ОглавлениеВВЕДЕНИЕЧасть первая.  Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 2. Простые и составные числа. Признаки делимости. 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 4. Целые числа. Рациональные числа. 5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями. 6. Иррациональные числа. Действительные числа. 7. Действия с приближенными числами. 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости. § 2. Степени и корни 9. Степени с натуральными показателями. 10. Степени с целыми показателями. 11. Корни. 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями. 13. Алгоритм извлечения квадратного корня. § 3. Комплексные числа 14. Основные понятия и определения. 15. Рациональные действия с комплексными числами. 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.  Формула Муавра.18. Извлечение корня из комплексного числа. Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены. 20. Формулы сокращенного умножения. 21. Бином Ньютона. 22. Разложение многочлена на множители. 23. Дробные алгебраические выражения. § 2. Иррациональные алгебраические выражения 24. Радикалы из алгебраических выражений. 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Глава III. ЛОГАРИФМЫ 26. Определение и свойства логарифмов. 27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода. § 2. Десятичные логарифмы 28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям. Глава IV. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 30. Величина. Числовые множества. 31. Определение функции. 32. График функции. Способы задания функций. 34. Сложная функция. 35. Обратная функция. 36.  n.41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени. 42. Показательная функция. 43. Логарифмическая функция. § 3. Преобразование графиков 44. Параллельный сдвиг графика. 45. График квадратного трех члена. 46. График дробно-линейной функции. 47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика. 48. Построение графиков функций. 49. Сложение графиков. § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях 50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов. 51. Схема Горнера. Теорема Безу. 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители. Глава V. УРАВНЕНИЯ 53. Уравнение. Корни уравнения. 54. Равносильные уравнения. 55. Системы уравнений. 56. Графическое решение уравнений. §. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной 57. Число и кратность корней. 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения). 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).  60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители. 61. Исследование квадратного уравнения. 62. Уравнения высших степеней. Целые корни. 63. Двучленные уравнения. 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным. 65. Возвратные уравнения. § 3. Системы алгебраических уравнений 66. Линейные системы. 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными. 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения. 69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней. § 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения 71. Показательные уравнения. 72. Логарифмические уравнения. 73. Разные уравнения. Системы уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА 74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами. 75. Алгебраические неравенства. § 2. Решение неравенств 76. Множество решений неравенства.  Равносильные неравенства.77. Графическое решение неравенств. 79. Квадратные неравенства. 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х. 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. 82. Неравенства с двумя неизвестными. Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83. Числовая последовательность. 84. Предел числовой последовательности. 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода. § 2. Арифметическая прогрессия 86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена. 87. Свойства арифметической прогрессии. 88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии. § 3. Геометрическая прогрессия 89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена. 90. Свойства геометрической прогрессии. 91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии. 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ) 93. Вектор, проекция вектора.  94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°. 95. Углы и дуги, большие 360°. 96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов. § 2. Тригонометрические функции произвольного угла 97. Определение основных тригонометрических функций. 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi. 99. Основные тригонометрические тождества. 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них. 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов. § 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 102. Четность и нечетность. 103. Понятие периодической функции. 104. Периодичность тригонометрических функций. § 5. Формулы приведения 105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов. 106. Формулы приведения. Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ § 1.  Тригонометрические функции числового аргумента108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций. 109. Некоторые неравенства и их следствия. § 2. Графики тригонометрических функций 110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций. 111. Основные графики. 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций. 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций. Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 114. Расстояние между двумя точками на плоскости. 115. Косинус суммы и разности двух аргументов. 116. Синус суммы и разности двух аргументов. 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов. 118. О формулах сложения для нескольких аргументов. § 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a 119. Тригонометрические функции двойного аргумента. 120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.  121. Тригонометрические функции половинного аргумента. § 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb § 4. Преобразование в произведение сумм вида § 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента 127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa. 128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b 129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b. Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 130. Функция у = arcsin x (арксинус). 131. Функция y = arccos x (арккосинус). 132. Функция y = arctg x (арктангенс). 133. Функция y = arcctg x (арккотангенс). 134. Пример. § 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями 135. Тригонометрические операции. 136. Операции сложения (вычитания). § 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями 137.  