Читается запись, как «a» в степени «n». Для a2 и для a3 можно сказать «a в степени два» и «a в степени три» или «a во второй степени» и «a в третьей степени». Однако гораздо чаще говорят: «a в квадрате» и «a в кубе». Это устоявшиеся, общеупотребительные названия. Например, «3 в квадрате» или «7 в кубе». Формулировки типа «3 в степени два» и «7 в степени три» ошибочными не считаются, но употребляются гораздо реже, a называется основанием степени.
Запомните, n обозначает количество множителей, то, сколько раз a нужно само на себя перемножить.
Примеры 1 — 6
47 читается, как «четыре в седьмой степени». В виде произведения 47 может быть записано, как 4*4*4*4*4*4*4. При этом 4 является основанием, а 7 её показателем.
193. Может быть прочтено, как «19 в кубе». Оба прочтения будут одинаково верными.
(8,234)5. Читается, как «8,234 в пятой степени». Обратите внимание, в данном случае основанием является десятичная дробь.
(2/5)9 . Здесь основанием будет обычная дробь, она правильная.
(43/7)3 тоже отвечает определению. Из указанного примера видно, что основанием может быть и не правильная дробь.
Записи (8(3/7))8, (-5/9)5. (√3)7, (-√8)2 есть степени с целым n. Однако надо понимать разницу между (-5)3 и –53. Первое является степенью отрицательного числа, а второе можно записать как –(53). Оно соответствует числу, которое противоположно 53.
Отдельно рассмотрим пример, когда n равен 1. Любое число с ним можно записать в виде a1. Некоторые почему-то считают, что этом случае следует выполнить умножение столько раз, сколько указано в показателе. На самом деле ничего умножать не нужно. Степень любого числа с n равным 1 будет самим этим числом.
Т. е. 561 = 56, (1/456) 1 равно 1/456, (-86)1 равно -86.
Запись 0n тоже имеет право на существование.
(237). Читается, как «5 в двести тридцать седьмой степени».
Выражения 78,4, (3/56)1/2, 8 √3 не являются степенями с натуральным показателем.
Запомните, основанием степени с натуральным n может быть практически любое число (хоть дробь, хоть корень и т. д.), а вот в показателе должно обязательно находиться натуральное число, т. е. не дробное и не отрицательное.
Основные свойства степени с натуральным показателем
Они следующие:
- Когда происходит умножение степеней с равным основанием, то оно остаётся прежним. Показатели при этом складываются.
am*an = am+n
- Когда степени с одинаковыми основаниями делятся, то основание сохраняется прежним, а показатели вычитаются.
am/a
- Когда степень возводят в степень, то основание не меняют, а сами степени перемножаются.
(am)n = am*n
- Если в степень возводится дробь, то в неё возводится как числитель дроби, так и её знаменатель.
(a/b)n = an/bn При этом b не должно быть равно нулю.
Примеры 10 — 12
21*22*23. Складываем 1, 2 и 3. В итоге 21+2+3=26
(-3/7)5: (-3/7)3. Из 5 вычитаем 3. В результате имеем (-3/7)5-3 = (-3/7)2.
Нужно возвести в степень выражение (a2*b3)4. Сначала на 4 умножаем 2, затем 3. Итогом будет выражение a8b12.
О сравнении степеней
Если сравниваемые степени имеют равные основания, большие числа 1, то большим считается та из них, у которой показатель степени выше.
Примеры 13 — 16
Какое из чисел больше: 217 или 227. Основания одинаковые, но 27 больше, чем 17. 27>17. Значит 227 больше, чем 217.
Если n одинаковые, но основание находится в промежутке от 0 до 1, то большим будет степень, у которой показатель меньше.
Сравнить числа (0,3)11 и (0,3)7. Основание больше ноля, но не доходит до единицы. Значит, в отличие от предыдущего примера, здесь всё наоборот. Большим будет считаться число, с меньшим показателем. Т. к. 11>7, то (0,3)11<(0,3)7.
Если n одинаковые, а основания разные, то большим будет то, у которого больше основание.
Сравнить между собой числа 73 и 153. 15 >7, значит 153 больше, чем 73.
Если различаются и показатели, и основания, то числа, посредством тех или иных преобразований, сначала приводят к вида, когда у них либо то, либо другое одинаково, а уже потом сравнивают по приведённым выше правилам.
