Как целое с дробью умножить на целое с дробью: Умножение обыкновенной дроби на натуральное число — урок. Математика, 5 класс.

Умножение дробей: как умножать обычные дроби с разными знаменателями, на целое число

Умножение обыкновенных дробей с разными, одинаковыми знаменателями

Как умножить дробь на дробь? Предлагаем правило умножения обыкновенных дробей, которое звучит так:

Чтобы умножить одну дробь на другую дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первое произведение будет числителем, а второе – знаменателем произведения.

Данное правило актуально для умножения всех видов обыкновенных дробей – дробей с одинаковыми знаменателями, дробей с разными знаменателями, правильных и неправильных дробей.

Выполняя умножение, следует сокращать дроби по возможности. Кроме того, если произведение дробей неправильное число, то следует превратить дробь, выделив целую часть. К примеру,

Чтобы объяснить правило и алгоритм умножения дробей, рассмотрим площадь некоторого квадрата со стороной 1 единица.

Мы разделили квадрат на прямоугольники со сторонами 1/8 и 1/4. Соответственно, большой квадрат состоит из 32 прямоугольников (4 ⋅ 8 = 32). Поэтому площадь одного прямоугольника составляет 1/32 части площади общего квадрата.

На рисунке выше мы заштриховали большой прямоугольник, состоящий из 5 прямоугольников по горизонтали и 3 прямоугольников по вертикали. Соответственно стороны этого заштрихованного прямоугольника равны: 5/8 ед. и 3/4 ед. Поэтому площадь прямоугольника равна:

С другой стороны, заштрихованный прямоугольник состоит из 15 маленьких прямоугольников, поэтому его площадь равна 15/32 ед. Поэтому:

Итак, 5 ∙ 3 = 15 и 8 ∙ 4 = 32

Это и подтверждает правильность формулы умножения обыкновенных дробей.

Пример. Найти произведение дробей семь одиннадцатых и девять восьмых.

Чтобы умножить данные дроби, умножим числители и результат запишем в числитель, а также умножим знаменатели, записав произведение в знаменатель.

Пример. Умножить дроби

 

В данном случае мы проделали не только умножение, но и сократили дробь во время выполнения данного действия.

Умножение дробей на целое число

Как умножить дробь на натуральное число? Для умножения дроби на обычное число пользуются следующим правилом:

Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить данное число на числитель дроби и записать данное произведение в числитель, а в знаменатель произведения переписать знаменатель дроби (множителя) без изменений.

где a/b – дробь, n – натуральное целое число

Данное правило следует из правила умножения дробей. Ведь натуральное число n можно представить как дробь с числителем n и знаменателем 1.

Для умножения дроби на натуральное число выполняется переставное свойство (от перестановки дроби и натурального числа местами произведение не изменится):

Пример

Пример

Пример

Пример. Рассмотрим умножение числа 8 на дробь пять двенадцатых.

Этот пример будет несколько отличаться от предыдущих, ведь в произведении мы получим неправильную дробь, которую следует сократить и выделить целую часть, то есть превратить в смешанное число.

Само действие умножения будет выглядеть так:

В произведении мы получили неправильную сократительную дробь. Поскольку НСК(40; 12) = 4, то можем сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на 4

Теперь выделим целую часть:

Пошаговая запись умножения будет выглядеть так:

Обратите внимание, выполнить умножение и сокращение можно было несколько иным способом, разложив числитель и знаменатель на простые множители. Однако результат остается без изменений:

Умножение смешанных дробей

Чтобы умножить смешанное число на смешанное число, нужно предварительно представить их в виде неправильных дробей и после этого выполнить умножение согласно правилу умножения обыкновенных дробей.

Рассмотрим умножение дробей с целыми числами на примере.

Чтобы умножить целое натуральное число на смешанное число, проще отдельно умножать целую и дробную части.

Это правило можно доказать, используя распределительный закон умножения.

Ведь:

Для умножения дробей, смешанных чисел выполняются законы умножения натуральных чисел, а именно переместительный, сочетательный и распределительный законы. Кроме того, актуальны и будут следующие свойства умножения:

Умножение трех и более дробей

Поскольку все законы и свойства умножения натуральных чисел распространяются на умножение дробей, поэтому для удобства вычисления произведения трех и более дробей следует пользоваться ими. Выполняя умножение нескольких дробей, при необходимости можно переставлять множители местами, и т.д.

