Как в матрице вычислить определитель: Определитель матрицы онлайн

Вычисление определителей. Миноры, алгебраические дополнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}. 2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

 

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

 

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha). T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

 

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. $

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. {3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394. 2.$

 

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

 

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

 

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

 

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

 

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

python — Как эффективней вычислить определитель матрицы?

Код ниже считает определитель матрицы 20х20 методом миноров и записывает время, которое ему понадобилось для расчета. Но такую большую матрицу он считает очень долго, несколько часов…

import time, random
from random import randint
Ic = [0 for i in range(10)]
def minor(array):
    return array[0][0] * array[1][1] - array[1][0] * array[0][1]
def division(array):
    if len(array[0]) > 2:
        result = 0
        for i in range(len(array[0])):
            new_arr = []
            for j in range(len(array[0])):
                if j != i:
                    new_arr.append([array[j][k] for k in range(1, len(array[0]))])
            result += division(new_arr) * array[i][0] * (-1 + 2 * ((i + 1) % 2))
        return result
    else:
        return minor(array)
N = 20
result = 0
print(f"\nN:\t{N}\n")
timer = time.time()
matrix = [[randint(0, 9) for row in range(N)] for row in range(N)]
print(f"result:\t{division(matrix)}")
for i in range(N):
    print(matrix[i])
print(f"Time:\t{time.time() - timer}")

Как это можно оптимизировать?

• python
• алгоритм
• оптимизация
• матрицы
• линейная-алгебра

Как это можно оптимизировать?

воспользоваться модулем numpy:

In [32]: import numpy as np   #  pip install numpy
In [33]: a = np. random.rand(20, 20)
In [34]: res = np.linalg.det(a)
In [35]: res
Out[35]: 0.09252260373277807

время работы для матрицы 20×20:

In [36]: %timeit np.linalg.det(a)
27.6 µs ± 37 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

7

Вычисление определителя через миноры имеет факториальную сложность и непригодно для n>10.

Вместо этого стоит реализовать LU разложение матрицы (кубическая сложность) и затем вычислить определитель как произведение диагональных элементов L и U матриц.

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Определитель квадратной матрицы

6. 4 — Определитель квадратной матрицы

Определитель — это действительное число, связанное с каждой квадратной матрицей. я еще не нашел хорошего Английское определение того, что такое определитель. Все, что я могу найти, либо определяет его в терминах математическая формула или предлагает некоторые из ее применений. Есть даже определение определитель, определяющий его через самого себя.

Определитель квадратной матрицы A обозначается «det A» или | А |. Последнее выглядит как абсолютное значение A, но вам придется применять контекст. Если вертикальные линии расположены вокруг матрица, значит определитель.

Строка ниже показывает два способа записи определителя.

3	1	=	от		3	1
5	2				5	2

Определитель матрицы 2×2

Определитель матрицы 2×2 находится так же, как операция поворота. Это произведение элементов главной диагонали на минус произведение элементов вне главной диагонали.

и	б	= объявление — до н.э.
с	д

Свойства определителей

• Определитель — действительное число, а не матрица.
• Определитель может быть отрицательным числом.
• Он вообще не связан с абсолютным значением, за исключением того, что они оба используют вертикальные линии.
• Определитель существует только для квадратных матриц (2×2, 3×3, … п×п). Определитель матрицы 1 × 1 — это единственное значение в определителе.
• Обратная матрица будет существовать, только если определитель не равен нулю.

Расширение с использованием миноров и кофакторов

Определение определителя, которое у нас есть, относится только к матрице 2×2. Существует ярлык для матрицу 3×3, но я твердо верю, что вы должны изучить способ, который будет работать для всех размеров, а не только частный случай для матрицы 3×3.

Метод называется расширением с использованием миноров и кофакторов. Прежде чем мы сможем использовать их, мы должны определить их.

Несовершеннолетние

Минором для любого элемента является определитель, который получается, когда строка и столбец что элемент находится в удалении.

Обозначение M _ij используется для обозначения минора элемента в строке i и столбце j. Таким образом, M ₂₁ будет означать минор для элемента в строке 2, столбце 1.

