Как умножать разные матрицы: Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

matrix — Перемножить две матрицы разных размеров в R

Задавать вопрос

спросил 2 года, 6 месяцев назад

Изменено 2 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

Часть R Language Collective

Я пытаюсь использовать (s)apply для умножения двух матриц разных размеров. Матрицы:

 xx <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow=2, ncol=3, byrow=T)
yy <- matrix(c(10, 100), nrow=2, ncol=1, byrow=T)
 

Я хочу умножить каждую строку одной матрицы на каждую строку другой матрицы и получить это:

 > zz
      [1] [2] [3]
[1,] 10 20 30
[2,] 400 500 600
 

Я пробовал sapply(yy, function(x) xx*x) , который создает матрицу 6x2 вместо матрицы 3x2, которую я хочу.

Также apply(yy, 2, function(x) xx*x) , который создает матрицу 6x1, не работает. В аналогичной ситуации в прошлом я без проблем использовал sapply , поэтому я не понимаю, почему это не работает сейчас (у меня всегда были проблемы с обдумыванием *apply ). Что я делаю не так?

• r
• матрица
• нанесение
• сальник

0

Преобразуйте yy в вектор с помощью c() , и он будет переработан в размерность xx при умножении.

 хх * с(уу)
# [1] [2] [3]
# [1,] 10 20 30
# [2,] 400 500 600
 

Или умножением матрицы:

 diag(c(yy)) %*% xx
 

1

Можно использовать развертку

:

Развертка

 (xx, 1, yy, `*`)
# [1] [2] [3]
#[1,] 10 20 30
#[2,] 400 500 600
 

Или сделать размеры yy такими же, как xx и напрямую умножить:

 xx * yy[строка(xx),]
 

использовать применять

 применять(xx, 2, function(x) x * yy)
     [1] [2] [3]
[1,] 10 20 30
[2,] 400 500 600
 

Мы также можем сделать

 xx * yy[1]
# [1] [2] [3]
#[1,] 10 20 30
#[2,] 400 500 600
 

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Перемножение матриц

Вы можете просмотреть:

• Введение в матрицы
• Базовая арифметика с матрицами

Умножение матриц сильно отличается от сложения и вычитания матриц.

Вы умножаете , а не

соответствующие записи: в частности, $\,[\,2\ \ 3\,]\,$ умножить на $\,[\,4\ \ 5\,]\,$ не Не НЕ $\,[\,8\ \ 15\,]\,$!

Действительно, мы увидим, что эти два матрицы даже не «совместимы» для умножения матриц.

На первый взгляд, определение умножения матриц может показаться странным и сложным. Однако он определяется способом что делает его идеальным для работы с системами уравнений.

Пример ниже может вам помочь понять, почему умножение матриц определяется так, как есть.

Пример (Мотивация для умножения матриц)

Ученики большой средней школы (оценки от $\,9\,$ до $\,12\,$) добраться разными способами: на велосипеде, на автобусе и на машине.

Процент студентов с использованием разных видов транспорта резюмируется слева внизу. Например, $\,25\%\,$ из $\,9{\ text {th}} \ , $ и т. д.) совпадают с метками строк «Гендерная» матрица.

В частности, столько же столбцов в матрице Modes так как в матрице «Пол» есть строки.

Посмотрите на зеленые записи выше:

«велосипедные» проценты (строка в матрице «Режимы») сочетать с «мужскими» числами (столбец в матрице «Пол») чтобы получить общее количество мужчин, которые ездят в школу на велосипеде.

Вычисление представляет собой сумму 90 116 произведений 90 117. соответствующих записей.

Посмотрите на фиолетовые записи выше:

Процент «автомобиля» (строка в матрице «Режимы») сочетать с «женскими» числами (столбец в матрице «Пол») чтобы дать общее количество женщин которые ездят в школу на машине.

Вычисление представляет собой сумма произведений из соответствующие записи.

Теперь снимите этикетки, записывайте проценты в виде десятичных дробей, и отключите вычисления.

Поместите матрицу «Режимы» в зеленый и матрица «Гендер» в фиолетовый.

Произведение этих двух матриц отображается белым цветом.

Вот самый обычный отображение этого произведения матриц:

$$ \начать{выравнивать} &\begin{bmatrix} 0,25 и 0,20 и 0,15 и 0,10 мкм 0,55 и 0,65 и 0,55 и 0,40 мкм 0,20 и 0,15 и 0,30 и 0,50 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 110 и 105 кр 100 и 95 кр 95 и 90 кр 85 и 80 кр \end{bmatrix}\cr &\qquad =\ \begin{bматрица} 70 и 67 кр 212 и 201 \кр 108 и 102 \end{bmatrix} \end{выравнивание} $$

Таким образом, мы имеем:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ умножение матриц

Предположим, что $\,A\,$ является Матрица $\,m\times n\,$ и $\,B\,$ является Матрица $\,n\times p\,$.

(В частности, количество столбцов в $\,A\,$ равно совпадает с количеством строк в $\,B\,.$)

Затем определяется произведение $\,P:=AB\,$, и имеет размер $\,m\x p\,.$

Чтобы найти $\,p_{ij}\,$ (элемент в строке $\,i\,$ и столбце $\,j\,$ матрицы $\,Р\$):

• взять строку $\,i\,$ из матрицы $\,А\,$;
• взять столбец $\,j\,$ из матрицы $\,В\,$;
• образуют сумму продукты соответствующих записей.

  No related posts.