Как возвести в степень скобку: Как возвести в степень выражение в скобках

alexxlab / / Разное

Содержание

Как возвести в степень выражение в скобках

Содержание

  • 1 Степень суммы
  • 2 Степень разности
  • 3 Квадрат многочлена
  • 4 Куб трехчлена
  • 5 Понятие возведения в степень
  • 6 Как возвести число в натуральную степень
  • 7 Как возвести число в целую степень
  • 8 Как возвести число в дробную степень
  • 9 Как возвести число в иррациональную степень

Содержание

  1. Степень суммы
  2. Степень разности
  3. Квадрат многочлена
  4. Куб трехчлена
  5. Понятие возведения в степень
  6. Как возвести число в натуральную степень
  7. Как возвести число в целую степень
  8. Как возвести число в дробную степень
  9. Как возвести число в иррациональную степень

Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы
Степень разности
Квадрат многочлена
Куб трехчлена
Сумма нечетных степеней
Разность нечетных степеней
Разность четных степеней

Степень суммы

Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y) 2 = (x + y)(x + y) ,
(x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) ,
(x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y)

Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 1. – Степень суммы

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)
суммы		(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Куб (третья степень) суммы(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Четвертая степень суммы(x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4
Пятая степень суммы(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
Шестая степень суммы(x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6
……

Квадрат (вторая степень) суммы

Куб (третья степень) суммы

Четвертая степень суммы

Пятая степень суммы

Шестая степень суммы

…

Общая формула для вычисления суммы

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

Таблица 2. – Степень разности

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)
разности		(x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2
Куб (третья степень) разности(x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3
Четвертая степень разности(x – y) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4
Пятая степень разности(x – y) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5
Шестая степень разности(x – y) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6
……

Квадрат (вторая степень) разности

Куб (третья степень) разности

Четвертая степень разности

Пятая степень разности

Шестая степень разности

…

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :

Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

Следующая формула называется «Куб трехчлена» :

Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( — 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 2 в степень — 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь — 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную — значения не имеет: 0 — 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Вычислите приближенное значение 21 , 174367 .

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.

Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а 2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a 3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a 1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a x , показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, b m и d n возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b m = b 3 ; но если m = 5, тогда b m =b 5 .

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d) 3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a 2 , второй член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третий член. a 4 .a = a 5 .

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a 5 :a = a 4 и a 3 :a = a 2 .
a 4 :a = a 3 a 2 :a = a 1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3 ) = a 3 .

Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a 0 .

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0, -1, -2, -3, -4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa) 2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a 4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y 6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть x n или xxx. n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy) 4 , или d 4 h 4 y 4 .

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad) n или 6 n a n d n .

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y) 3 , или 27m 3 .8y 3 .

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и — , вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b) 1 = a + b, первая степень.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , вторая степень (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , третья степень.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , четвертая степень.

Квадрат a — b, есть a 2 — 2ab + b 2 .

Квадрат a + b + h есть a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.

Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 также, (a — h)(a — h) = a 2 — 2ah + h 2 .

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a 2 + 4ab + b 2 .

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d2 + 6dh + h 2 .

Пример 4. Квадрат a — 1 есть a 2 — 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b) 2 .
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x) n

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)] 3 , или a 3 .(b + d) 3 .

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.

Вторая степень (- a) есть +a 2
Третья степень (-a) есть -a 3
Четвёртая степень (-a) есть +a 4
Пятая степень (-a) есть -a 5

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a 2
И -a. -a = +a 2

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Третья степень a 2 есть a 2.3 = a 6 .

Для a 2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a 2 .

Четвертая степень a 3 b 2 есть a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Третья степень 4a 2 x есть 64a 6 x 3 .

Пятая степень (a + b) 2 есть (a + b) 10 .

N-ая степень a 3 есть a 3n

N-ая степень (x — y) m есть (x — y) mn

(a 3 .b 3 ) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4 ) 3 = a 9 b 6 h 12

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a -2 есть a -3.3 =a -6 .

Для a -2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвертая степень a 2 b -3 есть a 8 b -12 или a 8 /b 12 .

Квадрат b 3 x -1 , есть b 6 x -2 .

N-ая cтепень ax -m есть x -mn или 1/x .

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a 3 есть +a 6 . Квадрат -a 3 есть -a 3 . -a 3 , которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a 6 .

2. Но куб -a 3 есть -a 9 . Для -a 3 . -a 3 . -a 3 = -a 9 .

3. N-ая степень -a 3 есть a 3n .

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a 2 /b 2 . Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a 2 , 1/a 3 и 1/a n .

Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + ½ и x — ½.
(x + ½) 2 = x 2 + 2.x.(½) + ½ 2 = x 2 + x + ¼
(x — ½) 2 = x 2 — 2.x.(½) + ½ 2 = x 2 — x + ¼

2. Квадрат a + 2/3 есть a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Квадрат x — b/m есть x 2 — 2bx/m + b 2 /m 2 .

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.

Так, в дроби ax -2 /y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax-2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дроби a/by 3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by2 = (a/b).(1/y 3 ) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax 3 /b = a/bx -3 . Для x 3 обратным есть x-3, что есть x 3 = 1/x -3 .

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

Как возвести число к степени в Excel с помощью формулы и оператора

Часто пользователям необходимо возвести число в степень. Как правильно сделать это с помощью «Экселя»?

В этой статье мы попробуем разобраться с популярными вопросами пользователей и дать инструкцию по правильному использованию системы. ».

Мы возвели 8 в «квадрат» (т.е. ко второй степени) и получили в ячейке «А2» результат вычисления.



Вариант №2. С использованием функции

В Microsoft Office Excel есть удобная функция «СТЕПЕНЬ», которую вы можете активизировать для осуществления простых и сложных математических расчетов.

Функция выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

ВНИМАНИЕ!

  1. Цифры для этой формулы указываются без пробелов и других знаков.
  2. Первая цифра – значение «число». Это основание (т.е. цифра, которую мы возводим). Microsoft Office Excel допускает введение любого вещественного числа.
  3. Вторая цифра – значение «степень». Это показатель, в который мы возводим первую цифру.
  4. Значения обоих параметров могут быть меньше нуля (т.е. со знаком «-»).

Формула возведения в степень в Excel

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().

С использованием мастера функций:

  1. Запускаем мастера функций с помощью комбинации горячих клавиш SHIFT+F3 или жмем на кнопку в начале строки формул «fx» (вставить функцию). Из выпадающего списка «Категория» выбираем «Математические», а в нижнем поле указываем на нужную нам функцию и жмем ОК.
  2. В появившимся диалоговом окне заполняем поля аргументами. К примеру, нам нужно возвести число «2» в степень «3». Тогда в первое поле вводим «2», а во второе — «3».
  3. Нажимаем кнопку «ОК» и получаем в ячейке, в которую вводили формулу, необходимое нам значение. Для данной ситуации это «2» в «кубе», т.е. 2*2*2 = 8. Программа подсчитала все верно и выдала вам результат.

Если лишние клики вы считаете сомнительным удовольствием, предлагаем еще один простой вариант.

Ввод функции вручную:

  1. В строке формул ставим знак «=» и начинаем вводить название функции. Обычно достаточно написать «сте» — и система сама догадается предложить вам полезную опцию.
  2. Как только увидели такую подсказку, сразу жмите на клавишу «Tab». Или можете продолжить писать, вручную вводить каждую букву. Потом в скобках укажите необходимые параметры: два числа через точку с запятой.
  3. После этого нажимаете на «Enter» — и в ячейке появляется высчитанное значение 8.

Последовательность действий проста, а результат пользователь получает достаточно быстро. В аргументах вместо чисел могут быть указаны ссылки на ячейки.

Корень в степени в Excel

Чтобы извлечь корень с помощью формул Microsoft Excel, воспользуемся несколько иным, но весьма удобным способом вызова функций:

  1. Перейдите по закладке «Формулы». В разделе инструментов «Библиотека функций» щелкаем по инструменту «Математические». А из выпадающего списка указываем на опцию «КОРЕНЬ».
  2. Введите аргумент функции по запросу системы. В нашем случае необходимо было найти корень из цифры «25», поэтому вводим его в строку. После введения числа просто нажимаем на кнопку «ОК». В ячейке будет отражена цифра, полученная в результате математического вычисления корня.

ВНИМАНИЕ! Если нам нужно узнать корень в степени в Excel то мы не используем функцию =КОРЕНЬ(). Вспомним теорию из математики:

«Корнем n-ой степени от числа а называется число b, n-ая степень которого равна а», то есть:
n√a = b; bn = a.

(1/n)- где a-число; n-степень:

Или через такую функцию: =СТЕПЕНЬ(32;1/5)

В аргументах формулы и функции можно указывать ссылки на ячейки вместо числа.

Как в Excel написать число в степени?

Часто вам важно, чтобы число в степени корректно отображалось при распечатывании и красиво выглядело в таблице. Как в Excel написать число в степени? Здесь необходимо использовать вкладку «Формат ячеек». В нашем примере мы записали цифру «3» в ячейку «А1», которую нужно представить в -2 степени.

