Как в уравнении найти x: как в уравнении найти x

Поиски x . Магия математики [Как найти x и зачем это нужно]

Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x?), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение

9x – 7 = 47

мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.

Или вот другой пример, чуточку сложнее:

5x + 11 = 2x + 18

Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к

3

x = 7

решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того, что a ? 0).

Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x?). Самый простой вариант квадратного уравнения:

x? = 9

которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде

x? = 10

у нас все еще есть два решения: x = ?10 = 3,16… и x = – ?10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число ?n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом целого числа, ?n легче всего посчитать на калькуляторе.

Отступление

А как насчет уравнения x? = –9? Пока мы вынуждены сказать, что оно не имеет решения: ведь не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат давало бы –9. Но в главе 10 мы увидим, что на самом деле существуют целых два ответа: x = 3i и x = –3i, где i – это так называемое мнимое число с квадратом, равным –1. Пусть пока это кажется вам странным и нелепым. Когда-то нам отрицательные числа казались невозможными. (Что это за количество такое – меньше ноля?) А ведь достаточно просто посмотреть на них под правильным углом, чтобы ухватить суть.

Уравнение вроде

x? + 4x = 12

выглядит немного сложнее из-за этого 4x, зато у нас есть несколько способов его решить – ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.

Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, – метод разложения на множители. Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение превращается в

x? + 4x – 12 = 0

И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили о FOIL и где мы уже видели, что x? + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). А это значит, что наше уравнение преобразуется в

(x + 6)(x – 2) = 0

Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух сложных множителей равно 0, – это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо

x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть

x = –6 или x = 2

что и является ответом (не забудьте проверить).

Применяя метод FOIL, получаем (x + a)(x + b) = x? + (a + b)x + ab. Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа: a и b – с суммой 4 и произведением –12. Ответ – a = 6, b = –2 – позволяет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте попрактикуемся и используем метод разложения на множители x? + 11x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа, которые в сумме давали бы 11, а при умножении – 24. Подходят 3 и 8, а значит

x? + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8).

А теперь взгляните на x? + 9x = –13. Найти множители для x? + 9x + 13 не так-то и просто. Но не отчаивайтесь. В таких случаях на помощь нам придет формула корней квадратного уравнения. Пользу ее переоценить невозможно – вот, смотрите сами:

ax? + bx+ c = 0

имеет решение

Символ ± означает «плюс» или «минус». Для примера: в уравнении

x? + 4x – 12 = 0

a = 1, b = 4, c = –12.

Значит, наша формула утверждает, что

Поэтому x = –2 + 4 = 2 или x = –2 – 4 = –6, что и требовалось доказать. Думаю, вы не станете спорить, что для решения этого примера более уместен был бы метод разложения на множители.

Отступление

Еще одним забавным способом решения квадратных уравнений является метод дополнения до полного квадрата. Например, чтобы решить уравнение x? + 4x = 12, добавим 4 в обе его части, чтобы получить

x? + 4x + 4 = 16

Сделать это нужно для того, чтобы преобразовать левую часть в (x + 2)(x + 2). Так наша задачка превращается в

(x + 2)? = 16

Другими словами, (x + 2)? = 42. Значит,

x + 2 = 4 или x + 2 = –4

что дает нам x = 2 или x = –6, как мы уже выяснили чуть выше.

Но для уравнения

x? + 9x + 13 = 0

наш выбор очевиден – и это формула корней. У нас получается, что a = 1, b = 9, а c = 13. То есть

Согласитесь – в общем-то, не самый очевидный случай. По большому счету, в математике очень немного формул, которые действительно надо помнить, но формула корней квадратного уравнения – одна из них. Достаточно немного попрактиковаться, и вы легко обнаружите, что использовать эту формулу просто, как… дважды два.

Отступление

Почему работает формула корней квадратного уравнения? Давайте запишем уравнение ax? + bx + c = 0 как

ax? + bx= –c

а потом разделим обе части на a (которое не равно 0), чтобы получить

Извлечем квадратный корень из левой и правой частей уравнения:

и в результате получим

Что и требовалось доказать.

Математическое выражение: решение линейного уравнения

00:00:00.210
В этом уроке вы познакомитесь с основами решения линейного уравнения.

00:00:07.100
Рассмотрим уравнение x + 5 = 8. Чтобы решить это уравнение, наша цель — найти значение x. Это означает, чему равен х?

00:00:19.230
Для этого, по логике, мы должны удалить +5.

00:00:25.060
Итак, мы добавляем — 5 в левую часть уравнения.

00:00:30.140
Отсюда, так как мы добавляем -5 к левой части. Вы также должны добавить -5 с правой стороны.

00:00:38.240
Почему мы должны это делать? Это из-за знака равенства здесь. Таким образом, любые термины, которые вы добавляете в левую часть, должны быть в равной степени сбалансированы в правой части.

00:00:50.240
Теперь +5 и -5 компенсируют друг друга. Это оставляет нас с x = 8 -5.

00:00:59,210
Теперь мы можем решить это уравнение на минус 8 с 5. Это дает 3. Таким образом, ответ x = 3.

00:01:10,060
Теперь, после понимания логики, используйте ярлык, чтобы решить это уравнение.

00:01:18.010
Мы можем просто переместить +5 на другую сторону. Помните, когда вы перемещаете его, просто нужно изменить знак на противоположный знак. В этом случае мы меняем знак с положительного на отрицательный.