Выясните, какое из чисел больше 3200 или 2300.
2300 = 23*100 = (23)100 =8100
3200 = 32*100 = (32)100 = 9100
9 больше, чем 8. Значит 9100 больше 8100.
Соответственно 3200 будет больше, чем 2300.
Степень с целым показателем
Определение 2
Степенью с целым показателем называется степень, показателем которой является любое целое число. Это своего рода расширение множества чисел с натуральным показателем. К последним прибавляются числа с отрицательным значением и ноль.
Рассмотрим степень с целым отрицательным n. Любое число вида a-n можно представить в виде 1/an. При этом a не должно быть равно нулю. n может быть любым натуральным числом.
Примеры 17 — 18
7-5 не является степенью с натуральным показателем, но в то же самое время является степенью с целым показателем. Примечательно, что равное ему число (1/7)5 будет степенью с целым n. Мы рассматриваем 7-5 и (1/7)5, как равные, но, всё-таки, разные числа.
(4/5)-1 можно представить как 1/(4/5)1.
Сложнее дело обстоит с понятием нулевой степени.
Чтобы её объяснить, ещё раз приведём правило по делению степеней с равными основаниями.
Правило 1
Равенство am/an = am-n остаётся верным лишь в том случае, когда m и n будут натуральными числами, m < n и a не равно нулю. Последнее условие позволяет нам избежать деления на нуль. Если m и n окажутся равными, то мы придём к результату (an/an) = an-n = a0
Т. е. при делении степеней, которые имеют одно и тоже основание из показателя делимого следует вычесть n делителя. В случае, когда и они одинаковы, например, если a3 разделить на a3, мы получим a0.
Как известно из курса элементарной математики, частное от деления любого числа на самого себя всегда равно единице. Из этого напрямую следует, что нулевая степень любого числа всегда равна 1.
Пример 19
70= 1, -50= 1, (3/5)0 = 1, (√8)0 = 1, (7567776)0 = 1.
Несколько неожиданным для многих является тот факт, что ноль в степени ноль тоже равен единице 00 = 1. Положение осложняет тот факт, что на ноль делить нельзя. Так откуда же тогда взяли, что нулевая степень нуля есть 1.
На самом деле, хотя на ноль никакое число не делится, оно может делится на сколь угодно малое, т. е. близкое к нулю число. В высшей математике доказывается, что предел (a/a), когда a является бесконечно малой величиной, действительно стремится к 1.
Свойства степени с целым показателем практически ничем не отличаются от её свойств с натуральным. Нужно только помнить, что в показателе появляются отрицательные числа и их следует складывать и вычитать по строго определённым для этого правилам.
Примеры 20 — 21
57* 5-3= 57-3 = 54.
84/8-2 = 84-(-2)= 86.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Степень с рациональным показателем
Определение 3
Степенью с рациональным показателем называется степень, показатель которой, есть рациональное число, т.
е. помимо целых и отрицательных значений, может иметь ещё и дробные. Записывается это в виде am/n. Из определения дробной степени известно, что am/n можно записать в виде n√am. n не должно быть равно нулю, ведь на ноль делить нельзя.
Если m и n делятся нацело, то получаем степень с целым показателем. Если при этом ещё и частное от деления больше нуля, то получим степень с натуральным.
Правило 2
Любое число am * k/n *k можно заменить на am/n.
Теперь о том, почему в дроби требуется замена сократимого показателя на несократимый. Если этого не делать, то может возникнуть, например, следующая ситуация:
(-1)6/10 = (-1)2/5, однако, если посчитать получится
(-1)6/10 = 10√(-1)6 = 10√1 = 1.
(-1)3/5 = 5√(-1)3 = 5√(-1) = -1
Примеры степеней с рациональным n: (31/2), 75/4, 74/2.
Основание может быть и многозначным числом, в частности, 128-2/7 тоже степень с рациональным.
Примеры 22 — 24
-161/4 является степенью с рациональным показателем.
(-16)1/4 смысла не имеет. Оно равносильно выражению 4√(-16). Какое число нужно возвести в четвёртую степень, чтобы получить -16 ? Ответ – никакое. Такого числа не существует.
Казалось бы, √(-8) имеет право на существование. Оно равно -2 И действительно, можно записать (-8)1/3= -2. Однако, если мы запишем 1/3.