Пример. Выполните умножение дробей

Пример. Найти произведение дробей

Пример. Найти произведение 5 чисел

Решение:

Для упрощения вычисления мы сгруппировали число 8 с дробью семь восьмых, а число 12 с дробью пять тридцать шестых. Это позволило нам сократить множители и упростить решение.

Калькулятор умножения дробей, смешанных чисел

все правила умножения дробей, примеры c решениями, советы экспертов, как подготовиться к контрольной работе по этой теме

Как высчитать, чему равно произведение пяти восьмых и трех девятых? Или как умножить семь тринадцатых на четыре? Школьники России учатся этому, проходя одну из основных тем программы по математике – умножение дробей. Разберемся, для чего пригодится это умение, и узнаем у эксперта, как успешно подготовиться к контрольной.

Полезная информация об умножении дробей

Умножение дробей – одна из базовых тем школьной программы по математике	Согласно Федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС) 2022 года, дроби и основные действия с ними изучают в 5 классе.
Умножение дробей можно изучать на визуальных примерах	Используя счетный материал, рисунки или реальные предметы (например, отрезать две трети от половинки пиццы или четверть от трети торта).
Дроби умножать удобнее, если их предварительно сократить	При наличии такой возможности перед умножением дробей желательно их сократить (разделить числитель и знаменатель на одно и то же число).

Умножение обыкновенных дробей

Для умножения дроби на дробь необходимо умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель – на числитель. Полученные результаты составят знаменатель и числитель результата соответственно.

Полезные факты: 

1. Если числитель одной из дробей имеет общий делитель со знаменателем другой, то можно произвести сокращение произведения до выполнения умножения.
2. Если одна или обе дроби являются смешанными, то перед выполнением действия можно перевести их в неправильные, либо представить смешанную дробь в виде суммы целого числа и правильной дроби, провести умножение, а после представить результат вновь в виде смешанной дроби.

Примеры

Сначала сократим первую дробь на 5 (числитель и знаменатель поделили одновременно на 5), числа стали меньше, действия с ними уже сделать намного проще. Во втором действии мы также не умножили сразу, а сократили на тройку в числителе и тройку в знаменателе.

В этом примере подробно рассмотрено сокращение дробей, сначала на 5, а затем на 7. Здесь в результате получилась неправильная дробь. Ее, в зависимости от задания, можно либо перевести в десятичную, получится 1,5, либо перевести в смешанное число 1 1/2.

Еще один, более сложный, пример умножения правильной дроби на смешанное число путем представления смешанного числа в виде суммы целого и дроби. После получения произведения дроби на сумму приводим полученные слагаемые к единому знаменателю путем домножения первого слагаемого на три. Далее складываем и выделяем целую часть.

Данный пример вычисляется без сокращения: первым действием перемножаем числители и знаменатели дробей, вторым – выделяем целую часть неправильной дроби, превращая ее в смешанную.

Умножение дроби на натуральное число

Умножение дроби на натуральное число – пожалуй, самый простой вариант умножения дробей. Чтобы выполнить это действие, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений. После подсчета можно выделить целую часть, превратив обыкновенную дробь в смешанную.

Если число-множитель делится нацело на знаменатель дроби, то в результате получится целое число.

Примеры

В первом примере для умножения дроби на целое число проводим умножение числителя дроби на число-множитель, а знаменатель остался без изменений. Во втором примере можем сократить произведение на 4, получив в результате целое число.

Умножение смешанных дробей

Для умножения смешанных дробей необходимо перевести их обе в вид обыкновенных и далее действовать по стандартному алгоритму: произведение знаменателей станет знаменателем результата, произведение числителей – числителем.

Далее производится сокращение и перевод обратно в смешанную дробь.

Примеры

При умножении смешанной дроби на число удобно представить дробь в виде суммы целой и дробной части, произвести умножение и сложить полученные результаты.

Для перемножения двух смешанных дробей переводим обе в неправильные, затем умножаем по стандартным правилам. Вторым действием производим сокращение (делим числитель и знаменатель произведения на 7), а в полученном результате выделяем целую часть.

В данном примере не удалось провести сокращение, поэтому итоговый результат содержит четырехзначные числа. Приводим его к более простому виду, выделив целую часть.