Функция у = arcsin (sin x).138. Функция y = arctg (tg x). Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 139. Уравнение sin х = а. 140. Уравнение cos х = a. 141. Уравнение tg x = a. 142. Уравнение ctg x = a. 143. Некоторые дополнения. § 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента. 146. Способ разложения на множители. 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t. § 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем 148. Введение вспомогательного аргумента. 149. Преобразование произведения в сумму или разность. 150. Переход к функциям удвоенного аргумента. 151. Решение уравнения типа… § 4. Решение тригонометрических неравенств 154. Простейшие тригонометрические неравенства.  155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим. Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ 156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок. 157. Плоскость. Фигуры и тела. 160. Равенство фигур. Движение. 161. Равенство тел. § 2. Измерение геометрических величин 162. Сложение отрезков. Длина отрезка. 163. Общая мера двух отрезков. 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных. 165. Измерение углов. 166. Радианная мера угла. 167. Измерение площадей. 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 169. Перпендикуляр и наклонные. 170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине. 171. Параллельные прямые. 172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. 173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Геометрические места точек. Окружность 174. Геометрическое место точек. 175. Свойство биссектрисы угла.  176. Окружность. 177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая. 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент. 179. Взаимное расположение двух окружностей. § 3. Основные задачи на построение 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров. 182. Построение углов. 183. Другие задачи на построение. Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 184. Стороны и углы треугольника. 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность. 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность. 187. Медианы и выcоты треугольника. 188. Равенство треугольников. 189. Построение треугольников. 190. Равнобедренные треугольники. 191. Прямоугольные треугольники. § 2. Параллелограммы 192. Четырехугольники. 193. Параллелограмм и его свойства. 194. Прямоугольник. § 3. Трапеция 196. Трапеция. 197. Средняя линия треугольника. 198. Средняя линия трапеции. 199. Деление отрезка на равные части.  § 4. Площади треугольников и четырехугольников 200. Площадь параллелограмма. 201. Площадь треугольника. 202. Площадь трапеции. Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 203. Пропорциональные отрезки. 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. § 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия) 205. Определение гомотетичных фигур. 206. Свойства преобразования подобия. § 3. Общее подобное соответствие фигур 207. Подобные фигуры. 208. Периметры и площади подобных треугольников. 209. Применение подобия к решению задач на построение. Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ 210. Углы с вершиной на окружности. 211. Углы с вершиной внутри и вне круга. 212. Угол, под которым виден данный отрезок. 213. Четырехугольники, вписанные в окружность. 214. Пропорциональные отрезки в круге. 215. Задачи на построение. § 2. Метрические соотношения в треугольнике 216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.  Теорема Пифагора.218. Теорема синусов. Формула Герона. 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов. 218. Теорема синусов. Формула Герона. 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей. § 3. Решение треугольников 220. Таблицы функций. 221. Решение треугольников. Сводка основных формул. 222. Решение прямоугольных треугольников. 223. Решение косоугольных треугольников. Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА 224. Выпуклые многоугольники. 225. Правильные многоугольники. 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой. 227. Периметр и площадь правильного n-угольника. 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника. § 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей 229. Длина окружности. 230. Площадь круга и его частей. Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.  232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости. 233. Взаимное расположение двух плоскостей. 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей. 235. Построения в стереометрии. § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей 236. Перпендикуляр к плоскости. 237. Перпендикуляр и наклонные. 238. Угол между прямой и плоскостью. 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей. 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. § 3. Двугранные и многогранные углы 241. Двугранный угол. 242. Взаимно перпендикулярные плоскости. 243. Трехгранные углы. 244. Многогранные углы. § 4. Многогранники 245. Многогранники. 246. Правильные многогранники. Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 247. Цилиндры и призмы. 248. Параллелепипеды. 249. Объемы призм и цилиндров. 250. Площадь боковой поверхности призмы. 251. Площадь поверхности цилиндра. § 2. Пирамида. Конус 252. Свойства пирамиды и конуса.  253. Объем пирамиды и конуса. 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса. 255. Усеченный конус и усеченная пирамида. § 3. Шаровая поверхность. Шар 256. Шар и шаровая поверхность. 257. Объем шара и его частей. 258. Площадь поверхности шара и ее частей. 259. Понятие телесного угла. Ответы к упражнениям Приложения |
Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Умножение комплексных чисел Деление комплексных чисел Формула Муавра
Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть
$z_{1} = r_{1} (\cos \phi_{1} + i \sin \phi_{1}), z_{2} = r_{2} (\cos \phi_{2} + i \sin \phi_{2}).
{\circ})$
Если число $z$ задано в алгебраической форме $a+bi$, то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.
Операции с комплексными числами в тригонометрической форме 2023
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
Если $z_1 = r_1 ( \cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2 ( \cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, $z_2 \neq 0$, то их произведение определяется как
$$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 ( \cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2)),$$
и их частное как
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} ( \cos (\varphi_1 – \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 – \varphi_2)).$$
Пример 1: Вычислить $z_{1}\cdot z_{2}$, где $z_{1} = 2 \cdot \left(cos \frac{\pi}{5} + isin \frac{\pi {5}\right)$ и $z_{2} = 5 \cdot \left(cos \frac{2\pi}{3} + isin \frac{2\pi}{3}\right)$.
