Как упрощать буквенные выражения: Упрощение выражений — урок. Математика, 5 класс.

Содержание

Урок математики в 5-м классе «Упрощение выражений»

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: формировать у учащихся умение упрощать буквенные выражения на основе распределительного свойства умножения, ввести понятия подобных членов, числового множителя; способствовать формированию детского коллектива, воспитывать самостоятельность, развивать у учащихся интерес к предмету, знакомить учащихся с историей развития математики.

Задачи урока
Образовательные: обеспечить в ходе урока умение применять распределительное свойство умножения для упрощения буквенных выражений, ввести понятие подобных членов, числового множителя – коэффициента; формировать умение применять распределительное свойство умножения при решении уравнений; продолжить формирование общих учебных умений и навыков: навыки планирования ответа, навыки самоконтроля.
Воспитательные: воспитывать у учащихся интерес к предмету, умение работать в парах, умение слушать товарища, отстаивать свою точку зрения, самостоятельность, навыки самоконтроля.

Развивающие: развивать восприятие, логическое и математическое мышление, умение связывать изученный материал с новым, анализировать, выделять главное; знакомить учащихся с историей развития математики.

Метод обучения: беседа, самостоятельная работа

Оборудование: иллюстрация, плакат с готовым решением 1 и 2 задания IV этапа, плакат с заданием 2 VI этапа, портрет Франсуа Виета, тесты.

Ход урока

I этап. Организация начала урока.
Цель этапа: подготовка к работе на уроке.
Содержание деятельности: приветствие, определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела и т.д.

Раскрытие общей цели урока.
II этап. Актуализация знаний учащихся
Цель этапа: подготовить учащихся к изучению нового материала

Содержание деятельности
1) Вычислите:

а) 30 + 20
. 2
: 20
+19

б) 60 + 30
: 3
+ 15
: 9

в) 100 – 90
. 8
: 20
+14

2) Вычислите, применяя законы арифметических действий:
а) 372 + 2444 + 1628;
б) 156 + 1037 + 2063 + 844;
в) 125 . 53 . 8;
г) 52 . 138 + 48 . 138;
д) 67 . 149 + 149 . 33;
е) 150 . 97 – 57 . 150.

3) Решите уравнение: а) х – 2041 = 3059; б) 289 + у = 301; в) z . 93 = 186; г) 100 : a = 25.
4) Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания.

III этап. Изучение нового материала
Цель этапа: объяснить понятие «упрощение выражения», ввести понятие подобных членов, числового множителя.
Содержание деятельности
1) Задача.
На столе стоят три вазы с гвоздиками. В первой вазе х гвоздик, во второй – в 2 раза больше, а в третьей – в 3 раза больше, чем в первой. Сколько гвоздик во второй и третьей вазах?
1 ваза – х;
2 ваза – 2 . х
3 ваза – 3 . х
Всего во второй и третьей вазах — 2 . х + 3 . х
Преобразуем выражение, применяя распределительное свойство умножения

2 . х + 3 . х = х . ( 2 + 3) = х . 5 = 5х
Итак, распределительное свойство умножения позволяет упрощать буквенные выражения
3а + 7а = а(3 + 7) = 10а
27у – 12у = у(27 – 12) = 15у
49х + х = х(49 + 1) = 50х
63b – b = b(63 – 1) = 62b
Таким образом, данные выражения мы записали в более простом виде, или, как говорят математики, упростили. Такие преобразования, в результате которых получаются более простые выражения называют упрощением выражений.
2) Рассмотрим выражение 3у. Это произведение числа 3 и буквы у.

Говорят, что число 3 – числовой множитель, а буква у – буквенный множитель. Числовой множитель обычно в таких выражениях называют коэффициентом.
Упрощая выражения, мы складывали коэффициенты, а буквенный множитель мы оставляли без изменения. Обычно промежуточные записи не делают, а просто пишут 8у – 3у = 5у; 17х + х = 18х.
3) Мы рассмотрели буквенные выражения, у которых одинаковая буквенная часть. Такие выражения называют подобными.
А выражение 27х + 7у упростить нельзя, потому что у них буквенная часть разная.
4) Отметим, что распределительный закон умножения верен не только для двух, а для любого числа слагаемых.
Далее учащимся предлагается Рисунок,

на которой множитель за скобкой сравнивается с предупредительным официантом, который обслуживает всех клиентов в ограниченном скобками зале.
5) Примеры.
Упростить выражение:
а) 2(а + 6) + 3(а + 2) = 2а + 12 + 3а + 6 = 5а + 18
б) 3(а + 2b + 4) + 7(2a + 4b +1) = 3a + 6b + 12 + 14a + 28b + 7 = 17a + 34b + 19

IV этап.

