Укажите наименьшее общее кратное чисел 12 и 18 с решением: НОД и НОК для 12 и 18 (с решением)

2

Математика. НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Множество делителей

Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа $140$. Очевидно, что у числа $140$ не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$.

Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:

$2, ~5, ~7$.

Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:

$2\cdot 2 = 4, ~~~2\cdot 5 = 10, ~~~2\cdot 7 = 14, ~~~5\cdot 7 = 35$.

Затем — те, которые содержат в себе три простых делителя:

$2\cdot 2\cdot 5 = 20, ~~~2\cdot 2\cdot 7 = 28, ~~~2\cdot 5\cdot 7 = 70$.

Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:

$1, ~140$.

Все найденные нами делители образуют

множество делителей числа $140$, которое записывается с помощью фигурных скобок:

Множество делителей числа $140~=$

$\{1, ~2, ~4, ~5, ~7, ~10, ~14, ~20, ~28, ~35, ~70, ~140\}$.

Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа $140$» будем писать «Д$(140)$» (читается «Дэ от $140$»). Таким образом,

Д$(140) = \{1, ~2, ~4, ~5, ~7, ~10, ~14, ~20, ~28, ~35, ~70, ~140\}$.

Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения

$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

мы получаем:

Д$(105) = \{1, ~3, ~5, ~7, ~15, ~21, ~35, ~105\}$.

От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел $140$ и $105$ равны соответственно:

ПД$(140) = \{2, ~5, ~7\}$.

ПД$(105) = \{3, ~5, ~7\}$.

Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа $140$ на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД$(140)$ — только один. Множество ПД$(140)$ — это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа $140$». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

Сокращение дробей. Наибольший общий делитель

Рассмотрим дробь

$\dfrac{105}{140}$.

Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя ($105$) и делителем знаменателя ($140$). Взглянем на множества Д$(105)$ и Д$(140)$ и выпишем их общие элементы.

 

Д$(105) = \{1, ~3, ~5, ~7, ~15, ~21, ~35, ~105\}$;

Д$(140) = \{1, ~2, ~4, ~5, ~7, ~10, ~14, ~20, ~28, ~35, ~70, ~140\}$.

 

Общие элементы множеств Д$(105)$ и Д$(140)~=$

$\{1, ~5, ~7, ~35\}$.

 

Последнее равенство можно записать короче, а именно:

Д$(105)~\cap~$Д$(140)~=~\{1, ~5, ~7, ~35\}$.

Здесь специальный значок «$\cap$» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д$(105)~\cap~$Д$(140)$» читается «пересечение множеств Дэ от $105$ и Дэ от $140$».

Замечание. Отметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение, которое обозначается значком «$\cup$» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

ПД$(105) = \{3, ~5, ~7\}$;

ПД$(140) = \{2, ~5, ~7\}$;

ПД$(105)~\cup~$ПД$(140) = \{2, ~3, ~5, ~7\}$.

Итак, мы выяснили, что дробь

$\dfrac{105}{140}$

можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству

Д$(105)~\cap~$Д$(140) = \{1, ~5, ~7, ~35\}$

и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):

$\begin{align} &\frac{105}{140} = \frac{105/5}{140/5} = \frac{21}{28},\\ &\frac{105}{140} = \frac{105/7}{140/7} = \frac{15}{20},\\ &\frac{105}{140} = \frac{105/35}{140/35} = \frac{\,3\,}{4}. \end{align}$

Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число $35$, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД) чисел $105$ и $140$. Это записывается как

НОД$(105, ~140) = 35$.

Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:

$105 = 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}$;

$140 = 2 \cdot 2 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}$.

Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:

НОД$(105, ~140) = 5 \cdot 7 = 35$.

Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:

$168 = \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,2\,} \cdot 2 \cdot \underline{\,3\,} \cdot 7$;

$396 = \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,3\,} \cdot 3 \cdot 11$.

Отсюда видно, что

НОД$(168, ~396) = \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,3\,} = 12$.

Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$;

$55 = 5 \cdot 11$.

В этом случае,

НОД$(42, \,55) = 1$.

Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми. Если из таких чисел составить дробь, например,

$\dfrac{42}{55}$,

то такая дробь является несократимой.

Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:

$\dfrac{\,a\,}{b} = \dfrac{a/\text{НОД}(a, b)}{b/\text{НОД}(a, b)}\,$.

Здесь предполагается, что $a$ и $b$ — натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное

Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:

$\dfrac{1}{105} + \dfrac{1}{140}$.

{1}}$

Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как $105$, так и $140$) являются делителями числа $420$, а число $420$, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, — и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК) чисел $105$ и $140$. Это записывается так:

НОК$(105, ~140) = 420$.

Итак, чтобы получить НОК чисел $105$ и $140$, мы разложили их на простые множители, подчеркнули те множители, которые являются общими для обоих чисел, а далее написали:

НОК $=$ все множители первого числа $\times$ неподчеркнутые множители второго числа.

