Как упрощать тригонометрические выражения 10 класс: Урок 40. преобразование тригонометрических выражений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

10 класс алгебра база ФГОС

С этим файлом связано 3 файл(ов). Среди них: Документ Microsoft Office Word.docx, 2020_Elekt_Matem_10-11_fgos.docx, курсовик.docx. Показать все связанные файлы Подборка по базе: Рабочая программа Цуканов А.С. 5 класс. История.docx, Технология Программа внеурочка 1-4 Город Мастеров 2021.doc, Рабочая программа ID2754435.docx, Рабочая программа по предмету Окружающий мир 3класс.docx, Рабочая программа по предмету Изобразительное искусство 3 класс., Рабочая программа по ОБЖ 8-9 класс УМК Виноградова Н.Ф.,мирнов Д, Рабочая учебная программа по дисциплине _Бюджет и бюджетная сист, Раб программа ПМ 02 (15.02.14) (1).docx, Рабочая программа (по НовомуФГОС2021-2022) на 2022 — 2023 год по, Рабочая программа ID3851202.pdf Рабочая программа по предмету Математика (алгебра и начала анализа (базовый уровень) на 2020-2021 учебный год 10 класс Б Автор – составитель: Соколова Н. П. Планируемые результаты освоения учебного предмета К концу 10 класса обучающийся научится: задавать функцию различными способами; составлять алгоритм исследования функции на монотонность и чётность; строить график обратной функции, узнавать условия существования обратной функции; определять на единичной окружности длины дуг; находить на числовой окружности точку, соответствующему данному числу; применять формулы приведения для упрощения простейших тригонометрических выражений; строить тригонометрические функции и описывать их свойства; решатьтригонометрические уравнения поформулам, с использованием метода замены переменной, разложения на множители, однородные уравнения; применятьразличные тригонометрические формулы: формулы двойногоугла, основные формулы тригонометрии, функции суммы иразности, преобразования сумм в произведение и наоборот, для упрощения выражений; формулировать определение предела, числовой последовательности, функции, способы вычисления предела последовательности, понятие производной функции, физический и геометрический смысл производной; находить производную суммы, разности, произведения и частного; применять производную для отыскания наибольших и наименьших значений функции; применять алгоритм составления уравнения касательной к графику функции, построения графика; исследовать простейшие функции на монотонность и экстремумы; решать текстовые и геометрические задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин получит возможность научиться: применять свойства функции для исследования её на монотонность и чётность; определять необходимое и достаточное условие обратной функции; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства; преобразовывать сложные тригонометрические выражения, графики тригонометрических функций; строить графики сложных функций; овладеть некоторыми приемами решения тригонометрических уравнений; свободно пользоваться изученными формулами тригонометрии, применять их в более сложных ситуациях; применять полученные знания для нахождения производной сложной функции, проводить полное исследование сложной функции Содержание учебного предмета Числовые функции (6ч) Определение и способы задания числовой функции . Область определения и область значений функции. Свойства функций. Исследование функций. Чтение графика. Определение и задание обратной функции. Построение графиков прямой и обратной функции. Тригонометрические функции (27ч) Числовая окружность. Длина дуги числовой окружности. Числовая окружность на координатной плоскости. Определение синуса и косинуса на единичной окружности. Определение тангенса и котангенса. Тригонометрические функции числового аргумента. Упрощение тригонометрических выражений. Тригонометрические функции углового аргумента. Решение прямоугольных треугольников. Формулы приведения. Функция y=sin x, её свойства и график. Функция y=cos x, её свойства и график. Периодичность функций y=sin x, y=cos x. Построение графика функций y=mf(x) и y=f(kx) по известному графику функции y=f(x). Функции y=tg x и y=ctg x, их свойства и графики. Тригонометрические уравнения (11ч) Определение и вычисление арккосинуса. Решение уравнения cos t=a. Определение и вычисление арксинуса. Решение уравнения sin t=a. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x=a, ctg x=a. Простейшие тригонометрические уравнения. Различные методы решения уравнений. Однородные тригонометрические уравнения. Преобразование тригонометрических выражений (14ч) Синус и косинус суммы и разности аргументов. Тангенс суммы и разности аргументов. Формулы двойного аргумента. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Производная (35ч) Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке. Приращение аргумента. Приращение функции. Определение производной. Производная и график функции. Производная и касательная. Формулы для вычисления производных. Производная сложной функции. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы. График функции, график производной. Применение производной для исследования функций. Построение графиков функций. Задачи с параметром. Графическое решение. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке. Текстовые и геометрические задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин. Обобщающее повторение (9 часов) Тематическое планирование № урока по порядку Тема урока Примечание (РС,К.Р, Л.Р. РКМ…) Раздел 1. Числовые функции Количество часов — 6 1. Определение числовой функции 2. Способы задания числовой функции 3. Свойства функций. Монотонность. Ограниченность. 4. Свойства функций. Четность 5. Обратная функция. 6. Контрольная работа №1 по теме «Числовые функции» Раздел 2. Тригонометрические функции Количество часов — 27 7. Числовая окружность 8. Числовая окружность 9. Числовая окружность на координатной плоскости 10. Решение типовых задач по теме «Числовая окружность» 11. Синус и косинус 12. Синус и косинус 13. Тангенс и котангенс 14. Тригонометрические функции числового аргумента 15. Тригонометрические функции числового аргумента 16. Тригонометрические функции числового аргумента 17. Тригонометрические функции числового аргумента 18. Формулы приведения 19. Формулы приведения 20. Решение задач по теме «Формулы тригонометрии» 21. Функция у=sinx,её свойства и график 22. Функция у=sinx,её свойства и график 23. Функция у=sinx,её свойства и график 24. Функция у=cosx,её свойства и график 25. Функция у=cosx,её свойства и график 26. Периодичность функций у=sinx, у=cosx 27. Преобразование графиков тригонометрических функций. Построение графика функции y=mf(x) по известному графику функции y=f(x) 28. Построение графика функции y= f(kx) по известному графику функции y=f(x) 29. График гармонического колебания 30. Функция y=tgx, ее свойства и график. 31. Функция y=сtgx, ее свойства и график. 32. Решение задач по теме «Тригонометрические функции» 33. Контрольная работа №2 по теме: «Тригонометрические функции» Раздел 3. Тригонометрические уравнения Количество часов — 11 34. Первые представления о решении тригонометрических уравнений 35. Арккосинус. Решение уравнения cost=a 36. Арккосинус. Решение уравнения cost=a 37. Арксинус. Решение уравнения sint=a 38. Арксинус. Решение уравнения sint=a 39. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgt=a, ctgt=a. 40. Простейшие тригонометрические уравнения. 41. Методы решения тригонометрических уравнений. 42. Однородные тригонометрические уравнения. 43. Решение задач по теме «Тригонометрические уравнения» 44. Контрольная работа №3 по теме: «Тригонометрические уравнения» Раздел 4. Преобразование тригонометрических выражений Количество часов — 14 45. Синус и косинус суммы аргументов 46. Синус и косинус суммы аргументов 47. Синус и косинус разности аргументов 48. Синус и косинус разности аргументов 49. Тангенс суммы и разности аргументов 50. Котангенс суммы и разности аргументов 51. Контрольная работа №4 по теме: «Преобразование тригонометрических выражений» 52. Формулы двойного угла 53. Формулы понижения степени 54. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение 55. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы 56. Преобразование выражений Asinx+Bcosx в выражения вида Csin(x+t) 57. Основные формулы тригонометрии 58. Контрольная работа №5 по теме: «Основные формулы тригонометрии» Раздел 5. Производная Количество часов — 35 59. Числовые последовательности 60. Предел последовательности 61. Предел последовательности 62. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 63. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 64. Предел функции на бесконечности 65. Предел функции в точке 66. Решение задач по теме «Вычисление пределов» 67. Приращение аргумента. Приращении функции 68. Задачи, приводящие к понятию производной 69. Определение производной, ее физический и геометрический смысл 70. Алгоритм нахождения производных 71. Формулы дифференцирования 72. Правила дифференцирования 73. Решение задач по теме «Правила дифференцирования» 74. Дифференцирование функции y=f(kx+m) 75. Контрольная работа №6 по теме: «Дифференцирование функций» 76. Уравнение касательной к графику функции 77. Уравнение касательной к графику функции 78. Исследование функций на монотонность и знакопостоянство 79. Исследование функций на монотонность и знакопостоянство 80. Точки экстремума и их нахождение 81. Точки экстремума и их нахождение 82. Решение задач по теме Исследование функций на монотонность и экстремумы» 83. Построение графиков функций 84. Построение графиков функций 85. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке 86. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке 87. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке 88. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке 89. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин 90. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин 91. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин 92. Решение задач по теме: «Производная» 93. Контрольная работа №7 по теме: «Производная» Раздел 6. Обобщающее повторение Количество часов — 9 94. Промежуточная аттестация 95. Тригонометрические уравнения 96. Преобразование тригонометрических выражений. Основные формулы тригонометрии 97. Преобразование тригонометрических выражений. Основные формулы тригонометрии 98. Производная 99. Производная 100. Построение графиков функций и использование их свойств 101. Контрольная работа №8 (итоговая) 102. Повторение и обобщение изученного материала

Поиск материала «Преобразование тригонометрических выражений, Методическое пособие, Шаталина А.

В., Родионова Е.М., 2017» для чтения, скачивания и покупки

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

1. Скачать Шаталина А.В., Родионова Е.М. Преобразование…

   Шаталина А.В., Родионова Е.М. Преобразование тригонометрических выражений. Файл формата pdf. размером 756,04 КБ.

   Данное методическое пособие представляет собой материалы для разработки электронного образовательного курса «Преобразование тригонометрических выражений». Данный образовательный курс предназначен для учащихся и преподавателей СОШ, СПО, ВУЗов и содержит элементы, относящиеся как к обучению на базовом уровне, так и в классах с профильной подготовкой.

   eruditor.io

2. Саратовский государственный университет имени…

   Автор: А. В. Шаталина, Е.М. Родионова. Преобразование тригонометрических выражений. Учебно – методическое пособие для учащихся средних образовательных школ, студентов специального.

   Данное методическое пособие представляет собой материалы для разра-ботки электронного образовательного курса «Преобразование тригонометри-ческих выражений». Данный образовательный курс предназначен для уча-щихся и преподавателей СОШ, СПО, ВУЗов и содержит элементы, относя-щиеся как к обучению на базовом уровне, так…

   elibrary.sgu.ru

3. Купить эту книгу

4. Канцтовары

   Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.

   my-shop.ru

6. Скачать Шаталина А.В., Родионова Е.М. Преобразование…

   Шаталина А.В., Родионова Е.М. Преобразование тригонометрических выражений. Файл формата pdf. размером 359,56 КБ.

   В работе представлены тесты по электронному образовательному курсу «Преобразование тригонометрических выражений». Данный образовательный курс предназначен для учащихся и преподавателей СОШ, СПО, ВУЗов и содержит элементы, относящиеся как к обучению на базовом уровне, так и с профильной подготовкой.

   eruditor.io

7. Методическое пособие

   Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ. Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Скворцова Д.А. 1.02.15.

   тригонометрических выражений» 7. Модуль 7. Ответы . 8. Литература. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения». 1. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента. Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и.

   down.ctege.info

8. Тригонометрия

   — 104 с. Учебное пособие знакомит иностранных учащихся с основными тригонометрическими функциями и их свойствами, также в нем приводятся основные методы решения тригонометрических уравнений.

   — 37 с. В данном учебно-методическом пособии представлен справочный материал, рассмотрены преобразования тригонометрических выражений, способы и алгоритмы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

   www.studmed.ru

9. Методические указания по выполнению…

   МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ — Тема: Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. математика Скачать бесплатно. Тригонометрические тождества — математические выражения

   для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента. Основные формулы тригонометрии. Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.

   znanio.ru

10. Вестник Педагога | Приемы обучения учащихся выполнению…

    Приемы обучения учащихся выполнению тождественных преобразований тригонометрических выражений.

    тождественных. преобразований. тригонометрических. выражений. Тригонометрические преобразования – одна из самых сложных тем. школьной. программы.

    vestnikpedagoga.ru

11. Преобразование тригонометрических выражений скачать

    Преобразование тригонометрических выражений. для студентов 1 курса. 2021г.

    могут быть использованы на аудиторных занятиях при изучении темы. «Преобразование тригонометрических выражений». Также предлагаются. варианты заданий для самостоятельного решения, которые смогут помочь.

    uchitelya.com

12. Подтяните знания с репетитором за лето | Методическая…

    Урок преобразование тригонометрических выражений методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему.

    Обилие тригонометрических формул – одна из основных причин затруднений при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. Этих формул более полусотни, и каждая может понадобиться. При этом, если их заучивать бессистемно, то можно просто не увидеть, когда и какую формулу надо применять.

    nsportal.ru

13. Специальный курс тригонометрии, для учителя (Новосёлов) 1967…

    Скачать Советский учебник Назначение: ДЛЯ УЧИТЕЛЯ © ‘ВЫСШАЯ ШКОЛА’ МОСКВА 1967 Авторство: Новосёлов С.И. Формат: PDF, Размер файла: 25.7 MB СОДЕРЖАНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие. Введение. §1. О содержании курса тригонометрии. §

    §21. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. §22. Примеры выполнения различных тригонометрических преобразований. §23. Рационализирующие подстановки. §24. Введение вспомогательных углов и тригонометрические подстановки.

    sovietime.ru

14. Тригонометрия

    • Тригонометрические формулы • Преобразование тригонометрических выражений • Тригонометрические уравнения • Тригонометрические неравенства. Издание четвертое, дополненное Москва 2018. ББК 22.1 я 729 УДК 373.3. Учебно-методическое пособие.

    В пособии рассматриваются тригонометрические за-дачи: преобразование тригонометрических выражений, уравнения, неравенства, тригонометрические системы.

    co8a.ru

15. «Преобразования тригонометрических выражений»

    Просмотр содержимого документа ««Преобразования тригонометрических выражений»». Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым. Государственное бюджетное профессиональное образовательное. учреждение Республики Крым. «Симферопольский автотранспортный техникум». Методическая разработка открытого занятия. по предмету: УП.04 Математика. тема: «Преобразования тригонометрических выражений». Разработчик: Пронина Е.А., преподаватель математики.

    multiurok.ru

16. Методические пособия по тригонометрии для учащихся 10-11…

    Основные тригонометрические тождества. Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента. (выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол ).

    Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента. Преобразование степеней синуса и косинуса.

    uchitelya.com

17. Презентация «Преобразование тригонометрических выражений…

    Скачать материал. Подписи к слайдам: Преобразование тригонометрических выражений.

