Как вычислить длину отрезка зная координаты
Компьютеры admin 0 комментариев
Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.
Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.
Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1
Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.
Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.
Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.
Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника.
Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.
Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:
Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов (х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника.
Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 — y1, а на ось х длина проекции равна х2 — х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB|
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.
Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка (средней точки) по декартовым координатам концов отрезка. Отрезок и средняя точка отображаются на графике, также на графике показан графический способ нахождения середины отрезка.
Эта страница существует благодаря следующим персонам
Timur
- Статья : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам — Автор, Переводчик en — ru
- Калькулятор : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам — Автор, Переводчик en — ru
Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка по введенным декартовым координатам двух точек — концов отрезка.
Формула вычисления расстояния между двумя точками и это формула длины гипотенузы прямоугольного треугольника . Координаты середины отрезка — среднее арифметическое координат точек .
Отрезок и средняя точка отображаются на графике. Также среднюю точку можно найти построением. Для этого на графике надо построить две дуги с центрами на концах отрезка и с радиусом равным длине отрезка. Затем надо построить прямую линию между точками пересечения дуг. Эта линия пересечет исходный отрезок в середине.
Как найти длину по координатам точек.
Нахождение координат середины отрезка: примеры, решенияОтрезком называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка.
Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.
Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов
Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1 , а на ось Х длина проекции равна x2-x1 .
Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)² . В данном случае |AB| является длиной отрезка.
Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5) . Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5 . А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2 .
Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.
Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат.
Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.
Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Рассчитаем длину отрезка А , для этого найдем квадратный корень:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1 , то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Определить длину отрезка возможно разными способами. Для того чтобы узнать, как найти длину отрезка, достаточно иметь в наличии линейку или знать специальные формулы для расчета.
Длина отрезка с помощью линейки
Для этого прикладываем к построенному на плоскости отрезку линейку с миллиметровыми делениями, причем начальную точку необходимо совместить с нулем шкалы линейки.
Метод координат на плоскости
Если известны координаты отрезка (х1;у1) и (х2;у2), то следует рассчитать его длину следующим образом. Из координат на плоскости второй точки следует вычесть координаты первой точки. В итоге должно получиться два числа. Каждое из таких чисел необходимо возвести в квадрат, а потом найти сумму этих квадратов. Из полученного числа следует извлечь квадратный корень, который будет являться расстоянием между точками. Поскольку данные точки являются концами отрезка, то данное значение и будет его длиной.
Рассмотрим пример, как найти длину отрезка по координатам. Есть координаты двух точек (-1;2) и (4;7). При нахождении разности координат точек получаем следующие значения: х = 5, у =5. Полученные числа и будут являться координатами отрезка. Затем каждое число возводим в квадрат и находим сумму результатов, она равна 50.
Из этого числа извлекаем квадратный корень. Результат таков: 5 корней из 2. Это длина отрезка.
Метод координат в пространстве
Для этого необходимо рассмотреть, как найти длину вектора. Именно он и будет являться отрезком в евклидовом пространстве. Находится он почти таким же образом, как длина отрезка на плоскости. Построение вектора происходит в разных плоскостях . Как найти длину вектора?
- Найдите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
- После этого нужно возвести каждую координату вектора в квадрат.
- Затем складываем квадраты координат.
- Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов координат.
Рассмотрим алгоритм вычисления на примере. Необходимо найти координаты вектора АВ. Точки А и В имеют следующие координаты: А (1;6;3) и В (3;-1;7). Начало вектора лежит в точке А, конец расположен в точке В. Таким образом, чтобы найти его координаты, необходимо вычесть координаты точки А из координат точки В: (3 — 1; -1 — 6;7 — 3) = (2;-7;4).
Теперь возводим каждую координату в квадрат и складываем их: 4+49+16=69. И наконец, извлекает квадратный корень из данного числа. Его трудно извлечь, поэтому результат записываем таким образом: длина вектора равна корню из 69.
Если же вам не важно самому высчитывать длину отрезков и векторов, а нужен просто результат, то вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором, например, этим .
Теперь, изучив данные способы и рассмотрев представленные примеры, вы без проблем сможете найти длину отрезка в любой задаче.
Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат вся точка имеет три координаты. Зная координаты 2-х точек, дозволено определить расстояние между этими двумя точками.
Вам понадобится
- Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка
Инструкция
1. Разглядите для начала прямоугольную декартову систему координат.
2))
Видео по теме
Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой).
Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым.
Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога.
Теперь н
емного теории.
Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3.
Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём.
Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат.
То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка.
Длина отрезка на координатной плоскости
Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:
Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными
Х В – Х А и У В – У А
* * *
Середина отрезка. Её Координаты.
Формула для нахождения координат середины отрезка:
Уравнение прямой проходящей через две данные точки
Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:
где (х 1
;у 1
) и (х 2
;у 2
) координаты заданных точек.
Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:
y = kx + b , где k — это угловой коэффициент прямой
Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите!
