Как возвести число в большую степень: Быстрое возведение в степень.

К сожалению пример не очень удачный, но короткий (быстро закончился, 1 в 11-й степени это 1), а так, в конце у нас может появиться к примеру такой вот список:
$$
[7]_{5} * [4]_{5} * [3]_{5} * [2]_{5} * [1]_{5} * [2]_{5}
$$
В этом случае их попарно перемножаем и каждый раз после умножения находим остаток, к примеру:
$[7]_{5} * [4]_{5} = [3]_{5} $

Теперь более-менее общее описание алгоритма:

• Сразу сокращаем исходное выражение, пример: $[7]_{5} = [2]_{5}$
• Добиваемся чётной степени путём выноса множителя и добавления его в список (при добавлении в список на любителя, можно копить элементы и потом их попарно умножать, либо оптимизировать и при добавлении элемента смотреть, если там уже один есть, то мы просто перемножаем добавляемый с уже имеющимся и записываем остаток при делении на модуль — таким образом «список» никогда не вырастет больше одного элемента и по-сути не станет «списком»)
• Повторяем предыдущий пункт нужное кол-во раз
• Перемножаем между собой элементы списка (эффективно, тоесть используя свойства применяемые выше), и оставшейся элемент в списке перемножаем с полученным элементом операцией «понижения степени» и получаем результат (не забываем что он должен быть тоже поделён на модуль и ответ — остаток — хотя это не обязательно — так как это эквивалентные числа)

Вот и всё, пора показать пример на python (кому было непонятно описание выше — поможет код):

def Zpow(a, p, m):
    """
    Функция возведения в степень по модулю
    принимает 3 аргумента
    a - сам математический аргумент, возводимое число
    p - степень
    m - модуль
    """
    result = 1
    while p > 2: # когда степень сократится до квадрата и меньше - завершаем
        if p % 2 == 0: # если степень кратна 2
            a = (a ** 2) % m
            p = p // 2 # целочисленное деление (на всякий)
        else:
            result = (result * a) % m
            p = p - 1
    a = (a ** p) % m
    result = (result * a) % m
    return result

Можете поиграть с этой функцией — она очень быстро считает, и так как в Питоне по умолчанию все числа Большие, то попробуйте вбивать самые большие числа в аргументы этой функции, какие взбредут вам в голову!!!
В Криптоусиках, также реализована эта функция — и я всячески старался повесить сервак — не получилось.

Зная сколько студентов на лабах по-программированию сломали голову с этой процедурой возведения в степень по-модулю, я думаю этот материал будет полезен.

§ 4. Приближенное вычисление иррациональных чисел

Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10^2 . Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо

Вычисление квадратных корней, кубичных корней и других корней невысокой степени — вполне доступный нам арифмети­ческий процесс; вычисляя, мы последовательно, один за дру­гим, пишем знаки десятичной дроби. Но для того, чтобы воз­вести в иррациональную степень или взять логарифм (решить обратную задачу), нужен такой труд, что применить прежнюю процедуру уже не просто. На помощь приходят таблицы. Их называют таблицами логарифмов или таблицами степеней, смотря по тому, для чего они предназначены. Они экономят время: чтобы возвести число в иррациональную степень, мы не вычисляем, а только перелистываем страницы.

Хотя вычисление собранных в таблицы значений — проце­дура чисто техническая, а все же дело это интересное и имеет большую историю. Поэтому посмотрим, как это делается. Мы

вычислим не только x=10 ^V2 , но решим и другую задачу: 10^x=2, или x=log₁₀2. При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чисел.

Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 10¹ и 10^1/10, и 10^1/100, и 10^1/1000, и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 10^1,414…, или 10 ^2 . Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Од­нако вместо 10^1/10 и т. д. мы будем вычислять 10^1/2, 10^1/4 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы об­ращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математи­ческой задачи вычисления корней, потому что

log_b(ac)= log_ba+log_bc.

Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логариф­мов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычис­лений положен только принцип, общее свойство логарифмиче­ской функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-ни­будь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предпо­ложим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение b^а=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решить уравнение х^а‘=с. Это легко сделать, пото­му что

.