Первичная проверка понимания новых знаний и способов деятельности.
Цель этапа: установление обратной связи между учителем и учениками по вопросам содержания нового учебного материала.

Содержание деятельности
1. Упростите следующие выражения. Назовите в полученных выражениях числовой и буквенный множитель. Как называются эти слагаемые?
27х + 29х
12у + 78у
103а – 87а
12b – b
13z + 2z + z – 5z

2. Упростите выражения
2а + 1 + а + 11
7b – 5b + 13 + 2b + 10
13у – у + х + 2х

3. Какое свойство мы использовали при упрощении данных выражений? Почему нельзя упростить выражение 17у – 13а? 2у + 1?

V этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

Цель этапа: сформировать у учащихся на основе знаний умение упрощать выражения по «образцу»
Содержание деятельности
1. Упростить выражение:
а) 23а + 37а; д) 27р – 27р; и) 3а + 17 + 3а + 14;
б) 4у + 26у; е) 84b – 80b; к) к + 35 + 4к + 26.
в) 48х + х; ж) 32q – q;
г) у + 56у; з) 1000к – к;

Учащимся дается время для самостоятельного решения для самостоятельного решения этого задания, а затем по готовым ответам проверяют свое решение.

VI этап. Применение знаний и способов деятельности.
Цель этапа: освоение способов деятельности в изменённых условиях
Содержание деятельности
1. Решите уравнение:
а) 4х + 4х = 424;

б) 10к – к = 702;
в) 3х + 7х + 18 = 178;
г) 6у – 2у + 25 = 65.

2. Далее учащимся предлагается самостоятельно решить уравнения и расшифровать слово:

15у – 8у = 714;
9z + z = 900;
4к + 5к + к = 1260;
7z + 6z – 13 = 130.

102

100

140

126

Учащимся показывают портрет Ф. Виета.
Франсуа Виет – французский математик. Одним из первых стал числа обозначать буквами.
3. Составьте выражение по условию задачи и упростите получившееся выражение:
1) На книжной полке стояли книги. Из них а книг – сказки, а приключенческих повестей в 5 раз больше. Сколько всего книг на книжной полке?

2) В ящике было у кг яблок, а в мешке в 4 раза больше. На сколько яблок в ящике меньше, чем в мешке?
3) Ниф – Ниф, Нуф – Нуф и Наф — Наф собирали желуди. Ниф – Ниф собрал х желудей, Нуф – Нуф в 3 раза больше,а Наф — Наф в 5 раз больше, чем Ниф – Ниф. Сколько всего желудей собрали три поросенка?
4. Чему равны стороны треугольника АВС, если сторона АС в 3 раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 4 см меньше АС, а его периметр равен 24 см?

VII этап. Контроль и самоконтроль знаний и способов деятельности.
Цель этапа: получение информации для сравнения достигнутых результатов учебного занятия с первоначально запланированными задачами.

Содержание деятельности: учащимся предлагается тест на 5минут

1. Упростите выражение: 34х – х + 5х
а) 39х; б) 38х; в) 37х

2. В одном мешке было х кг картофеля, а во втором в 2 раза больше. Сколько
килограммов картофеля было в двух мешках?
а) х; б) 2х; в) 3х; г) 4х.

3. Вася решил у задач, а Миша – на 4 задачи больше. Сколько задач решили Миша и
Вася всего?
а) 4у; б) 6у; в) 2у + 4; г) у + 4.

4. Упростите выражение:
4b + 15 + 3b -10 + b
a) 8b + 5; б) 7b + 5; в) 13b; г) 13

5. Даны два выражения:
9(856 + 342) и 9 .856 + 8 . 856. Какое из выражений больше?
а) равны; б) первое; в) второе.

Далее учащимся предлагается обменяться тетрадями и проверить тесты по готовым ответам на доске. Учащиеся выставляют друг другу оценки.
Ответы.

