Сумма ⭐ двух векторов: определение, правило, координаты
Основные понятия
Определение 1Направленный отрезок, то есть отрезок, который имеет длину и определенное направление, носит название вектора.
Обозначается буквенным символом со стрелкой над ним:
Определение 2
Сонаправленные векторы — это векторы, направления которых совпадают (одинаковые по направлению).
Определение 3Противоположно направленные векторы — это векторы, которые направлены в разные стороны.
С векторами можно производить такие операции, как:
- сложение;
- вычитание;
- умножение на число.
Для начала, рассмотрим подробно сложение.
Сложение (сумма) векторов «a + b» — это операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:
c=a+b
Вычитание (разность) векторов «a — b» — это операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:
c=a-b
Сложение векторов может осуществляться по трем правилам:
- Правило параллелограмма.
Из произвольной точки необходимо отложить два данных вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, будет суммой заданных векторов. - Правило многоугольника. Из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее. Когда все векторы отложены, соединим начальную точку с концом последнего вектора и получим сумму нескольких векторов.
- Правило треугольника.
Из произвольной точки необходимо отложить два данных вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, будет суммой заданных векторов.Сумма сонаправленных и противоположно направленных векторов, правило треугольника
Правило треугольника заключается в следующем: для того чтобы сложить два сонаправленных вектора, необходимо из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго. Конечный вектор и будет суммой двух векторов.
Чертеж поможет наглядно объяснить правило:
a+b=AB+BC=AC
AC — сумма векторов.
Разность векторов a и b является суммой векторов a и -b.
Как вычислить координаты суммы двух векторов, пояснение на примерах
Кроме геометрического способа сложения (вычитания) векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника), существует способ сложения координат векторов.
Для того чтобы найти координаты суммы двух векторов, нужно сложить их соответствующие координаты по следующей формуле:
Пример 1Найти сумму векторов a(7;5) и b(3;8)
Решение: a+b=(7+3;5+8)=(10;13)
Пример 2Найти сумму координат векторов a(-7;2), b(-3;6), c(6;-5)
Решение: a+b+c=(-7-3+6;2+6-5)=(-4;3)
Примеры решения задач
Пример 3Найти сумму векторов a(1;2), b(7;9)
Решение:a+b=(1+7;2+9)=(8;11)
Пример 4Найти разность координат векторов a(4;-6), b(5;-1)
Решение: a-b=(4-5;-6-(-1))=(-1;-5)
8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Векторы.
Повторение теории. Решение задач с применением векторов.Комментарии преподавателяПовторение теории. Задачи
Напомним, что существуют такие физические величины, для которых важна не только величина, но и направление. Такие величины называются векторными, или векторами, и обозначаются они направленным отрезком, то есть таким отрезком, у которого отмечены начало и конец. Введено было понятие коллинеарных векторов, то есть таких, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Мы рассматриваем вектор, который можно отложить от любой точки, заданный вектор от произвольно выбранной точки можно отложить единственным образом.
Было введено понятие равных векторов – это такие сонаправленные векторы, длины которых равны. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.
Были введены правила треугольника и параллелограмма – правила сложения векторов.
Заданы два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . – направленный отрезок, точка А – его начало, а точка В – конец. Из точки В отложим вектор . Тогда вектор называют суммой заданных векторов: – правило треугольника (см. Рис. 1).
Рис. 1
Задано два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов по правилу параллелограмма.
Откладываем из точки А вектор и вектор (см. Рис. 2). На отложенных векторах можно построить параллелограмм. Из точки В откладываем вектор , векторы и равны, стороны ВС и
Рис. 2
АВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма.
Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника (см.
Рис. 3). Нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее, когда все векторы отложены – соединить начальную точку с концом последнего вектора, в итоге получится сумма нескольких векторов.
Рис. 3
Кроме того, мы рассмотрели понятие обратного вектора – вектора, имеющего такую же длину, как заданный, но ему противонаправленного.
Пример 1 – задача 747: выпишите пары коллинеарных сонаправленных векторов, которые определяются сторонами параллелограмма; укажите противоположно направленные векторы;
Задан параллелограмм MNPQ (см. Рис. 4). Выпишем пары коллинеарных векторов. В первую очередь это векторы и . Они не только коллинеарные, но и равные, т.к. они сонаправлены, и длины их равны по свойству параллелограмма (в параллелограмме противоположные стороны равны).
Следующая пара . Аналогично
Рис. 4
выпишем коллинеарные векторы второй пары сторон: ; .