Теперь посмотрим, как составляют таблицу логарифмов. Работа начинается с последовательных извлечений квадрат­ного корня из 10. Результат можно увидеть в табл. 22.1. Показатели степеней записаны в ее первом столбце, а числа 10^S— в третьем. Ясно, что 10¹=10. Возвести 10 в половинную степень легко — это квадратный корень из 10, а как извлекать квадратный корень из любого числа, знает каждый. Итак, мы нашли первый квадратный корень; он равен 3,16228. Что это дает? Кое-что дает.

Таблица 22.1 • последовательные извлечения

КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ 10

Мы уже можем сказать, чему равно 10^0,5, и знаем по крайней мере один логарифм. Логарифм числа 3,16228 очень близок к 0,50000. Однако нужно еще приложить неболь­шие усилия: нам нужна более подробная таблица. Извлечем еще один квадратный корень и найдем 10^1/4,что равно 1,77828. Теперь мы знаем еще один логарифм: 1,250— это логарифм числа 17,78; кроме того, мы можем сказать, чему равно 10^0,75: ведь это 10^(0,5+0,25), т. е. произведение второго и третьего чисел из третьего столбца табл. 22.1. Если сделать первый столбец таблицы достаточно длинным, то таблица будет содержать поч­ти все числа; перемножая числа из третьего столбца, мы полу­чаем 10 почти в любой степени. Такова основная идея таблиц. В нашей таблице содержится десять последовательных корней из 10; основной труд по составлению таблицы вложен в вычис­ления этих корней.

Почему же мы не продолжаем повышать точность таблиц дальше? Потому что мы кое-что уже подметили. Возведя 10 в очень малую степень, мы получаем единицу с малой добавкой. Это, конечно, происходит потому, что если возвести, например, 10^1/1000 в 1000-ю степень, то мы снова получим 10; ясно, что `0^1/1000 не может быть большим числом: оно очень близко к еди­нице. Более того, малые добавки к единице ведут себя так, буд­то их каждый раз делят на 2; поглядите-ка на таблицу повни­мательнее: 1815 переходит в 903, потом в 450, 225 и т. д. Таким образом, если вычислить еще один, одиннадцатый, квадратный корень, он с большой точностью будет равен 1,00112, и этот результат мы угадали еще до вычисления. Можно ли сказать, какова будет добавка к единице, если возвести 10 в степень /1024, когда  стремится к нулю? Можно. Добавка будет приблизительно равна 0,0022511. Конечно, не в точности 0,0022511 ; чтобы вычислить эту добавку поточнее, делают та­кой трюк: вычитают из 10^S единицу и делят разность на показа­тель степени s. Отклонения полученного таким образом част­ного от его точного значения одинаковы для любой степени s. Видно, что эти отношения (см. четвертый столбец табл. 22.1) примерно равны. Сначала они все-таки сильно отличаются друг от друга, но потом все ближе подходят друг к другу, явно стремясь к какому-то числу. Что это за число? Проследим, как меняются числа четвертого столбца, если опускаться вниз по столбцу. Сначала разность двух соседних чисел равна 0,0211, потом 0,0104, потом 0,0053 и, наконец, 0,0026. Разность каждый раз убывает наполовину. Сделав еще один шаг, мы доведем ее до 0,0013, потом до 0,0007, 0,0003, 0,0002 и, наконец, примерно до 0,0001; надо последовательно делить 26 на 2. Таким обра­зом, мы спустимся еще на 26 единиц и найдем для предела

2.3025. (Позднее мы увидим, что правильнее было бы взять

2.3026. но давайте возьмем то, что у нас получилось.) Пользуясь этой таблицей, можно возвести 10 в любую степень, если ее показатель каким угодно способом выражается через 1/1024. Теперь легко составить таблицу логарифмов, потому что все необходимое для этого мы уже припасли. Процедура этого изо­бражена в табл. 22.2, а нужные числа берутся из второго и третьего столбцов табл. 22.1.

Таблица 22.2 • ВЫЧИСЛЕНИЯ log₁₀2

Предположим, что мы хотим знать логарифм 2. Это значит, что мы хотим знать, в какую степень надо возвести 10, чтобы получить 2. Может быть, возвести 10 в степень ¹/₂? Нет, полу­чится слишком большое число. Глядя на табл. 22.1, можно ска­зать, что нужное нам число лежит между ¹/₄ и ¹/₂. Поиск его начнем с ¹/₄; разделим 2 на 1,788…, получится 1,124…; при де­лении мы отняли от логарифма двух 0,250000, и теперь нас интересует логарифм 1,124…. Отыскав его, мы прибавим к результату ¹/₄=256/1024. Найдем в табл. 22.1 число, которое бы при движении по третьему столбцу сверху вниз стояло сразу за 1,124… . Это 1,074607. Отношение 1,124… к 1,074607 равно 1,046598. В конце концов мы представим 2 в виде произведения чисел из табл. 22.1:

2=(1,77828)•(1,074607)•(1,036633) • (1,0090350)•(1,000573).