Последовательность действий следующая:

  1. Правой кнопкой мыши щелкаем по ячейке с числом и выбираем из выскакивающего меню вкладку «Формат ячеек». Если не получилось – находим вкладку «Формат ячеек» в верхней панели или жмем комбинацию клавиш CTRL+1.
  2. В появившемся меню выбираем вкладку «Число» и задаем формат для ячейки «Текстовый». Жмем ОК.
  3. В ячейке A1 вводим рядом с числом «3» число «-2» и выделяем его.
  4. Снова вызываем формат ячеек (например, комбинацией горячих клавиш CTRL+1) и теперь для нас только доступна вкладка «Шрифт», в которой отмечаем галочкой опцию «надстрочный».
    И жмем ОК.
  5. В результате должно отображаться следующее значение:

Пользоваться возможностями Excel просто и удобно. С ними вы экономите время на осуществлении математических подсчетов и поисках необходимых формул.

Круглые скобки и степени в порядке операций

Автор: Марк Зегарелли и

Обновлено: 25-04-2016

Базовая математика и предварительная алгебра для чайников
90 012 Исследуйте книгу Купить на Amazon

Когда выражение имеет скобки и степени, оценивайте их в следующем порядке: содержимое скобок, степени слева направо, умножение и деление слева направо, сложение и вычитание слева направо.

  1. Содержимое скобок

    Выражение в степени (небольшое выпуклое число, обозначающее степень) группирует это выражение так же, как скобки. Оцените любое выражение с надстрочным индексом до одного числа, прежде чем оценивать мощность.

    Другими словами, чтобы найти 5 3–1 , вы можете представить, что 3–1 находится в скобках, что сделает задачу 5 (3–1) = 5 2 = 25,

    .

    Несколько других символов, с которыми вы можете быть знакомы, также группируют выражения вместе, как скобки. К ним относятся символ квадратного корня и столбцы абсолютных значений.

  2. Степени слева направо

  3. Умножение и деление слева направо

  4. Сложение и вычитание слева направо

Примеры вопросов

  1. Оценка (8 + 6 2 ) / (2 3 – 4).

    11. Начните с оценки содержимого первого набора скобок. Внутри этого набора сначала оцените мощность, а затем выполните сложение:

    (8 + 6 2 ) / (2 3 – 4)

    = (8 + 36) / (2 3 – 4)

    = 44 / (2

    3 – 4)

    Перейти к следующему набору скобок, сначала оценивая степень, а затем вычитание:

    = 44 / (8 – 4) = 44 / 4

    Завершите вычислением деления: 44 / 4 = 11.

  2. Найдите значение –1 + (–20 + 3 3 ) 2 .

    48. Когда все содержимое набора скобок возведено в степень, оцените, что находится внутри скобок, прежде чем оценивать степень. Внутри этого набора сначала оцените мощность, а затем дополнение:

    –1 + (–20 + 3 3 ) 2 = –1 + (–20 + 27) 2 = –1 + 7 2

    Далее оцениваем мощность 7 2 = 7 х 7 = 49:

    = –1 + 49

    Завершите вычислением сложения: –1 + 49 = 48

Практические вопросы

  1. Найти (6 2 – 12) / (16 / 2 3 ).

  2. Оценка –10 – (2 + 3

    2 x –4).

  3. 7 2 – (3 + 3 2 / –9) 5 = ?

  4. Что такое (10 – 1 14 x 8) 4 / 4+5

Ниже приведены ответы на практические вопросы:

  1. (6 2 – 12) / (16 / 2 3 ) = 12.

    Сосредоточившись на содержимом первого набора скобок, оцените степень, а затем вычитание:

    (6 2 – 12) / (16 / 2 3 )

    = (36 – 12) / (16 / 2 3 )

    = 24/(16/2 3 )

    Далее работайте внутри второго набора скобок, оценивая сначала степень, а затем деление:

    = 24/(16/8) = 24/2

    Завершить, оценив деление:

    = 24 / 2 = 12

  2. –10 – (2 + 3 2 x –4) = 24.

    Ориентируясь на содержимое скобок, оцените сначала степень, затем умножение, а затем сложение:

    –10 – (2 + 3 2 x –4) = –10 – (2 + 9 x – 4) = –10 – (2 + –36) = –10 – (–34)

    Завершить вычислением вычитания:

    –10 – (–34) = 24

  3. 7 2 – (3 + 3 2 / –9) 5 = 17.