Рассмотрим определитель 3×3, показанный ниже. Я включил заголовки, чтобы вы можете оставить строки и столбцы прямыми, но обычно вы не включаете те. Мы собираемся найти некоторых несовершеннолетних.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	1	3	2
Р 2	4	1	3
Р 3	2	5	2

Поиск минора для R

₂ С ₁

Минор — это определитель, который остается при удалении строки и столбца элемента, для которого вы пытаетесь найти минор. Это означает, что мы должны удалить строку 2 и столбец 1, а затем найти определитель.

	С 2	С 3
Р 1	3	2	= 3(2) — 5(2) = 6 — 10 = -4
Р 3	5	2

Как видите, минор для строки 2 и столбца 1 равен M

21 = -4.

Попробуем еще.

Поиск минора для R

₃ C ₂

На этот раз мы удалим строку 3 и столбец 2.

	С 1	С 3
Р 1	1	2	= 1(3) — 4(2) = 3 — 8 = -5
Р 2	4	3

Таким образом, минор для строки 3 столбца 2 равен M ₃₂ = -5.

Матрица миноров

Когда вы просто пытаетесь найти определитель матрицы, это излишество. Но есть одно чрезвычайно полезное приложение для него, и оно даст нам практику поиск несовершеннолетних.

Матрица миноров – это квадратная матрица, в которой каждый элемент является минором для числа в этой позиции.

Вот общая матрица миноров для определителя 3×3.

		С 1	С 2	С 3
Р 1		М 11	М 12	М 13
Р 2		М 21	М 22	М 23
Р 3		М 31	М 32	М 33

Найдем матрицу миноров для нашего исходного определителя. Здесь определитель.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	1	3	2
Р 2	4	1	3
Р 3	2	5	2

Вот работа по поиску каждого минора в матрице миноров.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	1 3 5 2 = 2 — 15 = -13	4 3 2 2 = 8 — 6 = 2	4 1 2 5 = 20 — 2 = 18
Р 2	3 2 5 2 = 6 — 10 = -4	1 2 2 2 = 2 — 4 = -2	1 3 2 5 = 5 — 6 = -1
Р 3	3 2 1 3 = 9 — 2 = 7	1 2 4 3 = 3 — 8 = -5	1 3 4 1 = 1 — 12 = -11

Наконец, вот матрица миноров. Опять же, вам не нужно ставить ярлыки для строки и столбцов там, но это может вам помочь.

		С 1	С 2	С 3
Р 1		-13	2	18
Р 2		-4	-2	-1
Р 3		7	-5	-11

Кофакторы

Кофактор для любого элемента является либо минором, либо противоположным минору, в зависимости от того, где находится элемент в исходном определителе. Если ряд и столбец элемента в сумме должен быть четным числом, тогда кофактор — это то же, что минор. Если строка и столбец элемента в сумме являются нечетными число, то кофактор напротив минора.

Ооо, понял? Нечетные знаки меняются, четные — это один и тот же знак. Дежавю. Мы говорили об этом начиная с раздела 3.2 о многочленах.

Таблица знаков

Вместо того, чтобы складывать строку и столбец элемента, чтобы увидеть, нечетное или четное, многие люди предпочитают использовать диаграмму знаков. Знаковая диаграмма либо + или — для каждого элемента в матрице. Первый элемент (строка 1, столбец 1) всегда + и он чередуется оттуда.

Примечание: + не означает положительное значение, а — отрицательное. + означает то же самое знак как минор, а — означает противоположность минора. Подумайте об этом дополнение и вычитание, а не положительное или отрицательное.

Вот таблица знаков для определителя 2×2.

	С 1	С 2
Р 1	+	—
Р 2	—	+

Вот таблица знаков для определителя 3×3.

	С 1	С 2	С 3
Р 1	+	—	+
Р 2	—	+	—
Р 3	+	—	+

Матрица кофакторов

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно пройти через эту большую работу.