Что ещё можно добавить?
Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов.
Рассмотрим задачи.
Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра.
Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми.
Ответ: 8
Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат.
Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А.
Ответ: 6.
A (6;8) относительно оси Ox .
Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8).
Ордината равна минус восьми.
Ответ: – 8
Найдите ординату точки, симметричной точке A (6;8) относительно начала координат.
Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8).
Её ордината равна – 8.
Ответ: –8
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).
Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8).
Вычисляем по формуле:
Получили (3;4). Абсцисса равна трём.
Ответ: 3
*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам.
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (–2;2).
Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка.
Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8).
Вычисляем по формуле:
Получили (2;5). Абсцисса равна двум.
Ответ: 2
*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку.
Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).
Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле:
в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит,
*Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А:
Ответ:10
Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.
Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ.
Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ:
То есть, угол наклона отрезка это угол ВОА в прямоугольном треугольнике АВО.
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является
отношение прилежащего катета к гипотенузе
Необходимо найти гипотенузу ОА.
По теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6
Ответ: 0,6
Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.
Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ .
Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси абсцисс.
Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат.
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант
Пример 3
Решение: по соответствующей формуле:
Ответ:
Для наглядности выполню чертёж
Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя.
Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:
Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:
Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.
Вот другие распространенные случаи:
Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.
Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.
Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Пример 4
Даны точки и . Найти длину отрезка .
Решение и ответ в конце урока.
Координаты середины отрезка — как найти? Формулы и примеры
Что такое отрезок
Чтобы изучить эту тему досконально, давайте начнем с самого простого: с определения отрезка.
Отрезок — это прямая, у которой есть начало и конец, или же прямая, которая соединяет две произвольные точки, не совпадающие друг с другом.
Отрезок называют заглавными буквами латинского алфавита по названию конечных точек. Причем можно расставлять буквы в любом порядке: АВ и ВА — равноценные варианты. Рассмотрите иллюстрацию, посчитайте и назовите все отрезки.
Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова
Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков
Что такое середина отрезка
Середина отрезка — это точка, которая находится на равном расстоянии от его концов.
Иначе можно сказать так: это точка, которая делит отрезок пополам.
Так, на рисунке ниже D — середина отрезка СК, так как СD = DK. Обратите внимание, как на чертеже обозначаются равные по длине отрезки — мы ставим на них равное количество черточек.
Главный вопрос, который нас сегодня интересует, это координаты середины отрезка.
Координаты — это положение точки в пространстве.
Мы можем рассмотреть отрезок, который лежит на координатной прямой, тогда координата будет одна. В Декартовой системе координат оХУ будет две координаты, причем вначале записывают х, потом у. Например: С (5; 3): К (4; 8). Еще мы можем поместить отрезок в трехмерное пространство, тогда у каждой точки будет три координаты: х, у, z.
Кажется, что чем дальше, тем сложнее, но на самом деле это не совсем так. Хорошая новость: в каждом из случаев мы будем использовать один и тот же принцип, так что вы обязательно во всем разберетесь!
Как найти координаты середины отрезка на координатной прямой
Изобразим горизонтальную координатную прямую оХ и отметим на ней две точки: М и L.
Координату точки М запишем как Хм, точки L — соответственно XL. Поставим лежащую на отрезке точку А — середину ML, MA = LA.
Определим координаты точек: Хм = {2}, XL = {8}. Чтобы найти середину отрезка, воспользуемся формулой XA=(XM+XL)/2 и получим:
Проверим, верна ли формула. Для этого определим координаты середины отрезка графическим методом.Действительно: фактическая координата точки А совпадает со значением, которое мы получили.
Подумайте, взяли ли мы эту формулу случайно или же ее можно вывести. Да, конечно, второй вариант верный — в математике не используют ничего непроверенного. Давайте посмотрим, каким образом можно доказать истинность формулы, тем более, что мы возьмем ее за основу при решении более сложных задач.
Точка А — это середина отрезка, а значит, MA = LA.
Расстояние между точками можно рассчитать через разность модулей их координат: │ХА – ХМ│=│ХL – ХА│.
Преобразуем правую часть, вынесем знак минуса: ХА – ХМ= — (ХА –ХL).
Перенесем ХА в левую часть, а все остальное — в правую: 2ХА= ХL+ ХМ.
Найдем ХА: ХА = (ХL + ХМ)/2.
Вот мы и вывели формулу координат середины отрезков! Чтобы лучше закрепить материал, сделаем пару заданий.
Задача 1
Определите координаты середины отрезка АВ, если ХА = –2, ХB = 10.
Решение
Обозначим точку середины отрезка буквой Т. Тогда Хт = (ХА + ХB)/2 = (–2 + 10)/2 = 4.
Ответ: Хк = {4}.
Задача 2
Определите координаты начала отрезка КМ с серединой в точке Н, если Хм = 5, Хн = 10.
Решение
Вначале запишем формулу для середины отрезка: Хн = (Хк + Хм)/2.