Советы эксперта, как подготовиться к контрольной работе по умножению дробей

Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике: 

Дроби бывают обыкновенные (с дробной чертой) и десятичные (с запятой). Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить числитель одной дроби с числителем другой, а знаменатель со знаменателем. Если получится сначала сократить дроби, а потом их перемножить, то это освободит вас от действий с большими числами. Поэтому везде, где можно, сначала лучше упростить и только потом делать основное действие.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Альбина Бабурчина

Почему умножение дробей начинают изучать в 5 классе?

Тема дробей раскрывается именно в 5 классе, так как к этому моменту ученики уже имеют в своем арсенале все необходимые для этого знания. Дроби – это азы. Без понимания этой темы дальнейшее изучение математики практически невозможно.

Зачем изучать умножение дробей?

После того как дети в школе изучают дроби, далее ни одна тема не обходится без них. По моему многолетнему опыту могу сказать, что если дроби не усвоены вовремя и на должном уровне, то все следующие темы без исключения будут «хромать». То есть без преувеличения, дроби (сначала обыкновенные, а затем и десятичные) – важнейшая тема в математике. И моя большая рекомендация для ребят в 5 классе – максимально сконцентрировано и детально изучать эту тему, уметь применять в разных ситуациях и задавать учителю все возникающие вопросы и сомнения.

Можно ли научиться умножать дроби в уме?

Все действия с дробями, разумеется, можно выполнять и в уме, все зависит от способностей конкретного ученика. А также существует много лайфхаков, которые упрощают умножение.

Умножение дроби на целое число

Горячая математика

Чтобы умножить дробь на целое число, помните, что умножение — это многократное сложение.

Пример 1:

Умножить 1 7 ⋅ 3 .

Запишите умножение как сложение. Добавлять 1 7 три раза.

1 7 ⋅ 3 «=» 1 7 + 1 7 + 1 7

Теперь нам просто нужно добавить дроби с одинаковыми знаменателями. Оставьте знаменатели одинаковыми и добавьте числители.

«=» ( 1 + 1 + 1 ) 7 «=» 3 7

Пример 2:

Умножить 5 ⋅ 3 16 .

5 ⋅ 3 16 «=» 3 16 + 3 16 + 3 16 + 3 16 + 3 16 «=» 5 ⋅ 3 16 «=» 15 16

Другой способ подумать об этом — переписать целое число как дробь со знаменателем 1 .

5 ⋅ 3 16 «=» 5 1 ⋅ 3 16

Затем умножьте числители и знаменатели , по обычным правилам умножение дробей .

«=» 5 ⋅ 3 1 ⋅ 16 «=» 15 16

В некоторых случаях ваш ответ может быть больше, чем 1 , поэтому вы захотите переписать его как смешанное число . Возможно, вам также придется уменьшить дробь чтобы получить его в простейшей форме.

Пример 3:

Умножить 1 4 ⋅ 10 .

1 4 ⋅ 10 «=» 10 4

И числитель, и знаменатель имеют общий делитель 2 . Разделите оба на 2 .

«=» 5 2

Запишите эту неправильную дробь в виде смешанного числа.

«=» 2 1 2

Как умножать дроби на целые числа

Нужно научиться умножать дроби на целые числа? Или как делить дроби на целые числа? Процесс, вероятно, проще, чем вы думаете! Мы разбираем 4 простых шага для умножения дробей на целые числа, а также один дополнительный шаг для деления дробей и целых чисел. Изучите этот важный математический навык, а затем проверьте свои знания, пройдя наш тест в конце этого руководства.

 

Как умножать дроби на целые числа: 4 шага

Умножение дробей на целые числа может показаться пугающим, но на самом деле процесс довольно прост: нужно выполнить всего четыре шага. Мы проведем вас через каждый из шагов с нашим первым примером вопроса, а затем предоставим два дополнительных примера, чтобы вы хорошо поняли, как умножать дроби на целые числа.

 

Пример вопроса 1: ⅜  x 6

 

Шаг 1. Превратите целое число в дробь

Ваш первый шаг — превратите целое число в дробь. Это просто: вы просто присваиваете ему знаменатель, равный 1. Итак, в нашем примере 6 становится ⁶ / ₁ . Это верно, потому что 6, разделенное на 1 группу, по-прежнему равно 6. Это верно для любого целого числа: 3 = ³ / ₁ , 17 = ¹⁷ / ₁ и т. д.