00:01:32.010
Позвольте мне показать вам. Видите, положительный знак меняется на отрицательный, когда я перемещаю его. Теперь, почему мы должны изменить знак?

00:01:43.030
Это потому, что когда мы перемещаем +5, это то же самое, что удалять +5, добавляя к -5.

00:01:51.070
Итак, когда вы положите его на другую сторону, он должен стать -5. Обратите внимание, что это работает так же, если я сдвину -5 назад.

00:02:05,220
Теперь минус 8 с 5. Это дает 3.

00:02:13,220
Теперь давайте решим x -2 = 8. Помня о задаче, нам нужно удалить -2, чтобы удалить -2, мы добавляем +2 к левой части

00:02:29.110
Поскольку мы добавляем +2 к левой части, нам нужно сбалансировать, добавляя +2 к правой части.

00:02:37.230
Теперь -2 и +2 отменяют друг друга. Мы решаем это уравнение, добавляя 8 к 2. Это дает 10.

00:02:47,110
Теперь у нас есть x = 10.

00:02:51,090
Мы можем использовать ярлык для решения для x. Для этого мы можем просто переместить -2 на другую сторону.

00:03:00.160
Опять же, мы должны изменить знак. Таким образом, отрицательный знак становится положительным знаком. Если я верну его, становится -2.

00:03:16.060
Опять же, зачем нам менять знак? Это потому, что когда мы перемещаем -2, мы фактически удаляем -2, добавляя к нему +2.

00:03:28.160

Итак, когда вы положите его на другую сторону, он станет +2. Это та же идея, что и в предыдущем примере.

00:03:37.230
Теперь добавьте 8 к +2 . Мы получаем 10.

00:03:43.230
Следующий пример решения линейного уравнения: 3x = 9. Помня о цели, мы знаем, что нам нужно удалить 3.

00:03:54.050
Для этого , по логике, мы делим 3x на 3. Точно так же, чтобы сохранить равновесие уравнения, мы также должны разделить 9 на 3.

00:04:06.170
Теперь 3 деления на 3 компенсируют друг друга. У нас осталось х = 9/3. 9 делит на 3, дает 3.

00:04:19.140
Итак, ответ x = 3. Давайте решим это уравнение с помощью сокращения.

00:04:28.030
Поскольку 3 на самом деле умножается на x, когда мы переместим 3 на другую сторону, получится деление. Обратите внимание, что знак не изменился. Позвольте мне объяснить, почему.

00:04:41.020
Это потому, что когда мы делим на обе части на 3. нет никаких манипуляций со знаком. Поэтому нам не нужно менять знак.

00:04:51.200
Чтобы решить это уравнение, мы делим 9 на 3. Таким образом, ответ x равен 3.

00:05:02.000
Следующий пример решения линейного уравнения. Решите x/7 = 2. Чтобы найти x, нам нужно умножить левую часть на 7. Чтобы сбалансировать, мы также должны умножить правую часть на 7.

00:05:16.240
Теперь 7 и 7 сокращаются. друг друга. Следовательно, мы получаем x = 7 во второй скобке. 7 умножить на 2 дает 14.

00:05:29.210
Что касается ярлыка. Поскольку 7 используется для деления х, когда мы поднимаем его, его действие становится умножением. Обратите внимание, что вы должны заключать в скобки все термины на этой стороне.

00:05:44.100
Обратите внимание, знак не изменился. Причина этого аналогична предыдущему примеру.

00:05:51.080
Теперь умножьте 7 на 2. Вы получите х = 14.

00:05:56.210
На этом уроке по решению линейного уравнения все. Часть 2 будет содержать больше объяснений и примеров того, как решать линейные уравнения, используя то, что вы уже узнали.

2 способа найти x

Учиться усваивать знания

/

Изучая стратегии

/

Подходы к обучению

Алгебра не была бы интересной, если бы найти x было так просто!

Все дело в использовании пошаговой логики для определения пропущенных чисел.

Существует несколько способов найти x.

Одно всегда равно другому

Уравнение происходит от слова равно , поэтому одна сторона уравнения всегда будет равна другой стороне. Если вы сможете найти ценность одной стороны, вы узнаете ценность и другой.

Проработай это!

Используйте приведенные ниже подсказки, чтобы решить это уравнение:

2x = 12 — 8

• Каково значение правой части?

• Какое число, если его умножить на 2, даст такое же значение правой части?

Что такое х?

Противоположности притягиваются

Поскольку обе части уравнения равны, они уравновешивают друг друга. Если вы посмотрите на символ одной стороны и примените противоположный символ к другой стороне, вы можете найти баланс, чтобы решить уравнение.

Думайте об этом как о качелях. Если человек с одной стороны качелей находится на земле, другой человек должен надавить на другую сторону, чтобы качели выровнялись.

Итак, если одна сторона имеет умножение ? Используйте деление на другой стороне , чтобы вычислить баланс.

Проработай это!

5x — 3 = 12

Вам нужно изолировать x слева, поэтому вам нужно получить 5 и 3 справа.

Выполните следующие шаги, чтобы решить это уравнение:

• Переместите — 3 вправо, сделайте его + 3, и добавьте к 12

  50 справа от значения 9 сторона: 12 + 3 = 15

• Переместите 5 вправо и разделите на 15

Что такое х?

Действовать

Кто знает, что вы сможете решить дальше!

Как только вы освоитесь с этими стратегиями решения x, вы сможете делать все больше и больше с алгеброй.