Как в матрице получить нули: Получение нулей в ряду матрицы. : Чулан (М)

Факторный анализ как статистический метод

Факторный анализ как статистический метод

Лоули Д., Максвелл А. Факторный анализ как статистический метод. М.: Мир, 1967. — 144 с. Настоящая монография даёт чёткое представление о задачах факторного анализа, который находит всё большее применение при решении различных практических задач. Факторный анализ возник и развивался в связи с решением в первую очередь задач психологии (например, объяснение успеваемости учеников). Однако область его приложений значительно шире и охватывает в принципе все случаи применения многомерного статистического анализа. Книга рассчитана на очень большой круг читателей — не только на математиков, но и на лиц других специальностей: биологов, медиков, инженеров, экономистов. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Глава 1. СОДЕРЖАНИЕ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА 1.2. Модели факторного анализа 1.3. Факторные концепции и вращение 1.4. Значения факторов 1.5. Сравнение результатов различных анализов Глава 2. ОЦЕНКА ФАКТОРНЫХ НАГРУЗОК МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ 2.3. Решение уравнений 2.4. Числовой пример 2.5. Улучшение начальных оценок 2.6. Проверка гипотез о числе факторов 2.7. Числовой пример Глава 3. ЦЕНТРОИДНЫЙ МЕТОД 3.3. Центроидный метод и факторные дисперсии 3.4. Пример центроидного метода, использующего факторные дисперсии 3.6. Эффективность оценок и критерий значимости Глава 4. МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ 4.4. Вычисление весов 4.5. Критерий значимости Глава 5. ВРАЩЕНИЕ ФАКТОРОВ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 5.2. Метод вращения факторов 5.3. Методы, исключающие вращение 5. 4. Приближенный метод для некоррелированных факторов 5.5. Приближенный метод для коррелированных факторов 5.6. Критерий значимости Глава 6. ОЦЕНКА ФАКТОРНЫХ НАГРУЗОК ПРИ РАЗНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 6.3. Итерационный метод для некоррелированных факторов 6.4. Числовой пример 6.5. Уравнения оценок для коррелированных факторов 6.6. Итерационный метод для коррелированных факторов 6.7. Числовой пример 6.8. Критерии значимости Глава 7. ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИЙ ФАКТОРОВ 7.3. Регрессионный метод с коррелированными факторами 7.4. Минимизация остатков 7.5. Числовой пример Глава 8. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ФАКТОРОВ ИЗ РАЗНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ 8.2. Гипотезы для двух популяций 8.3. Алгоритм получения оценок 8.4. Проверка гипотез 8.5. Числовой пример Приложение I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Приложение II. ОБЗОР МЕТОДОВ ОЦЕНКИ РАЗМЕРНОСТИ НАБОРОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§5. Свойства определителя.

1. Если одна строка или столбец определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

3. Если определитель содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то он равен нулю.

4. Общий множитель элементов одной строки (столбца) выносится за знак определителя.

5. Если одна строка определителя представлена в виде суммы двух строк, то определитель матрицы равен сумме двух соответствующих определителей. Например,

= + .

6. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), домноженные на некоторое число.

В матрице из примера 1 все элементы третьего столбца кратны трём. Поэтому мы можем вынести множитель 3 за знак определителя:

= 3·

Вычтем в нашем примере из второй и третьей строки первую строку (сама первая строка при этом остается на месте без изменений):

= .

Мы получили две пропорциональные строки, следовательно, определитель равен нулю.

7. Если строки или столбцы матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

8. Определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов. Например:

= 1·(–3)·9 = –27

9. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

Свойства 6 и 8 определителя позволяют использовать для вычисления определителя метод приведения к диагональному виду, который будем коротко называть методом Гаусса.

1 шаг. Если в матрице первый столбец состоит только из нулей, то её определитель равен нулю. Предположим, что в первом столбце есть ненулевой элемент. Переставим на первое место строку, в которой он находится; при этом следует учесть возможное изменение знака определителя. Если с самого начала было a1;10, то ничего переставлять не понадобится.

2 шаг. В получившейся матрице мы теперь имеем a1;10. Прибавим ко второй строке матрицы первую строку, домноженную на число  a1;2/a1;1. Тогда на месте элемента

a1;2 мы получим 0, а определитель матрицы не изменится. Сделаем эту же операцию и с другими строками матрицы: т.е. к каждой i-ой строке матрицы первую строку, домноженную на число  a1; i/a1;1. В результате в первом столбце матрицы останутся одни только нули, кроме элемента a1;1. Другими словами, определитель примет вид:

(1. 6)

Здесь и далее звёздочками обозначены элементы, которые для нас не имеют значения, т.е. нам не нужно знать, чему они равны.

3 шаг. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с определителем

.

Более подробно это означает следующее. Мы переходим ко второму столбцу в матрице (1.6). Если в нём все элементы

b2;2… b2;n равны нулю, то определитель равен нулю. Если среди b2;2… b2;n есть ненулевой элемент, мы на второе место переставляем строку, в которой содержится этот элемент; при этом следует учесть возможное изменение знака определителя. В получившейся матрице мы теперь имеем b2;20. Прибавим к каждой i-ой строке матрицы первую строку, домноженную на число  b2; i/b2;2. В результате во втором столбце матрицы останутся одни только нули в строках с номерами 3… n. Определитель примет вид:

(1. 7)

4 шаг. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с матрицей

.

В результате мы занулим все элементы, которые стоят в третьем столбце ниже элемента

c3;3. И так далее. В конечном итоге мы получим треугольную матрицу, определитель которой вычисляется, как произведение диагональных элементов.