Решение:
$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 5 \cdot \left(cos \left(\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi}{3}\ справа) + isin \left(\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi}{3}\right)\right)$
$= 10 \cdot \left(cos \frac{13 \pi}{15} + isin \frac{13 \pi}{15}\right)$
Пример 2: Вычислить $\frac {z_{1}}{z_{2}}$, где $z_{1} = 3 \cdot \left(cos \frac{\pi}{3} + isin \frac{\pi}{3}\right ) $ и $z_{2} = 4 \cdot \left(cos \frac{\pi}{6} + isin \frac{\pi}{6}\right)$.
Решение:
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{3}{4} \cdot \left(cos \left(\frac{\pi}{ 3} – \frac{\pi}{6}\right) + isin \left(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{6}\right)\right)$ 9{10}} $$
$$=\frac{1024}{1024 } \cdot \left ( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right ) $$
$$ = 1 \cdot \left ( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) $$
$$ = i$ $
$n$-й корень комплексных чисел
Каждое комплексное число $z= r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$ имеет ровно $n$ различных значений $n$-го корень определяется по формуле:
$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left ( \cos \frac{\varphi + 2 k \pi}{n} + i \ sin \frac{\varphi + 2 k \pi}{n} \right),$$ 92} = \sqrt{1} = 1$$
$$ tg \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = 0$$
$$\Rightarrow z = 1 (\cos 0 + i \sin 0)$$
$$z = 1.
$$
Используя формулу для $n$-го корня комплексного числа для $n=6$, мы имеем
$$\sqrt[6]{1} = \ sqrt[6]{1} \left ( \cos \frac{0 + 2k\pi}{6} + i \sin \frac{0 + 2 k \pi}{6} \right).$$
Для $k=0$:
$$z_0 = 1 (\cos 0 + i \sin 0) = 1.$$
Для $k = 1$:
$$z_1 = 1 \left( \cos \ frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Для $k=2$:
$$z_2 = 1 \left ( \cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3} \right) = – \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Для $k=3$:
$$ z_3 = 1 (\cos \pi + i \sin \pi) = -1.$$
Для $k=4$:
$$z_4 = 1 \left ( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi }{3} \right ) = – \frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Для $k=5$:
$$z_5 = 1 \left ( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3 }}{2}.$$
Можно заметить, что полученные комплексные числа расположены симметрично.
Они образуют вершины правильного шестиугольника.
Аналогично в целом. Формула корня $n$ из комплексных чисел имеет геометрическую интерпретацию. Все $n$-ые корни комплексных чисел имеют одинаковый модуль $\sqrt[n]{r}$, а это значит, что они равноудалены от начала координат. Следовательно, все они лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $\sqrt[n]{r}$ .
Кроме того, аргументы каждых двух последовательных $n$-х корней различаются для $ \frac{2 \pi}{n}$, а это означает, что эти $n$-х корней расположены так, что образуют вершины правильного полигон .
Выполните указанную операцию, используя тригонометрическую форму. Оставьте ответ в тригонометрической форме (-3-3i)(2+2i)
РЕШЕНИЕ: Выполните указанную операцию, используя тригонометрическую форму. Оставить ответ в тригонометрической форме (-3-3i)(2+2i) Алгебра ->
Комплексные числа Решатели мнимых чисел и урок
-> РЕШЕНИЕ: Выполните указанную операцию, используя тригонометрическую форму.
Оставить ответ в тригонометрической форме
(-3-3i)(2+2i) Войти
|
Оставить ответ в тригонометрической форме 
Обозначим длину радиус-вектора r и
указать аргумент q против часовой стрелки
дуга от правой стороны оси x вокруг радиус-вектора: 2. Мы вычисляем длину этого вектора r, используя теорему Пифагора:
г=х+у.
г=(-3)+(-3)
г=9+9
г=18
г =
г =
г = 3 3. Вычисляем угол q, понимая, что
прямоугольный треугольник - это 45-45-90 с опорным углом 45, и
фактический угол q = 180+45 = 225 4. Запишем форму триггера как r(cosq + isinq), или
(cos225 + isin225). --------------- Затем мы преобразуем 2+2i в триггерную форму: 1. Проводим радиус-вектор, соединяющий начало координат с точкой (2,2) и
перпендикуляр из этой точки к оси x. Мы маркируем
перпендикулярно оси абсцисс при y=2 и отрезку от начала координат до
перпендикуляр х=2. Обозначим длину радиус-вектора r и
указать аргумент q против часовой стрелки
дуга от правой стороны оси x вокруг радиус-вектора: 2. Мы вычисляем длину этого вектора r, используя теорему Пифагора:
г=х+у.