Матрица кофакторов — это матрица, полученная заменой каждого элемента матрица своим кофактором. Это матрица миноров с измененными знаками на элементах в — позициях.

		С 1	С 2	С 3
Р 1		-13	-2	18
Р 2		4	-2	1
Р 3		7	5	-11

Расширение для поиска определителя

Вот шаги, которые нужно пройти, чтобы найти определитель.

1. Выберите любую строку или столбец в матрице. Неважно, какой ряд или какой столбец, который вы используете, ответ будет одинаковым для любой строки. Есть несколько рядов или столбцы, которые проще, чем другие, но мы вернемся к этому позже.
2. Умножать каждый элемент в этой строке или столбце по его кофактору и добавить. Результатом является определитель.

Расширим нашу матрицу по первой строке.

1	3	2
4	1	3
2	5	2

Из таблицы знаков мы видим, что 1 в положительном положении, 3 в отрицательном положение и 2 находится в положительном положении. Ставя + или — перед элемента, он заботится о корректировке знака при переходе от минора к кофактору.

+ 1	1	3	— 3	4	3	+ 2	4	1
	5	2		2	2		2	5

= 1 (2 — 15) — 3 (8 — 6) + 2 (20 — 2)
= 1 (-13) — 3 (2) + 2 (18)
= -13 — 6 + 36
= 17

Определитель этой матрицы равен 17.

Как я уже говорил ранее, на самом деле не имеет значения, какую строку или столбец вы используете.

Попробуем еще раз, но на этот раз расширим второй столбец. Как усилие чтобы сэкономить время, миноры для этого столбца (из матрицы миноров) были равны 2, -2 и -5. Исходными элементами были 3, 1 и 5. 3 и 5 отрицательные. позиции.

определитель = — 3 ( 2 ) + 1 ( -2 ) — 5 ( -5 ) = -6 -2 + 25 = 17

Разверните любую строку или любой столбец, вы получите 17.

Тем не менее, вы не можете делать диагонали. Если попробуем главную диагональ, получится

+ 1 (-13) + 1 (-2) + 2 (-11) = -13 -2 — 22 = -37

Некоторые строки или столбцы лучше других

1. Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.
   Поскольку каждый минор или кофактор умножается на элемент в матрице, выбор строки или столбца с большим количеством нулей означает, что вы будете умножение на много нулей. Умножение на ноль совсем не занимает много времени. На самом деле, если элемент равен нулю, вы не нужно найти даже несовершеннолетнего или кофактор.
2. Выберите строку или столбец с наибольшим числом (или переменными) в нем.
   Элементы в строке или столбце, которые вы расширяете, не используются для поиска несовершеннолетние. Единственное место, где они умножаются, это один раз, в расширении. Если вы выберете строку или столбец с наименьшие числа, то каждый минор будет произведением больших чисел.
   Если вы выберете строку или столбец, в которых есть переменные, вы только иметь умножить на переменные один раз, во время расширения.

Обратная матрица (повторно)

На этот раз рассмотрим наш первоначальный определитель в виде матрицы.

	1	3	2
	4	1	3
	2	5	2

Найдите матрица миноров , как описано выше.

	-13	2	18
	-4	-2	-1
	7	-5	-11

Превратите его в матрицу кофакторов , изменив знаки на соответствующих элементы на основе таблицы знаков.

	-13	-2	18
	4	-2	1
	7	5	-11

Найдите сопряженное число , транспонируя матрицу сомножителей.

Чтобы транспонировать матрицу, нужно поменять местами строки и столбцы. то есть ряды стать столбцами и столбцы становятся строками. Транспонирование матрицы можно найти с помощью TI-82. или калькулятор ТИ-83, введя название матрицы и выбрав Матрица, Математика, а затем вариант 2, буква T с надстрочным индексом, например [A] ^Т .

	-13	4	7
	-2	-2	5
	18	1	-11

Наконец, разделите сопряженное к матрице на определитель матрицы. В этой задаче определитель равен 17, поэтому мы разделим каждый элемент на 17. Полученная матрица равна , обратное исходной матрицы.