Отсюда следует, что

НОК$(105, 140) = 105 \cdot 140 /~$НОД$(105, 140)$.

Это можно также переписать в несколько более изящной, «симметричной» форме:

$105 \cdot 140~=~$НОК$(105, 140)~\cdot~$НОД$(105, 140)$.

Точно так же, для произвольных натуральных чисел $b$ и $d$:

$b \cdot d~=~$НОК$(b, d)~\cdot~$НОД$(b, d)$.

Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:

$\begin{align} &\dfrac{1}{105} + \dfrac{1}{140} =\\[2mm] &= \dfrac{1}{3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} + \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} =\\[2mm] &= \dfrac{2 \cdot 2 }{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} + \dfrac{3}{3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} =\\[2mm] &= \dfrac{4 + 3}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} = \dfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,} \cdot \underline{\,7\,}} = \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underline{\,5\,}} = \dfrac{1}{60}\,. \end{align}$

Подобным же образом можно посчитать разность:

$\dfrac{1}{105} — \dfrac{1}{140} = \dfrac{4}{4 \cdot 105} — \dfrac{3}{3 \cdot 140} = \dfrac{4}{420} — \dfrac{3}{420} = \dfrac{1}{420}$.

Для того чтобы получить общий знаменатель двух дробей $\frac{\,a\,}{b}$ и $\frac{\,c\,}{d}$, мы фактически проделываем ту же самую процедуру, что и при вычислении НОК$(b, d)$. Именно НОК$(b, d)$ и оказывается общим знаменателем. (Предполагается, что $a$, $b$, $c$ и $d$ — натуральные числа.)

Конспект

1. Правило сокращения дробей. Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа (${b \ne 0}$). Тогда

$\dfrac{\,a\,}{b} = \dfrac{a/\text{НОД}(a, b)}{b/\text{НОД}(a, b)}$ ,

где НОД$(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Чтобы найти НОД, надо разложить числа $a$ и $b$ на простые множители и подчеркнуть те множители, которые являются общими для обоих чисел. НОД равен произведению подчеркнутых множителей, взятых в любом из разложений.

2. Приведение дробей к общему знаменателю. Пусть $\,a$, $\,b$, $\,c$ и $\,d$ — натуральные числа (${b \ne 0}$, ${\,d \ne 0}$). В качестве общего знаменателя двух дробей $\frac{\,a\,}{b}$ и $\frac{\,c\,}{d}$ удобно брать НОК$(b, d)$ — наименьшее общее кратное знаменателей $b$ и $d$. Чтобы получить НОК$(b, d)$, мы раскладываем числа $b$ и $d$ на простые множители, причем общие множители подчеркиваем. Тогда

НОК $=$ все множители числа $b~\times$ неподчеркнутые множители числа $d$.

3. НОК и НОД связаны соотношением

$b \cdot d = \text{НОК}(b, d) \cdot \text{НОД}(b, d)$.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Задачи, где требуется разлагать числа на простые множители

Примечание. Для решения некоторых задач требуется знать, что такое квадрат числа. Квадратом числа $a$ называется число $a$, помноженное само на себя, то есть $a \cdot a$. (Оно называется так, потому что равно площади квадрата со стороной $a$).

 

Нахождение наименьшего общего кратного двух чисел

Результаты обучения

• Нахождение наименьшего общего кратного двух чисел путем перечисления кратных
• Найдите наименьшее общее кратное двух чисел с помощью разложения на простые множители

Одна из причин, по которой мы находим кратные и простые числа, заключается в том, что мы используем их для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел. Это будет полезно, когда мы будем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

Перечисление множителей Метод

Общее кратное двух чисел — это число, кратное обоим числам. Предположим, мы хотим найти общие кратные [латекс]10[/латекс] и [латекс]25[/латекс]. Мы можем перечислить первые несколько кратных каждого числа. Затем мы ищем кратные, общие для обоих списков — это общие кратные.

[латекс]\begin{array}{c}10\text{ : }10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110\ldots \hfill \\ 25\text{ : }25, 50,75, 100, 125\ldots\hfill\end{массив}[/latex]

Мы видим, что [latex]50[/latex] и [latex]100[/latex] присутствуют в обоих списках. Они являются кратными [латекс]10[/латекс] и [латекс]25[/латекс]. Мы бы нашли больше общих кратных, если бы продолжили список кратных для каждого.

Наименьшее число, кратное двум числам, называется наименьшим общим кратным (НОК). Таким образом, наименьший LCM [латекс]10[/латекс] и [латекс]25[/латекс] составляет [латекс]50[/латекс].

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, перечислив кратные

1. Список первых нескольких кратных каждого числа.
2. Найдите кратные, общие для обоих списков. Если в списках нет общих кратных, выпишите дополнительные кратные для каждого числа.
3. Найдите наименьшее число, общее для обоих списков.
4. Этот номер является LCM.