Для последнего множителя (1,000573) в нашей таблице места не нашлось; чтобы найти его логарифм, надо представить это число в виде 10^/¹⁰²⁴1+2,3025/1024. Отсюда легко найти, что =0,254. Таким образом, наше произведение мож­но представить в виде десятки, возведенной в степень 1/1024 (256+32+16+4+0,254). Складывая и деля, мы полу­чаем нужный логарифм: log₁₀2=0,30103; этот результат верен до пятого десятичного знака!

Мы вычисляли логарифмы точно так же, как это делал мистер Бриггс из Галифакса в 1620 г. Закончив работу, он сказал: «Я вычислил последовательно 54 квадратных корня из 10». На самом деле он вычислил только 27 первых корней, а потом сделал фокус с . Вычислить 27 раз квадратный корень из 10, вообще-то говоря, немного сложнее, чем 10 раз, как это сделали мы. Однако мистер Бриггс сделал гораздо большее: он вычислял корни с точностью до шестнадцатого десятичного знака, а когда опубликовал свои таблицы, то оставил в них лишь 14 десятичных знаков, чтобы округлить ошибки. Соста­вить таблицы логарифмов с точностью до четырнадцатого деся­тичного знака таким методом — дело очень трудное. Зато це­лых 300 лет спустя составители таблиц логарифмов занимались тем, что уменьшали таблицы мистера Бриггса, выкидывая из них каждый раз разное число десятичных знаков. Только в последнее время при помощи электронных вычислительных ма­шин оказалось возможным составить таблицы логарифмов не­зависимо от мистера Бриггса. При этом использовался более эффективный метод вычислений, основанный на разложении логарифма в ряд.

Составляя таблицы, мы натолкнулись на интересный факт: если показатель степени  очень мал, то очень легко вычислить 10^; это просто 1+2,3025е. Это значит, что 10ⁿ/^2,3025 =1+n для очень малых n. Кроме того, мы говорили с самого начала, что вычисляем логарифмы по основанию 10 только потому, что у нас на руках 10 пальцев и по десяткам нам считать удобнее. Логарифмы по любому другому основанию получаются из ло­гарифмов по основанию 10 простым умножением. Теперь на­стало время выяснить, не существует ли математически выде­ленного основания логарифмов, выделенного по причинам, не имеющим ничего общего с числом пальцев на руке. В этой есте­ственной шкале формулы с логарифмами должны выглядеть проще. Составим новую таблицу логарифмов, умножив все логарифмы по основанию 10 на 2,3025…. Это соответствует пере­ходу к новому основанию — натуральному, или основанию е. Заметим, что log_ (l+n)n или еⁿ1+n, когда n0.

Легко найти само число е; оно равно 10¹/^2,3025 или 10^0,434294… Это 10 в иррациональной степени. Для вычисления е можно воспользоваться таблицей корней из 10. Представим 0,434294… сначала в виде 444,73/1024, а числитель этой дроби в виде суммы 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Число е поэтому равно произведению чисел

(1,77828)•(1,33352)•(1,074607)•(1,036633)•(1,018152)X(1,009035)(1,001643) =2,7184.

(Числа 0,73 нет в нашей таблице, но соответствующий ему ре­зультат можно представить в виде 1+2,3025 и вычислить, чему равна .) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррацио­нальных чисел. Вот как надо обращаться с иррациональностями.

экспонентов, правила, которые дадут вам большую власть над числами

08.05.2018 | 0

Эпизод №7 курса «Основы математики» Джона Робина

Вы готовы углубиться в следующую тему нашего курса «Основы математики»? Сегодня мы познакомимся с удивительным миром экспонентов.

