − 6 2 − 1 3 − 2 4 − 3 ]
«=» [ 2 1 0 1 1 1 ]
Как сложить одну матрицу в другую? Вход-мудрый!
Purplemath
Как сложить две матрицы?
Чтобы добавить матрицы, вы добавляете соответствующие записи двух матриц.
Вы берете первую строку, запись первого столбца одной матрицы и добавляете ее к первой строке, записи первого столбца другой матрицы. Это создает первую строку, первую запись столбца в новой матрице.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Это требует, конечно, чтобы каждая из двух добавленных матриц имела совпадающие записи. Это, в свою очередь, требует, чтобы две матрицы можно было сложить друг с другом *только*, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов. Одна матрица может быть добавлена к другой матрице *только* если они имеют одинаковые размеры.
Если вам когда-нибудь даны две матрицы разных размеров, вы можете сразу заключить, что их нельзя сложить (или вычесть) вместе.
- Заполните следующее дополнение:
Чтобы сложить эти матрицы, мне нужно сложить пары элементов, а затем упростить суммы, чтобы завершить сложение. Первый элемент первой строки первой матрицы добавляется к первому элементу первой строки второй матрицы, становясь значением первого элемента первой строки матрицы суммы; и так далее:
Последняя матрица, содержащая суммы элементов двух заданных матриц, и есть то, что они ищут.
Итак, мой ответ:
И это все, что нужно для сложения матриц: суммировать совпадающие элементы и упростить, чтобы получить новую матрицу (которая будет того же размера, что и две исходные матрицы).
До сих пор вы могли добавлять любые две вещи, которые вы хотели: числа, переменные, уравнения и так далее. Но сложение не всегда работает с матрицами. Как упоминалось выше, если две матрицы имеют разную размерность, то будут элементы матрицы, у которых нет совпадающего элемента в другой матрице. Таким образом, вы можете добавлять только матрицы одинакового размера.
Обратите внимание, что «одинаковый размер» *не* означает «одинаковое количество записей». Вы не можете взять матрицу из двух строк и трех столбцов и добавить ее к матрице из трех строк и двух столбцов. Да, в каждой из этих матриц по шесть элементов, но они не в одних и тех же местах, поэтому их нельзя сложить вместе. Для добавления две матрицы должны иметь одинаковое количество записей в одной и той же конфигурации .
- Выполните указанную операцию или объясните, почему она невозможна.
Матрицы добавляются по элементам, поэтому я должен добавить 1 и 4, 2 и 5, 0 и 7, 3 и 8.
Но что мне добавить к 6 и к 9? В первой матрице нет соответствующих элементов, которые можно добавить к этим элементам во второй матрице.
Итак, мой ответ:
невозможно: матрицы разного размера
Сложение матриц, которое они просили меня сделать, не определено; то есть попытка сложения не имеет математического смысла. Так что это невозможно сделать.
Матричное вычитание работает и на входе.
A и B имеют одинаковый размер, каждая из которых представляет собой матрицы 2 × 3 (то есть каждая матрица состоит из двух строк и трех столбцов), поэтому я могу вычесть их, работая по записи:
Однако A и C не одного размера; A имеет на один столбец больше, чем C .
Таким образом, это вычитание не определено.
А − С не определено: А , B различных размеров
Сложение и вычитание матриц, если они определены (т. е. когда матрицы имеют одинаковый размер, поэтому сложение и вычитание имеют смысл), можно превратить в домашние задания.
Во-первых, я немного упрощу левую часть, добавив по элементам:
Поскольку равенство матриц работает по элементам, я могу сравнивать элементы, чтобы создать простые уравнения, которые я могу решить. В этом случае 1,2-элементы (то есть элементы в первой строке, втором столбце суммируемой и разрешающей матриц) говорят мне, что x + 6 = 7, а 2,1-элементы (то есть элементы во второй строке, первом столбце матриц суммирования и решения) говорят мне, что 2 y — 3 = -5.
Решая, я получаю:
х + 6 = 7
х = 1
2 у — 3 = -5
2 у = −2
y = −1
Эти два значения представляют собой информацию, которую они хотят, поэтому мой ответ:
x = 1, y = −1
URL: https://www.