по-другому, то результат окажется совершенно иным. Смотрите:
(-8)1/3 = (-8)2/6 = 6√(-8)2 = 6√(64) = 2.
Получается парадокс, поэтому запись √(-8) лишено смысла.
Из примеров выше становится ясно, что извлечение чётных корней из отрицательных чисел категорически запрещено.
Не будет ошибкой замена любого из дробных показателей смешанным (например, 52,1 на 52(1/10), однако, чтобы не запутаться, при проведении вычислений, всегда, когда это возможно, лучше заменяйте подобные числа и корень числа дробной степенью.
Это делает запись более наглядной и позволяет избежать многих ошибок.
Свойства степени с рациональным показателем аналогичны с натуральным или целым n, только дело приходится иметь с дробями. В первую очередь это касается деления и перемножения степеней с одинаковыми основаниями, а также их сравнения. Вспомните, как оно проводится для обыкновенных дробей.
пример 25
72/3 * 78/4 = 732/12 = 716/6
Степень числа с иррациональным показателем
Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно разобраться в том, что является иррациональным числом. Любое рациональное число допускает его представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби либо как обыкновенную дробь типа (m/n). Об иррациональных числах этого не скажешь. Десятичные дроби, с помощью которых выражаются иррациональные числа, бесконечны и апериодичны. Примерами иррациональных чисел являются √7, число \[\pi\], √2 + √3.
Строится степень с рациональным n с помощью так называемого предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями.
Они с недостатком либо с избытком приближаются к степени иррациональным n.
Покажем как это происходит. Пусть нам дано иррациональное число a.
a0 = 1,6 , a1 = 1,67, a2 = 1,671…
a0 = 1,67, a1 = 1,6717, a2 = 1,671753…
И т. д. Заметьте – сами приближения, это рациональные числа.
Последовательности приближений нам нужно поставить в соответствие последовательность степеней αa0, αa1, αa2. Значения этих степеней можно подсчитать.
a = 1,67175331. Пусть для примера у нас будет α = 3
Тогда получается αa0 = 3,167; αa1 = 3,16717; αa2= 3,1671753 и т. д.
Указанная последовательность сводится к числу, которое окажется значением степени с основанием α и иррациональным показателем a. После некоторой работы в итоге получаем 31,67175331 = 6,27.
Свойства у степени с иррациональным n в целом такие же, как рациональным.
В частности, сложение показателей при перемножении, сравнение иррациональных степеней происходят аналогичным образом. Нужно только иметь в виду, что при бесконечности и апериодичности иррациональной дроби вы имеете дело с приближёнными с той или иной точностью значениями. Впрочем, в зависимости от поставленной задачи, нужной точности достичь можно в любом случае. Очень осторожны будьте с приближениями. У новичков здесь очень часто случаются ошибки. После некоторого опыта и практики действия совершаются автоматически. Старайтесь на первых порах порешать как можно больше примеров. Пусть они кажутся вам однотипным, но навык отточить и закрепить позволяют.
Сила степеней числа 10 « Папа Карп
Чтобы спокойно и качественно изучать физику и химию, надо владеть действиями со степенями числа 10 – уверенно и во всех вариациях.
При решении задачек по физике (даже самых начальных и самых простых) любое число удобно представлять в стандартном виде. То есть в виде “число от 1 до 10 умножить на 10 в какой-то степени”.
Причем степень числа 10 может быть и положительной, и отрицательной.
Необходимо уметь действовать с числами, записанными таким образом.
Поэтому к началу изучения физики в 7 классе очень желательно, чтобы ученик полностью освоил все навыки, касающиеся степеней числа 10.
Однако базовая школьная программа по математике не полностью это обеспечивает, к сожалению.
Мой опыт преподавания физики показывает, что весьма целесообразно некоторые недостающие моменты (например, отрицательные степени числа 10 и действия с ними) изучить пораньше. Да и все прочие нюансы данной темы хорошо бы повторить и доработать, если они слегка подзабылись.
Важно видеть цель: мы должны дать ученику в руки надежный математический инструмент для расчетов по сложным физическим и химическим формулам. Это именно математический аппарат. Но нужен он в основном как раз в физике и в химии.
В данной статье я кратко перечислю то, что хорошо бы знать про степени числа 10 к самому началу изучения физики.