	-13/17	17.04.	17/7
	-2/17	-2/17	17/5
	18/17	1/17	-11/17

Обратная матрица находится путем деления сопряженной матрицы матрица на определитель матрицы. Не пытайтесь это сделать на своем калькулятор, так как калькулятор не позволит вам разделить матрицу на скаляр. Вместо этого вам придется умножать на обратный определитель.

Если вы проверите это на своем калькуляторе, вы можете убедиться, что обратное на самом деле является присоединенным, деленным на определитель.

Поскольку обратное — это сопряженное, деленное на определителя, мы можем понять, почему обратное не существует, если определитель равен нулю. Это приведет к делению на ноль, который не определен.

Определители больших заказов

Найдем определитель системы 4×4.

	С 1	С 2	С 3	С 4
Р 1	3	2	0	1
Р 2	4	0	1	2
Р 3	3	0	2	1
Р 4	9	2	3	1

Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей. В данном случае это второй столбец.

Для каждого элемента в исходной матрице его минор будет определителем 3×3. Нам придется расширить каждый из них на используя три определителя 2 × 2.

Вот почему мы хотим расширить второй столбец. Несовершеннолетние умножаются по их элементам, так что если элемент в исходной матрице равен 0, он не действительно имеет значение, что такое минор, и мы можем сэкономить много времени, не имея найти его. Во втором столбце вам не нужно будет находить двух несовершеннолетних потому что соответствующий им элемент во втором столбце равен нулю.

— 2	4	1	2	+ 0				— 0				+ 2	3	0	1
	3	2	1			?				?			4	1	2
	9	3	1										3	2	1

Мы могли бы заполнить эти два средних минора, но так как они умножаются на 0, на самом деле не имеет значения, что они собой представляют. На самом деле, вы могли бы так же легко пропустить их.

Теперь осталось найти два определителя 3×3.

В первом определителе 3×3, нулей нет, поэтому выберите строку или столбец с наибольшими числами. Что будет столбец 1, поэтому расширьте его по первому столбцу.

Уведомление 4 находится в положительном положении. Таблицы знаков начинаются с каждого новый определитель. Положение числа в исходной матрице не имеет значение только его положение в текущей матрице.

4	1	2
3	2	1	=	+ 4	2	1	— 3	1	2	+ 9	1	2
9	3	1			3	1		3	1		2	1

= 4 (2 — 3) — 3 (1 — 6) + 9 (1 — 4) = 4 (-1) — 3 (-5) + 9 (-3) ) = -4 + 15 — 27 = -16

Рассмотрим другую матрицу 3×3. В этой строке стоит 0 1 и столбец 2. Любой из них был бы хорошим выбором для расширения, но поскольку в строке 1 числа немного больше, мы будем расширяться по первой строке.

3	0	1
4	1	2	=	+ 3	1	2	— 0	?	?	+ 1	4	1
3	2	1			2	1		?	?		3	2

= 3 (1 — 4) — 0 (не имеет значения) + 1 (8 — 3) = 3 (-3) + 1 (5) = -9 + 5 = -4

Когда пойдете искать определитель, помните, что там были элементы из исходная матрица 4 × 4, умноженная на каждый из этих определителей 3 × 3. Первый был -2, а второй +2.

Определитель = -2 (-16) + 2 (-4) = 32 — 8 = 24

Наихудший сценарий

Чтобы найти определитель 3×3 без нулей, нужно найти три определителя 2×2.

Чтобы найти определитель 4×4 без нулей, нужно найти четыре определителя 3×3, каждый из которых затем становится тремя определителями 2×2, всего получается двенадцать определителей 2×2.

Чтобы найти определитель 5×5 без нулей, нужно найти пять определителей 4×4, каждый из которых затем становится четырьмя определителями 3×3, каждый из которых становится тремя определителями 2×2 в сумме из шестидесяти определителей 2×2.

Использование калькулятора

После этой последней проблемы вы должны спросить себя, нет ли более легкого пути. Ну да, есть, если в определителе нет переменных. Вы можете воспользоваться калькулятором.