Выразим Хк через нее:
Ответ: Хк = {0}
Учёба без слёз (бесплатный гайд для родителей)
Пошаговый гайд от Екатерины Мурашовой о том, как перестать делать уроки за ребёнка и выстроить здоровые отношения с учёбой.
Как найти середину отрезка на плоскости
В Декартовой системе координат у каждой точки есть две координаты: по оси оХ и оУ. Изобразим отрезок АВ с координатами А (1; 3), В (3; 6) и точкой С — серединой отрезка.
Чтобы найти координаты точки С, мы воспользуемся уже известной нам формулой, но применим ее к каждой координате в отдельности. Вначале рассчитаем Хс:
Тогда УC = (УA + УB)/2 = (3 + 6)/2 = 4,5. Значит С (2; 4,5).
Не пугайтесь, если отрезок на чертеже параллелен оси оХ или оУ: мы четко идем по нашему алгоритму и ничего не меняем.
Важно заметить: если отрезок параллелен оси оУ, координаты концов и середины отрезка по оХ будут совпадать, ХА = ХС = ХВ. Если же отрезок параллелен оси оХ, совпадут координаты по оУ: УА = УВ = УС.
И вновь пришло время задачек. Давайте разберем несколько примеров решения.
Задача 3
В системе координат находятся две точки: С (–6; 4) и К (2; 8). Определите координаты середины отрезка.
Решение
Обозначим середину отрезка точкой О. Тогда:
Ответ: О (-2; 6).
Задача 4
Дан треугольник с вершинами АВС: А (-2; 4), В (4; 6), С (3; -5). Определите координаты точки М — медианы ВМ.
Решение
Медиана — отрезок, который проведен из вершины треугольника и делит противоположную сторону пополам. А значит, медиана ВМ делит на равные части сторону АС, АМ = МС. Тогда:
Ответ: М (0,5; –0,5).
Координаты середины отрезка в пространстве
Вспомните, чем пространство отличается от плоскости. Правильно, третьим измерением! В том смысле, что добавляется еще одна координатная ось: оZ. Как это выглядит, можно посмотреть на рисунке ниже.
При этом формула нахождения середины отрезка остается неизменной. Если мы изобразим в трехмерном пространстве отрезок АВ с серединой в точке С, тогда:
Координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов
По сути, этот способ нельзя назвать каким-то новым и уникальным. Он лишь еще раз доказывает истинность формулы координат середины отрезков, только через алгебру. Чтобы разобраться в нем, давайте сначала вспомним определение вектора.
Вектор — это направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.
Векторы — достаточно обширная тема. Чтобы разобраться в ней, не хватит и двух статей. Но сейчас мы с вами будем использовать всего несколько тезисов, которые помогут разобраться в теме.
Векторы можно изображать в системах координат оХУ и оХYZ, т. е. в двумерной и трехмерной.
Координаты начала и конца векторов записывают так же, как и для отрезков: (x; y) и (x; y; z).
Сумму векторов можно найти по методу треугольника или параллелограмма. Картинка ниже поможет вам вспомнить, как ими пользоваться.
Радиус-вектор — вектор, который задает положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки — начала координат.
Давайте разберемся, как доказать формулу для нахождения координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов. В Декартовой системе координат нарисуем вектор с серединой в точке К. Координаты точки А (ХА; УА; ZА), К (ХК; УК; ZК), С (ХС; УС; ZС).Проведем радиус-векторы , , .
Согласно определению середины отрезка: ОК = ½(ОС + ОА). Координаты векторов ОА, ОК, ОС соответственно равны координатам точек А, К, С, так как координаты точки О (0; 0; 0).
Тогда запишем равенство ОК = ½(ОС + ОА) через координаты:
Напоследок мы сделаем небольшой перерыв, забудем про формулы и числа. Давайте подумаем, как можно найти середину отрезка, если мы не знаем координат его концов.
Например, нарисуем отрезок на песчаном пляже во время каникул. Определить точные координаты в таком случае будет достаточно сложно, правда? Вряд ли вы взяли с собой в отпуск набор линеек, чтобы вычислить длину отрезка. С подобным заданием вы могли столкнуться и на уроках геометрии, где учитель раздавал вам чистые нелинованные листы бумаги и просил найти середину отрезка без использования линейки.
Сейчас мы обучим вас волшебному методу, приготовьтесь! Все что вам понадобится — это циркуль. Нарисуем на бумаге отрезок АВ любой длины.
Поставим иголку циркуля в точку А и начертим окружность с радиусом, равным АВ. Далее повторим действие — прочертим такую же окружность с центром в точке В.
Мы видим, что окружности пересеклись дважды: снизу и сверху. Если соединить эти две точки, эта прямая пересечет наш исходный отрезок ровно в его середине.