Разумеется, моя цель – лишь показать общую схему. Если вам понадобится более подробная информация, то ее легко найти в любых школьных учебниках.
Попадая в стихию физики (а затем и химии), школьники вынуждены оперировать с числами в огромном диапазоне величин: от крошечных размеров атомов до межзвездных расстояний, от массы электрона до массы Юпитера или Солнца… Это очень отличается от привычных масштабов, на которых обычно в основном строится изучение математики.
И вот тут-то и пригождаются положительные и отрицательные степени числа 10. В науке о природе без них просто никак.
Запись чисел в стандартном виде – великолепное изобретение человечества! Но оно, разумеется, используется преимущественно в науке и в технике, а не в обычной нашей жизни. Поэтому надо специально приучить школьника к такому стилю математических вычислений. К нему необходимо привыкнуть.
Для начала как следует разберитесь с положительными степенями числа 10. Это проще и понятнее.
Это уже знакомо с начальных классов. Какова положительная степень числа 10 – столько ноликов и приписываем к единичке. Умножение и деление таких чисел не вызывает труда.
Существуют простые правила действий со степенями. Я их нарисовал здесь на картинке конкретно для случая, когда основание степени – число 10. Разумеется, для любого другого основания степени правила будут точно те же самые. Но в физике нас интересует обычно именно 10.
Когда мы сталкиваемся с физическими расчетами, где числа записаны с использованием степеней числа 10, то можно использовать все правила действий со степенями и правило сокращения дробей.
Фактически, обычно удобнее отдельно разбираться со степенями числа 10, а отдельно – со всеми другими числами в выражении. И лишь в конце соединить это в один ответ.
Вот я захотел вычислить плотность объекта. Исходно мне известны его масса и объем. Посмотрите, как просто получилось посчитать по формуле!
Теперь добавим и отрицательные степени числа 10.
Надо хорошо понять определение: что такое отрицательная степень.
Посмотрите на картинку ниже.
Я проиллюстрировал там общий принцип: число в отрицательной степени – это единица делить на то же самое число в такой же степени, но только показатель степени уже без знака “минус”.
Так просто договорились – что такое отрицательная степень. И это потрясающе удобно!
Конечно, само понятие отрицательной степени поначалу может вызвать некоторое недоумение… Возможно, потребуется поразмышлять и посмотреть, как такая штука работает – на самых простых примерах…
Возвращаемся к формулам по физике.
Теперь будем использовать и отрицательные степени числа 10.
Все правила действий со степенями остались те же самые. Мы так же складываем или вычитаем показатели степени при умножении или делении. И все остальные правила сохраняются.
Требуется некоторая практика, конечно. Но если понимать принцип, то сложностей особых нет.
Складывая положительные и отрицательные показатели степени, мы действуем точно так же, как и при сложении положительных и отрицательных чисел.
Поглядите, как легко вычисляется масса объекта, если известны его плотность и объем.
Особенная практическая фишка: “перебрасывать” 10 в какой-то степени через дробную черту – снизу вверх или сверху вниз.
Посмотрите на картинке, как 10 в отрицательной степени “перебирается” из-под дробной черты вверх. И после этого считать делается уже совсем просто.
Важно уловить принцип: при таком “перебросе” через дробную черту знак показателя степени у числа 10 меняется на противоположный. Для практических расчетов по формулам очень удобный прием!
Кстати об удобстве расчетов… Не всегда имеет смысл переводить числа именно в стандартный вид. Иногда проще использовать более свободное сочетание степеней числа 10 и обычных чисел.
Важно приучиться действовать именно так, как наиболее индивидуально удобно, как меньше шансов запутаться и ошибиться.
В физике и в химии вообще главное – получить правильный ответ. А как конкретно мы вычисляли – это наше дело.
Здесь еще надо уверенно владеть навыком переноса десятичной запятой.
Казалось бы, такая простая штука…
Скажем, расстояние в 6300 метров мы хотим записать в километрах почему-то. Ясно, что это будет 6,3 км. А наоборот? Снова получим 6300 м.
Или, к примеру, напряжение 0,00065 В – это сколько будет в милливольтах? Надо перенести запятую на три знака вправо. Получится 0,65 мВ.