Обозначение, которое использует калькулятор TI-82 или TI-83, — это обозначение Det A. Итак, после входа в матрицу в одну из доступных матриц на калькуляторе, введите DET, выбрав Матрица, Математика и выбрав вариант 1. Затем введите имя матрицы, которую вы используете.

Вам не нужно использовать круглые скобки (если у вас нет TI-83), но вы можете, если вы хотите найти определитель произведения «det ([A]*[B])» или определитель транспонированного «det ([A] ^T )» как в отличие от транспонирования определителя «(det [A]) ^T» . Кстати, калькулятор не найдет транспонирование определителя, потому что в определитель является скаляром (действительным числом) и калькулятор знает только, как найти транспонирование матрицы. Транспонирование скаляр это что скаляр.

Треугольные матрицы

Вам очень понравится находить определители этих матриц.

Верхняя треугольная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо над ней. То есть все ненулевые значения находятся в верхнем треугольнике. Все, что ниже диагонали является нулем.

Нижняя треугольная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо ниже нее.

То есть все ненулевые значения находятся в нижнем треугольнике. Все, что выше диагонали равен нулю.

Диагональная матрица

Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Все выключено главная диагональ равна нулю.

Определитель треугольной матрицы или диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Элементарные операции со строками

Можно было выполнить три элементарные операции со строками, которые вернули бы эквивалентная система. С определителями, поскольку определитель транспонирования совпадает с определителя матрицы, элементарные операции со строками можно применять и к столбцам.

Выполняя сокращение строк (используя поворот на 1, если хотите), вы можете поместить матрицу в треугольная форма. Как только он будет в треугольной форме, все, что вам нужно сделать, это умножить на элементы на главной диагонали и у вас есть определитель.

Рассмотрим каждую из трех элементарных операций над строками.

1. Если поменять местами две строки или два столбца в определителе, результирующий определитель будет отличаются только знаком. То есть, если вы поменяете местами строки или столбцы, результирующий определитель будет напротив исходного определителя.
2. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу, определитель умножается на эту та же ненулевая константа.
3. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу и добавляете ее к другой строке или столбцу, заменив эту строку или столбец, определитель не изменится.

Эта последняя операция эквивалентна повороту на единицу!

Предупреждение: если ваша точка опоры — это число, отличное от единицы, то вы умножаете каждую строку, которую вы изменение поворотным элементом. Итак, если вы повернетесь на 3 и поменяете две строки, то в результате определитель будет 3 * 3 = 9раз больше исходного определителя.

Пока вы вращаетесь на одной из них, все будет в порядке.

Вам не нужно помещать матрицу в редуцированную строчно-эшелонную форму или даже в строчно-эшелонную форму. Вы можете остановить сокращение в любой момент и расширить его, используя миноры и кофакторы. Что я предложить является сводным, где есть один, а затем расширить.

Определители, равные нулю

Определитель матрицы будет равен нулю, если

1. Вся строка равна нулю.
2. Две строки или столбца равны.
3. Строка или столбец постоянно кратны другой строке или столбцу.

Помните, что матрица обратима, неособа, тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Итак, если определитель равен нулю, матрица вырожденная и не имеет обратной.

Определитель матрицы

Матрица представляет собой массив из множества чисел. Для квадратной матрицы , т. е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов, можно зафиксировать важную информацию о матрице всего одним числом, называемым 9. 1628 определитель . Определитель полезен для решения линейных уравнений, определения того, как линейное преобразование изменяет площадь или объем, а также для изменения переменных в интегралах.

Определитель можно рассматривать как функцию, входом которой является квадратная матрица, а выходом — число. Если $n$ — это количество строк и столбцов в матрице (помните, что мы имеем дело с квадратными матрицами), мы можем назвать нашу матрицу $n \times n$ матрицей. Самая простая квадратная матрица — это матрица $1 \times 1$, которая не очень интересна, поскольку содержит только одно число. Определитель матрицы $1 \times 1$ — это само это число.