В уроке 3 я показал вам, как использовать показатели степени, когда мы учились записывать произведение простых чисел в любом составном числе. Например, я упомянул, что 288 — это 2x2x2x2x2x3x3, но более компактным способом записи было бы 2 ⁵ (3 ² ). 1024 — это 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2. 2 умножается на десять. Таким образом, в экспоненциальной записи мы бы просто написали:

1024 = 2 ¹⁰

Гораздо проще!

В этом показателе число 2 называется основанием, а число 10 — показателем степени. Думайте о базе как о числе, которое многократно умножается. Это ваша отправная точка, она же домашняя база.

Теперь, точно так же, как у нас были некоторые правила с двумя квадратными корнями, у нас есть правила о том, что происходит, когда два показателя степени сходятся вместе.

Давайте поработаем с числом 2 в качестве нашего примера (но учтите, что вы можете использовать любое число).

1. Если перемножить два одинаковых основания, объединить их и прибавить их степени:

Это то же самое, что сказать:

2 ³ x 2 ⁸ = 23 143 143 113 это с точки зрения того, откуда пришли экспоненты. 2 ³ это 2x2x2. 2 ⁸ равно 2x2x2x2x2x2x2x2. Сколько всего двоек (оснований) есть? 3 + 8 = 11,

2. Если два одинаковых основания делятся друг на друга, сложите их и вычтите их степени:

Это то же самое, что сказать:

(2 ⁸ ) / (2 ³ ) = 2 ⁵

Подумайте об этом с точки зрения происхождения показателей. 2 ⁸ равно 2x2x2x2x2x2x2x2. 2 ³ это 2x2x2.

Как это выглядит дробью?

(2x2x2x2x2x2x2x2) / (2x2x2)

Мы можем вычеркнуть 2 в числителе вместо каждых 2 в знаменателе, оставив 2x2x2x2x2, т. е. 2 ⁵ . Это то же самое, что вычесть количество двоек в знаменателе (3) из количества двоек в числителе (8).

3. Если основание степени само по себе является основанием другого числа степени, умножьте степени вместе:

Это немного сложнее. Это выглядит так:

(2 ³ ) ⁸ = 2 ²⁴

Здесь две базы. Первый внутри равен 2. Он возведен в степень 3. Второй равен (2 ³ ). Все это действует как одно основание, возведенное в степень 8.

Чтобы понять, что здесь происходит, давайте снова посмотрим на это с точки зрения того, что делают показатели степени:

2 ³ = 2x2x2.

Итак, у нас есть:

(2x2x2) ⁸

Показатель степени 8 говорит нам умножить (2x2x2) сам на себя восемь раз. Это выглядит так:

(2x2x2)x(2x2x2)x(2x2x2)x(2x2x2)x(2x2x2)x(2x2x2)x(2x2x2)x(2x2x2)

Глаза болят? Смотрите на него ровно столько, чтобы убедиться, что (2 ³ ) ⁸ равно 2 ²⁴ , потому что 2 ³ умножается само на себя восемь раз, что равносильно умножению 2 на себя 24 (3×8) раза.

4. Отрицательная экспонента переворачивает дробь, затем становится положительной:

Проще говоря:

2 ^-1 = 1/2

(1/2) ^-1 = 20 3/59) ^-1 = (59/3)

Если показатель степени больше 1, вы просто применяете правила с первого по третий выше к тому, что осталось:

(2 ³ ) / (2 ⁸ ) = 2 ^-3 = (1/2) ³ = (1/8)

знаменатель — корень:

До сих пор мы много работали с квадратными корнями: √7, √2, √3. В качестве показателя степени квадратный корень имеет показатель степени 1/2:

√7 = (7) ^1/2

Подумайте о том, что мы уже узнали о показателях степени. Показатель степени говорит нам, сколько раз нужно умножить число само на себя. В случае квадратного корня мы умножаем его на себя в 1/2 раза. Выполнение этого дважды вернет нам номер.

Используя эту идею, мы можем видеть, например, что кубический корень, записанный как ³ √7, будет тремя равными числами, которые вместе дают 7. В записи экспоненты это будет (7) ^1/3 , и мы можем представить это как 7, умноженное само на себя в 1/3 раза.

Мы можем расширить это до любого корня, ⁿ √7 (в качестве примера я использую 7, но вы можете поместить туда любое основание). Они называются n-ми корнями.