Такие переходы используются в физике на каждом шагу. И у школьника не должно быть ну абсолютно никаких проблем с тем, чтобы перемещать запятую вправо или влево на нужное количество знаков.
Само собой, когда мы встречаем числа типа 0,0001 или 10000000, то их сразу же удобнее представить в виде степеней числа 10. И далее во всех расчетах действовать по стандартной процедуре со степенями.
Все эти мучительные размышления, куда и на сколько знаков надо перенести запятую при умножении или делении на 0,0000001… Они нам теперь не нужны! Мы умеем представлять все степени числа 10 именно в виде степеней, а не десятичных дробей.
Почти всегда это значительно удобнее!
Отдельный вопрос состоит в том, когда надо вообще начинать говорить с детьми о степенях числа 10…
Мне кажется, что уже в начальной школе сие вполне уместно.
Ведь, по сути, это просто еще один способ записи чисел. Особенно легко его понять для положительных степеней числа 10. Скажем, умножить миллиметр на миллион! Сколько это будет?
С другой стороны, можно попробовать разделить километр на миллион равных частей… Почему бы не представить такую процедуру? Так что и отрицательные степени числа 10 тоже легко вводить на самом элементарном уровне.
Мой личный опыт преподавания показывает, что маленькие дети с удовольствием разбираются с большими числами. Это даже интереснее, чем возиться со сложением и вычитанием в пределах 100. Представляете: целый миллиард разделить пополам! И узнать, сколько это будет!
Но самое главное – к началу изучения физики в 7 классе разобраться со всеми нюансами данной темы!
Тогда изучение физики и химии будет значительно более удобным.
Хотя бы вот даже взять перевод единиц измерения физических величин друг в друга… Насколько проще это делать, используя степени числа 10!
Немного практики – и ученик получает ключ ко всему диапазону масштабов: от ангстремов и нанометров до световых лет и парсеков, от постоянной Планка до числа Авогадро…
Посмотрите, например, как изящно происходит для льда переход от одних единиц плотности к другим.
Итак, овладение почти магической математической силой степеней числа 10 – это надежное подспорье для изучения физики и химии. Данный навык пригодится с 7 класса и до 11 класса включительно.
Удобно, что вся эта тема – проста по сути. Ее легко понимать и осваивать. Важно лишь довести знания до устойчивого системного уровня. Чтобы применять при необходимости, не задумываясь особо и не путаясь по мелочам. Как таблицу умножения и действия столбиком.
И просто по жизни весьма полезно ориентироваться в данном вопросе. Сила степеней числа 10 – один из краеугольных камней нашей интеллектуальной культуры.
Отрицательные показатели степени: правила умножения и деления
Обновлено 14 ноября 2020 г.
Автор Chris Deziel
Если вы какое-то время занимались математикой, вы, вероятно, сталкивались с показателями степени. Показатель степени — это число, которое называется основанием, за которым следует другое число, обычно записываемое в надстрочном индексе. Второе число — это показатель степени или степень. Он говорит вам, сколько раз нужно умножить основание само на себя. Например, 8 2 означает умножить 8 на себя дважды, чтобы получить 16, а 10 98
Чтобы понять, почему это так, заметим, что x 5 означает ( x x x x 900 32 × х ) и x 3 означает ( x × x × x ). Когда вы умножаете эти термины, вы получаете 31 х × х ) = х 95}{x}
Как решать отрицательные степени и отрицательные основания? (+ БЕСПЛАТНЫЙ рабочий лист!)
Узнайте, как решать математические задачи, содержащие отрицательные показатели степени и отрицательные основания.
Связанные темы
- Как находить степени произведений и частных
- Как умножать экспоненты
- Как делить экспоненты
- Как находить нулевые и отрицательные экспоненты
- Как решить научную нотацию
Пошаговое руководство решать проблемы с отрицательными показателями и отрицательными основаниями 93 }} \\\ \)
Реза
Реза — опытный преподаватель математики и эксперт по подготовке к экзаменам, который занимается репетиторством со студентами с 2008 года. Он помог многим студентам повысить свои баллы по стандартизированным тестам и поступить в колледжи своей мечты. Он работает со студентами индивидуально и в группах, ведет как живые, так и онлайн-курсы по математике, а также математическую часть стандартизированных тестов. Он предлагает индивидуальный индивидуальный план обучения и индивидуальное внимание, которое меняет отношение учащихся к математике.