Пример 2. В следующем определителе нам удобнее поставить на первое место четвёртую строку. Для этого нам понадобится поменять её местами поочерёдно с 3, 2 и 1 строками. Это значит, мы совершаем три перестановки строк. Каждая из таких перестановок меняет знак определителя  при полной перестановке знак тоже поменяется.

=  =

Здесь же стрелочками мы обозначили дальнейшие действия: мы ко второй строке определителя прибавляем первую, домноженную на 2, а к четвёртой строке прибавляем первую, домноженную на 3 (сама первая строка, при этом, остаётся без изменений). Мы получили нули в первом столбце ниже главной диагонали. Следующим действием мы должны получить нули во втором столбце ниже главной диагонали.

= =  =

Для этого мы к третьей строке матрицы прибавляем вторую, домноженную на 2, а к четвёртой строке прибавляем вторую домноженную на 3. Следующим действием мы должны получить нули во третьем столбце ниже главной диагонали. В итоге мы получили верхнетреугольную матрицу, определитель которой мы вычисляем, как произведение диагональных элементов.

= = –2·1·(3)·(7) =42.

линейная алгебра. Что это значит, когда все значения строки в матрице равны 0?

Я люблю линейную алгебру!

Я понимаю, что на этот вопрос уже был дан самый простой ответ в начале вашего курса, но это может помочь вам позже, когда вам дана матрица A, где одна строка состоит из нулей, тогда вы ранг неполноценный. Это означает, что размер пространства столбцов не равен размеру вашей матрицы, скажем, n (что также происходит, если ваша матрица не квадратная).

Это также означает, что отсутствует опорное значение. Опорное значение — это, по сути, значения на главной диагонали вашей матрицы. Если отсутствует опорное значение, вы можете выполнить исключение Гаусса, чтобы найти значения x, и есть теорема, когда я взялся за линейную алгебру, которая очень полезна при решении для x. Однако мой профессор не назвал теоремы, которые он обсуждал, названиями классов, так что эта теорема верна, но я не совсем уверен, как она называется. 9{T})$ соответственно. Вы узнаете об этом больше позже, когда будете определять, какая часть матрицы будет формировать базис (то есть подпространство, в котором находятся линейно независимые векторы внутри него, а промежутком базиса является все пространство). Нулевое пространство принимает ваш b-вектор равным 0 и отправляет x в 0. Это тривиально, если единственный вектор, который отправляется в 0, является нулевым вектором. Однако если в вашей матрице есть строка со всеми нулями, то это означает, что $N(A)$ нетривиальна и есть свободная переменная.

Пример: пусть A = \begin{array}{cccc} 1 и 0 и -1 и 0\\ 0 и 1 и 2 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{массив}

b = \begin{массив}{c} 5\\ -7\\ 0\\ 0\end{array}

Этот пример показывает, что $x_{3}$ — единственная свободная переменная, и вы знаете, что:

$x_{1} — x_{3} = 5$

$x_{ 2}+2x_{3} = -7$

$x_{4} = 0$

$0= 0$

x = \begin{массив}{c} х_{1}\\ х_{2}\\ х_{3}\\ х_{4}\конец{массив}

= \begin{массив}{с} 5+x_{3}\\ -7-2x_{3}\\ х_{3}\\ 0\конец{массив}

= \начало{массив}{с} 5\\ -7\\ 0\\ 0\end{массив} + $x_{3}$*\begin{массив}{c} 1\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}

Таким образом, это означает, что каждый $x$ в вашем x-векторе, независимо от того, являются ли они всеми x или другими переменными, может быть записан так, что $x_{part}$ являются константами, оставшимися после гауссова Исключение было сделано на A, соединенном с b. Извините, я не мог понять, как набрать матрицу и векторы для более привлекательного просмотра.

Строка, состоящая из всех нулей, также подразумевает, что A необратима, что важно, когда вы начинаете изучать, как найти обратную матрицу, которая всегда должна быть квадратной, чтобы получить обратную, но обратная не имеет значения при решении для x в системе уравнений, если только вы не используете Matlab для решения x.

Дополнительное примечание: Вы выполнили исключение Гаусса, чтобы получить строку, состоящую только из 0? Если это так, то это означает, что строки вашей матрицы не были линейно независимыми, что также означает, что размерность вашего пространства столбца также не является размерностью вашей матрицы, поэтому вы не имеете полного ранга.

Примечание 2: если у вас возникнут вопросы позже, не стесняйтесь спрашивать меня.

матриц — Как столбец нулей влияет на матрицу?

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 5 месяцев назад

Изменено 5 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено 9k раз

$\begingroup$

Это был тестовый вопрос, а не ответ на вопрос. Мне просто интересно, что делает столбец 0.

Для справки, если необходимо, вопрос звучал так: «Что из следующего является матрицей коэффициентов для однородной системы Ax = 0 только с тривиальным решением»

Вот матрица:

\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\ \0&0&1&0\end{bmatrix}

Я лично предположил бы, что будет только 1 решение, так как, несмотря на то, что в 4-м столбце нет опорной точки, все значения в 4-м столбце равны 0.

(я определенно делаю эту часть неправильно) Запись этого в параметрическом векторе форма, я бы получил

x ₁ = 0

x ₂ = 0

x ₃ = 0

x ₄

= 0

x ₄

= 0

x ₄

= 0

..

Угадайте, будет ли результат:

\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix} * x ₄ ?

Честно говоря, я не совсем уверен, как исследовать эту матрицу..

Проще говоря, как столбец 0 влияет на эту матрицу? Является ли исходная матрица эквивалентной единичной матрице 3×3? Сколько существует решений? Бесконечно много или только 1?

• матрицы
• матричное исчисление

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Если $A$ — матрица вашей системы, то у вас есть три уравнения с четырьмя переменными, $$ х_1=0,\\ \\\ х_2=0,\\ \\\ х_3=0.