Теперь у нас есть ⅜ x ⁶ / ₁

 

Шаг 2: Умножение числителей

Затем мы умножаем два числителя (верхнее число в дроби).

3 x 6 = 18, так что теперь у нас есть числитель для нашего ответа: ¹⁸ /__

 

Шаг 3: Умножьте знаменатели

Теперь умножьте два знаменателя (нижнее число в дроби). Когда вы умножаете дробь на целое число, это будет легко, потому что вы просто умножаете на 1.

8 x 1 = 8. 

Добавьте его к нашему ответу, чтобы получить: ¹⁸ /8. Вот так!

 

Шаг 4. Упрощение

Но мы еще не закончили. Можно было бы упростить дробь. Простейшая форма дроби — это когда верх и низ дроби представляют собой наименьшие целые числа, которыми они могут быть. Например, дробь ¹⁸ /8 не является простейшей, потому что ее можно сократить до ⁹ /4, разделив верхние и нижние части дроби на 2,9.0003

⁹ /4 — это дробь в ее простейшей форме, но вы можете предпочесть преобразовать ее в смешанное число, поскольку ⁹ /4 больше 1.

4 дважды входит в число 9 с остатком 1. , поэтому ответ также можно записать как 2 ¼.

Вы также можете указать ответ в виде десятичной дроби. У нас есть целое руководство по преобразованию дробей в десятичные (и наоборот), но вот как это сделать просто. 2 остается прежним, так как это целое число. Вы, наверное, уже знаете, что ¼ равно 0,25, так что это становится значением справа от десятичной дроби для окончательного ответа 2,25.

 

Пример вопроса 2: 4 x ⅖ 

Шаг 1: ⁴ /1 x ⅖

Шаг 2: 4 x 2 = 8

Шаг 3: 5 x 1 = 5

Шаг 4: Наш ответ, ⁸ /5, не может быть далее упрощен как неправильная дробь (где числитель больше знаменателя), но его можно преобразовать в смешанное число. 5 входит в 8 один раз, а осталось 3, поэтому ответ смешанного числа равен 1 ⅗.

Чтобы перевести ⅗ в десятичную дробь, сначала нам нужно привести знаменатель к значению 10. Для этого достаточно обе части дроби умножить на 2, получив ⁶ /10. Теперь мы хотим, чтобы знаменатель был равен 1, чтобы избавиться от дроби, поэтому мы делим каждую часть дроби на 10. Это дает нам ^,6 /1, что также равно всего 0,6. Объедините это с целым числом (1) из ответа, и ваш окончательный ответ в десятичной форме будет 1,6.

 

Пример вопроса 3: 5 x 2 ³ /7    

Шаг 1. Дробь представляет собой смешанное число, поэтому сначала нам нужно преобразовать ее в неправильную дробь. Помните, что при сложении или вычитании дробей знаменатели должны быть одинаковыми. Чтобы у целого числа 2 был один и тот же знаменатель, разделите его на 9.0083 2 /1, затем умножьте верх и низ на 7. Вы получите ¹⁴ /7, что при сложении с ³ /7 равно ¹⁷ /7. Сделайте 5 тоже дробью. Теперь у нас есть: ⁵ / 1 x ¹⁷ / 7

Шаг 2: 5 x 17 = 85

Шаг 3: 7 x 1 = 7

Шаг 4: Теперь у нас есть ^{85 9008 4/7. Его нельзя упростить, но можно превратить в смешанное число. 7 входит в число 85 двенадцать раз с остатком 1. Наш окончательный ответ: 12 1 /7, или 12,14 в десятичной форме.}

 

 

5 шагов к делению дробей на целые числа (и наоборот)

Деление двух дробей аналогично умножению на обратную дробь второй дроби. Это означает, что, как только вы освоите умножение дробей на целые числа, вы практически знаете, как делить дроби на целые числа!

Ниже мы проведем вас по шагам и объясним два примера: в одном вы делите дробь на целое число (используя те же значения, что и в примере № 1 выше), а в другом вы делите целое число на дробь.

 

Пример вопроса 4: ⅜ / 6

 

Шаг 1. Превратите целое число в дробь дробь, добавляя a 1 в знаменателе: ⁶ /1

 

Шаг 2. Переверните второе число

Это дополнительный шаг, необходимый для деления дробей. Сейчас у нас есть ⅜ / ⁶ /1. Переверните второе число и измените знак деления на знак умножения: ⅜ x ⅙  9. 0003

Как только вы это сделаете, вы проработаете проблему так же, как и в приведенных выше примерах.