    Методическое пособие для учителя, «Алгебра и начала анализа», профильный уровень, 10

    Презентация «Вычисление значений тригонометрических выражений и применение основных…

    uchitelya.com

18. Методическое пособие «Преобразования тригонометрических…»

    Методическое пособие «Преобразования тригонометрических выражений».

    Разное. Рассматриваются формулы, примеры, задания по тригонометрии.

    Уроки по алгебре для 7 класса «Технологическая карта урока Тема урока Умножение разности двух выражений на их сумму ( 7 класс, алгебра)» Алгебра.

    www.art-talant.org

19. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

    Тождественные преобразования тригонометрических выражений по УД Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.(Для корректного просмотра скачать!!!)

    Тождественные преобразования тригонометрических выражений учебно-методическое пособие по теме.

    nsportal.ru

20. Вычисление и преобразование тригонометрических…

    Методическое пособие содержит теоретический материал, позволяющий справиться с вычислением и преобразованием тригонометрических

    выражений. Также включает в себя контрольные, самостоятельные и зачетные работы с ответами. Вычисление и преобразование тригонометрических выражений в задачах ЕГЭ Математик…

    videouroki.net

21. Методическая разработка урока

    общеобразовательному циклу. Методическая разработка урока «Преобразование. тригонометрических выражений » предназначена для проведения. теоретического занятия по учебной дисциплине ОДП.1. Математика. в группе обучающихся по профессии «Машинист локомотива». Целью создания методической разработки является. презентация опыта работы преподавателя по обеспечению условий. для полноценного освоения обучающимися учебного материала, с.

    www.pu5belovo.ru

22. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

    Преобразования тригонометрических выражений примеры с решением – Методическое пособие по тригонометрическим выражениям.

    Как показал мой опыт работы, предлагаемая форма методической разработки позволяет более эффективно проводить занятия, а это способствует повышению качества подготовки студентов. Разработка по теме:” Преобразование тригонометрических выражений” рассчитана, по времени, на 2 спаренных урока.

    xn—-8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai

23. Урок 40. преобразование тригонометрических выражений…

    Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул. Основная литература: Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала

    Теоретический материал для самостоятельного изучения. Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул. Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

    resh.edu.ru

24. Преобразование произведений тригонометрических функций…

    Тема: Преобразование тригонометрических выражений.

    На уроке доказываются формулы преобразования произведений трех видов: синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус, решается несколько примеров на использование этих формул. Доказать

    interneturok.ru

25. Конспект урока на тему «Тригонометрические выражения и их…»

    Глава 1. Классификация заданий на использование преобразований тригонометрических выражений. В соответствии со стандартом среднего (полного) образования и требованиями к уровню подготовки учащихся в кодификатор требований включаются задания на знания основ

    Глава 2. Методические аспекты организация итогового повторения темы «Преобразование тригонометрических выражений». Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников…

    doc4web.ru

26. Методика изучения темы «Преобразование тригонометрических. ..

    — Преобразования тригонометрических выражений. — Чтобы вспомнить, и легче было решать задания.

    Вывод: Во второй главе выделены цели изучения темы «Преобразования тригонометрических выражений», классификация кейс-заданий, формирующая умения решать кейсы и уровни познавательного интереса.

    megaobuchalka.ru

27. Подтяните знания с репетитором за лето | Учебно-методический…

    Методические указания для выполнения практического занятия «Тождественные преобразования тригонометрических выражений», по дисциплине: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

    МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» учебно-методический материал по математике на тему.

    nsportal.ru

28. Практика. Тригонометрические выражения. Профильный уровень.

    Нахождение значений тригонометрических функций. Тригонометрические функции имеют широкое применение. Во-первых, они помогают решать геометрические задачи – рассчитывать треугольники и более сложные фигуры.

    В конце нашего занятия мы поговорим о формулах преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот. Как и все предыдущие, они также применяются для упрощения выражений. Конечно, у вас может возникнуть вопрос: «Во что преобразовывать, чтобы упростить выражение: в сумму или в…

    interneturok.ru

29. Тригонометрические уравнения и преобразования

    Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a,cosx=a,tgx=a, где а – действительное число. Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы. 1 радиан =.

    examer. ru

30. Вычисления и преобразования тригонометрических…

    Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ. Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Шарапова Д.А.

    9. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. 10. Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

    znanio.ru

31. Методическая разработка урока математики по теме…

    Преобразование тригонометрических выражений». Основными теоретическими положениями темы являются основные тригонометрические формулы, тригонометрические функции и их некоторые свойства.

    Просмотр содержимого документа Методическая разработка урока математики по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

    kopilkaurokov.ru

32. Вычисление и преобразование тригонометрических…

    Жалоба. Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Математика. Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ.

    5. Модуль 5. Домашнее задание. 6. Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений» 7. Модуль 7. Ответы . 8. Литература.

    4ege.ru

33. Методическое пособие на тему: Вычисление и преобразование…

    Методическое пособие включает в себя:1.Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения» 2.Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.

    Поделитесь с коллегами: Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ. Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Скворцова Д.А. 1.02.15. Содержание. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения».

    for-teacher.ru

34. Преобразование сумм тригонометрических функций…

    Преобразования равносильны при Тождество доказано с помощью формул, которые позволяют суммы тригонометрических функций преобразовать в произведение. Итог урока. На уроке рассматривались формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение и решались некоторые задачи.

    3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

    interneturok.ru

35. Методическое пособие по алгебре. Тригонометрические…

    В методичке рассмотрены способы и методы решения тригонометрических уравнений. Методическое пособие по алгебре. Тригонометрические уравнения. Алгебра 10 класс.

    Скачать разработку. Сохранить у себя: Методическое пособие по алгебре. Тригонометрические уравнения.

    videouroki.net

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Преобразование тригонометрических выражений, Методическое пособие, Шаталина А. В., Родионова Е.М., 2017»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 14 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы: пятница, 2 сентября 2022 г., 1:46:08 GMT

Урок игра «Математическое ралли» — математика, презентации

Тригонометрические функции

числового аргумента.

Цель урока

— вычисление значений тригонометрических функций;

— упрощение тригонометрических выражений.

Нужно знать:

— определения тригонометрических функций

и их знаки по четвертям.

— тригонометрические соотношения (формулы).

• успешно пройти маршрут каждому экипажу;

— выявить чемпионов ралли.

I . ПДД (правила дорожного движения).

II . Техосмотр.

III . Гонка по пересечённой местности.

IV . Внезапная остановка – авария.

V . Привал.

VI . Финиш.

VII . Итоги.

Правила работы

в группе на уроке:

— объединитесь по группам быстро и тихо;

— говорите тихо;

— слушайте, когда кто-то говорит;

— знайте ваше задание;

— оставайтесь в вашей группе, пока вам

не указано делать другую работу.

Соберите «рассыпавшиеся» формулы.

а

в

tg 2 t + 1

е

д

tg t

1

ё

sin 2 t +cos 2 t

ж

и

cos t / sin t , t ≠ π к,

к є Z .

з

ctg t

1/ sin 2 t,

t ≠ π к , к є Z.

к

1 + ctg 2 t

й

1, t ≠ π к / 2, к є Z .

г

tg t ∙ctg t

sin t / cos t ,

t ≠ π /2 + π к, к є Z .

б

1/ cos 2 t ,

t ≠ π /2 + π к , к є Z .

Ответ: аб, вг, де, ёж, зи, йк.

Упростите выражения

№

Выражение.

Варианты ответов.

1.

1 – cos 2 t

А

2.

cos 2 t

В

3.

sin 2 t – 1

— sin 2 t

( cos t — 1)(1+ cos t )

С

cos 2 t

sin 2 t

— cos 2 t

— sin 2 t

(1+ cos t) 2

2 cos 2 t

( cos t — 1 ) 2

Ответ: С В А.

Экипаж «Синус»: № 118 г

Экипаж «Косинус»: № 122 а

Экипаж «Тангенс» : № 123 г

Экипаж «Котангенс»: № 125 г

0, а sin (4 π + t ) Экипаж «Косинус» Если cos (- t ) = 3/5, то cos t = — 3/5. Экипаж «Тангенс» Если tg t = 3/4, то tg ( t – 4 π ) = -3/4. Экипаж «Котангенс» Если cos t = 0, то ctg ( t + π ) = 1.»

Экипаж «Синус»

Если 0 t π /2, то sin t 0, а sin (4 π + t )

Экипаж «Косинус»

Если cos (- t ) = 3/5, то cos t = — 3/5.

Экипаж «Тангенс»

Если tg t = 3/4, то tg ( t – 4 π ) = -3/4.

Экипаж «Котангенс»

Если cos t = 0, то ctg ( t + π ) = 1.

Ответы :

0, а sin (4 π + t ) Ответ: sin (4 π + t ) 0″

Экипаж «Синус»

Если 0 t π /2, то sin t 0, а sin (4 π + t )

Ответ: sin (4 π + t ) 0

Экипаж «Косинус»

Если cos (- t ) = 3/5, то cos t = — 3/5.

Ответ: cos t = 3/5.

Экипаж «Тангенс»

Если tg t = 3/4, то tg ( t – 4 π ) = -3/4.

Ответ: tg ( t – 4 π ) = 3/4.

Экипаж «Котангенс»

Если cos t = 0, то ctg ( t + π ) = 1.

Ответ: ctg ( t + π ) = 0.

Для учеников:

4 и более «+» — оценка «5».

3 «+» — оценка «4».

1-2 «+» — оценка «3».

Для экипажей:

«+» и «-» взаимно уничтожаются.

Считаются только оставшиеся знаки.

Из чисел вы мой первый слог возьмите,

Второй – из слова «гордецы».

А третьим лошадей вы погоните,

Четвёртым будет блеянье овцы.

Мой пятый слог такой же, как и первый,

Последней буквой в алфавите является шестой,

А если отгадаешь ты всё верно,

То в математике раздел получишь ты такой.

Ответ :

три – го – но – ме – три – я.

Назовите значения функций

sin t , cost , tgt , ctg t , если

t = π /6 ( экипаж «Синус»)

t = π /4 ( экипаж «Косинус»)

t = π /3 ( экипаж «Тангенс»)

t = π /2 ( экипаж «Котангенс»)

Ответы.

Экипаж «Синус» .

Экипаж «Косинус».

1 , 1.

Экипаж «Тангенс» .

Экипаж «Котангенс» .

1; 0; не определён; 0.

Для учеников:

4 и более «+» — оценка «5».

3 «+» — оценка «4».

1-2 «+» — оценка «3».

Для экипажей:

«+» и «-» взаимно уничтожаются.

Считаются только оставшиеся знаки.

Итоги урока

Учились:

— упрощать тригонометрические выражения;

• находить значения тригонометрических функций.

Нужно знать:

— определения тригонометрических функций и

их знаки по четвертям;

— тригонометрические соотношения (формулы).

Домашнее задание

— для учеников, получивших «5» и «4»:

§ 6, № 128а, 130а, 134а.

— для учеников, получивших «2» и «3»:

§ 6, № 119г, №120г, №121г.

404 Not Found

Главная День открытых дверей Сведения об образовательной организации Колледж Сведения об образовательной организации Основные сведения История колледжа Достижения Долгосрочные целевые программы Опросы Структура и органы управления образовательной организацией Документы Независимая оценка качества профессионального образования Образование Рабочие программы воспитания и календарные планы воспитательной работы Руководство. Педагогический (научно-педагогический) состав Руководство Педагогический состав Материально-техническое обеспечение и оснащенность образовательного процесса Организация питания в образовательной организации Платные образовательные услуги Финансово-хозяйственная деятельность Внешние и внутренние контрольные мероприятия Вакантные места для приема (перевода) обучающихся Доступная среда Международное сотрудничество Ресурсный центр Документация ресурсного центра Общежитие Образовательные стандарты и требования Стипендии и меры поддержки обучающихся Антикоррупционная политика Коронавирус Кибербезопасность Противодействие идеологии терроризма и экстремизма Отраслевой совет Памятки и инструкции по пожарной безопасности Горячая линия в системе СПО Абитуриентам Приказы о зачислении Приказ о зачислении Приемная комиссия День открытых дверей Электронная подача документов Профессиональная подготовка Социальное обеспечение Специальности и профессии РУП Оператор связи 160 ч. Оператор связи 320 ч. Фрезеровщик 840 ч. Электромонтажник-наладчик 840 ч. Электромонтер охранно-пожарной сигнализации 840 ч. Электромонтер охранно-пожарной сигнализации (проф.переподг., повышение квалиф-ции) 400 ч Электромонтажник-наладчик (проф.переподг., повышение квалиф-ции) 400 ч. Фрезеровщик (проф.переподг., повышение квалиф-ции) 400 ч. Студентам Демонстрационный экзамен Обучение Расписание звонков Производственное обучение Подготовка к ГИА Расписание занятий Промежуточная аттестация Политехническая школа Обучение школьников по политехническому направлению Рабочие Программы Условия организации питания студентов Трудоустройство Доска почета Активной молодежи Наши выпускники Студенческая жизнь Спортивные секции Студенческие кружки Клуб «Патриот» Участие в олимпиадах, конкурсах, научно-практических конференциях Мероприятия ГТО WorldSkills Студенческий спортивный клуб PowerNet Отряд правопорядка Истина Задать вопрос Психологическая служба Финансовая грамотность Российские общеобразовательные порталы и сайты Гражданское население в противодействии терроризма Проект «Профстажировки 2. 0″ О замене полисов ОМС Классное руководство Студенческая научно-практическая конференция

Работодателям Дуальное обучение Портфолио выпускников Наши работодатели Сотрудникам Закон об образовании Методическая работа Предметно-цикловые комиссии Вакансии Школа молодого педагога Профсоюз Наши сотрудники Наши ветераны Приложение по Диспансеризации Контакты

Самостоятельная работа.

Преобразование тригонометрических выражений. 10 класс

Главная / Старшие классы / Алгебра

Скачать

38 КБ, 858895.doc Автор: Алтунина Нина Сергеевна, 1 Апр 2015

Самостоятельная работа. Преобразование тригонометрических выражений. 10 класс. Четыре варианта.