Скептики вспомнят наш пример с пляжем и скажут: «Линейку мы с собой в отпуск не берем, но и циркуль ведь тоже! Что вы скажете на это?» А ответим мы вот что: приходите на курсы по профильной математики в Skysmart! Там вы научитесь не только заменять настоящий циркуль на самодельный, но еще подготовитесь к экзаменам, разовьете логику и узнаете много всего интересного. Ждем вас на занятиях!
Как найти длину линии по формуле расстояния
Все ресурсы по математике для старших классов
8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Справка по математике для средней школы » Алгебра я » Координатная геометрия » Линии » Формулы средней точки и расстояния » Как найти длину линии по формуле расстояния
Какова длина отрезка с конечными точками и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула длины линии — это формула расстояния, очень похожая на теорему Пифагора.
Подставьте данные значения и определите длину.
Сообщить об ошибке
Какова будет длина линии с конечными точками и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула длины линии — это формула расстояния, очень похожая на теорему Пифагора.
Подставьте данные значения и определите длину.
Сообщить об ошибке
Какая линия проходит через точки и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Найдите наклон между двумя точками:
Затем используйте уравнение в форме пересечения наклона:
или где
Таким образом, уравнение принимает стандартный вид или .
Сообщить об ошибке
Какова длина линии с концами в и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула для длины линии очень похожа на пифагорейскую теорему:
Подключение наших номеров для решения:
9000 ОшибкаКакова длина линии с концами в и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула для длины линии очень похожа на пифагорейскую теорему:
Подключение наших номеров для решения:
9000 Ошибка Найдите расстояние между точками и .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Используйте формулу расстояния:
Подставьте данные точки в формулу:
Сообщить об ошибке
Какова длина линии с концами и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула расстояния — это всего лишь переработка теоремы Пифагора:
Расширьте это.
Подставьте полученные значения.
Сообщить об ошибке
Какое расстояние между и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Пусть и .
Формула расстояния задается как .
Заменить в указанных точках:
Сообщить об ошибке
Отрезок линии имеет конечные точки в и . Каково расстояние этого отрезка?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти расстояние, мы используем формулу расстояния: .
Разверните это:
Подставьте полученные значения.
Сообщить об ошибке
Если длина линии равна , а конечные точки – и , каково значение ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула длины линии l — это формула расстояния, очень похожая на теорему Пифагора.
Обратите внимание, что задача уже дала нам значение длины линии. Это означает . Подставьте все данные значения и найдите пропущенный член.
Вычесть с обеих сторон.
Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Уведомление об авторских правах 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь на Концепции
Как найти длину отрезка, если известны координаты. Метод координат в пространстве
Существует целая группа заданий (входит в экзаменационные типы заданий), связанных с координатной плоскостью. Это задачи, начиная от самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы данной точки, или точек симметричной данной и др.), заканчивая задачами, требующими качественных знаний, понимания и хороших навыков ( задачи, связанные с наклоном прямой).
Постепенно рассмотрим их все.
В этой статье мы начнем с основ. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длины отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинство этих задач не будут интересны. Но я считаю необходимым их изложить.
Дело в том, что не все ходят в школу. Многие сдают ЕГЭ через 3-4 года и более после выпуска и смутно помнят, что такое абсцисса и ордината. Также разберем другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подписывайтесь на обновления блога. Теперь немного теории.
Построим на координатной плоскости точку А с координатами x=6, y=3.
Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трем.
Проще говоря, ось x — это ось абсцисс, ось y — это ось y.
То есть абсцисса — это точка на оси x, в которую проецируется точка, заданная на координатной плоскости; Ордината — это точка на оси Y, на которую проецируется указанная точка.
Длина отрезка на координатной плоскости
Формула определения длины отрезка, если известны координаты его концов:
Как видите, длина отрезка равна длине гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами равна
Х В — Х А и У В — У А
* * *
Середина разреза.
Ее координаты.
Формула для нахождения координат середины отрезка:
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Формула уравнения прямой, проходящей через две заданные точки составляет:
где (x 1; y 1) и (x 2; y 2 ) координаты заданных точек.
Подставляя значения координат в формулу, она приводится к виду:
y = kx + b , где k — наклон прямой
Эта информация понадобится нам при решении другой группы задач, связанных с координатной плоскостью. Об этом будет статья, не пропустите!
Что еще можно добавить?
Угол наклона прямой (или отрезка) – это угол между осью oX и этой прямой в диапазоне от 0 до 180 градусов.
Рассмотрим задачи.
Из точки (6;8) перпендикуляр опущен к оси у. Найдите ординату основания перпендикуляра.
Основание перпендикуляра, опущенного на ось Y, будет иметь координаты (0; 8).
Ордината восемь.
Ответ: 8
Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат.
Расстояние от точки A до оси Y равно оси абсцисс точки A.
Ответ: 6.
А (6;8) о оси Ох .
Точка, симметричная точке А относительно оси oX, имеет координаты (6; — 8).
Ордината минус восемь.