Если у вас показатель степени дроби с числителем больше 1, вы просто применяете правила с первого по четвертое, указанные выше:

16 ^3/4 = ( ⁴ √16) ³ = (2) ³ = 8

И вот посмотрите, что мы можем сделать с показателями степени. Оставайтесь с нами на завтрашнем уроке, где мы будем изучать их близких родственников: логарифмы.

Поделись с друзьями

Обретение Высшей Силы – 5 практических способов повысить духовное осознание

«Доверься Богу. Чистый дом. Помочь другим.» Мы все слышали это раньше.

Звучит достаточно просто, но так ли это на самом деле? Наиболее распространенная форма опасений в организациях по восстановлению, особенно в программах, основанных на двенадцати шагах, заключается в концепции поиска высшей силы. Я слышал, как люди бесчисленное количество раз говорили, что «они не понимают всей сути Бога». Эта неуверенность не бесполезна, и, к сожалению, нежелание найти высшую силу мешает многим наркоманам найти выздоровление и равновесие.

В этой статье мы надеемся поделиться личным опытом относительно того, что значит найти высшую силу, и, что более важно, почему вера в силу, более могущественную, чем вы сами, имеет огромные преимущества в выздоровлении и в жизни.

Бог и двенадцать шагов

Очень немногие люди приходят в программу двенадцати шагов с ясным пониманием своих верований, и еще меньше людей живут в соответствии с духовными принципами. «Жить в» духовных принципах — это концепция, изложенная в Большой Книге Анонимных Алкоголиков . Самая большая ошибка, которую совершают люди, состоит в том, что они полагают, что высшая сила является предопределенной концепцией, которую они вынуждены принять. В Большой Книге ясно сказано, что человек должен «избрать Бога по своему собственному пониманию». Это очень сбивает с толку многих людей. Так что же это означает?

Нам нравится быть очень простыми и непредвзято относиться к вопросам Бога. Идеи будут отличаться от человека к человеку. Я расскажу о своем собственном опыте путешествия, которое я предпринял, чтобы найти высшую силу, и о том, как это помогло мне.

Высшая сила — это нечто большее, чем вы сами. Идея проста. Это то, к чему нужно принадлежать. Людям нужно чувствовать связь с чем-то. Человеческий инстинкт требует, чтобы мы чувствовали себя «частью» и чувствовали себя принадлежащими. Для меня высшая сила была чем-то таким же простым, как энергия.

Как и многие другие молодые люди, выздоравливающие, я был озадачен тем, как Бог в моем понимании может помочь мне. Я спросил: «Какое отношение ко всему этому имеет Бог?»

Многие наркоманы проводят свою жизнь на пути своеволия. Своеволие и контроль — это иллюзия; оно существует только в нашем собственном восприятии реальности. Обретение высшей силы — это способ отказаться от контроля и, следовательно, отказаться от бремени будущего. Единственное, что каждый из нас может контролировать, это собственные действия . Вот и все. Все остальное находится и всегда будет полностью вне нашего контроля. «Отдать это Богу» — это просто средство для принятия. Чем ближе вы связаны со своей высшей силой, тем легче передать вещи.

Наука и духовность

Когда я впервые услышал об этой идее, я занял оборонительную позицию. Я провел так много лет, думая, что Бог был просто механизмом, созданным людьми, чтобы внести ясность в то, чего мы не понимаем. Меня не устраивала и до сих пор не устраивает мысль о том, что жизнь предопределена для нас Богом. Я аналитичен и люблю эмпирические данные.

В начале моего выздоровления я просто принимал все за чистую монету. Я действовал согласно предложениям, данным мне другими людьми. Я слышал, что если бы я делал все это, то оставался бы трезвым, а это то, чего я хотел. Однако я не мог отрицать, что очень немногое из этого имело для меня смысл. Но я продолжал искать.

Вот что случилось со мной. Я говорю это не для того, чтобы навязать вам свои убеждения. Я просто указываю, что если я могу найти высшую силу, то это возможно и для любого другого, у кого могут быть сомнения.

Я всегда считал, что все во Вселенной имеет энергию. Более того, все ЯВЛЯЕТСЯ энергией. Это научно доказано. Все связано. Я изучал эту идею. Мне стало ясно, что наука и духовность на самом деле не так уж сильно отличаются.