Автор: Алтунина Нина Сергеевна

Похожие материалы

Тип	Название материала	Автор	Опубликован
документ	Самостоятельная работа. Преобразование тригонометрических выражений. 10 класс	Алтунина Нина Сергеевна	1 Апр 2015
документ	«Преобразование тригонометрических выражений» 10 класс	Трефилова Светлана Юрьевна	1 Апр 2015
документ	Открытый урок по теме «Преобразование тригонометрических выражений»,(10 класс)	Головина Наталья Анатольевна	21 Мар 2015
документ	Открытый урок по теме: «Преобразование тригонометрических выражений», 10 класс.	Головина Наталья Анатольевна	21 Мар 2015
документ	Открытый урок по теме: «Преобразование тригонометрических выражений», 10 класс.	Головина Наталья Анатольевна	21 Мар 2015
документ	Тест по теме: «Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции», Алгебра и начала анализа, 10 класс	tsatourova_helen	6 Дек 2015
документ	Самостоятельная работа по алгебре 8 класс по теме: «Преобразование рациональных выражений»	Ольга Михайловна Щербакова	14 Ноя 2015
документ	Преобразование тригонометрических выражений	Марченко Любовь Евгеньевна	31 Мар 2015
документ	Преобразование тригонометрических выражений	Мишина Анастасия Сергеевна	1 Апр 2015
разное	Преобразование тригонометрических выражений Функция Угол Функция Угол	Аверин Николай Петрович	1 Апр 2015
документ	Зачет №4 по алгебре и начала анализа 10 класса по теме «Преобразование тригонометрических выражений»	Ткаличева Светлана Владимировна	21 Мар 2015
презентация	Урок алгебры в 10 классе «Преобразование тригонометрических выражений».	Горина Татьяна Евгеньевна	1 Апр 2015
документ	План-конспект урока по математике в 10 классе по теме: «Преобразование тригонометрических выражений»	Назарова Маргарита Алексеевна	1 Апр 2015
документ	Проект урока в 10 классе «Преобразование тригонометрических выражений».	Васильева Елена Викторовна	5 Ноя 2015
разное	Преобразование тригонометрических выражений. Свойства тригонометрических функций.	Каримова Галия Исмагиловна	31 Мар 2015
документ	контрольная работа по теме Преобразование целых выражений 7 класс	Поликарпова Галина Львовна	31 Мар 2015
документ	Тригонометрические функции. Свойства. Основные тригонометрические тождества. Преобразование тригонометрических выражений.	Демина Елена Максимовна	21 Мар 2015
документ	Подготовка к ЕГЭ. Преобразование тригонометрических выражений.	Михалева Светлана Игоревна	21 Мар 2015
документ	Открытый урок по теме: «Преобразование тригонометрических выражений»	Головина Наталья Анатольевна	21 Мар 2015
разное	урок Формулы приведения. Преобразование тригонометрических выражений	Гаврилова Светлана Витальевна	1 Апр 2015
документ	Урок преобразование тригонометрических выражений	Екимова Ирина Ивановна	1 Апр 2015
документ	Элективный курс 11 кл «Преобразование тригонометрических выражений»	Бахтигараева Флида Исмагиловна	5 Ноя 2015
документ	Учебный элемент Преобразование тригонометрических выражений	Бурцева Мария Вячеславовна	23 Июл 2015
документ	Мини-исследование по теме «Преобразование графиков тригонометрических функций», 10 класс	Графова Елена Викторовна	5 Апр 2015
презентация	Урок по алгебре «Тождественные преобразования тригонометрических выражений», 10 класс	Панина Анна Сергеевна	10 Сен 2015
документ, таблица	11 класс Подготовка к ЕГЭ. Вычисление значений тригонометрических выражений задания 6 и 10 ЕГЭ 2015	Мацко (Прилука) Татьяна Ивановна	21 Мар 2015
разное	Урок 10 класс «Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений»	Зиновьева Людмила Анатольевна	31 Мар 2015
документ	Проверочная работа по теме «Преобразование показательных и логарифмических выражений».11 класс	Алтунина Нина Сергеевна	1 Апр 2015
документ	Контрольная работа №1 «Преобразование выражений»	Хафизова Фанзеля Кашбеевна	19 Мар 2016
документ	Зачет по теме «Преобразование выражений». 7 класс.	Семячкина Тамара Петровна	21 Мар 2015
документ	Тест по теме: «Преобразование выражений» 6 класс	Романова Анна Владимировна	31 Мар 2015
разное	Урок 7 класс алгебра «Преобразование выражений»	Бобровникова Татьяна Владимировна	1 Апр 2015
документ	Урок»Преобразование выражений, содержащих степень».7 класс	Якунина Татьяна Николаевна	1 Апр 2015
документ	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. 8 класс. Алгебра.	Кусик Валентина Николаевна	13 Июл 2015
документ	Программа элективного курса «Преобразование выражений» (8 класс)	Макарова Светлана Сергеевна	23 Янв 2016
документ	Самостоятельная работа по теме: «Упрощение выражений», 5 класс	Кочухова Ирина Михайловна	21 Мар 2015
разное	Урок «Преобразование тригонометрических функций» для 10 класса с использованием ИКТ	Домрычева Марина Николаевна	1 Апр 2015
разное	Урок алгебры в 10 классе по теме: Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение	Бультинова Наталья Николаевна	1 Апр 2015
презентация	ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы	Алтунина Нина Сергеевна	1 Апр 2015
документ	Самостоятельная работа по математике «Определение тригонометрических функций»	Соколова Наталья Владимировна	14 Янв 2016

Презентация на тему: «Тригонометрические функции числового аргумента.

. — вычисление значений тригонометрических функций;

1 Тригонометрические функции числового аргумента.

2 — вычисление значений тригонометрических функций; — упрощение тригонометрических выражений. Цель урока

3 Нужно знать: — определения тригонометрических функций и их знаки по четвертям. — тригонометрические соотношения (формулы).

4

5 — успешно пройти маршрут каждому экипажу; — выявить чемпионов ралли.

6

7

8

9

10

11 I. ПДД (правила дорожного движения). II. Техосмотр. III. Гонка по пересечённой местности. IV. Внезапная остановка – авария. V. Привал. VI. Финиш. VII. Итоги.

12 — объединитесь по группам быстро и тихо; — говорите тихо; — слушайте, когда кто-то говорит; — знайте ваше задание; — оставайтесь в вашей группе, пока вам не указано делать другую работу. Правила работы в группе на уроке:

13

14 аtg 2 t + 1 е 1 вtg tжcos t / sin t, t πк, к є Z. дsin 2 t +cos 2 to 1/ sin 2 t, t πк, к є Z. ёctg tк 1, t πк / 2, к є Z. з 1 + ctg 2 tгsin t /cos t, t π/2 + πк, к є Z. йtg t ctg tб 1/ cos 2 t, t π/2 + πк, к є Z. Соберите «рассыпавшиеся» формулы.

15 Ответ: аб, вг, де, ёж, из, йк.

16

17 Выражение. Варианты ответов. АВС 1.1 – cos 2 tcos 2 t- sin 2 tsin 2 t 2. sin 2 t – 1cos 2 t- cos 2 t2 cos 2 t 3.( cos t — 1)(1+ cos t)-sin 2 t(1+ cos t) 2 (cos t — 1) 2 Упростите выражения

18 Ответ: С В А.

19

20 Экипаж «Синус»: 118 г Экипаж «Косинус»: 122 а Экипаж «Тангенс»: 123 г Экипаж «Котангенс»: 125 г

21

22 Экипаж «Синус» Если 0 0, а sin(4 π + t)

23 Ответы :

24 Экипаж «Синус» Если 0 0, а sin(4 π + t) 0

25 Экипаж «Косинус» Если cos (- t) = 3/5, то cos t = — 3/5. Ответ: cos t = 3/5.

26 Экипаж «Тангенс» Если tg t = 3/4, то tg(t – 4 π) = -3/4. Ответ: tg(t – 4 π) = 3/4.

27 Экипаж «Котангенс» Если cos t = 0, то ctg(t + π) = 1. Ответ: ctg(t + π ) = 0.

28

29 Для учеников: 4 и более «+» — оценка «5». 3 «+» — оценка «4». 1-2 «+» — оценка «3». Для экипажей: «+» и «-» взаимно уничтожаются. Считаются только оставшиеся знаки.

30 Из чисел вы мой первый слог возьмите, Второй – из слова «гордецы». А третьим лошадей вы погоните, Четвёртым будет блеянье овцы. Мой пятый слог такой же, как и первый, Последней буквой в алфавите является шестой, А если отгадаешь ты всё верно, То в математике раздел получишь ты такой.

31 три – го – но – ме – три – я. Ответ :

32

33 Назовите значения функций sin t, cost, tgt, ctg t, если t = π/6 ( экипаж «Синус») t = π/4 ( экипаж «Косинус») t = π/3 ( экипаж «Тангенс») t = π/2 ( экипаж «Котангенс»)

34 Ответы. Экипаж «Синус». Экипаж «Косинус». Экипаж «Тангенс». Экипаж «Котангенс». 1; 0; не определён; 0. 1, 1.

35

36 Для учеников: 4 и более «+» — оценка «5». 3 «+» — оценка «4». 1-2 «+» — оценка «3». Для экипажей: «+» и «-» взаимно уничтожаются. Считаются только оставшиеся знаки.

37 Итоги урока Учились: — упрощать тригонометрические выражения; -находить значения тригонометрических функций. Нужно знать: — определения тригонометрических функций и их знаки по четвертям; — тригонометрические соотношения (формулы).

38 — для учеников, получивших «5» и «4»: § 6, 128 а, 130 а, 134 а. — для учеников, получивших «2» и «3»: § 6, 119 г, 120 г, 121 г. Домашнее задание

4.1 Редакция | Тригонометрия | Сиявула

4.1 Редакция (EMCG9)

Тригонометрические соотношения

Мы определили основные тригонометрические соотношения, используя длины сторон прямоугольного треугольника.

\(\begin{array}{r@{\;}l@{\;}l@{\;}l@{\;}cr@{\;}l@{\;}l@{\; }л@{\;}} \ sin \ hat {A} & = & \ frac {\ text {напротив}} {\ text {гипотенуза}} & = \ frac {a} {c} & \ qquad \ qquad & \qquad \sin \hat{B}&=&\frac{\text{напротив}}{\text{гипотенуза}} &= \frac{b}{c} \\ & & & & & & & \\ \cos \hat{A}&=&\frac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}} &= \frac{b}{c} &\qquad \qquad & \qquad \cos\шляпа{B}&=&\frac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}} &= \frac{a}{c} \\ & & & & & & & \\ \tan \hat{A}&=&\frac{\text{напротив}}{\text{смежный}} &= \frac{a}{b} & \qquad \qquad & \ qquad \ tan \ hat {B} & = & \ frac {\ text {напротив}} {\ text {смежный}} & = \ frac {b} {a} \конец{массив}\) 9{2}\).

Схема CAST

Знак тригонометрического отношения зависит от знаков \(x\) и \(y\):

Формулы приведения и кофункции:

1. Формулы приведения верны для любого угла \(\theta\). Для удобства мы предполагаем, что \(\theta\) является острый угол (\(\text{0}°<\theta <\text{90}°\)).

2. При определении значений функции (\(\text{180}°±\theta\)), (\(\text{360}°±\theta\)) и (\(-\theta\)) функция не меняется.

3. При определении значений функций (\(\text{90}°±\theta\)) и (\(\theta ±\text{90}°\)) функция переходит в свою кофункцию.

Отрицательные углы

\начать{выравнивать*} \sin (- \тета) &= — \sin \тета \\ \cos (- \тета) &= \cos \тета \\ \загар (- \тета) &= — \загар \тета \конец{выравнивание*}

Специальные угловые треугольники

Эти значения полезны, когда нам нужно решить задачу с тригонометрическими функциями без использования калькулятор. Помните, что длины сторон прямоугольного треугольника подчиняются теореме Пифагор.

θ	\(\text{0}\)°	\(\text{30}\)°	\(\text{45}\)°	\(\text{60}\)°	\(\text{90}\)°
\(\cos θ\)	\(\текст{1}\)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \)	\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)	\(\ гидроразрыва{1}{2}\)	\(\текст{0}\)
\(\sinθ\)	\(\текст{0}\)	\(\ гидроразрыва{1}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \)	\(\текст{1}\)
\(\тангенс θ\)	\(\текст{0}\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(\текст{1}\)	\(\sqrt{3}\)	неопределенный

Тригонометрические тождества 92 \ тета} \конец{выравнивание*}

Все эти соотношения и тождества очень полезны для упрощения тригонометрических выражений.

Рабочий пример 1: Редакция

Определить значение выражения без использования калькулятора:

\[\frac{\cos \text{420} ° — \sin \text{225} ° \cos ( — \text{45} °)}{\tan \text{315} ° }\]

Используйте формулы приведения, чтобы выразить каждое тригонометрическое соотношение через острый угол

\начать{выравнивать*} &\frac{\cos \text{420} ° — \sin \text{225} ° \cos ( — \text{45} °)}{\tan \text{315} ° } \\ &= \frac{\cos ( \text{360} ° + \text{60} °) — \sin ( \text{180} ° + \text{45} °) \cos ( — \text{45} °)}{\tan ( \text{360} ° — \text{45} °) } \\ &= \frac{\cos\text{60} ° — ( — \sin \text{45} ° ) (\cos \text{45} °)}{- \tan \текст{45} ° } \\ &= \frac{ \cos \text{60} ° + \sin \text{45} ° \cos \text{45} ° }{- \tan \text{45} ° } \конец{выравнивание*}

Теперь используйте специальные углы для вычисления упрощенного выражения:

\начать{выравнивать*} &= \frac{ \cos \text{60} ° + \sin \text{45} ° \cos \text{45} ° }{- \tan \text{45} ° } \\ &= \frac{ \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) }{- 1} \\ &= — \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) \\ &= -1 \конец{выравнивание*} 9{2} \альфа\\ & \\ \поэтому \text{левый} &= \text{правый} \конец{выравнивание*}

Альтернативный метод: мы могли бы также начать с левой части тождества и подставил \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и упростил, чтобы получить правую часть сторона.

Ограничения

Нам нужно определить значения \(\alpha\), для которых любой из терминов в тождестве будет не определено: 9{2} \альфа &= 0 \\ \поэтому \cos \alpha &= 0 \\ \поэтому \alpha &= \text{90} ° \text{ или } \text{270} ° \конец{выравнивание*}

Мы также должны учитывать значения \(\alpha\), для которых \(\tan \alpha\) не определено. Следовательно идентификатор не определен для \(\alpha = \text{90} ° + k \cdot \text{180} °\).

Полезные советы:

• Иногда полезно писать \(\tan \theta\) в терминах \(\sin \theta\) и \(\cos \theta\).
• Никогда не пишите тригонометрическое отношение без угла. Например, \(\tan = \frac{\sin}{\cos}\) не имеет значение.
• Для подтверждения личности упрощайте только одну сторону личности за раз.
• Как видно из рабочего примера выше, иногда необходимо упростить обе стороны удостоверения.
• Не забудьте записать ограничения:
  • значения, для которых ни одно из тригонометрических соотношений не определено;
  • значения переменной, при которых любой из знаменателей тождества равен нулю.