№ задания	1	2	3	4	5
Ответ	б	в	в	а	б

VII этап. Подведение итогов урока.
VIII этап. Домашнее задание: учащимся раздаются карточки с домашним заданием

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Определение 1

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Пример 2

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Пример 3

Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2+0,3·7)5−3,7 и (a·(a+1)−a2)2·(x+1). Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2+0,3·7)5−3,7 можно выполнить действия для перехода к степени 4,11,3. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a·(a+1)−a2)2·(x+1) и получить степенное выражение более простого вида a2·(x+1).

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

Определение 2

ar·as=ar+s;
ar:as=ar−s;
(a·b)r=ar·br;
(a:b)r=ar:br;
(ar)s=ar·s.

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство am·an=am+n, где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a, как положительных, так и отрицательных, а также для a=0.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Пример 4

Представьте выражение a2,5·(a2)−3:a−5,5 в виде степени с основанием a.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a2)−3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a2,5·a−6:a−5,5= a2,5−6:a−5,5=a−3,5:a−5,5= a−3,5−(−5,5)=a2.

Ответ: a2,5·(a2)−3:a−5,5=a2.

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Пример 5

Найти значение степенного выражения 313·713·2123.

Решение

Если мы применим равенство (a·b)r=ar·br, справа налево, то получим произведение вида 3·713·2123 и дальше 2113·2123. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 2113·2123=2113+23=211=21.

Есть еще один способ провести преобразования:

313·713·2123=313·713·(3·7)23=313·713·323·723==313·323·713·723=313+23·713+23=31·71=21

Ответ: 313·713·2123=31·71=21

Пример 6

Дано степенное выражение a1,5−a0,5−6, введите новую переменную t=a0,5.

Решение

Представим степень a1,5 как a0,5·3 . Используем свойство степени в степени (ar)s=ar·s справа налево и получим (a0,5)3: a1,5−a0,5−6=(a0,5)3−a0,5−6. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t=a0,5: получаем t3−t−6.

Ответ: t3−t−6.

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 7

Упростить степенное выражение 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=3·523·513-3·523·5-23-2-x2==3·523+13-3·523+-23-2-x2=3·51-3·50-2-x2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12-2-x2=-122+x2

Ответ: 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=-122+x2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример 8

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a+1a0,7 к знаменателю a, б) 1×23-2·x13·y16+4·y13 к знаменателю x+8·y12.

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a0,7·a0,3=a0,7+0,3=a, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a0,3. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a0,3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a0,3:

a+1a0,7=a+1·a0,3a0,7·a0,3=a+1·a0,3a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x23-2·x13·y16+4·y13==x132-x13·2·y16+2·y162

Умножим это выражение на x13+2·y16, получим сумму кубов x13 и 2·y16, т.е. x+8·y12. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель x13+2·y16. На области допустимых значений переменных x и y выражение x13+2·y16 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1×23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x13+2·y16x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x133+2·y163=x13+2·y16x+8·y12

Ответ: а) a+1a0,7=a+1·a0,3a , б) 1×23-2·x13·y16+4·y13=x13+2·y16x+8·y12.

Пример 9

Сократите дробь: а) 30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53, б) a14-b14a12-b12.

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15. Также мы можем произвести сокращение на x0,5+1 и на x+2·x113-53.

Получаем:

30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a14-b14a12-b12=a14-b14a142-b122==a14-b14a14+b14·a14-b14=1a14+b14

Ответ: а)30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1), б) a14-b14a12-b12=1a14+b14.

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Пример 10

Выполните действия x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x12-1·x12+1

Вычтем числители:

x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12==x12+1·x12+1×12-1·x12+1-x12-1·x12-1×12+1·x12-1·1×12==x12+12-x12-12×12-1·x12+1·1×12==x122+2·x12+1-x122-2·x12+1×12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·1×12

Теперь умножаем дроби:

4·x12x12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·x12

Произведем сокращение на степень x12, получим 4×12-1·x12+1.

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4×12-1·x12+1=4×122-12=4x-1.

Ответ: x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12=4x-1

Пример 11

Упростите степенное выражение x34·x2,7+12x-58·x2,7+13.
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x2,7+1)2. Получаем дробь x34x-58·x2,7+1.

Продолжим преобразования степеней икса x34x-58·1×2,7+1. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x34x-58·1×2,7+1=x34—58·1×2,7+1=x118·1×2,7+1.

Переходим от последнего произведения к дроби x138x2,7+1.

Ответ: x34·x2,7+12x-58·x2,7+13=x138x2,7+1.