 

пример

Найдите LCM [латекс]15[/латекс] и [латекс]20[/латекс], перечислив кратные.

Решение:
Перечислите первые несколько кратных [латекс]15[/латекс] и [латекс]20[/латекс]. Найдите первое общее кратное.

[латекс]\begin{array}{l}\text{15: }15,30,45,60,75,90,105,120\hfill \\ \text{20: }20,40,60,80,100,120,140,160\hfill \ end{array}[/latex]

Наименьшее число, появляющееся в обоих списках, равно [latex]60[/latex], поэтому [latex]60[/latex] является наименьшим общим кратным [latex]15[/latex] ] и [латекс]20[/латекс].

Обратите внимание, что [latex]120[/latex] также присутствует в обоих списках. Это общее кратное, но не наименьшее общее кратное.

 

попробуйте

В следующем видео мы покажем пример того, как найти наименьшее общее кратное, перечислив кратные каждого числа.

Метод простых множителей

Другой способ найти наименьшее общее кратное двух чисел — использовать их простые множители. Мы будем использовать этот метод, чтобы найти LCM [latex]12[/latex] и [latex]18[/latex].

Начнем с нахождения разложения каждого числа на простые множители.

[латекс]12=2\cdot 2\cdot 318=2\cdot 3\cdot 3[/latex]

Затем мы записываем каждое число как произведение простых чисел, по возможности сопоставляя простые числа по вертикали.

[латекс]\begin{массив}{l}12=2\cdot 2\cdot 3\hfill \\ 18=2\cdot 3\cdot 3\end{массив}[/latex]

Теперь выведем простые числа в каждом столбце. LCM является продуктом этих факторов.

Обратите внимание, что простые множители [latex]12[/latex] и простые множители [latex]18[/latex] включены в LCM. При сопоставлении общих простых чисел каждый общий простой множитель используется только один раз. Это гарантирует, что [латекс]36[/латекс] является наименьшим общим кратным.

Найдите НОК с помощью метода простых множителей

1. Найдите разложение каждого числа на простые множители.
2. Запишите каждое число как произведение простых чисел, по возможности сопоставляя простые числа по вертикали.
3. Уменьшите количество простых чисел в каждом столбце.
4. Умножьте множители, чтобы получить LCM.

 

пример

Найдите LCM [латекс]15[/латекс] и [латекс]18[/латекс], используя метод простых множителей.

Показать раствор

 

попробуйте

 

пример

Найдите LCM [латекс]50[/латекс] и [латекс]100[/латекс], используя метод простых множителей.

Показать раствор

 

попробуйте

В следующем видео мы покажем, как найти наименьшее общее кратное с помощью простой факторизации.

Найдите первые два общих кратных 12 и 18…

Перейти к

• Игра с числами. Упражнение 2.1.
• Игра с числами. Упражнение 2.8.
• Игра с числами. Упражнение 2.2.
• Игра с числами. Упражнение 2.3.
• Игра с числами. Упражнение 2.4.
• Игра с числами. Упражнение 2.5.
• Игра с числами. Упражнение 2.6.
• Игра с числами. Упражнение 2.7.
• Игра с числами. Упражнение 2.9.
• Игра с числами. Упражнение 2.10.
• Игра с числами. Упражнение 2.11.

• Зная свои числа
• Игра с числами
• Целые числа
• Действия над целыми числами
• Отрицательное число и целые числа
• Фракции
• Десятичные
• Введение в алгебру
• Соотношение, пропорция и унитарный метод
• Основные геометрические понятия
• Углы
• Треугольники
• Круги
• Пара прямых и поперечная
• Понимание трехмерных форм
• Симметрия
• Основные геометрические инструменты
• Геометрические построения
• Измерение
• Обработка данных Представление данных
• Обработка данных – II
• Гистограммы обработки данных

Главная > РД Шарма Решения Класс 6 Математика > Глава 2. Игра с числами > Игра с числами. Упражнение 2.2. > Вопрос 4

Вопрос 4 Игра с числами Упражнение 2.2

Найдите первые два общих числа, кратных 12 и 18.

Ответ:

Мы знаем, что

Число, кратное 12, равно

12, 24, 0 36. , 72, 84, 96, 108, 12 …..

Кратность 18 равна

18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180 ….

Следовательно, первые два общих кратных 12 и 18 равны 36 и 72.

Родственные вопросы

Найдите общие делители: (i) 15 и 25 (ii) 35 и 50 (iii) 20 и 28

Найдите общие делители: (i) 5, 15 и 25 (ii) 2, 6 и 8

Найдите первые три общих кратных числам 6 и 8.

Число делится как на 7, так и на 16. На какое другое число это число всегда делится?

Число делится на 24.