Редакция – формулы приведения, кофункции и тождества

Учебник Упражнение 4.1

\(\sin \text{149} °\)

\begin{align*} \sin \text{149} ° &= \sin ( \text{180} ° — \text{31} °) \\ &= \sin \text{31} ° \\ &= А \end{выравнивание*}

\(\cos ( — \text{59} °)\)

\begin{align*} \cos ( — \text{59} °) &= \cos \text{59} ° \\ &= \cos ( \text{90} ° — \text{31} °) \\ &= \sin \text{31} ° \\ &= А \end{align*}

\(\cos \text{329} °\)

\begin{align*} \cos \text{329} ° &= \cos ( \text{360} ° — \text{31} °) \\ &= \cos\text{31} ° \\ &= \sqrt{1 — \sin^{2} \text{31} °} \\ &= \sqrt{1 — A^{2}} \end{выравнивание*}

\(\tan \text{211} ° \cos \text{211} °\)

\begin{align*} \tan \text{211} ° \cos \text{211} ° &= \left( \frac{\sin \text{211} °}{\cos \text{211} °} \right) \cos \text{211} ° \\ &= \sin \text{211} ° \\ &= \sin ( \text{180} ° + \text{31} °) \\ &= — \sin \text{31} ° \\ &= — А \end{выравнивание*} 9{2}}} \end{align*}

Упростить \(P\) до одного тригонометрического отношения:

\[P = \sin ( \text{360} ° + \theta) \cos ( \text{180} ° + \theta) \tan( \text{360} ° + \тета)\]

\begin{выравнивание*} P &= \sin ( \text{360} ° + \theta) \cos ( \text{180} ° + \theta) \tan( \text{360} ° + \тета) \\ &= \sin \theta (- \cos \theta) ( \tan \theta) \\ &= -\sin\theta\cos\theta\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right) \\ &= -\sin^{2} \тета \end{выравнивание*}

Упростить \(Q\) до одного тригонометрического отношения:

\[Q = \frac{ \cos (\theta — \text{360} °) \sin ( \text{90} ° + \theta) \sin (- \theta)}{\sin (\theta + \text{180} °)}\]

\begin{выравнивание*} \text{Примечание: } & \cos (\theta — \text{360} °) \\ &=\cos [- ( \text{360} ° — \theta)] \\ &=\cos ( \text{360} ° — \theta) \\ &=\cos\тета\\ & \\ Q &= \frac{ \cos (\theta — \text{360} °) \sin ( \text{9{2}(\beta + \text{180} °) \cos(\beta — \text{90} °)}\]

\begin{align*} \text{Примечание: } & \tan (\beta — \text{360} °) \\ &= \tan [- ( \text{360} ° — \beta)] \\ &= — \tan ( \text{360} ° — \beta) \\ &= — ( — \загар \бета ) \\ &= \загар \бета\\ \text{И} & \cos (\beta — \text{90} °) \\ &= \cos [- ( \text{9{2} \бета \sin \бета } \\ &= — \frac{1}{\sin\beta} \\ &= — \фракция{1}{р} \end{align*}

\(\dfrac{\cos (- \text{120} °)}{\tan \text{150} °} + \cos \text{390} °\)

\begin{align*} & \dfrac{\cos ( \text{120} °)}{\tan \text{150} °} + \cos \text{390} ° \\ &= \frac{ \cos( \text{180} ° — \text{60} °)}{ \tan ( \text{180} ° — \text{30} °)} + \cos( \text{360} ° + \text{30} °) \\ &= \frac{ — \cos \text{60} °}{ — \tan \text{30} °} + \cos \text{30} ° \\ &= \frac{ \sin \text{30} °}{\frac{ \sin \text{30} °}{\cos \text{30} °}} + \cos \text{30} ° \\ &= \cos \text{30} ° + \cos \text{30} ° \\ &= 2 \cos \text{30} ° \\ &= 2 \влево(\frac{\sqrt{3}}{2} \вправо) \\ &= \sqrt{3} \end{выравнивание*}

\((1 — \sin \text{45} °)(1 — \sin \text{225} °)\)

\begin{align*} & (1 — \sin \text{45} °)(1 — \sin \text{225} °) \\ &= 1 — \sin \text{45} ° — \sin \text{225} ° + (\sin \text{45} °)(\sin \text{225} °) \\ &= 1 — \sin \text{45} ° — \sin ( \text{180} ° + \text{45} °) + (\sin \text{45} °)(\sin ( \text{180} ° + \text{45} °)) \\ &= 1 — \sin \text{45} ° + \sin \text{45} ° — \sin^{2} \text{45} ° \\ &= 1 — \sin^{2} \text{45} ° \\ &= 1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} \\ &= 1 — \фракция{1}{2} \\ &= \фракция{1}{2} \end{выравнивание*} 92 \тета\\ &= \текст{0} \end{align*}

Используйте формулы приведения и специальные углы, чтобы показать, что

\[\frac{\sin ( \text{180} ° + \theta) \tan ( \text{720} ° + \theta) \cos (- \theta)}{\cos ( \text{90} ° + \theta) }\]

можно упростить до \(\sin\theta\).

Используйте формулы приведения и кофункции для упрощения выражения

\начать{выравнивать*} & \frac{\sin (\text{180} ° + \theta) \tan (\text{720} ° + \theta) \cos (- \theta)}{\cos ( \text{90} ° + \theta) }\\ &= \frac{ — \sin \theta \tan \left( 2( \text{360} °) + \theta \right) \cos \theta}{ — \sin\тета} \\ &= \загар \тета \соз \тета \\ & = \ влево ( \ гидроразрыва {\ грех \ тета} {\ соз \ тета} \ справа) \ соз \ тета \\ &= \sin\тета \конец{выравнивание*}

Не используя калькулятор, определите значение \(\sin \text{570} °\).

Использование специальных углов для определения значения выражения

\начать{выравнивать*} \sin \text{570} ° &= \sin ( \text{360} ° + \text{210} °) \\ &= \sin ( \text{210} °) \\ &= \sin ( \text{180} ° + \text{30} °) \\ &= — \sin \text{30} ° \\ &= — \фракция{1}{2} \конец{выравнивание*}

Учитель математики Троя просит класс ответить на следующий вопрос. {2} \тета \\ \поэтому \text{левый} &= \text{правый} \конец{выравнивание*}

Прокомментируйте ответ Троя и покажите правильный способ подтверждения личности.

Вопрос требует, чтобы Трой подтвердил личность. Однако работая с обеими сторонами личность в то же время, он признал, что это было правдой. Правильный метод доказательства идентичность состоит в том, чтобы работать только с одной стороной за раз и показывать, что одна сторона равна Другой. Иногда необходимо сначала упростить одну сторону тождества, а потом еще и упростить другую сторону, чтобы показать, что они равны. Троя тоже должна была заявленные ограничения. 9{2}\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)} \\ &= \dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta} \\ &= \текст{левый} \конец{выравнивание*}

Ограничения: не определено, где \(\cos \theta = \text{0}, \text{ и } \sin \theta = — \текст 1}\).

Тогда \(\theta \ne \text{90} + k \cdot \text{180} ° \text{ и } \theta \ne — \text{90} + k \cdot \text{360} °\). 92\тета}{\соз\тета}\\ &=\cos\тета\\ &= \текст{справа} \конец{выравнивание*}

Ограничения: не определено, где \(\cos \theta = \text{0}\) и где \(\tan \theta\) равно неопределенный.

Поэтому \(\theta \ne \text{90} °; \text{270} °\).

\(\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta +\cos\theta }=\sin\theta +\cos\theta -\dfrac{1}{\sin\theta +\cos\theta}\) 92\тета-1}{\sin\тета+\cos\тета} \\ &=\dfrac{1+2\sin\theta \cos\theta-1}{\sin\theta+\cos\theta} \\ &=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta} \\ &= \текст{левый} \конец{выравнивание*}

Ограничения: не определено, где \(\sin \theta = \text{0}, \enspace \cos \theta = \текст{0}\).

Поэтому \(\theta \ne \text{0} °; \text{92\beta}{\sin\beta\cos\beta} \right )\cos\beta\\ &=\dfrac{1}{\sin\beta}\\ &= \текст{справа} \конец{выравнивание*}

Ограничения: не определено, где \(\sin \beta = \text{0}, \enspace \cos \beta = \text{0}\) и где \(\tan\beta\) не определено.

Поэтому \(\beta \ne \text{0} °; \text{90} °; \text{180} °; \text{270} °; \text{360} °\). 92\тета} \\ \поэтому \text{левый } &= \text{правый } \конец{выравнивание*}

Ограничения: не определено, где \(\sin \theta = \pm \text{1}, \enspace \sin \theta = \text{0}, \enspace \cos \theta = \text{0}\).

Ограничения также включают значения \(\theta\), для которых \(\tan \theta\) неопределенный.

Поэтому \(\theta \ne \text{0} °; \text{9{2}\alpha} \times \cos\alpha \\ &=\dfrac{1}{\cos\alpha} \конец{выравнивание*} \начать{выравнивать*} \text{RHS} &= \dfrac{1 — \tan \alpha}{\cos \alpha — \sin \alpha} \\ &= \dfrac{1 — \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha — \sin \alpha} \\ &= \dfrac{\frac{\cos \alpha — \sin \alpha}}{\cos \alpha}}{\cos \alpha — \sin \alpha} \\ &= \dfrac{\cos\alpha — \sin\alpha}{\cos\alpha(\cos\alpha — \sin\alpha)} \\ &= \dfrac{1}{\cos\alpha} \\ &= \текст{левый} \конец{выравнивание*}

Ограничения: где \(\sin\alpha = \cos\alpha\) и где \(\tan\alpha\) не определено.

Поэтому \(\alpha \ne \text{45} °; \text{90} °; \text{270} °; \text{225} °\).

\(\cos ( \text{180} ° — \theta) = -1 — \cos \theta\)

Ложь

\начать{выравнивать*} \text{Пусть } \theta &= \text{35} ° \\ \text{LHS} &= \cos ( \text{180} ° — \text{35} °) \\ &= \cos\text{145} ° \\ &= -\текст{0,819} \\ & \\ \text{RHS} &= — 1 — \cos \text{35} ° \\ &= -\текст{1819} \\ & \\ \text{левый} & \ne \text{правый} \конец{выравнивание*}

\(\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha + \sin \beta\)

Ложь

\начать{выравнивать*} \text{Пусть } \alpha &= \text{62} ° \\ \text{Пусть } \beta &= \text{20} ° \\ \text{LHS} &= \sin( \text{62} ° + \text{20} ° ) \\ &= \sin \text{82} ° \\ &= \текст{0,990} \\ & \\ \text{RHS} &= \sin \text{62} ° + \sin \text{20} ° \\ &= \текст{1224} \\ & \\ \text{левый} &\ne \text{правый} \конец{выравнивание*}

\(\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}\)

True

\(\frac{1}{3} \ грех 3\альфа = \грех \альфа\)

Ложь

\начать{выравнивать*} \text{Пусть } \alpha &= \text{62} ° \\ \text{LHS} &= \frac{1}{3} \sin 3 ( \text{62} ° ) \\ &= -\текст{0,034} \\ & \\ \text{RHS} &= \sin \text{62} ° \\ &= \текст{0,882} \\ & \\ \text{левый} &\ne \text{правый} \конец{выравнивание*} 9{2} \beta}\)

True

\(\sin \theta = \tan \theta \cos \theta\)

True

Упрощение тригонометрических выражений

Вчера посетители поисковой системы нашли наш веб-сайт, введя следующие алгебраические термины:

Рабочий лист коэффициента масштабирования	обновление алгебратора	как сделать решатель квадратичных формул на моем калькуляторе Т1-84
стихотворения с использованием математических слов	алгебраический интеграл подстановки	Алгебра 1 рабочий лист ответы
Алгебратор скачать	саксонские листы с домашним заданием	печатные математические изображения
введение в бухгалтерию скачиваемая книга	Фактор моих домашних полиномов	умножить формулу значений времени
целочисленных рабочих листа для детей	отработка алгебры	ti 89 решить единственную алгебру
как обманывать с алекс	факторинговые листы	вида математических мелочей
«нахождение длины окружности»	Рационализация знаменателя в калькуляторе рациональных выражений	расширяющая программа по алгебре
тригонометрия с ti 84 плюс	Калькулятор коэффициента рационального выражения	Бумаги 8-го класса Guess 2009 Бахавалпур
рабочие листы по математике в произвольном масштабе	TI-84 Дроби * */*	Калькулятор с пошаговым отображением линейных уравнений бесплатно
коэффициент бесплатных математических печатных форм	печатных задач на радикалы как частные	как преобразовать линейное уравнение в вершинную форму
как найти радикальную форму	добавление уравнений квадратного корня	чтение загруженного текста ti 89
решение задач по алгебре	Matlab решает уравнения	Бесплатная пробная версия Алгебратора
алгебра 2 элипс	Калькулятор дробей в радикальных уравнениях	может ли учитель дать мне свои записи по теории 9-12
кубики упрощения	задачи по математике для 11 класса	калькулятор для 11 класса математика
графический решатель нелинейных уравнений	скачать бесплатно для книги способностей	факторинг трехчленов онлайн
Алгебра Холта 1 Техасское издание для учителей pdf	бесплатных математических ресурса кс 3	современная абстрактная алгебра ответы
Решение алгебраических уравнений с несколькими переменными	добавление вычитания, умножение и деление дробей лист	Прентис холл Высшая математика Подход к предварительному исчислению математика помощь
решатель задач на деление десятичных дробей	переменная как показатель степени	программа c для невещественных корней квадратного уравнения
бесплатная математика для порядка операций	алгебра дроби радикал	комбинации Powerpoint и перестановки
редуцирующие радикалы на ti 84	как делать алгебру	листать страницы по алгебре 2 книга ответы
Калькулятор уравнений баланса	Алгебра с пиццей	Формула начисления процентов для чайников
запишите каждое десятичное число как дробь в простейшем калькуляторе формы	как рассчитать НОД	репетитор онлайн-решатель задач по алгебре
упростить уравнения в квадрате	для поиска простых чисел с помощью команд Linux	Стратегии умножения и деления чисел.
как решить квадратную формулу в калькуляторе TI-84 yahoo answer	Учебник по математике Ответы	нахождение общего знаменателя с тремя членами
математические неравенства для второго класса	решатель факторного уравнения	решение однородных дифференциалов второго порядка
Алгебра Холта 1 Техас	gre maths бесплатные вопросы о дробях и десятичных дробях	найти комплексные корни ti 89
найти область в квадратном уравнении	упрощение рациональных функций с помощью синтетического деления	Калькулятор уравнения факторизации
КАЛЬКУЛЯТОР УРАВНЕНИЙ БАЛАНСИРОВКИ	ti 89 титановые слайдеры Powerpoint с ручным управлением	бесплатных листа по алгебре для колледжа
сделай домашнее задание по алгебре бесплатно	листы ответов по математике Эддисона Уэсли	самый простой способ найти GCf расширенных номеров
Математика KS2	упрости дробь 49/36	упрощение идеального квадрата
упрощение алгебраических выражений	Макдугал Литтел Такс Практика	таблица функций, 3 класс, рабочие листы
Калькулятор уравнений балансировки	Расположите дробь в порядке от наименьшего к наибольшему	как решить поверхность клена
Практика GMAT	БЕСПЛАТНОЕ объяснение темы по математике на SAT	генератор неявного дифференцирования
скачать из путешествия	«Алгебра со словами» 6 класс	Флорида Издание для учителей алгебры pdf
пошаговый бесплатный онлайн интегральный калькулятор	квадратичная гипербола	решение математических задач (отрицательные показатели)
бесплатная распечатка GED по математике	алгебра, используемая в реальной жизни	скачать бесплатно тест на управленческие способности старые документы
ти-84 плюс графический калькулятор	упростить решатель радикалов	одновременное уравнение
вычисление корней + алгебра	добавление	Как мы используем квадратные уравнения
очень сложные вопросы по математике / шаблоны для печати	понимание рабочих листов по элементарной алгебре	помогите мне решить уравнение по алгебре бесплатно
Базовый английский + ответ на грамматику	бесплатные распечатки для работы во 2 классе	как рассчитать наклон линии в TI-83
TI 83- радикалы	ответ на кратное 6 класс по математике	для изучения химической формулы для тех, кто плохо учится
ПЛОЩАДЬ МАТЕМАТИКА	Планы уроков четвертого класса по квадратным числам	сат-репетиторы купертино
умножение ответов Rational Expressions	сочинить математическое стихотворение со словом упростить	Калькулятор и рациональные выражения
как факторизовать не квадратное уравнение	перестановки в реальной жизни	тетрадь с квадратными уравнениями
Рабочий лист с подстановкой	как построить график неравенства ti-84	решение системы уравнений с анализом реальной жизни
Рабочий лист умножения положительных и отрицательных чисел	Список математических мелочей	пинг-вер
рабочих листа со свободным соотношением	нужна бесплатная помощь, чтобы решить уравнения абсолютного значения	Алгебра факторинг ЖК рабочий лист
Макдугал Литтел учебное пособие по биологии	калькулятор вероятности зависимый	Предварительная алгебра Техаса, ответы Прентиса Холла
определение линейной независимости в дифференциальных уравнениях второго порядка	бесплатная алгебра среднего уровня	бесплатных печатных рабочих листа с наименьшим общим знаменателем
решетка Рабочий лист 4 класса	сверхсложные задачи по алгебре	ДИАГРАММА WWW. GRAHING . COM
Бесплатная распечатка по математике для 7-го класса	уравнения с процентами	вопросник с ответом
задачи по алгебре в колледже	как решить стандартную форму	ДОГАДКИ-VIII
вычитание многочленов	учебник геометрии ответ	Калькулятор переменного факторинга
учитель ансер книги гленко математика техас курс 2	Калькулятор наибольшего общего делителя	листы проверки сложения и вычитания версии
алгебра 2 комплексный подход глава 10 тест ответы	бесплатно 11+ тестовых работ онлайн	умножение многочленов в java
практических задач, как найти дыры в графике рациональных функций	Java-калькулятор Polygon Edge	Предварительная алгебра математики 3 класса
переписать ОДУ второго порядка в два ОДУ первого порядка — matlab	Калькулятор факторизации уравнений	Преобразовать в экспоненциальную форму и упростить.
Рабочий лист факторинговых неравенств	код на фортране для решения полинома	бесплатные рабочие листы по алгебре для колледжа
запись в вершинной форме	Математика	упрощение алгебраических выражений «объединение подобных терминов» удаление скобок
печатных рабочих листа экспоненты	чем отличается набор решений системы линейных уравнений от набора решений системы линейных неравенств?	gcse+алгебра+рабочие листы
Руководство по реальным и комплексным решениям для анализа rudin	решить биномиальные задачи с TI-83	умножение подкоренных выражений
Ti-30x IIs Калькулятор квадратичных формул инструкции	Контрольная по геометрии для 10 класса	простой вопрос о языковых навыках c с ответами
ПРЕОБРАЗОВАТЬ ЧИСЛО В ДЕСЯТИЧНОЕ	упростить решатель рациональных выражений	алгебра множественная простая
эквивалентные доалгебраические уравнения сложения	софт по алгебре для колледжа	самое сложное математическое уравнение в мире
ti 83 решить линейные уравнения	решение линейных уравнений на ти-83 плюс	бесплатно сдал мимо mcqs по физике
решать одновременные уравнения онлайн	уравнение кривой	основные понятия алгебры
«заметки о скалах» алгебра	с использованием распределительного свойства для дробей	Калькулятор тригонометрических подстановок
как складывать и вычитать подкоренные выражения на графическом калькуляторе?	Элементарная математика и комбинации	Умножение биномов с помощью листа алгебры
Калькулятор деления многочлена	т 89 калькулятор онлайн	БЕСПЛАТНЫЙ калькулятор булевой алгебры
стихотворения с математическими терминами	преобразовать сумму в интеграл	как складывать и вычитать проценты
алгебраический решатель с т-диаграммами и графиками	Java-программа для поиска корней полиномиальных уравнений	помощь по алгебре для чайников
рабочий лист с бесплатными сатами за 6 год	онлайн алгебраический решатель	помощь с домашним заданием по алгебре в колледже
практический тест дробей	формула для вычитания целых чисел	Макдугал Литтел — Радикалы геометрии
переписать деление как умножение	ti 84 программа упрощения радикальных уравнений	расчетное решение в заказанной паре
функция сложения и вычитания квадратного корня	более высокие термины и дроби и рабочий лист	умножение и деление рациональных показателей
рабочий лист Макдугала Литтелла 3. 3 понимание вероятности	как сдать алгебру	вычесть квадратные уравнения
как упростить корень	рабочие листы для 10 класса алгебраических выражений	рабочих листа по решению системы неравенств
Уроки 3 класса по сложению и вычитанию десятичных дробей	рабочих листа линейных уравнений бесплатно	бесплатное решение задач по алгебре
рабочих листа по делению дробей для пятого класса	Лист практических задач по физике	бесплатная интерактивная игра, решающая системы уравнений по дополнению
неравенства рабочий лист бесплатно	где взять scott foresman addison wesley онлайн тренировочные листы для 5-го класса	упрощение экспоненциальных значений
Математические уравнения	наибольший общий делитель, общий для чисел 10 и 40	разделительная алгебра
6 класс IOWA TEST практика	Бесплатные рабочие листы для квадратных и кубических чисел	рабочие листы систем линейных уравнений
лучшая книга по учету затрат	mcdougal littell курс три математических ответа	Саксонская алгебра 2 издание для учителей бесплатные решения
макдугал литтел алгебра 2 ответ	Алгебра 9 класс	решение одновременных уравнений с 3 неизвестными в Matlab
решить систему с помощью калькулятора подстановок	Программирование ti-84 для решения 2 из 3 переменных, заданных	список уравнений для GRE math
как решить уравнение по алгебре	как решать точные задачи квадратного уравнения для y-пересечения	вопросов по java aptitude
предварительная алгебра с рабочим листом	решение уравнений дробей умножить и разделить	решение систем с несколькими переменными на ti-89
отрицательное целое число и рабочий лист	вычисления определенного интеграла	калькулятор упрощения
онлайн Т-83 калькулятор	преобразование погонных метров	триггерная диаграмма
факторинг тик-так на	приложение уравнения баланса бесплатно	рабочих листа с переменными
как рассчитать биномиальные ошибки	алгебраическая формула для бензина и пробега	онлайн полиномиальный решатель
Алгебра 2 ответы	Каковы основные правила построения графика уравнения неравенства?	квадратный корень как дробь
формула параболы	sloveequation. com	определение термина интервальной преалгебры
факторинг калькулятор квадратных уравнений	дайте 5 примеров математических мелочей для элементарного	математическая графика свойство дистрибутива
c программа для недействительного квадратного уравнения	как решать логарифмы по математике	научное обозначение забавные мелочи
TI-83 Plus скачать +бесплатный калькулятор	учебник для первоклассников	в то время как цикл java делится на «11» «13»
формулы вероятности для excel	Калькулятор радикальных форм	алгебраизатор упрощающих показателей
Саксонская алгебра 1 математические листы	математика средней школы с блеском! книга c рабочий лист	лист вычитания положительных и отрицательных чисел
конвертировать из упрощенного в вершинный	неявное дифференцирование на ti 83	бесплатный репетитор по математике по вычитанию смешанных чисел в простейшей форме
выражения умножения	математическая индукция для чайников	сочетание математики в средней школе и перестановка
алгебра II упрощает ответы на вопросы	машина уравнений факторинга	рабочих листа с дробями и целыми числами
уроки квадратного корня — элементарно	факторинг полиномов 3-го порядка	Сложные проценты 8 класс математика

Как вычислить тригонометрические функции без калькулятора?

Тригонометрия известна как раздел математики, занимающийся определенными измерениями треугольных областей. Обычным применением тригонометрии является измерение сторон и углов треугольника. Для этого воспользуемся некоторыми тригонометрическими функциями острых углов. Эти функции определяются как определенные соотношения прямоугольного треугольника, содержащего угол. Значения тригонометрических отношений некоторых углов, называемых стандартными углами, можно получить геометрически. Эти углы равны 0°, 30° или π/6, 45° или π/4, 60° или π/3 и 90° или π/2.

Тригонометрические тождества     

В математике тригонометрические тождества — это равенства, включающие тригонометрические функции и истинные для каждого значения встречающихся переменных, определяемых каждой стороной равенства.

Идентичности кофункций 

• sin θ = cos(90° – θ)
• с θ = cosec(90° – θ)
• tan θ = cot(90° – θ)

Дополнительные тождества углов

• sin(π – θ) = sin θ.
• cos(π – θ) = -cos θ
• tan(π – θ) = – tan θ
• cosec(π – θ) = cosec θ
• sec(π – θ) = -sec θ
• cot (π – θ) = -cot θ

Значения тригонометрических отношений 45°.

Пусть ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник, в котором ∠ABC = 90° и AB = BC. Из геометрии ∠ABC = ∠BAC = 45°.

Если BC = k, то AB = k.

 ∴ AB ² + BC ² = AC ² (By Pythagoras Theorem)

∴ k ² + k ² = AC ² , or  AC ² =2k ² .

∴ AC = √2 k.

Теперь  sin 45° = sin C= p/h = AB/AC = k/√2 k = 1/√2 

cos 45° = cos C = b/h = BC/AC = k/√2 k = 1/√2 

tan 45°= tan C= p/b = AB/BC = k/ k = 1 

cosec, sec, cot, являющееся обратной величиной sin, cos, tan соответственно, будет иметь только обратную величину следующие значения cosec 45°= √2 ,

sec 45° = √2  и cot 45° = 1.

Значения тригонометрических отношений 30° и 60°

Пусть ABC — равносторонний треугольник, каждая сторона которого равна k. По геометрии каждый угол треугольника = 60°. Пусть AD⊥BC. Из геометрии AD делит пополам ∠BAC, а также сторону BC.

∴ ∠CAD = ∠BAD = 30° и CD = BD = k/2.

В прямоугольном △ADC,

AD ² + DC ² = AC ²

AD + k ² /2 = k ² ИЛИ AD = k ² – k ² /4 = 3k ² /4.

н.э. = √3k/2.

sin 30° = sin∠CAD = p/h = CD/AC = (k/2)/k = 1/2

cos 30° = cos∠CAD = b/h = AD/AC = (√3k /2)/k = √3/2

tan 30° = tan∠CAD = p/b = CD/AD = (k/2)/(√3k/2) = 1/√3

Как показано ранее , cosec 30°, sec 30°, cot 30°, обратные sin, cos, tan соответственно, будут иметь только обратные значения.

sin 60° = sin∠CAD = p/h = AD/AC = (√3k/2)/k = √3/2

cos 60° = cos∠CAD = b/h = CD/AC = (k/2)/k =1/2

tan 60° = tan∠CAD = p/b = AD/CD = (√3k /2)/(k/2) = √3

Кроме того, cosec 60°, sec 60°, cot 60°, обратные sin, cos, tan соответственно, будут иметь только обратные значения.

Значения тригонометрических отношений 0° и 90°

В прямоугольном треугольнике ни один из углов не может быть равен 0°, и не может быть другого угла, равного 90°. Как мы видели, треугольные отношения θ (когда 0° < θ < 90°) можно получить из их определения. Значения тригонометрических отношений получаются следующим образом.

sin 90°= 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, sec 0° = 1,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, cot 90° = 0, sec 90° = 1.

Другие тригонометрические соотношения 0° и 90° не определены.

Таблицы

У углы или Соотношения	0 ° 0057	30° or π/6	45° or π/4	60° or π/3	90° or π/2
sin	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos	1	√3/2	1/√2	1/2	0
TAN	0	1/√3	1	√3	Не определено
	не определено	2	7		2	.
сек	1	2/√3	√2	3	Not defined
cot	Not defined	√3	1	1/√3	0

Как вычислить тригонометрические функции без калькулятора?

Как известно, в тригонометрии есть четыре квадранта, причем в первом квадранте все положительные тригонометрические значения, во втором квадранте положительные только синус и cosec, в третьем квадранте положительны только tan и cot, а в четвертом один косинус и сек положительны. (Двигайтесь против часовой стрелки от правой верхней).

Приведенные выше тригонометрические соотношения стандартных величин, а также тригонометрические тождества помогут нам найти угол в тригонометрии без калькулятора. Если для определения задан sin 150°, мы можем написать или уточнить это как

Шаги

1. Упростить sin 150° до sin(90° + 60°).
2. Далее, мы можем сказать sin((1 × 90°) + 60°)
3. Теперь, когда у нас есть нечетный коэффициент 90°, sin изменится на cos.
4. Также покрывает 90° в первом квадранте и снова добавленные 60° ведут ко второму квадранту. Во втором квадранте мы знаем, что синус положительный.
5. Конечным результатом будет cos 60°.