При увеличении сложности следующая квадратная матрица представляет собой $2 \times 2$ матрица, которую мы можем записать как \начать{выравнивать*} \левый[ \begin{массив}{cc} а и б\\ CD \конец{массив} \верно]. \конец{выравнивание*}

Вычислим определитель этой матрицы следующим образом. Мы продолжаем по первой строке, начиная с левого верхнего компонента $a$. Мы умножить компоненту $a$ на определитель «подматрицы» формируется путем игнорирования строки и столбца $a$. В этом случае эта подматрица матрица $1 \times 1$, состоящая из $d$, и ее определитель просто $д$. Таким образом, первый член определителя равен $ad$.

Далее переходим ко второму компоненту первой строки, т.е. правая верхняя компонента $b$. Умножаем $b$ на определитель подматрица, образованная игнорированием строки и столбца $b$, т.е. $c$. Итак, следующий член определителя равен $bc$. Общий определитель это просто первый член $ad$ минус второй член $bc$. Мы обозначать это как \начать{выравнивать*} \det\влево(\влево[ \begin{массив}{cc} а и б\\ CD \конец{массив} \верно-верно) = объявление-BC. \конец{выравнивание*}

Хорошо, это было много работы для простого факта. Большинство студентов не есть проблемы с запоминанием определителя матрицы $2 \times 2$ без такой чепухи. Причина прохождения этого процесса должен был упростить вычисление определителя $3 \times 3$ (и больше).

Вычислим определитель матрицы $3\times 3$ \начать{выравнивать*} \левый[ \begin{массив}{ccc} а и б и в \\ д и д и ж \\ г и ч и я \конец{массив} \верно] \конец{выравнивание*} точно таким же образом. Проходим по первой строке и умножаем каждой компоненты определителем подматрицы, образованной игнорированием строку и столбец этого компонента. С помощью этой процедуры мы вычисляем три термина, один для $a$, один для $b$ и один для $c$. Каждый из них члены складываются вместе, только с чередующимися знаками (т. е. первые срок минус второй срок плюс третий срок).

Теперь мы можем записать определитель матрицы $3 \times 3$. \начать{выравнивать*} \det\влево(\влево[ \begin{массив}{ccc} а и б и в \\ д и д и ж \\ г и ч и я \конец{массив} \верно-верно) &= a \det \left(\left[ \begin{массив}{cc} д и ж\\ привет \конец{массив} \верно-верно) -b \det\влево(\влево[ \begin{массив}{cc} д и ж\\ г и я \конец{массив} \верно-верно) +c \det \влево(\влево[ \begin{массив}{cc} д и е \\ г и ч \конец{массив} \верно-верно)\\ &=a(ei-fh) — b(di-fg) + c(dh-eg)\\ &=aei +bfg + cdh -afh -bdi -ceg \конец{выравнивание*}

Теперь, я думаю, вы могли бы запомнить окончательную формулу за 3 доллара. \times 3$ определитель. Но я предпочел бы использовать синаптическую связь моего мозга связи, чтобы сделать что-то более полезное. На самом деле, я боюсь, если я пытался запомнить это, я мог забыть что-то еще важное, например как сочетать одинаковые термины в алгебре.

Описанная выше процедура обобщается на более крупные определители. Например, чтобы вычислить определитель матрицы $4 \times 4$, у нас будет четыре члена, каждый из которых будет содержать определитель $3 x 3$. Если бы мы расширили все эти термины, используя приведенную выше формулу для определителя $3 \times 3$, вы можете себе представить, что у нас была бы довольно уродливая формула. Это слишком грязно, чтобы записывать. Но если надо, то можно. Однако обычно такие уродливые и скучные расчеты мы перекладывали на компьютер.

Ключевой факт, который следует помнить : определитель представляет собой одно число, вычисленное из матрицы.

Альтернативное обозначение

Мы часто записываем определитель $2 \times 2$ как $\left| \begin{массив}{cc} а и б\\ CD \end{array}\right|$ или определитель $3 \times 3$ как \начать{выравнивать*} \влево| \begin{массив}{ccc} а и б и в \\ д и д и ж \\ г и ч и я \конец{массив} \право|.