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x+1)-0,23·x-1 можно заменить на x3·(x+1)0,2.

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Пример 12

Представьте выражение x19·x·x36 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x≥0 и x·x3≥0 , которые задают множество [0, +∞).

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x19·x·x36=x19·x·x1316

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x19·x·x1316=x19·x16·x1316=x19·x16·x1·13·6==x19·x16·x118=x19+16+118=x13

Ответ: x19·x·x36=x13.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=0.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=0, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=0.

Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0

Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=0.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=0.

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 141-5·log23 или log3279+5(1-log35)·log53. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

буквальных уравнений? В отличие от метафорических?

Решение для y =

Purplemath

Иногда нам дают формулу, например, что-то из геометрии, и нам нужно решить для какой-то переменной, отличной от «стандартной».

Например, формула для периметра P квадрата со стороной s равна P = 4 s . Нам может по какой-то причине понадобиться решить это уравнение для с . Этот процесс решения формулы для указанной переменной (или «буквала») называется «решением буквенных уравнений».

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Решение литеральных уравнений

Одно из словарных определений слова «литерал» — «относится к буквам или состоит из букв», а переменные иногда называют литералами. Таким образом, «решение буквальных уравнений» — это еще один способ сказать «взять уравнение с большим количеством букв и решить для одной конкретной буквы».

На первый взгляд, эти упражнения намного хуже, чем наши обычные упражнения на решение, но на самом деле они не так уж плохи. Мы в значительной степени делаем то же, что делали все это время для решения линейных уравнений и других видов уравнений. Единственная существенная разница здесь заключается в том, что из-за всех переменных мы не сможем упростить нашу работу по ходу дела или настолько, насколько мы привыкли в конце.

Решить A = bh для b

Это формула площади A прямоугольника с основанием b и высотой h . Они просят меня решить эту формулу для основания b .

Если бы меня попросили решить 3 = 2 b вместо b , я бы разделил обе части на 2, чтобы изолировать (то есть, чтобы получить само по себе или решить) переменная б . В итоге переменная b будет равна дробному числу.

В этом случае я не смогу получить простое числовое значение для своего ответа, но я могу действовать таким же образом, используя тот же шаг по той же причине (а именно, что он получает b сам по себе) . Итак, следуя тем же рассуждениям для решения этого буквального уравнения, что и для аналогичного линейного уравнения с одной переменной, я делю на « ч »:

Единственная разница между решением буквального уравнения выше и решением линейные уравнения, о которых вы впервые узнали, заключались в том, что я делил их на переменную, а не на число (и тогда я не мог упростить, потому что дробь была в буквах, а не в числах). Поскольку мы не можем упростить по мере продвижения (и, вероятно, мы не можем сильно упростить в конце), это может быть очень важно 9.0003, а не , чтобы пытаться сделать слишком много в своей голове. Выпишите все полностью; это поможет вам получить правильные ответы.

Решить d = rt for r

Это уравнение является уравнением «равномерной скорости», «(расстояние) равно (скорости) умноженному на (время)», которое используется в задачах на «расстояние», и решение его для указанной переменной работает так же, как решение предыдущего уравнения. .

Переменная, которую они хотят, имеет букву, умноженную на нее; чтобы изолировать переменную, я должен разделить эту букву. Итак, я решу для указанной переменной r путем деления на t :

Решите P = 2 L + 2 w
4
w для w

Это формула для периметра P прямоугольника с длиной L и шириной w .

Если бы меня попросили решить 3 = 2 + 2 w вместо w , я бы вычел «свободные» 2 в левой части, а затем разделил бы на 2, которые умножаются. на переменную. Я могу выполнить те же шаги для этого уравнения:

Примечание. Я оставлял свои ответы в том месте, где я успешно решил для указанной переменной. Но это означает, что рассматриваемая переменная находилась в правой части уравнения. Это не «неправильно», но некоторые люди предпочитают помещать решаемую переменную в левую часть уравнения. Если вы предпочитаете это, то приведенный выше ответ был бы записан как:

w = ( P − 2 L )/2

Любой формат подходит математически, так как оба они означают одно и то же.

Решить Q = ^{( c + d )} / ₂ для d

Переменная, которую мне нужно изолировать, в настоящее время находится внутри дроби. Мне нужно избавиться от знаменателя. Для этого я умножу на значение знаменателя, равное 2. В левой части я просто выполню простое умножение. В правой части, чтобы не усложнять ситуацию, я преобразую 2 в дробную форму 2/1.