Ответ: — 8
Найти ординату точки, симметричной точке A (6;8) относительно начала координат.
Точка, симметричная точке А относительно начала координат, имеет координаты (- 6; — 8).
Его ордината -8.
Ответ: -8
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).
Для решения задачи необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка равны (0;0) и (6;8).
Рассчитываем по формуле:
Получил(3;4). По оси абсцисс три.
Ответ: 3
* Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив этот отрезок на координатной плоскости на листе в клетке. Середину отрезка будет легко определить по клеточкам.
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (–2;2).
Для решения задачи необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка равны (–2;2) и (6;8).
Рассчитываем по формуле:
Получил(2;5). Абсцисса равна двум.
Ответ: 2
* Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив этот отрезок на координатной плоскости на листе в ячейке.
Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).
Длина отрезка при заданных координатах его концов вычисляется по формуле:
в нашем случае O(0;0) и A(6;8). Значит,
*Порядок координат при вычитании значения не имеет.
Из абсциссы и ординаты точки О можно вычесть абсциссу и ординату точки А:
Ответ:10
Найти косинус наклона отрезка, соединяющего точки О (0;0) и А (6;8), с осью x.
Угол наклона сегмента – это угол между этим сегментом и осью x.
Из точки А опускаем перпендикуляр к оси абсцисс:
То есть угол наклона отрезка равен углу SAI в прямоугольном треугольнике АВО.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен
отношение прилежащего катета к гипотенузе
Нужно найти гипотенузу ОА.
Согласно теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6
Ответ: 0,6
Из точки (6;8) опущен перпендикуляр к оси абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.
Через точку (6; 8) проведена прямая, ось параллельна абсциссе.
Найдите ординату ее точки пересечения с осью ОУ .
Найти расстояние от точки A с координатами (6;8) по оси x.
Найти расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат.
Длина, как уже отмечалось, указывается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Если даны две точки в пространстве и , то длину отрезка можно вычислить по формуле
Примечание: Формулы останутся правильными, если переставить соответствующие координаты: и , но первый вариант более стандартный
Пример 3
Решение: Согласно соответствующей формуле:
Ответ:
Для ясности я не сделаю рисунок
Selectr -Line —72. вы не можете переместить его никуда, конечно. Кроме того, если выполнить чертеж в масштабе: 1 ед.
= 1 см (две клетки тетрады), то ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нем есть пара важных моментов, которые хотелось бы уточнить:
Во-первых, в ответе задаем размерность: «единицы». В условии не сказано ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» — сокращенно «единицы».
Во-вторых, повторим школьный материал, полезный не только для рассматриваемой задачи:
обратите внимание на важный технический прием – вытаскивание множителя из-под корня . В результате вычислений мы получили результат и хороший математический стиль предполагает вынос множителя из-под корня (если это возможно). Более подробно процесс выглядит так: . Конечно, оставлять ответ в форме ошибкой не будет — но однозначно недоработка и весомый аргумент для придирок со стороны преподавателя.
Другие распространенные случаи:
Часто под рутом получается достаточно большое число, например .
Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4:. Да, полностью разбить, таким образом: . А может, число снова можно разделить на 4? . Этим способом: . Последняя цифра числа нечетная, поэтому делить на 4 в третий раз явно нельзя. Пытаюсь разделить на девять: . В итоге:
Готово.
Вывод: если под корень получаем совсем не извлекаемое число, то пробуем вынести множитель из-под корня — на калькуляторе проверяем делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач часто встречаются корни, всегда старайтесь добывать множители из-под корня во избежание более низкого балла и лишних хлопот с доработкой ваших решений по на замечание учителя.
Повторим возведение в квадрат корней и других степеней заодно:
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но я думаю, что все или почти все и так понятно из приведенные примеры.
Задача для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Пример 4
Даны точки и .
Найдите длину отрезка.
Решение и ответ в конце урока.
Если дотронуться до тетрадного листа хорошо заточенным карандашом, останется след, дающий представление о сути. (рис. 3).
Отмечаем на листе бумаги две точки А и В. Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 4). Как соединить точки А и В короткой линией? Это можно сделать с помощью линейки (рис. 5). Получившаяся строка называется сегмент .
Точки и линии — Примеры геометрические фигуры .
Точки A и B называются концами отрезка .
Существует единственный отрезок, концами которого являются точки A и B. Следовательно, отрезок обозначается записью точек, являющихся его концами. Например, сегмент на рисунке 5 обозначается одним из двух способов: AB или BA. Читайте: «отрезок AB» или «отрезок BA».
На рис. 6 показаны три сегмента. Длина отрезка АВ равна 1 см. На отрезке MN он расположен ровно три раза, а на отрезке EF — ровно 4 раза. Мы скажем, что длина сегмента MN равна 3 см, а длина сегмента EF 4 см.
Также принято говорить: «отрезок MN равен 3 см», «отрезок EF равен 4 см». Пишут: МН = 3 см, ЭФ = 4 см.