Противоположно направленные векторы: , , , .
Пример 2 – задача 756: начертите попарно неколлинеарные векторы , и . Постройте векторы ;; ;.
Для выполнения данного задания можем пользоваться правилом треугольника или параллелограмма.
Способ 1 – с помощью правила треугольника (см. Рис. 5):
Рис. 5
Способ 2 – с помощью правила параллелограмма (см. Рис. 6):
Рис. 6
Комментарий: мы применяли в первом способе правило треугольника – откладывали из произвольно выбранной точки А первый вектор, из его конца – вектор, противоположный второму, соединяли начало первого с концом второго, и таким образом получали результат вычитания векторов. Во втором способе мы применили правило параллелограмма – построили на нужных векторах параллелограмм и его диагональ – искомую разность, помня тот факт, что одна из диагоналей – это сумма векторов, а вторая – разность.
Пример 3 – задача 750: докажите, что если векторы и равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то векторы и равны (см. Рис. 7).
Из равенства векторов и следует, что прямые АВ и CD параллельны, и что отрезки АВ и CD равны. Вспомним признак параллелограмма: если у четырехугольника пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых, и их длины равны, то данный четырехугольник – параллелограмм.
Рис. 7
Таким образом, четырехугольник ABCD, построенный на заданных векторах, – параллелограмм. Отрезки AD и BC являются диагоналями параллелограмма, одно из свойств которого: диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, доказано, что середины отрезков AD и BC совпадают.
Докажем обратное утверждение.
Для этого воспользуемся другим признаком параллелограмма: если в некотором четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Отсюда четырехугольник ABCD – параллелограмм, и его противоположные стороны параллельны и равны, таким образом, векторы и коллинеарны, очевидно, что они сонаправлены, и модули их равны, отсюда векторы и равны, что и требовалось доказать.
Пример 4 – задача 760: докажите, что для любых неколлинеарных векторов и справедливо неравенство (см. Рис. 8)
Отложим из произвольной точки А вектор , получим точку В, из нее отложим неколлинеарный ему вектор . По правилу параллелограмма или треугольника получим сумму векторов – вектор . Имеем треугольник .
Длина суммы векторов соответствует длине стороны АС треугольника. По неравенству треугольника длина стороны АС меньше, чем сумма длин двух других сторон АВ и ВС, что и требовалось доказать.
Рис. 8
Применение векторов к решению задач
Напомним, что мы уже изучили некоторые факты о векторах, и теперь умеем определять равные векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные. Также мы умеем складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма, складывать несколько векторов по правилу многоугольника, умеем умножать вектор на число. Решение задач с векторами использует все эти знания. Перейдем к решению некоторых примеров.
Пример 1 – задача 769: отрезок ВВ1 – медиана треугольника . Выразите через векторы и векторы , , и .
Отметим, что векторы и неколлинеарны, то есть прямые АВ и АС не параллельны.
В дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора.
Выразим первый вектор (см. Рис. 1): , т. к. по условию ВВ1 – медиана треугольника, значит, векторы и имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.
Рис. 1
Для выражения следующего вектора воспользуемся правилом параллелограмма для вычитания. Мы помним, что одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов, а вторая – их разности. Диагональ, соответствующая разности векторов, следует от конца к началу, таким образом, если построить на заданных векторах и параллелограмм, то его диагональ будет соответствовать разности .
Вектор является противоположным к заданному вектору , отсюда .
Вектор аналогично вектору можно представить в виде разности векторов . При выражении следует учесть тот факт, что точка В1 является серединой отрезка АС, значит, векторы и равны, значит, вектор можно представить как удвоенное произведение вектора .
Перед решением задачи мы сказали, что через заданные два неколлинеарных вектора можно выразить любой вектор.
Выразим, например, медиану АА1 (см. Рис. 2).
Получили систему уравнений, выполним их сложение:
Векторы в сумме составляют нулевой вектор, так как они коллинеарны и противонаправлены, а модули их равны, таким образом получаем:
Рис. 2
Поделим обе части уравнения на два, получим:
Из данной задачи можно сделать вывод, что если заданы два неколлинеарных вектора, то любой третий вектор на плоскости можно однозначно выразить через эти два вектора. Для этого необходимо применить правило сложения векторов, либо методом треугольника, либо параллелограмма, и правило умножения вектора на число.
Пример 2: доказать с помощью векторов свойство средней линии треугольника (см. Рис. 3).
