Уравнение с неизвестным в степени: Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени)

§2. Кто есть кто, или Определение квадратного уравнения . Квадратные уравнения. Часть 1

Квадратным называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые заданные действительные числа, причём a ? 0, а x принимается за неизвестное.

Числа a, b, c называют так:

a – старшим или первым коэффициентом,

b – вторым,

c – свободным или третьим1.

«Нумерация» коэффициентов зависит не от их реального месторасположения, а от того, при какой степени неизвестной они находятся. Например, число 2 будет первым коэффициентом в любом из трёх уравнений:

5x +2x² – 7 = 0,

3 –

x +2x² = 0,

2x² +7x +5 = 0.

А вот число 5 в третьем уравнении является свободным коэффициентом, а в первом уравнении – вторым коэффициентом.

То есть первый (старший) коэффициент – это множитель при квадрате неизвестной, второй – при первой степени. Свободный (третий) коэффициент – это слагаемое без неизвестной, то есть «свободный от неизвестной».

Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x. Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.

Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры – дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой – сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое – произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье – произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.

Тогда квадратными будут уравнения:

mx² + nx + k = 0 (относительно x, m ? 0),

xa² + ya + z = 0 (относительно a, x ? 0).

Уравнение y² + 

xy + x² = 0 можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x, либо только относительно y.

Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.

Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением.

(Любое ли равенство является уравнением – разговор особый и не в рамках этой книги. )

Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.

Возникает первый вопрос: обязательно трёх?

Другими словами количество слагаемых – это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.

Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида

ax² + bx = 0 (c = 0, ab ? 0),

ax² + c = 0 (b = 0, ac ? 0),

ax² = 0 (b = c = 0, a ? 0).

Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!

Тем не менее, это – квадратные уравнения, потому что их можно записать так

ax

² + bx +0 = 0,

ax² +0 · x + c = 0,

ax² +0 · x +0 = 0.

Так как количество слагаемых левой части уравнений ax² + bx = 0, ax² + c = 0, ax² = 0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.

Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.

Следующим возникает вопрос, а почему, собственно a ? 0? (Конечно, искушённый читатель знает почему.) Можно ли, например, уравнение вида ax² + (a – 1) x + a = 0 (или в общем виде f (a) x² + g (a) x + h (a) = 0) называть квадратным?

Давайте похулиганим и поставим в качестве первого коэффициента ноль. Тогда уравнение примет вид

bx + c = 0.

Но это же линейное уравнение! Оно имеет свою теорию, свои изюминки.

Пусть будут «мухи отдельно, котлеты отдельно».

Теперь понятно, что требование a ? 0 необходимо для сохранения в квадратном уравнении второй степени – квадрата – неизвестного. Вот этот признак будет определяющим!

В дальнейшем, говоря о квадратном уравнении, мы будем помнить, что старший коэффициент не равен нулю, не оговаривая это каждый раз. Договорились?

Тогда уравнение f (a) x² + g (a) x + h (a) = 0 правильно называть уравнением с параметром второй степени, которое при определённых условиях может быть квадратным, а может им и не быть (стать линейным).

Однако не будем торопиться. Наличие второй степени неизвестного – необходимый, но не достаточный признак квадратного уравнения.

Рассмотрим следующие уравнения:

ax² + by + c = 0 и ax² + bx³ + c = 0.

Выполним сравнительный анализ этих уравнений с квадратным ax² + bx + c = 0 по трём признакам:

– наличие второй степени неизвестной,

– наибольшая степень неизвестной,

– количество неизвестных.

Зафиксируем для каждого уравнения эти параметры.

Результаты сравнительного анализа организуем в таблицу.

Итак, что мы имеем?

Наличие второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.

Именно это и важно!

Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому – алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным2.

Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:

алгебраическое уравнение ? первой степени, второй степени и так далее;

алгебраическое уравнение ? с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.

Приведём примеры:

ax + b = 0 – уравнение первой степени с одной неизвестной;

ax + by + c = 0 – уравнение первой степени с двумя неизвестными;

ax² + bx + c = 0 – уравнение второй степени с одной неизвестной;

ax² + bxy + cy² + kx + ly + m = 0 – уравнение второй степени с двумя неизвестными.

Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!

Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число – ноль. А может быть что-нибудь другое?

Если мы хотим видеть квадратное уравнение «в чистом виде», то ничего, кроме нуля, в правой части быть не должно.  Но…

Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = m, где

m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений3, можем записать

ax² + bx + c – m = 0

ax² + bx + (c – m) = 0

ax² + bx + c₁ = 0.

То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.

Ещё пример:

ax² + bx + c = mx + n

ax² + bx + c — mx – n = 0

ax² + bx – mx + c – n = 0

ax² + (b – m) x + (c – n) = 0

ax² + b₁ x + c₁ = 0.

Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов

ax² + bx + c = m и ax² + bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.

Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.

Ситуация первая: ax² + bx + c =ay² + by + c.

Как бы ни старались, квадратного уравнения мы не получим. Неизвестных две, и это равенство не входит в множество математических объектов «квадратные уравнения». Вывод: неизвестная правой части должна быть такой же, что и в левой!

Ситуация вторая. Преобразуйте самостоятельно, например, два следующих уравнения:

ax² + bx + c = kx² + mx + n

ax² + bx + c = ax² + mx + n.

Получилось ли у вас квадратное уравнение в первом случае? А во втором? Как будет называться уравнение, которое сведётся не к квадратному?

Определите условие, при котором уравнение такого вида всё-таки будет сводиться к квадратному4.

Как ещё один пример рассмотрите уравнение

x² – 9 = (x – 5) (x +7).