Мы измерили длины сегментов MN и EF одного сегмента , длина которого 1 см. Для измерения отрезков можно выбрать другие единицы длины , например: 1 мм, 1 дм, 1 км. На рисунке 7 длина отрезка равна 17 мм. Его измеряют одним отрезком, длина которого 1 мм, с помощью линейки с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см. рис. 7).
Как правило, измерить сегмент означает подсчитать, сколько отдельных сегментов он содержит .
Длина сегмента имеет следующее свойство.
Если на отрезке AB отмечена точка C, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB (рис. 8).
Пишут: АВ = АС + СВ.
На рис. 9 показаны два сегмента AB и CD. Эти сегменты будут совпадать при наложении.
Два отрезка называются равными, если они совпадают при наложении.
Следовательно, отрезки AB и CD равны. Пишут: АВ=CD.
Равные сегменты имеют одинаковую длину.
Из двух неравных отрезков будем считать большим тот, у которого большая длина. Например, на рисунке 6 сегмент EF больше, чем сегмент MN.
Длину отрезка AB назовем расстоянием между точками A и B.
Если несколько отрезков расположить так, как показано на рисунке 10, то получим геометрическую фигуру, которая называется ломаная линия . Обратите внимание, что все сегменты на рисунке 11 не образуют ломаную линию. Считается, что отрезки образуют ломаную линию, если конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка совпадает с концом третьего и т. д.
Точки А, В, С , D, E − вершин ломаной ABCDE, точки A и E − концов ломаной , а отрезки AB, BC, CD, DE являются ее звеньями (см. рис. 10).
Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее звеньев.
На рис.
12 показаны две ломаные линии, концы которых совпадают. Такие ломаные линии называются замкнутыми .
Пример 1 . Отрезок ВС на 3 см меньше отрезка АВ, длина которого равна 8 см (рис. 13). Найдите длину отрезка АС.
Раствор. Имеем: ВС = 8 — 3 = 5 (см).
Используя свойство длины отрезка, мы можем написать AC = AB + BC. Отсюда АС = 8 + 5 = 13 (см).
Ответ: 13 см.
Пример 2 . Известно, что МК = 24 см, НП = 32 см, МП = 50 см (рис. 14). Найдите длину отрезка NK.
Раствор. Имеем: MN = MP − NP.
Следовательно, MN = 50 − 32 = 18 (см).
Имеем: NK = MK − MN.
Отсюда NK = 24 − 18 = 6 (см).
Ответ: 6 см.
Инструкция
Если координаты крайних точек отрезка задать в двумерных координатах, то, проведя через эти точки прямые, перпендикулярные осям координат, получится прямоугольный треугольник. Его гипотенуза будет исходным отрезком, а катеты образуют отрезки, длина которых равна гипотенузе на каждой из осей координат.
Из теоремы Пифагора, которая определяет длину гипотенузы как сумму квадратов длин катетов, мы можем сделать это, чтобы найти длину исходной отрезка достаточно найти длины двух его проекций на оси координат.
Найдите длины (X и Y) проекций исходного отрезка для каждой оси системы координат. В двумерной системе крайние точки представлены парой числовых значений (X1;Y1 и X2;Y2). Длины проекций рассчитываются путем нахождения разности координат этих точек по каждой оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Возможно, что одно или оба результирующих значения будут , но в данном случае это не роль.
Вычислить длину исходный отрезок (A) нахождение Квадратный корень из квадратов длин проекций на оси координат, вычисленных на предыдущем шаге: A = √ (X² + Y²) = √ ((X2-X1)² + (Y2-Y1)²). Например, если провести отрезок между точками с координатами 2;4 и 4;1, то его длина будет равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Если координаты точек, ограничивающих отрезок, заданы в трехмерной системе координат (X1;Y1;Z1 и X2;Y2;Z2), то длины (A) этих сегмент будет аналогичен полученному на предыдущем шаге.
В этом случае нужно найти квадратный корень из суммы квадратов проекций на три оси координат: A = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²) . Например, если провести отрезок между точками , с координатами 2;4;1 и 4;1;3, то его длина будет равна √((4-2)²+(1-4)²+ (3-1)²) = √17 ≈ 4,12 .
Источники:
- формула длины сегмента
Пусть отрезок задан двумя точками на координатной плоскости, тогда его длину можно найти по теореме Пифагора. 91/2.
Видео по теме
Источники:
- Длина отрезка
- какова длина отрезка
Иногда в повседневной деятельности может возникнуть необходимость найти средний отрезок прямой. Например, если вам нужно сделать выкройку, эскиз изделия или просто разрезать деревянный брусок на две равные части. На помощь приходят геометрия и немного житейской смекалки.
Вам понадобится
- Циркули, линейка; булавка, карандаш, нитки
Инструкция
Используйте обычные инструменты, рассчитанные на длину.