Задан произвольный треугольник , точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно, MN – средняя линия треугольника.
Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине.
Доказательство данного свойства аналогично для треугольника и трапеции.
Рис. 3
Выразим вектор двумя способами:
Получили систему уравнений:
Выполним сложение уравнений системы:
Сумма векторов – это нулевой вектор, длины этих векторов равны по условию, кроме того, они очевидно коллинеарны и противонаправлены. Аналогично суммой векторов будет нулевой вектор. Получаем:
Поделим обе части уравнения на два:
Таким образом, мы получили, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Кроме того, из равенства вектора половине вектора следует, что эти векторы коллинеарны и сонаправлены, а значит, прямые MN и ВС параллельны.
Таким образом, мы доказали свойство средней линии трапеции при помощи векторов.
Пример 3: задан произвольный треугольник (см. Рис. 4). В нем проведены медианы АА1, ВВ1, СС1. Точка пересечения медиан – М. Вектор соответствует силе , – силе , – силе . Доказать, что .
Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Иногда точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника.
Выполним сложение векторов , воспользуемся для этого правилом параллелограмма (см. Рис. 5).
Рис. 4
Получаем:
С другой стороны, , так как BMCD – параллелограмм, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, А1 – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, отрезки МА1 и А1D равны, отсюда, по свойству точки пересечения медиан, длины векторов и равны, но данные векторы противонаправлены, а значит, их сумма
Рис.
5
равна нулевому вектору. Мы помним, что вектор , а вектор , таким образом, , что и требовалось доказать.
Пример 4 – задача 773: докажите, что для любых векторов и справедливо следующее неравенство:
Решение: представим разность векторов в виде суммы: . Также обратим внимание на тот факт, что длины противонаправленных векторов и равны: . Таким образом, можно переписать исходное выражение:
Для удобства введем новую переменную: и перепишем выражение:
. А данное неравенство – неравенство треугольника – было доказано в предыдущем уроке. Отметим, что равенство наблюдается в том случае, когда треугольник вырождается в отрезок.
Итак, мы вспомнили все основные определения и свойства векторов, вспомнили основные операции над векторами, рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/vektory-povtorenie-teorii-zadachi
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/8-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/9-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-2.html
http://uslide.ru/images/22/28455/960/img5.jpg
http://www.studfiles.ru/html/2706/538/html_OqWQ3sDQeV.5bGa/htmlconvd-WBhq8w_html_73af1ab4.png
http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/29cc1d8d90989d9f0e3df70c3d95a9ee.jpg
http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJh2OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw
http://matssir.
ucoz.ru/_ld/0/33_G8p84-85.pptx
http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/05/11/vektory._dokazatelstvo.pptx
http://v.5klass.net/zip/b66d124d0243f848a0bf454b75404034.zip
Обозначение— Символ для векторов с одинаковым направлением
спросил
Изменено 2 месяца назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Как вы утверждаете, что два вектора $\vec{A}$ и $\vec{B}$ имеют одинаковое направление? Я знаю символ $| |$ показывает, что они параллельны, но есть ли такой символ, который показывает, что направления векторов равны. Я думаю, вы бы назвали два вектора коллинеарными. Есть ли символ, показывающий, что два вектора коллинеарны?
- обозначения
- векторы
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Не уверен, что это считается некробампингом, но мои профессора математики более высокого уровня в университете всегда использовали 
Однако я не вижу его больше нигде в математической сфере.
$\endgroup$
$\begingroup$
«Антипараллельность» определенно означает, что два (евклидовых) вектора направлены в противоположные стороны, тогда как «параллельность» может просто означать, что они коллинеарны (поэтому можно сказать, что нулевой вектор параллелен всем векторам).
Чтобы однозначно описать два вектора как фактически направленные в одном направлении, я бы сказал, что они являются положительным скалярным числом, кратным друг другу .
П.С. Однако обратите внимание, что коллинеарность двух векторов не означает, что они кратны друг другу: например, $\mathbf 0$ и $\mathbf k.$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
терминология — Что такое термин для вектора в том же направлении, но с разной длиной
спросил
Изменено 5 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Я скажу, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на одной прямой, например (1, 2, 3) и (-1, -2, -3). Как мне назвать два вектора в одном направлении, но с разной длиной? как (1, 2, 3) и (2, 4, 6). (Конечно, они коллинеарны, но есть ли для них более конкретный термин?)
- векторы
- терминология
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Можно сказать, что (1,2,3) и (2,4,6) параллельны.