Примечание Необходимо запомнить стандартные значения.

Примеры задач

Вопрос 1: Найдите тангенс 135° без использования калькулятора.

Решение:

tan 135° = tan(90° + 45°) = tan((1 × 90°) + 45°) = -cot 45° = -1.

Объяснение Как и здесь, присутствует нечетный коэффициент 90°, поэтому тангенс меняется на койку, а также оказывается во втором квадранте, где только синус и косинус положительны, а все остальные отрицательны. Отсюда результат tan 135° = – cot 45° = -1.

Запомните Если коэффициент 90° нечетный, то синус изменится на cos, tan изменится на cot, sec изменится на cosec. Если коэффициент 90° четный, функция остается такой, какая она есть, и в зависимости от квадранта появляется знак (+ или -).

Другой способ решения, зная формулы сложения и вычитания тождеств, таких как sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)  и cos(x + y) ) = cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y).

Вопрос 2: Найдите cos 330°.

Решение:

cos(270° + 60°) = (cos 270° × cos 60°) – (sin 270°× sin 60°) = {cos(90° × 3) × 1/ 2} – {sin(90° × 3) × √3/2}

= (-sin 0° × 1/2) – (-cos 0°× √3/2) = 0 + √3/2 = √3/2 = 0,866

Вопрос 3: Найдите сек 120°.

Решение:

сек 120° = сек(90° + 30°) = -косек 30° = -2.

Объяснение Здесь присутствует нечетный коэффициент 90°, поэтому sec меняется на cosec, а также оказывается во втором квадранте, где только синус и cosec положительны, а все остальные отрицательны. Следовательно, -cosec 30° получается.

Вопрос 4: Найдите sin 390°.

Решение:

sin 390° = sin(4 × 90° + 30°) = -sin 30° = -1/2 = -0,5 .

Объяснение Здесь присутствует даже коэффициент 90°, поэтому грех остается таким, какой он есть, и он оказывается в четвертом квадранте, где только sec и cos положительные, а все остальные отрицательные. Отсюда получаем -sin 30°.

Вопрос 5: Найти раскладушку 150°.

Решение:

кроватка 150° = кроватка(2 × 90° – 30°) = -кроватка 30° = -√3.

Объяснение Здесь присутствует даже коэффициент 90°, поэтому кроватка остается такой, какая она есть, и оказывается во втором квадранте, где только sin и cosec положительны, а все остальные отрицательны. Отсюда получаем -cot 30°.

Упрощение обратных тригонометрических функций

Как упростить выражения, включая обратные тригонометрические функции для 12 класса по математике. Также включены вопросы с подробными решениями.

Вопрос 1

Упростите выражения:
а) sin(arcsin(x)) и arcsin(sin(x))
b) cos(arccos(x)) и arccos(cos(x))
c) tan(arctan(x)) и arctan(tan(x))
Решение
а) sin и arcsin обратны друг другу, поэтому свойства обратных функций можно использовать для записи
sin(arcsin(x)) = x , для -1 ≤ x ≤ 1
arcsin(sin(x)) = x, для x ∈ [-π/2, π/2]
ПРИМЕЧАНИЕ. Если x в arcsin(sin(x)) не находится в интервале [-π/2 , π/2], найдите θ в интервале [-π/2 , π/2] такое, что sin(x) = sin(θ), а затем упростить arcsin(sin(x)) = θ
б) cos и arccos являются обратными друг другу, и поэтому свойства обратных функций могут быть использованы для записи
cos(arccos(x)) = x , для -1 ≤ x ≤ 1
arccos(cos(x)) = x, для x ∈ [0, π]
ПРИМЕЧАНИЕ. Если x в arccos(cos(x)) не находится в интервале [0/2 , π], найдите θ в интервале [0 , π] такое, что cos(x) = cos(θ), а затем упростите arccos(cos(x)) = θ
c) tan и arctan являются обратными друг другу, поэтому свойства обратных функций можно использовать для записи
тангенс (арктангенс (х)) = х
arctan(tan(x)) = x, для x ∈ (-π/2, π/2)
ПРИМЕЧАНИЕ. Если x в arctan(tan(x)) не находится в интервале (-π/2 , π/2), найдите θ в интервале (-π/2 , π/2) такое, что tan(x) = tan(θ), а затем упростить arctan(tan(x)) = θ


Вопрос 2

Выразите следующее в виде алгебраических выражений:
sin(arccos(x)) и tan(arccos(x))
Решение
Пусть A = arccos(x). Следовательно
cos(A) = cos(arccos(x)) = x
Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким, что cos(A) = x (или x / 1), найдите второй катет и вычислите sin(A) и tan(A)

sin(arccos(x)) = sin(A) = √(1 — x ² ) / 1 = √(1 — x ² )     для x ∈ [-1, 1]
tan(arccos(x)) = tan(A) = √(1 — x ² ) / x     для x ∈ [-1 , 0) ∪ (0 , 1]

Вопрос 3

Выразите следующее в виде алгебраических выражений:
cos(arcsin(x)) и tan(arcsin(x))
Решение
Пусть A = arcsin(x). Следовательно
sin(A) = sin(arcsin(x)) = x
Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким, что sin(A) = x (или x / 1), найдите второй катет и вычислите cos(A) и tan(A)

.


cos(arcsin(x)) = cos(A) = √(1 — x ² ) / 1 = √(1 — x ² )     для x ∈ [-1, 1]
tan(arcsin(x)) = tan(A) = x / √(1 — x ² )     для x ∈ (-1, 1)

Вопрос 4

Выразите следующее в виде алгебраических выражений:
sin(arctan(x)) и cos(arctan(x))
Решение
Пусть A = arctan(x). Следовательно
тангенс (А) = тангенс (арктангенс (х)) = х
Используйте прямоугольный треугольник с углом A таким, что tan(A) = x (или x / 1), найдите гипотенузу и вычислите sin(A) и cos(A)

.


sin(arctan(x)) = sin(A) = x / √(1 + x ² )
cos(arctan(x)) = cos(A) = 1 / √(1 + x ² )

Вопрос 5

Упростите следующие выражения:
а) arccos(0) , arcsin(-1) , arctan(-1)
b) sin(arcsin(-1/2)) , arccos(cos(π/2)) , arccos(cos(-π/2))
c) cos(arcsin(-1/2)) , arcsin(sin(π/3)) , arcsin(tan(3π/4))
d) arccos(tan(7π/4)) , arcsin(sin(13π/3)) , arctan(tan(-17π/4)) , arcsin(sin(9π/5))
Решение
а) Используйте определение.
arccos(0) = π/2, поскольку cos(π/2) = 0, а π/2 находится в пределах диапазона arccos, который равен [0 , π]
arcsin(-1) = -π/2, потому что sin(-π/2) = -1 и -π/2 находится в пределах диапазона arcsin, который равен [-π/2 , π/2]
arctan(-1) = -π/4, потому что tan(-π/4) = -1 и -π/4 находится в пределах диапазона arctan, который равен (-π/2 , π/2)
b) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения.
sin(arcsin(-1/2)) = sin(-π/6) = -1/2
arccos(cos(π/2)) = arccos(0) = π/2
arccos(cos(-π/2)) = arccos(0) = π/2
c) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения.
cos(arcsin(-1/2)) = cos(-π/6) = √3/2
arcsin(sin(π/3)) = arcsin(√3/2) = π/3
arcsin(tan(3π/4)) = arcsin(-1) = -π/2
d) Упростите внутренние функции, а затем внешние функции, используя определения.
arccos(tan(7π/4)) = arccos(-1) = π
arcsin(sin(13π/3)) = arcsin(sin(4π + π/3)) = arcsin(sin(π/3)) = π/3
arctan(tan(- 17π/4)) = arctan(tan(- 4π-π/4)) = arctan(tan(- π/4)) = — π/4
угловой синус (грех (9)π/5)) = arcsin(sin(2π — π/5)) = arcsin(sin(- π/5)) = — π/5

Вопрос 6

Пусть A = arcsin(2/3) и B = arccos(-1/2). Найдите точное значение sin(A + B).
Решение
Используйте отступ sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), чтобы расширить данное выражение.
sin(A + B) = sin(arcsin(2/3))cos(arccos(-1/2)) + cos(arcsin(2/3))sin(arccos(-1/2))
Используйте приведенные выше отступы, чтобы упростить каждый член в приведенном выше выражении.
грех (угловой грех (2/3)) = 2/3 (мы использовали sin(arcsin(x)) = x))
cos(arccos(-1/2)) = -1/2 (мы использовали cos(arccos(x)) = x))
cos(arcsin(2/3)) = √(1 — (2/3) ² ) = √5/3 (мы использовали cos(arcsin(x)) = √(1 — x ² ))
sin(arccos(-1/2)) = √(1 — (- 1/2) ² ) = √3/2 (мы использовали sin(arccos(x)) = √(1 — x ² )) Подставить и рассчитать.
sin(A + B) = (2/3)(-1/2)+(√5/3)(√3/2) = -1/3 + √(15)/6

Вопрос 7

Запишите Y = sin(2 arcsin(x)) как алгебраическое выражение.
Решение
Пусть A = arcsin(x). Следовательно, Y можно записать как
Y = sin (2 А)
Используйте тождество sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A), чтобы переписать Y следующим образом:
Y = 2 sin (A) cos(A) = 2 sin(arcsin(x)) cos(arcsin(x))
Используйте тождества sin(arcsin(x)) = x и cos(arcsin(x)) = √(1-x ² ), чтобы переписать Y следующим образом:
Y = 2 х √(1 — х ² )

Вопрос 8

Найдите точное значение Y = sin(2 arctan(3/4)).
Решение
Пусть A = arctan(3/4). Следовательно, Y можно записать как
Y = sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A)
sin(A) = sin(arctan(3/4)) = (3/4) / √(1 + (3/4) ² ) = 3/5
cos(A) = cos(arctan(3/4)) = 1/√(1 + (3/4) ² ) = 4/5
Y = 2 (3/5)(4/5) = 24/25

Дополнительные ссылки

Обратные тригонометрические функции
Решение вопросов об обратных тригонометрических функциях
Математика средней школы (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами 9) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами

сообщите об этом объявлении

MYP 10–2 класс Алгебра II и тригонометр с отличием Математика – Международный бакалавриат – Школа будущего