Это самый простой способ найти средний сегмент . Измерьте линейкой или длину отрезка, результат разделите пополам и измерьте полученный результат с одного из концов отрезка. Вы получите точку, соответствующую середине отрезка.
Установите расстояние между ножками компаса так, чтобы оно было равно длине отрезка или больше половины отрезка. Затем положите стрелку компаса на один конец отрезка и проведите ее так, чтобы она пересекала отрезок. Переместите стрелку на другой конец отрезка и, не меняя размаха ножки циркуля, точно так же начертите вторую полуокружность.
Если под рукой не оказалось компаса или длина отрезка значительно превышает допустимый размах его ножек, можно воспользоваться простым подручным приспособлением. Сделать его можно из обычной булавки, нитки и карандаша. Привяжите концы нити к булавке и карандашу, при этом длина нити должна быть немного больше длины отрезка. Имея такой импровизированный заменитель компаса, остается выполнить шаги, описанные выше.
Видео по теме
Полезные советы
Точно найти середину доски или бруска можно с помощью обычной нитки или шнура. Для этого обрежьте нить так, чтобы она соответствовала длине доски или бруска. Осталось сложить нить ровно пополам и разрезать на две равные части. Приложите один конец полученного измерения к концу измеряемого предмета, а другой конец будет соответствовать его середине.
В геометрии, теоретической механике, других разделах физики используются три основные системы координат: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат каждая точка имеет три координаты. Зная координаты двух точек, можно определить расстояние между этими двумя точками.
Вам понадобится
- Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка
Инструкция
Рассмотрим для начала прямоугольные декартовы координаты. Положение точки в пространстве по этой координате определяется координатами x,y и z. Радиус проводится от начала координат до точки.
2)) 92))
Видео по теме
Отрезок определяется двумя крайними точками и состоит из множества точек, лежащих на прямой, проходящей через крайние точки. Если отрезок разместить в какой-либо системе координат, то найдя середины его проекций на каждую из осей, можно узнать координаты середины отрезка . Фактически операция сводится к нахождению среднего арифметического пар чисел для каждой из координатных осей.
Инструкция
Разделить пополам сумму начальных и конечных координат крайних точек сегмента по каждой оси до середины по этой оси. Например, пусть отрезок помещен в трехмерную систему координат XYZ и координаты его крайних точек A(Xa,Ya,Za) и C(Xc,Yc,Zc). Тогда координат его середины E(Xe,Ye,Ze) можно задать по формулам Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.
Использовать любой из калькуляторов, если вычислить средние значения координат крайних точек отрезка в уме не представляется возможным.
Если такого гаджета под рукой нет, то воспользуйтесь программным обеспечением из ОС Windows. Его можно запустить, нажав кнопку «Пуск», чтобы открыть системное меню. В меню перейдите в раздел «Стандартные», затем в подраздел «Утилиты», а затем в разделе «Все» выберите пункт «Калькулятор». Вы можете обойти главное меню, нажав WIN + R, набрав calc, а затем нажав Enter.
Сложите попарно начальную и конечную координаты крайних точек отрезка по каждой оси и разделите результат на два. Интерфейс программного калькулятора имитирует обычный калькулятор, а вводить числовые значения и символы математических операций можно либо нажимая кнопки курсором мыши на экране, либо нажимая клавиши на клавиатуре. Никаких трудностей с этими расчетами не возникает.
Запишите математические операции в текстовом виде и введите их в поле поискового запроса на главной странице сайта Google, если вы не можете пользоваться калькулятором, но имеете доступ в интернет. Эта поисковая система имеет встроенный многофункциональный калькулятор, пользоваться которым гораздо проще, чем любым другим.
Интерфейса с кнопками нет — все данные нужно вводить в текстовом виде в одно поле. Например, если известно координаты крайних точек отрезка в трехмерной системе координат А(51,34 17,2 13,02) и А(-11,82 7,46 33,5), затем координаты средней точки отрезка С((51,34-11,82)/2 (17,2 +7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Введя (51.34-11.82)/2 в поле поискового запроса, затем (17.2+7.46)/2 и (13.02+33.5)/2 можно с помощью Google получить координаты С (19.76 12.33 23.26).
Что такое линейный сегмент? (Определение, формула расстояния, пример)
Что такое линии, сегменты линий и лучи?
Линии, отрезки и лучи встречаются в геометрии повсеместно. Используя эти простые инструменты, вы можете создавать параллельные линии, перпендикулярные биссектрисы, многоугольники и многое другое. На этом уроке вы узнаете определения линий, сегментов линий и лучей, как их называть, а также несколько способов измерения сегментов линий.
Содержание
- Что такое линии, сегменты линий и лучи?
- Линейный сегмент
- Символ сегмента линии
- Что такое линия?