2 Q = c + d

2 Q − c = c + d

3 −

− 5
2 Q − c = d
Решить В = ^{3 k} / _t для t
Если бы меня попросили решить 5 = ³ / _t за t , я бы умножил на t , а затем разделил обе части на 5. Следуя тем же рассуждениям и проделав те же шаги, я получаю:
Следующее упражнение требует небольшого «трюка», чтобы решить это.
Мне нужно получить переменную a саму по себе. В настоящее время он умножается на другие вещи в двух разных терминах. Я не могу объединить эти термины, потому что они имеют разные переменные части. (Первый член не имеет другой переменной, но второй член также имеет переменную c . )
Я хочу разделить то, что умножается на указанную переменную a , но пока не могу, потому что в двух разных местах умножаются разные вещи. Но что, если я вынесу вперед и ?
«Фокус» появился во второй строке, где я разложил и спереди справа. Делая это, я создал один (большой, комковатый) множитель на a , который затем я мог разделить.
Этот метод (разложение для разделения) встречается нечасто, но он почти гарантированно будет встречаться в вашем домашнем задании один или два раза и почти наверняка на вашем следующем тесте — именно потому, что так много студентов этого не делают. не вижу «трюка». Так что имейте в виду: когда вы не можете изолировать нужную переменную, потому что она является множителем двух или более терминов, вам нужно собрать эти термины вместе по одну сторону от знака «равно», вынести нужную переменную и затем разделите на то, что осталось после того, как вы разложили на множители.
Решить A = (½) ah − (½) bh для h
Поскольку каждая из двух дробей в правой части имеет один и тот же знаменатель, равный 2, я начну с умножения на 2, чтобы очистить дроби. Затем я постараюсь изолировать переменную h .
В этом примере использовался тот же «трюк», что и в предыдущем. В четвертой строке я вынес ч . Вы должны ожидать, что вам нужно знать, как это сделать!
Площадь A сектора (т. е. клинообразного сечения) круга с радиусом r и мерой угла S (в градусах) определяется выражением Решите это уравнение для S .
Это большое, громоздкое уравнение, но метод решения тот же, что и всегда. Переменная, которую я хочу, имеет некоторые другие вещи, умноженные на нее и разделенные на нее; Я буду делить и умножать соответственно, чтобы вычленить то, что мне нужно. 9
Буквенные уравнения — определение, решение, примеры Уравнения, состоящие из переменных, где каждая переменная буквально означает значение/количество, называются буквальными уравнениями. Некоторыми распространенными примерами буквальных уравнений являются формулы в геометрии, например, площадь квадрата определяется как A = s ² , где s обозначает длину стороны квадрата, а A обозначает его площадь.
В этой статье мы понимаем концепцию буквальных уравнений и способы их решения с помощью некоторых примеров и практических вопросов. Буквальное уравнение состоит из двух или более переменных, так что одна переменная может быть выражена через другие переменные.
1. Что такое буквальные уравнения?
2. Формула буквенных уравнений
3. Использование буквенных уравнений
4. Решение буквенных уравнений
5. Часто задаваемые вопросы о буквальных уравнениях
Что такое буквальные уравнения?
Иногда нам дают уравнения в виде формул геометрических фигур, например, периметр квадрата определяется как P = 4s, где P — периметр квадрата, а s — длина стороны квадрата. Имеются две переменные P и s, такие что P выражается через s. Это пример буквального уравнения. В буквальных уравнениях мы не можем получить точное числовое значение переменной.
Буквенные уравнения Определение
Буквенные уравнения определяются как уравнения, состоящие из двух или более переменных (букв или алфавитов), так что каждая переменная может быть выражена через другие переменные. При решении буквенных уравнений цель состоит в том, чтобы изолировать одну переменную и явно выразить решение через остальные переменные. Каждая переменная в буквальном уравнении означает количество.
Формула буквальных уравнений
Не существует единой фиксированной формулы для решения буквенных уравнений. Мы можем идентифицировать буквальное уравнение, если оно имеет более одной отдельной переменной. Буквенные уравнения могут быть линейными уравнениями, квадратными уравнениями, кубическими уравнениями и т. д. Буквенные уравнения могут быть решены путем явного выражения каждой переменной уравнения через другие переменные. Обратите внимание, что если одна и та же переменная появляется в уравнении в разных формах, уравнение может не быть буквальным уравнением. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять это:
Например, : Уравнение x + x ² + 1 = 0 не является буквальным уравнением, поскольку оно содержит только одну переменную, то есть x, но в разных формах. Единственная переменная, которая появляется в этом уравнении, это x.
Использование буквенных уравнений
Буквенные уравнения обычно используются в формулах в математике и физике. Некоторые распространенные примеры буквальных уравнений:
Уравнение массы-энергии: E = mc ² . В этом буквальном уравнении есть 3 переменные, а именно E, m, c, и каждая переменная означает физическую величину.
Площадь круга: A = πr ² . В этом буквальном уравнении есть две переменные, а именно A и r, где A — площадь, а r — радиус.
Объем сферы: V = (4/3)πr ³ . В этом буквальном уравнении есть две переменные, а именно A и r, где V — объем, а r — радиус.
Алгебраическое уравнение: x + y = 1. В этом буквальном уравнении есть 2 переменные, а именно x и y.
Решение буквенных уравнений
Буквенные уравнения можно решить, выделив одну переменную и выразив ее через другие переменные. Иногда нам дают формулу для определения площади геометрической фигуры, и нам нужно вывести формулу для определения длины стороны фигуры. Шаги для решения буквенных уравнений:
Определите переменную, которую вы хотите иметь отдельно.
Считать все остальные переменные/буквы числами.
Сложение, вычитание или умножение на переменную.
Вы также можете делить на переменную, если она никогда не равна нулю.
Используйте все правила алгебры, которые мы используем для решения алгебраических уравнений.
Изолировать переменную в одной части уравнения и, следовательно, получить решение
Давайте рассмотрим несколько примеров и решим буквальные уравнения, чтобы лучше понять.
Пример 1: Формула для определения площади прямоугольника: A = lb, где A обозначает площадь, l обозначает длину, а b обозначает ширину прямоугольника. Нам нужно вывести формулу для определения длины прямоугольника. У нас есть,
A = lb. Нам нужно выделить l и выразить его через A и b. Разделите обе части уравнения на b (поскольку ширина прямоугольника никогда не может быть равна 0)
A/b = lb/b ⇒ l = A/b
Мы решили буквальное уравнение A = lb относительно l и получили формула для l будет l = A/b.
Рассмотрим еще один пример алгебраического буквального уравнения и решим его.
Пример 2: Решите буквальное уравнение 2x + 7y = 12 относительно x.
Мы хотим, чтобы переменная x была одна в одной части уравнения, а y — в другой. Добавьте минус 7y к обеим частям уравнения 2x + 7y = 12,
2x + 7y + (-7y) = 12 + (-7y)
2x = 12 — 7y, Разделите все члены буквального уравнения на коэффициент x, чтобы изолировать переменную, то есть разделите уравнение на 2
2x/2 = (12 — 7y)/2
x = (12 — 7y)/2 = 6 — 7y/2
Следовательно, решение буквального уравнения 2x + 7y = 12 есть x = 6 — 7y/2
Важные примечания к литеральным уравнениям
Буквенное уравнение — это уравнение, в котором переменные представляют известные значения.
Буквенные уравнения используются для получения таких формул, как расстояние, скорость, площадь, объем, сила, время, температура и т. д.
Чтобы решить буквенные уравнения, выделите переменную и выразите ее как комбинацию остальных переменных.
Связанные темы по литеральным уравнениям
Переменные, константы и выражения
Выражения переменных
Линейные уравнения с двумя переменными
Часто задаваемые вопросы о буквальных уравнениях
Что такое буквальные уравнения в математике?
Буквенные уравнения определяются как уравнения, состоящие из двух или более переменных (букв или алфавитов), так что каждая переменная может быть выражена через другие переменные.
Как решать буквальные уравнения?
Буквенные уравнения можно решить, выделив одну переменную и выразив ее через другие переменные.
Что является примером буквального уравнения?
Типичными примерами буквальных уравнений являются такие формулы, как E = mc ² , A = bh, C = 2πr и т. д.
Почему мы переставляем буквенные уравнения?
Буквенные уравнения перестраиваются таким образом, чтобы показать взаимосвязь между переменными, и часто помогают нам решать такие формулы, как площадь, скорость, объем и т.
No related posts.