 

Шаг 3. Умножение числителей

3 x 1 = 3

 

Шаг 4. Умножение знаменателей

8 x 6 = 48

9 0002 Это дает нам ³ /48

 

Шаг 5: Упростить

Не забывайте упрощать! Мы можем разделить и числитель, и знаменатель на 3, что даст нам окончательный ответ ¹ /16 или 0,0625.

Пример вопроса 5: 4 / ⅖ 

 

Шаг 1: ⁴ /1 / ⅖ 

Шаг 2: ⁴ /1 x ⁵ /2

Шаг 3: 4 x 5 = 20

Шаг 4: 1 x 2 = 2

Шаг 5: ²⁰ /2 упрощается до 10!

 

3 совета, как избежать ошибок 

Теперь вы знаете основные шаги, как умножать дроби с целыми числами, а также как делить дроби с целыми числами, но при работе с ними все еще можно допустить ошибки по невнимательности. проблемы, даже если вы хорошо понимаете концепции. Сократите свои шансы на ошибку, следуя этим трем советам.

 

#1: Знайте, ожидать большого или маленького числа

Один из лучших способов проверить и избежать глупых ошибок — быстро узнать, не отличается ли ваш ответ от ожидаемого. Когда вы делите или умножаете дроби и целые числа, вы можете ожидать определенных закономерностей.

Ответ, скорее всего, будет > 1

• Дробь, умноженная на целое число
• Целое число, умноженное на дробь
• Целое число разделить на дробь

Ответ, скорее всего, будет < 1

• Дробь, деленная на целое число

Очевидно, что знание этого трюка не только даст вам правильный ответ, но если вы решаете задачу типа ⅖ / 4 и получаете число больше 1, вы можете быть уверены, что вам следует вернуться назад. и перепроверьте свою работу.

 

#2: Организуйте числители и знаменатели

Можно легко перепутать числители и знаменатели, особенно когда речь идет о делении и переворачивании дробей. Большинство ошибок совершается, когда люди умножают неправильные числа или помещают ответ числителя в место знаменателя (или наоборот).

Чтобы избежать этого, следите за чистотой своей работы и всегда четко указывайте, что такое числитель и что такое знаменатель. Например, после умножения числителей добавьте тире под своим ответом (например, ⁴ /___), чтобы вы помнили, что вы только что решили, и что следующее значение, которое вы вычислите, будет знаменателем.

 

#3: Всегда упрощайте

Как только вы закончите умножение и запишете свой ответ, у вас может возникнуть соблазн сразу перейти к следующему вопросу. Потратьте дополнительные несколько секунд, чтобы посмотреть, можно ли упростить ваш ответ. Некоторые преподаватели будут снимать баллы за правильные, но не упрощенные ответы, а вы точно не хотите получать отчисления после того, как выполнили всю работу правильно! Упростите, насколько это возможно, и, если значение вашей дроби больше 1, преобразуйте ее в смешанное число, если это то, что предпочитает ваш учитель (у некоторых другие предпочтения, поэтому попросите убедиться, что вы делаете все шаги, необходимые для ).

 

 

Тест: Деление и умножение дробей на целые числа

Готовы проверить свои знания о том, как умножать дроби на целые числа? В этом разделе десять вопросов. Для каждого вы будете умножать дроби на целые числа или делить дроби на целые числа. Попробуйте их, а затем проверьте свои ответы с помощью приведенного ниже ключа.

№1: 5 x ⁴ /3

№2: ² /9 x 11

#3: 12 x ⅕

#4: ½ / 3

#5: ⁴ /9 x 7

#6: ⅞ x 2

#7: 8 / ⅔  9000 3

#8: ⁵ /12 x 5

#9: 5 / ⁴ /7

#10: ⁴ /15 x 9

 

Ключ ответа

900 02 #1: 6 ⅔
#2: 2 ⁴ /9
#3: 2 ⅖
#4: ⅙
#5: 3 ¹ /9
#6: 1 ¾
#7: 12
#8: 2 ¹ /12
#9: 8 ¾
#10: 2 ⁶ /15

 

Что дальше?

Хотите узнать больше о десятичных дробях, дробях и процентах? Ознакомьтесь с 3 шагами по преобразованию десятичных дробей в дроби (и обратно)

.