Теорема Теорема Теорема Теорема

1	Самооценка	Самооценка — MYP 10–2 классы по алгебре II и Trig Hons
Цель: Оценка
2	Тригонометрические соотношения	Использование тригонометрических соотношений для нахождения неизвестной длины. [Случай 1 Синус].
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать отношение синуса для расчета длин и расстояний.
3	Тригонометрические соотношения	Использование тригонометрических соотношений для нахождения неизвестной длины. [Случай 2 Косинус].
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать отношение косинуса, чтобы найти длину прилежащей стороны прямоугольного треугольника.
4	Тригонометрические соотношения	Использование тригонометрических соотношений для нахождения неизвестной длины. [Случай 3 Тангенциальное отношение].
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать отношение тангенса для вычисления длины противоположной стороны в прямоугольном треугольнике.
5	Тригонометрические соотношения	Неизвестно в знаменателе. [Случай 4].
Цель: По завершении урока учащийся поймет, как использовать тригонометрические отношения для вычисления длин и расстояний, когда знаменатель неизвестен.
6	Тригонометрия-практическая	Тригонометрические соотношения в практических ситуациях.
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать тригонометрические соотношения для решения задач, связанных с азимутом по компасу и углами наклона и возвышения.
7	Тригонометрические соотношения	Использование калькулятора для нахождения угла по заданному тригонометрическому соотношению.
Цель: По завершении урока учащийся сможет с помощью калькулятора найти значение неизвестного угла по заданному тригонометрическому соотношению.
8	Тригонометрические соотношения	Использование тригонометрических соотношений для нахождения угла в прямоугольном треугольнике.
Цель: По завершении урока учащийся сможет найти величину неизвестного угла в прямоугольном треугольнике, зная длины двух сторон.
9	Правило тригонометрии-косинуса	Правило косинуса для нахождения неизвестного угла. [Случай 2 ССС].
Цель: По завершении урока учащийся сможет найти величину неизвестного угла треугольника, используя правило косинуса, зная длины трех сторон.
10	Тригонометрия-правило синусов	Правило синусов для нахождения неизвестной стороны. Случай 1.
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать правило синусов, чтобы найти длину определенной стороны, когда учащемуся даны размеры двух углов и одной из сторон.
11	Тригонометрия-правило синусов	Правило синусов для нахождения неизвестного угла. Случай 2.
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать правило синусов для нахождения неизвестного угла по двум сторонам и углу, не заключенному между ними.
12	Тригонометрические области	Формула площади
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать формулу синуса для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
13	Теория чисел – наборы	Числовые наборы и их элементы
Цель: По завершении урока учащийся поймет обозначения, используемые с множествами и подмножествами в системе действительных чисел.
14	Теория чисел – операции	Свойства действительных чисел с использованием сложения и умножения
Цель: По окончании урока учащийся будет знать и использовать свойства замыкания, тождества, коммутативности, ассоциативности, тождества и распределения для сложения и умножения.
15	Теория чисел – уравнения	Преобразования, которые производят эквивалентные уравнения
Цель: По окончании урока учащийся будет знать и использовать правильные термины для описания процессов при решении уравнений.
16	Дроби	Вычитание дробей из целых чисел
Цель: По окончании урока учащийся сможет: использовать диаграмму для вычитания дробей из целых чисел, развивать умственные стратегии вычитания дробей из целых чисел, а также распознавать и использовать письменную форму для вычитания дробей из 9.0057
17	Дроби	Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Цель: По окончании урока учащийся сможет складывать и вычитать дроби с одинаковым знаменателем.
18	Дроби	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Цель: По завершении урока учащийся сможет складывать и вычитать дроби, у которых один знаменатель кратен другому.
19	Дроби	Умножение дробей на целые числа
Цель: По окончании урока учащийся сможет умножать простые дроби на целые числа.
20	Дроби	Доли целых чисел
Цель: По завершении урока учащийся сможет вычислять доли единиц коллекции.
21	Дроби	Умножение дробей
Цель: По окончании урока учащийся сможет умножать дроби и приводить ответ к наименьшей форме.
22	Дроби	Умножение смешанных чисел (смешанных числительных)
Цель: По окончании урока учащийся сможет умножать смешанные числа (смешанные числительные) и приводить ответ к наименьшей форме.
23	Дроби	Нахождение обратных дробей и смешанных чисел (смешанных числительных)
Цель: По окончании урока учащийся сможет находить обратные дроби и смешанные числа (смешанные числительные).
24	Дроби	Деление дробей
Цель: По окончании урока учащийся сможет делить дроби.
25	Дроби	Деление смешанных чисел (смешанных числительных)
Цель: По окончании урока учащийся сможет делить смешанные числа (смешанные числительные).
26	Свойства правил	Использование процедур порядка работы (BIDMAS) с дробями
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как применять правила порядка действий для упрощения выражений с целыми числами и дробями.
27	Проценты	Вычисление процентов и долей величин
Цель: Находить проценты и доли величин и решать задачи с процентами
28	Проценты	Введение в проценты, включая связь обыкновенных дробей с процентами
Цель: По завершении урока учащийся сможет понять, что символ % означает «процент», и связать обыкновенные дроби с процентами.
29	Проценты	Преобразование дробей и десятичных знаков в проценты с использованием десятых и сотых долей
Цель: По завершении урока учащийся сможет преобразовывать простые дроби в проценты и десятичные дроби в проценты, используя преобразование разряда.
30	Проценты	Преобразование процентов в дроби и десятичные числа
Цель: По окончании урока учащийся сможет заменять проценты дробями и знать, как заменять проценты десятичными дробями.
31	Проценты	Одна величина в процентах от другой
Цель: По окончании урока учащийся сможет найти процентное соотношение количества и как выразить одно количество в процентах от другого.
32	Сурдс	Введение сурдов
Цель: По завершении урока учащийся сможет определять и знать свойства сурдов как иррациональных чисел и сможет отличать их от рациональных чисел.
33	Сурдс	Некоторые правила работы с сурдами
Цель: По завершении урока учащийся будет знать, как использовать правила деления и умножения сурдов.
34	Сурдс	Упрощение сурдов
Цель: По завершении урока учащийся будет знать, как использовать правила упрощения слов с помощью деления и умножения.
35	Сурдс	Создание целых сурдов
Цель: По завершении урока учащийся сможет записывать числа целыми сурдами и сравнивать числа, записывая их целыми сурдами
36	Сурдс	Сложение и вычитание, как сурд
Цель: По завершении урока учащийся сможет складывать и вычитать сурды и упрощать выражения, собирая одинаковые сурды.
37	Сурдс	Вспенивающиеся сурды
Цель: По завершении урока учащийся сможет расширять, а затем упрощать биномиальные выражения, включающие сурды.
38	Алгебраические уравнения	Решение уравнений, содержащих сложение и вычитание
Цель: По завершении урока учащийся поймет, как решать простые уравнения на сложение и вычитание, перемещая все, кроме прочислительного, в одну часть уравнения, оставляя само числительное в другой.
39	Алгебраические уравнения	Решение уравнений, содержащих умножение и деление
Цель: По окончании урока учащийся сможет решать простые уравнения, включающие все действия.
40	Алгебраические уравнения	Решение двухшаговых уравнений
Цель: По завершении урока учащийся сможет решать двухшаговые уравнения.
41	Алгебраические уравнения	Решение уравнений, содержащих биномиальные выражения
Цель: По завершении урока учащийся сможет переставлять члены в биномиальных уравнениях.
42	Алгебраические уравнения	Уравнения с группировкой символов.
Цель: По окончании урока учащийся сможет решать уравнения, используя символы группировки
43	Алгебраические уравнения	Уравнения с дробями.
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как решать уравнения с дробями.
44	Алгебра- формулы	Уравнения, полученные в результате подстановки в формулы.
Цель: По окончании урока учащийся сможет подставлять в формулы и затем решать полученные уравнения.
45	Алгебра- формулы	Изменение темы формулы.
Цель: По завершении урока учащийся сможет перемещать прочислительные в уравнении, используя все правила и операции, рассмотренные ранее.
46	Алгебра-неравенства	Решение неравенств.
Цель: По окончании урока учащийся будет понимать знаки «больше» и «меньше», а также сможет выполнять простые неравенства.
47	Алгебра-факторизация	Упрощение простых алгебраических дробей.
Цель: По завершении урока учащийся поймет, как упростить алгебраические дроби путем разложения на множители.
48	Алгебраические дроби	Упрощение алгебраических дробей с помощью индексных законов.
Цель: По завершении урока учащийся сможет упростить большинство алгебраических дробей, используя различные методики.
49	Алгебра-отрицательные индексы	Алгебраические дроби, приводящие к отрицательным индексам.
Цель: По окончании урока учащийся сможет понять, как упростить алгебраическое дробное выражение с отрицательным индексом, а также как написать такое выражение без отрицательного индекса.
50	Факторизация	Факторизация алгебраических дробей, включая двучлены.
Цель: По завершении урока учащийся должен уметь упрощать более сложные алгебраические дроби, используя различные методы.
51	Алгебраические дроби-биномиальные	Отмена биномиальных множителей в алгебраических дробях.
Цель: По завершении урока учащийся должен уметь разлагать двучлены на множители, чтобы упростить дроби.
52	Абсолютное значение или модуль	Упрощение абсолютных значений
Цель: По завершении урока учащийся сможет упростить выражения, включающие абсолютные значения или модули действительных чисел.
53	Абсолютное значение или модуль	Решение для переменной
Цель: По завершении урока учащийся сможет решать уравнения, содержащие одну абсолютную величину.
54	Абсолютное значение или модуль	Решение и графическое отображение неравенств
Цель: По окончании урока учащийся сможет решать неравенства с одним абсолютным значением.
55	Алгебра-наивысший общий делитель	Наибольший общий делитель.
Цель: По завершении урока учащийся будет способен преобразовать простое алгебраическое выражение в произведение множителя в скобках и определить старшие общие множители всего выражения.
56	Факторы по группировке	Факторы по группировке.
Цель: По завершении урока учащийся сможет завершить процесс, учитывая всего два фактора для всего выражения.
57	Разность 2 квадратов	Разность двух квадратов
Цель: По окончании урока учащийся поймет различие двух квадратов и будет способен распознавать факторы.
58	Общий факт и разница	Общий множитель и разность двух квадратов
Цель: По завершении урока учащийся будет знать общие множители и различать два квадрата.
59	Квадратные трехчлены	Квадратные трехчлены [монические] – Случай 1.
Цель: По завершении урока учащийся поймет факторизацию квадратных трехчленных уравнений со всеми положительными членами.
60	Факторизация квадроциклов	Разложение на множители квадратных трехчленов [моничного] – Случай 2.
Цель: По завершении урока учащийся будет точно определять процесс, если средний член квадратного трехчлена отрицателен.
61	Факторизация квадроциклов	Разложение на множители квадратных трехчленов [моничного] – Случай 3.
Цель: По завершении урока учащиеся будут иметь более глубокие знания о разложении на множители квадратных трехчленов и поймут, где 2-й член положительный, а 3-й член отрицательный.
62	Факторизация квадроциклов	Разложение на множители квадратных трехчленов [моничного] – Случай 4.
Цель: По завершении урока учащийся поймет, как разложить на множители все возможные типы условных квадратных трехчленов и, в частности, где 2-й и 3-й члены отрицательны.
63	Факторизация квадроциклов	Факторизация немонических квадратных трехчленов
Цель: По завершении урока учащийся будет способен разлагать на множители любой квадратный трехчлен.
64	Факторизация квадроциклов	Факторизация немонических квадратных трехчленов – метод Луны
Цель: По окончании урока учащийся должен знать два метода факторизации квадратных трехчленов, в том числе перекрестный метод.
65	Сумма/разность 2 куба	Сумма и разность двух кубов.
Цель: По завершении урока учащийся будет знать сумму и разность двух кубов и сможет их разложить на множители.
66	Алгебраические дроби	Упрощение алгебраических дробей.
Цель: По завершении урока учащийся должен быть знаком со всеми представленными на данный момент методами факторизации.
67	Квадратные уравнения	Введение в квадратные уравнения.
Цель: По окончании урока учащийся будет понимать простые квадратные уравнения.
68	Квадратные уравнения	Квадратные уравнения с факторизацией.
Цель: По завершении урока учащийся сможет найти оба корня квадратного уравнения путем разложения на множители.
69	Квадратные уравнения	Решение квадратных уравнений.
Цель: По завершении урока учащийся будет более уверенно работать с квадратными уравнениями.
70	Квадратные уравнения	Завершение квадрата
Цель: По завершении урока учащийся поймет процесс заполнения квадрата.
71	Квадратные уравнения	Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
Цель: По завершении урока учащийся поймет смысл заполнения квадрата.
72	Квадратные уравнения	Квадратичная формула
Цель: По окончании урока учащийся будет знаком с формулой квадрата.
73	Квадратные уравнения	Решение задач с квадратными уравнениями
Цель: По завершении урока учащийся сможет представить задачу в виде квадратного уравнения, а затем решить ее.
74	Квадратные уравнения	Графическое решение одновременных квадратных уравнений
Цель: По окончании урока учащийся лучше поймет, почему квадратные уравнения имеют два решения, и сможет графически решать квадратные уравнения и задачи.
75	Алгебра-многочлены	Введение в многочлены
Цель: По завершении урока учащийся поймет всю терминологию, связанную с полиномами, и сможет судить, является ли какое-либо алгебраическое выражение полиномом или нет.
76	Алгебра-многочлены	Сумма, разность и произведение двух многочленов.
Цель: По окончании урока учащийся сможет складывать многочлены вычитания и умножения и находить степени ответов.
77	Правила индексов/экспонент	Добавление индексов при умножении терминов с одинаковым основанием
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как пользоваться индексным законом сложения степеней при умножении членов с одинаковым основанием.
78	Правила индексов/экспонент	Вычитание индексов при делении терминов с одинаковым основанием
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как пользоваться индексным законом вычитания степеней при делении членов с одинаковым основанием.
79	Правила индексов/экспонент	Умножение индексов при возведении степени в степень
Цель: По окончании урока учащийся будет использовать закон умножения показателей при возведении степени в степень.
80	Правила индексов/экспонент	Умножение индексов при возведении более чем в один член
Цель: По окончании урока учащийся сможет использовать закон умножения показателей при возведении более одного члена в одну и ту же степень.
81	Правила индексов/экспонент	Члены, возведенные в нулевую степень
Цель: По завершении урока учащийся научится оценивать или упрощать термины, возведенные в нулевую степень.
82	Правила индексов/экспонент	Отрицательные индексы
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как вычислять или упрощать выражения, содержащие отрицательные индексы.
83	Дробные индексы/показатели	Дробные индексы
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как оценивать или упрощать выражения, содержащие дробные числа.
84	Дробные индексы/показатели	Сложные дроби как индексы
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как оценивать или упрощать выражения, содержащие сложные дробные индексы.
85	Графические многочлены	График сложных полиномов: квадратичные уравнения без действительных корней
Цель: По завершении урока учащийся сможет определить, имеет ли квадратное число действительные или комплексные корни, а затем изобразить его на графике.
86	Графические многочлены	Общее уравнение окружности: определите и начертите уравнение
Цель: По завершении урока учащийся сможет решать эти типы задач. Работа с кругами также поможет ученику в теме геометрии круга, которая проверяет навыки ученика в логике и рассуждениях.
87	Графические кубические кривые	Графики кубических кривых
Цель: По завершении этого урока учащийся сможет построить график кубика, зная его уравнение, или вывести уравнение куба, зная его график или другую соответствующую информацию.
88	Уравнения абсолютного значения	Уравнения абсолютного значения
Цель: По завершении этого урока учащийся сможет обращаться к графикам, включающим функцию абсолютного значения. Учащийся будет способен построить график функции по заданному уравнению и сможет найти пересечение функции абсолютного значения
89	Прямоугольная гипербола	Прямоугольная гипербола.
Цель: По завершении урока учащийся сможет анализировать и изображать прямоугольную гиперболу, а также описывать ее важные свойства.
90	Экспоненциальная функция	Экспоненциальная функция.
Цель: По завершении урока учащийся сможет построить график любого уравнения в форме y равно a в степени x, где a — любое положительное действительное число, кроме 1.
91	Функции журнала	Логарифмические функции.
Цель: По завершении этого урока учащийся сможет определять основные логарифмические функции и описывать взаимосвязь между логарифмами и показателями, включая графики логарифмических функций. Учащийся поймет связь между логарифмом
92	Функции	Определение, домен и диапазон
Цель: По завершении этого урока учащийся сможет выбирать функции из отношений, обращаясь к домену и диапазону.
93	Функции	Обозначения и оценки
Цель: По завершении урока учащийся будет понимать различные обозначения функций.
94	Функции	Подробнее о домене и диапазоне
Цель: По завершении урока учащийся сможет описать домен и диапазон, используя соответствующие обозначения набора.
95	Функции	Домен и диапазон графических представлений
Цель: По завершении урока учащийся сможет описать предметную область и диапазон, используя соответствующие наборы обозначений из графических представлений.
96	Функции	Вычисление и построение графика кусочных функций
Цель: По завершении урока учащийся сможет оценивать и строить графики кусочных функций.
97	Функции	Комбинации функций
Цель: По окончании урока учащийся сможет выполнять операции с функциями, работая со своими предметными областями.
98	Функции	Состав функций
Цель: По окончании урока учащийся будет понимать состав функций или функцию функции.
99	Функции	Обратные функции
Цель: По завершении урока учащийся сможет находить обратные функции, правильно использовать обозначения и использовать тест горизонтальной линии.
100	Круговая геометрия	Теорема. Равные дуги на окружностях одинакового радиуса стягивают равные углы в центре. Теорема – Равные углы в центре окружности на равных дугах.
Цель: По завершении урока учащийся сможет доказать, что «Равные дуги на окружностях одинакового радиуса опираются на равные углы в центре» и что «Равные углы в центре окружности опираются на равные дуги». ‘ Затем они должны иметь возможность использовать эти pro
101	Круговая геометрия	. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит хорду пополам. Теорема – Прямая из центра окружности к середине хорды перпендикулярна хорде.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что «Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит хорду пополам» и обратную теорему к ней «Прямая из центра окружности к середина хорды перпендикулярна’
102	Круговая геометрия	Теорема. Равные хорды равных окружностей равноудалены от центров. Теорема – Хорды ​​окружности, равноудаленные от центра, равны.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что равные хорды равных окружностей равноудалены от центра.
103	Круговая геометрия	. Угол при центре окружности вдвое больше угла при окружности, лежащей на той же дуге.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что угол в центре круга в два раза больше угла на окружности, стоящей на той же дуге.
104	Круговая геометрия	Теорема – Углы на одном и том же отрезке окружности равны.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что углы на одном и том же отрезке равны.
105	Круговая геометрия	Теорема – Угол полуокружности прямой.
Цель: По завершении урока учащийся сможет доказать, что «Угол полуокружности является прямым углом».
106	Круговая геометрия	Теорема – Противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.
107	Круговая геометрия	Теорема – Внешний угол при вершине вписанного четырехугольника равен внутреннему противолежащему углу.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что внешний угол при вершине вписанного четырехугольника равен внутреннему противоположному.
108	Круговая геометрия	. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к ней в точке касания.
Цель: По завершении урока учащийся сможет доказать, что касательная и радиус окружности перпендикулярны в точке касания.
109	Круговая геометрия	Теорема – Касательные к окружности из внешней точки равны.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что касательные к окружности из внешней точки равны.
110	Круговая геометрия	. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен углу на альтернативном отрезке.
Цель: По окончании урока учащийся сможет доказать, что угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен углу на альтернативном отрезке.
111	Тригонометрия — точные соотношения	Тригонометрические соотношения 30., 45. и 60. – точные соотношения.
Цель: По окончании урока учащийся сможет найти точные соотношения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60.
112	Правило тригонометрии-косинуса	Правило косинуса для нахождения неизвестной стороны. [Случай 1 САС].
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать теорему косинусов, чтобы найти длину неизвестной стороны треугольника, зная 2 стороны и угол между ними.
113	Триггер-обратные отношения	Взаимные соотношения.
Цель: По завершении урока учащийся сможет определять и использовать обратные тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса, т. е. косеканс, секанс и котангенс.
114	Триггерные комплементарные углы	Дополнительные результаты углов.
Цель: По завершении урока учащийся поймет, как получить результаты дополнительных углов для отношений синуса и косинуса, а затем как использовать эти результаты для решения триггерных уравнений.
115	Триггерные идентификаторы	Тригонометрические тождества
Цель: По окончании урока учащийся сможет упрощать тригонометрические выражения и решать уравнения тригонометрии, используя знания о тригонометрических тождествах.
116	Срабатывание по большим углам	Углы любой величины
Цель: По окончании урока учащийся сможет находить тригонометрические значения углов любой величины, сопоставляя углы с четырьмя квадрантами окружности.
117	Срабатывание по большим углам	Тригонометрические соотношения 0°, 90°, 180°, 270° и 360°
Цель: По завершении урока учащийся научится находить тригонометрические отношения 0, 9.0, 180, 270 и 360 градусов.
118	График синуса	График тригонометрических соотношений – I Синусоида.
Цель: По завершении урока учащийся распознает и нарисует синусоидальную кривую, исследуя изменения амплитуды и периода.
119	График косинуса	Графики тригонометрических соотношений – II Косинусоидальная кривая.
Цель: По завершении урока учащийся будет знать, как распознавать и рисовать косинусную кривую, исследуя изменения амплитуды и периода.
120	График кривой загара	Графики тригонометрических соотношений – III Касательная кривая.
Цель: По завершении урока учащийся будет знать, как распознавать и рисовать кривую загара.
121	График обратных величин	Графики тригонометрических соотношений – IV Соотношения обратные.
Цель: По окончании урока учащийся будет знать, как распознавать и рисовать кривые обратных отношений: cosec, sec и cot.
122	Срабатывание по большим углам	Использование одного коэффициента для нахождения другого.
Цель: По завершении урока учащийся будет находить другие коэффициенты триггера при заданном коэффициенте триггера и работать с углами любой величины.
123	Триггерные уравнения	Решение тригонометрических уравнений – Тип I.
Цель: По завершении урока учащийся будет решать простые тригонометрические уравнения с ограниченными областями.
124	Статистика	Таблица распределения частот
Цель: По завершении урока учащийся сможет составить таблицу частотного распределения необработанных данных и интерпретировать ее.
125	Статистика	Частотные гистограммы и полигоны
Цель: По завершении урока учащийся сможет строить и интерпретировать частотные гистограммы и полигоны.
126	Статистика	Относительная частота
Цель: По завершении урока учащийся сможет собирать, отображать и делать выводы о данных.
127	Статистика	Ассортимент.
Цель: По завершении урока учащийся сможет определить диапазон данных либо в необработанном виде, либо в таблице частотного распределения.
128	Статистическая вероятность	Режим
Цель: По завершении урока учащийся поймет, как находить моду по необработанным данным, таблице частотного распределения и полигону.
129	Статистическая вероятность	Среднее
Цель: По завершении урока учащийся сможет вычислять средние значения из необработанных данных и из таблицы частот, используя столбец fx.
130	Статистическая вероятность	Медиана
Цель: По завершении урока учащийся сможет определить медиану набора необработанных баллов
131	Статистическая вероятность	Суммарная частота
Цель: По завершении урока учащийся сможет строить столбцы кумулятивных частот, гистограммы и полигоны.
132	Статистическая вероятность	Расчет медианы по частотному распределению
Цель: По завершении урока учащийся сможет определить медиану из кумулятивного многоугольника частот.
133	Статистическая вероятность	Вероятность простых событий
Цель: По завершении урока учащийся сможет понять вероятность простых событий.
134	Статистическая вероятность	Бросание пары игральных костей
Цель: По завершении урока учащийся сможет определить вероятность определенных результатов при одновременном броске двух игральных костей.
135	Статистическая вероятность	Экспериментальная вероятность
Цель: По завершении этого урока учащийся сможет найти вероятности в экспериментальном испытании.
136	Статистическая вероятность	Древовидные диаграммы – не зависящие от предыдущих результатов
Цель: По завершении урока учащийся будет уверенно рисовать древовидные диаграммы для перечисления результатов многоэтапной вероятностной задачи, а затем находить вероятности определенных событий, не зависящие от предыдущих результатов.
137	Статистическая вероятность	Древовидные диаграммы – в зависимости от предыдущих результатов
Цель: По завершении урока учащийся будет уверенно рисовать древовидные диаграммы для перечисления результатов других многоэтапных вероятностных задач, а затем находить вероятности определенных событий в зависимости от предыдущих результатов.
138	Статистическая вероятность	Дополнительный результат ..
Цель: По завершении урока учащийся сможет определить вероятность определенных результатов, связанных с дополнительным событием.
139	Статистическая вероятность	P[A or B] Когда A и B являются взаимоисключающими и НЕ взаимоисключающими
Цель: По завершении этого урока учащийся сможет различать взаимоисключающие и не взаимоисключающие события и сможет найти вероятности обоих.
140	Статистическая вероятность	Биномиальная теорема – Треугольник Паскаля
Цель: По завершении этого урока учащийся будет использовать треугольник Паскаля и биномиальную теорему для записи разложения биномиальных выражений, возведенных в целые степени.
141	Последовательности и серии	Общие последовательности.
Цель: По завершении урока учащийся сможет составить формулу из заданного числового шаблона, а затем сможет найти отдельные члены этой последовательности, используя формулу.
142	Последовательности и серии	Нахождение Tn по заданному Sn.
Цель: По завершении урока учащийся поймет, что сумма n членов ряда минус сумма n минус один членов дает n-й член.
143	Арифметическая прогрессия	Арифметическая прогрессия
Цель: По завершении урока учащийся сможет проверить, является ли данная последовательность арифметической прогрессией, и сможет найти формулу для n-го члена, найти любой член в АП и решить задачи, связанные с эти понятия.
144	Арифметическая прогрессия	Поиск позиции термина в AP
Цель: По окончании урока учащийся сможет решить множество задач на нахождение членов арифметической прогрессии.
145	Арифметическая прогрессия	Даны два члена A.P., найдите последовательность.
Цель: По окончании урока учащийся сможет найти любой член арифметической прогрессии, если задано два члена
146	Арифметическая прогрессия	Средние арифметические
Цель: По завершении урока учащийся сможет построить арифметическую прогрессию между двумя заданными терминами. Это может включать в себя поиск одного, двух или даже большего количества средних арифметических значений.
147	Арифметическая прогрессия	Сумма n слагаемых A.P.
Цель: По окончании урока учащийся поймет формулы суммы арифметической прогрессии и как их использовать при решении задач.
148	Геометрическая прогрессия	Геометрическая прогрессия.
Цель: По завершении урока учащийся сможет проверить, является ли данная последовательность геометрической прогрессией или нет, и сможет найти формулу для n-го члена, найти любой член в G. P. и решать проблемы, связанные с этими понятиями.
149	Геометрическая прогрессия	Нахождение позиции термина в G.P.
Цель: По окончании урока учащийся поймет, как находить члены в геометрической прогрессии и как применять ее к различным типам задач.
150	Геометрическая прогрессия	Даны два термина G.P., найдите последовательность.
Цель: По завершении этого урока учащийся сможет решить все задачи на нахождение знаменателя геометрической прогрессии.
151	Экзамен	Экзамен — MYP 10–2 классы по алгебре II и Trig с отличием
Цель: Экзамен