Все во Вселенной связано; растения, небо, звезды и даже гравитация. Все это взаимодействует в совершенной гармонии, чтобы создать это прекрасное существование и взаимосвязь энергии. Я понял, что у меня уже есть высшая сила. Меня не нужно было убеждать, потому что это было основано на фактах. Я обнаружил, что просто быть живым означало, что я был связан со всеми вокруг меня и со всем, что когда-либо будет существовать. Это было такое откровение. Я нашел, во что верить. Тогда я еще не понимал, зачем мне это нужно.

Как мне может помочь Высшая Сила??

Жизнь по собственной воле приносит большое давление. Когда мы пытаемся контролировать исход вещей, мы обнаруживаем, что у нас мало успеха. Что бы ни случилось, происходит без нашего согласия. Понимание того, что за всем стоит управляющая сила, снимает бремя контроля. Что бы ни случилось, это просто произойдет. Правда в том, что ни вы, ни я, ни кто-либо другой мало что могут сделать, чтобы контролировать исход жизни.

Отказ от контроля над результатами освободит ваш разум и дух. Не позволяйте дилемме Высшей Силы помешать вам жить своей жизнью.

Аналогия, которую я нахожу полезной, — плыть по течению реки. Река собирается течь, однако она решает течь. Река сильнее меня. Я не могу контролировать реку. Что я могу контролировать, так это мои действия. Если я застрял в реке, я могу бороться с течением. Это утомит меня, и я никуда не денусь. Я буду тратить энергию. Мой другой вариант — позволить реке нести меня своим курсом. Таким образом, я могу экономить свою энергию и жить с результатами того, где моя высшая сила решает, что я должен быть. Трудно не бороться с течением. Трудно смиренно признать, что я ничего не могу сделать. Уверяю вас, позволить течению жизни унести вас гораздо проще и гораздо приятнее.

Высшая сила даст вам то, к чему вы будете принадлежать. Принадлежность к чему-то более сильному, чем вы сами, дает вам силу, потому что вы больше не одиноки. Вы будете подключены к бесконечному количеству энергии. Нам нужно только отпустить контроль и прислушаться к тому, куда нас направляет наша высшая сила. Мы все хотим чувствовать связь.

Как найти высшую силу?

Я понимаю, что то, что я сказал, может не иметь смысла для всех. Что наиболее важно, так это то, что это послание доходит до тех, кто все еще не понимает Бога. Все это звучит хорошо и величественно, но как кто-то может поверить?

Вот несколько простых советов, которые помогут вам найти то, что вы ищете.

1 – Будьте открытыми

Слушайте все, что говорят люди. Вы не обязаны соглашаться со всеми. Вы имеете абсолютно право не соглашаться с чьими-либо взглядами. Тем не менее, слушайте с открытым сознанием. Усвойте информацию, а затем примите решение, работает она на вас или нет. Вы обнаружите, что у вас больше общего с другими людьми, чем вы думаете.

2 — Медитация

Молчать. Слушать. В жизни, и особенно в нашем обществе, так трудно успокоить свой ум. Очень трудно найти покой, когда вокруг нас постоянно происходит столько шума. Посвятите некоторое время тому, чтобы побыть наедине с собой; ни музыки, ни мобильного телефона, ни телевизора. Сядьте спокойно и тренируйтесь быть в настоящем моменте. Делайте это последовательно, и вы достигнете новых глубин самопознания.

3 – Молитесь

Лично мне кажется, что когда я молюсь, меня никто не слушает. Я не уверен, что есть всезнающее божество, слушающее то, что я хочу сказать. Важно то, что когда вы молитесь, вы взаимодействуете со своей высшей силой. Вы формируете отношения с управляющими силами Вселенной. Я не могу объяснить, как и почему, но я обещаю вам, что Вселенная возразит.

4 -Помогайте людям

Когда вы служите другим, вы выходите за пределы себя. Когда мы помогаем другим людям, все наши собственные страхи и неуверенность исчезают, потому что мы сосредоточены на чем-то вне нас самих. Служение другим — прямая линия к пониманию высшей силы. Когда вы чувствуете результат доброго дела, это само по себе награда, и вы, вероятно, почувствуете себя частью чего-то гораздо большего.

5 – Продолжайте искать

Вы должны оставаться открытыми для новых идей и открытий. Никто никогда не сможет полностью понять Бога. Человеческое состояние не дает абсолютной ясности в этом.