- Символ прямой линии
- лучей
- Измерение сегментов линии
- Пример сегмента линии
- Координатная плоскость
- Как найти длину диагонального сегмента на координатной плоскости
- Формула расстояния
- Примеры сегментов линии в реальной жизни
Линейный сегмент
A Линейный сегмент — это часть или часть линии, которая позволяет строить многоугольники, определять наклоны и производить расчеты.
Его длина конечна и определяется двумя его концами.
Сегмент линии — это фрагмент линии. Независимо от длины отрезка, он конечен.
Символ сегмента линии
Вы называете сегмент линии двумя его конечными точками. Сокращением для отрезка прямой является запись отрезков прямой с двумя конечными точками и рисование тире над ними, например, CX¯:
Вы изображаете сегмент линии на бумаге для рисования, используя линейку, чтобы провести линию и поставить две точки на ее концах, обозначенные заглавными буквами; это конечные точки сегмента линии:
Что такое линия?
Определение линии — это набор точек между двумя точками и за ними. Линия имеет бесконечную длину. Все точки на прямой коллинеарны.
Символ прямой линии
В геометрии символ прямой линии представляет собой отрезок с двумя стрелками на концах, например CX↔. Вы идентифицируете его с помощью двух именованных точек, обозначенных заглавными буквами.
Выберите точку на линии и присвойте ей букву, затем выберите вторую; теперь у вас есть имя вашей линии:
Лучи
Луч — это часть линии, которая имеет одну конечную точку и бесконечно продолжается только в одном направлении. Вы не можете измерить длину луча.
Луч именуется сначала по его конечной точке, а затем по любой другой точке луча. В этом примере у нас есть точка B и точка A (BA→).
Измерение сегментов линии
Сегмент линии называется по его конечным точкам, но другие точки вдоль его длины также могут быть названы. Каждая часть линейного сегмента может быть помечена по длине, поэтому вы можете сложить их, чтобы определить общую длину линейного сегмента.
Пример сегмента линии
Здесь у нас есть сегмент линии CX¯, но мы добавили по пути две точки, точку G и точку R:
Чтобы определить общую длину сегмента линии, вы добавляете каждый сегмент сегмент линии. Формула для отрезка линии CX будет следующей: CG + GR + RX = CX
7 единиц отрезка линии CG
5 единиц отрезка линии GR
3 единицы отрезка линии RX
7 + 5 + 3 = 15 единиц длины для CX¯
Координатная плоскость
Координатная плоскость , также называемая декартовой плоскостью (спасибо, Рене Декарт!), представляет собой сетку, построенную из осей x и y.
Вы можете думать об этом как о двух перпендикулярных числовых линиях или как о карте территории, занятой отрезками прямых.
Чтобы определить длину отрезков горизонтальной или вертикальной линии на плоскости, посчитайте отдельные единицы от конечной точки до конечной точки:
Чтобы определить длину отрезка LM¯, начнем с точки L и сосчитаем вправо пять единицы, заканчивающиеся в точке M. Вы также можете вычесть значения x: 8 — 3 = 5. Для вертикальных линий вы должны вычесть значения y.
Работая в Квадрантах II, III и IV или между ними, помните, что вычитание отрицательного числа на самом деле означает добавление положительного числа.
Как найти длину диагонального отрезка на координатной плоскости
Используйте теорему Пифагора для вычисления длин диагональных отрезков на координатных плоскостях. Напомним, что теорема Пифагора гласит: a2 + b2 = c2 для любого прямоугольного треугольника. Диагональ на координатной сетке образует гипотенузу прямоугольного треугольника, поэтому можно быстро подсчитать единицы двух сторон:
Подсчет единиц прямо вниз от точки J до значения x 2 (которое совпадает с точкой L):
8 — 2 = 6, поэтому отрезок линии JK¯ = 6
Подсчет единиц прямо напротив точки K до точки L:
6 — (-3) = 9, поэтому отрезок KL¯ = 9
Теперь мы имеем 62 + 92 = c2:
36 + 81 = c2
117 = c2 1 0080
Длина отрезка JL¯ составляет примерно 10,816 единиц.
Формула расстояния
Частным случаем теоремы Пифагора является Формула расстояния , используемая исключительно в координатной геометрии. Вы можете подставить две конечные точки x- и y-значения диагональной линии и определить ее длину. Формула выглядит следующим образом:
D = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2
Чтобы использовать формулу расстояния, возьмите квадраты изменения значения x и изменения значения y и добавьте их, а затем извлеките из этой суммы квадратный корень.
Выражение (x2 — x1) читается как изменение x и (y2 — y1) равно изменению y .
Представьте, что у нас есть диагональная линия, протянувшаяся от точки P(6, 9) до точки I(-2, 3), и вы хотите измерить расстояние между двумя точками.
Формула расстояния упрощает расчет:
D = (-2 – 6)2 + (3 — 9)2
D = (-8)2 + (-6)2
D = 64 + 36
D = 100
D = 10
Используя формулу расстояния, мы находим, что отрезок прямой PI¯ = 10 единиц.