Таким образом, наличие второй степени неизвестной в записи уравнения не всегда будет означать, что оно квадратное.

Очевидно, что если в правой части стоит многочлен с одной переменной степени выше второй, то квадратного уравнения мы ни при каких условиях не получим.

Итак, есть квадратные уравнения, а есть уравнения, сводящиеся к квадратным.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

7.2. Классификация показательных уравнений.

1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.

Пример 18. Решить уравнение .

Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .

2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени.

Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.

Пример 19. Решить уравнение:

Решение:

.

2. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.

Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:

.

Пример 21. Решить уравнение

Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:

.

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям.

К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:

а) вида подстановкой, при этом;

б) вида подстановкой, при этом.

Пример 22. Решить уравнение .

Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:

.

Ответ: 0; 1.

2. Однородные относительно показательных функций уравнения.

Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестныхa^x и b^x . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкойк квадратным уравнениям.

Пример 23. Решить уравнение .

Решение: Разделим обе части уравнения на :

.

Положив , получим квадратное уравнениес корнями.

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что. Второе уравнение не имеет корней, так какпри любых значенияx.

Ответ: -1/2.

2. Рациональные относительно показательных функций уравнения.

Пример 24. Решить уравнение .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3^x и получим вместо двух – одну показательную функцию:

2. Уравнения вида .

Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению, которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравненийили.

Пример 25. Решить уравнение: .

Решение:

.

Решите уравнения:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10.; 11.;

12. ; 13.;

14. ; 15.;

16. ; 17.;

18. ; 19.;

20. ; 21.;

22. ; 23.;

24. ; 25..

26. Найдите произведение корней уравнения .

27. Найдите сумму корней уравнения .

Найдите значение выражения:

28. , гдеx₀– корень уравнения;

29. , гдеx₀– целый корень уравнения.

Решите уравнение:

30. ;

31. ; 32. .

Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32..

Как решить для показателей степени

Приветствую вас, любители математики! В сегодняшнем посте мы рассмотрим, как решить для показателей. На данный момент мы знакомы с решением для неизвестных переменных в уравнении, но никогда раньше нам не приходилось решать для экспоненты! Понимание того, как это сделать и какие методы использовать, поднимет наши навыки алгебры на совершенно новый уровень. Кроме того, не забудьте посмотреть видео и попрактиковаться в вопросах в этом посте, чтобы увидеть еще больше примеров. Удачных расчетов! 🙂

Что такое экспоненциальное уравнение?

Показательное уравнение — это уравнение, где показатель степени является неизвестной переменной и принимает следующую форму:

Иногда нас попросят решить для неизвестной переменной в показательном уравнении . Есть два основных способа решения этого типа уравнения, и мы рассмотрим каждый из них ниже.

(Метод 1) Та же база

(Метод 2) Другая база

Давайте углубимся и рассмотрим три разных примера, применяющих один из двух методов, описанных выше.

Пример #1: Решение экспоненциальных уравнений с одинаковым основанием найти недостающую переменную.

Шаг 1 : Поскольку обе части уравнения имеют одно и то же основание (основание 5), мы можем установить значения экспоненты равными друг другу и использовать базовую алгебру для решения для x.

Пример № 2: Решение экспоненциальных уравнений с одинаковым числом Основание

Мы можем установить показатели степени равными друг другу, когда уравнение может быть записано так, чтобы оно имело одно и то же основание с обеих сторон. Как и в приведенном ниже примере, обе базы могут быть записаны как 5, мы снова можем, , установить показатели степени равными и найти отсутствующую переменную. 2(2x).

Шаг 2: Теперь мы можем установить значения экспоненты равными друг другу и найти x теперь, когда обе стороны имеют совпадающие основания.

Пример #3: Решение экспоненциального уравнения с различными Базой s

Когда экспоненциальное уравнение не имеет одинаковой базы и не может быть записано так, чтобы иметь ту же базу, мы должны использовать журналы найти неизвестную переменную! Итак, убедитесь, что вы знакомы с правилами ведения журнала, перечисленными здесь, чтобы решать вопросы такого типа. В основном мы будем работать с правилом мощности журналов.

S шаг 1: Возьмите журнал обеих сторон и найдите x.

Когда будете готовы, ответьте на практические вопросы ниже, чтобы овладеть новыми навыками экспоненты!

Практические вопросы:

Решите каждое показательное уравнение относительно x.

Решения:

Хотите просмотреть журналы? Проверьте этот пост здесь!

Facebook ~ Twitter ~ TikTok ~ Youtube

Нравится:

Нравится Загрузка. ..

Автор Math SuxОпубликовано 6 октября 2021 г. 9{17x + 99} = 42$? Как, черт возьми, мы можем разумно решить это уравнение ?

Мы делаем это, манипулируя логарифмами. Оказывается, мы нашли два действительно полезных типа логарифмов, которыми оснащены большинство стандартных калькуляторов: логарифмы, основанные на числе 10, и хорошо известная константа $e$. Оба они имеют смысл, потому что наша повседневная система счисления использует 10, а $e$ имеет некоторые особые свойства, которые не имеют отношения к этому конкретному обсуждению. Несмотря на это, $\log_e$ используется так часто, что его часто называют натуральный логарифм , а основание обычно опускается (поэтому, когда вы видите $\log(c)$, это понимается как $\log_e(c)$).

Итак, теперь, поскольку мы можем легко работать с логарифмами в любой из этих систем счисления (даже если мы понятия не имеем, что на самом деле представляет собой $e$ или для чего он используется), мы просто должны задаться вопросом, есть ли способ для преобразование логарифма, основанного на произвольном числе, скажем, $a$, в логарифм, основанный на $e$ (или 10).

No related posts.