Решение тригонометрических уравнений не так уж плохо, как кажется!

Purplemath

При решении тригонометрических уравнений используются как опорные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры. Будьте готовы к тому, что вам придется думать , чтобы решить эти уравнения.

В дальнейшем предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях тригонометрического отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, взаимосвязь между радианами и градусами и как выглядят кривые различных тригонометрических функций, по крайней мере в первый период. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.

---

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

sin( x ) + 2 = 3

sin( x ) = 1

Теперь я воспользуюсь опорными углами, которые запомнил, чтобы получить окончательный ответ.

Примечание: В инструкции я указал интервал в градусах, а это значит, что я должен дать ответ в градусах. Да, синус на первом периоде принимает значение 1 при π/2 радианах, но это не тот тип угловой меры, который им нужен, и использование этого в качестве моего ответа, вероятно, приведет к тому, что я, по крайней мере, потеряю мало моментов по этому вопросу.

Итак, в градусах мой ответ таков:

x = 90°

---

Возникает соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60° включает квадратный корень из 3, и дать ответ, но это уравнение не на самом деле нет решения. Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

тангенс ² (θ) = −3

Может ли любой квадрат (тангенса или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Итак, мой ответ:

нет решения

---

Левая часть уравнения делит. Я привык делать простой факторинг, например:

2 y ² + 3 y = 0

y (2 y + 3) = 0 9000 каждый из факторов. Здесь работает то же самое. Чтобы решить уравнение, которое мне дали, я начну с разложения на множители:

Я сделал алгебру; то есть я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами. Это создало два триггерных уравнения. Так что теперь я могу сделать триггер; а именно, решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о волне косинуса. Из первого уравнения я получаю:

cos( x ) = 0:

x = 90°, 270°

Из второго уравнения я получаю:

x = 30°, 330°

Объединяя эти два набора решений, я получаю решение исходного уравнения:

x = 30°, 90°, 270°, 330° Во-первых, я перенесу все на одну сторону знака «равно»:

sin ² (θ) − sin(θ) − 2 = 0

Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

a X ² + b X + c = 0

В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил , X = sin(θ), a  = 1, b  = -1 и c  = -2.

Так как это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить квадратное число на множители:

sin ² (θ) − sin(θ) − 2 = 0

(sin(θ) − 2)(sin(θ) + 1) = 0

Первый множитель дает мне соответствующее уравнение триггера:

sin(θ) = 2

Но синус никогда не бывает больше 1, так что это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

Другой фактор дает мне второе родственное уравнение триггера:

sin(θ) + 1 = 0

sin(θ) = −1

θ = (3/2)π

Тогда мой ответ: :

θ = (3/2)π

(Если в своем классе вы решаете только градусы, значение решения выше равно «270°».)

---

Я могу использовать тождество триггера, чтобы получить квадратное выражение в косинусе:

cos ² (α) + cos(α) = sin ² (α)

cos ² (α) + cos(α) = 1 − cos ² (α)

2cos ² (α) + cos(α) − 1 = 0

(2cos(α) − 1)(cos(α) + 1) = 0

cos(α) = 1/2, cos(α) = −1

Первое уравнение триггера, cos(α) = 1/2, дает мне α = 60° и α = 300°. Второе уравнение дает мне α = 180°. Итак, мое полное решение:

α = 60°, 180°, 300°

---

Я могу использовать тождество двойного угла в правой части, переставить и упростить; тогда я факторизую:

sin(β) = 2sin(β)cos(β)

sin(β) − 2sin(β) cos(β) = 0

sin(β)(1 − 2cos(β) )) = 0

sin(β) = 0,cos(β) = 1/2

Синусоида (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0°, 180° и 360°. Но в исходном упражнении 360° не учитываются, так что это последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

Косинус (из второго уравнения триггера) равен 1/2 при 60°, а значит, и при 360° − 60° = 300°. Итак, полное решение:

β = 0°, 60°, 180°, 300°

---

Хм… Я действительно ничего не вижу здесь. Конечно, было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат…

Почему бы мне не возвести в квадрат обе стороны и посмотреть, что получится?

(sin( x ) + cos( x )) ² = (1) ²

sin ² ( x ) + 2sin( x )cos( x ) + cos ² ( x ) = 1

[sin ² ( x + cos ² ( x )] + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

1 + 2sin ( x ) Cos ( x ) = 1

2Sin ( x ) Cos ( x. ) = 0

sin( x )cos( x ) = 0

Да, поди посчитайте: я возвел в квадрат и получил то, что мог работают с. Хороший!

Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит так:

x = 0°, 90°, 180°, 270°

!), я возводил в квадрат, чтобы получить это решение, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

(Почему? Если вы возводите что-то в квадрат, вы не можете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего вы начали, потому что возведение в квадрат могло где-то изменить знак.)

Итак, чтобы быть уверенным в моих результатах , мне нужно проверить свои ответы в оригинальное уравнение , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключив обратно, я вижу:

sin(0°) + cos(0°) = 0 + 1 = 1

… так что решение « x = 0°» работает

sin(90°) + cos(90°) = 1 + 0 = 1

. .. так что решение « x = 90°» тоже работает

sin(180°) + cos(180°) = 0 + (-1 ) = −1

…о, ладно, значит, « x = 180°» НЕ работает

sin(270°) + cos(270°) = (−1) + 0 = −1

…поэтому « x = 270°» тоже не работает

Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают. Они были созданы в процессе возведения в квадрат.

Мое фактическое решение :

x = 0°, 90°

---

) = 0

… и использовал тождество двойного угла для синуса в обратном порядке вместо деления 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учитывать интервал решения:

2sin( x )cos( x ) = sin(2 x ) = 0

Тогда 2 x = 0°, 180°, 360°, 540° и т.д. 2 из x даст мне x = 0°, 90°, 180°, 270°, что почти такое же решение, как и раньше. После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

No related posts.