    Фокусируя внутри скобки, сначала оцените степень, затем деление, а затем сложение:

    7 2 – (3 + 3 2 / –9) 5

    =7 2 – (3 + 9 / –9) 5

    =7 2 – (3 + –1) 5

    =7 2 – 2 5

    Затем оцените обе силы по порядку:

    = 49 – 2 5 = 49 – 32

    Чтобы закончить, оцените вычитание:

    49 – 32 = 17

  4. (10 – 1 14 x 8) 4/4+5 = 64.

    Сосредоточив внимание на первом наборе скобок, оцените сначала степень, затем умножение, а затем вычитание:

    (10 – 1 14 x 8) 4/4+5 = (10 – 1 x 8) 4/4+5 = (10 – 8) 4/4+5 = 2 4 /4+5

    Затем обработайте выражение в показателе степени, вычислив сначала деление, а затем сложение:

    2 1+5 = 2 6

    Чтобы закончить, оцените мощность:

    2 6 = 64

Об этом артикуле

Этот артикул можно найти в категории:

  • Основы математики,

Правила экспоненты | Начальная алгебра

Цели обучения

  • Правила произведения и частного
    • Использование правила произведения для умножения экспоненциальных выражений
    • Используйте правило отношения для деления экспоненциальных выражений
  • Правило мощности для показателей
    • Используйте правило степени для упрощения выражений, включающих произведения, частные и показатели степени
  • Отрицательные и нулевые показатели
    • Определение и использование правила нулевого показателя степени
    • Определение и использование правила отрицательного порядка
  • Упрощение выражений с использованием правил экспоненты
    • Упрощение выражений с использованием комбинации правил экспоненты
    • Упрощение сложных экспоненциальных выражений с отрицательными показателями

 

Повторяющееся изображение

Анатомия экспоненциальных членов

Мы используем экспоненциальную запись для повторного умножения. {3}[/латекс] 9{2}[/латекс]

Показать решение

В следующем видео вам представлены дополнительные примеры применения показателей степени к различным основаниям.

Вычисление выражений

Вычисление выражений, содержащих экспоненты, аналогично вычислению линейных выражений из предыдущего курса. Вы подставляете значение переменной в выражение и упрощаете.

Вы можете использовать порядок операций для вычисления выражений, содержащих показатели степени. Во-первых, оцените что-нибудь в скобках или сгруппируйте символы. Затем найдите Экспоненты, затем Умножение и Деление (читая слева направо) и, наконец, Сложение и Вычитание (опять же, читая слева направо). 9{3}[/latex] если [latex]x=4[/latex], сначала подставьте значение 4 для переменной x . Затем оцените, используя порядок операций.

В приведенном ниже примере обратите внимание на то, как добавление круглых скобок может изменить результат при упрощении терминов с показателями степени.

Добавление круглых скобок имело большое значение! Скобки позволяют применять показатель степени к переменным или числам, которые умножаются, делятся, складываются или вычитаются друг из друга.

Внимание! Включение отрицательного знака в состав основы часто приводит к путанице. Ниже приведен пример, чтобы прояснить, применяется ли отрицательный знак до или после экспоненты. 9{2}\\=\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)\\={ 9}\end{array}[/latex]

Чтобы запомнить это, нужно следовать Порядок операций. Первое выражение не содержит круглых скобок, поэтому вы сначала примените показатель степени к целому числу 3, а затем примените знак минус. Второе выражение включает круглые скобки, так что, надеюсь, вы помните, что отрицательный знак также возводится в квадрат.

В следующих разделах вы узнаете, как упростить выражения, содержащие экспоненты. Вернитесь на эту страницу, если вы забудете, как применять порядок операций к терму с показателями степени, или забудете, где основание, а где показатель степени!

В следующем видеоролике представлены примеры вычисления экспоненциальных выражений для заданного числа.

Использование правила произведения для умножения экспоненциальных выражений

Экспоненциальное представление было разработано для более эффективного написания многократного умножения. Бывают случаи, когда проще или быстрее оставить выражения в экспоненциальной записи при умножении или делении. Давайте рассмотрим правила, которые позволят вам это сделать.

9{а+б}[/латекс].

Чтобы умножить экспоненциальные члены с одним и тем же основанием, сложите показатели степени.

Внимание! Когда вы читаете математические правила, важно обращать внимание на условия правила. Например, при использовании правила произведения вы можете применять его только в том случае, если умножаемые члены имеют одно и то же основание, а показатели степени являются целыми числами. Условия математических правил часто даются до формулировки правила, как в этом примере оно гласит: «Для любого числа x 9{x}}[/латекс].

Чем это правило отличается от силы, возведенной в силу? Чем оно отличается от правила произведения для показателей на предыдущей странице?

Если у переменной есть показатель степени, используйте правило степени: умножьте показатели степени.

Возведение частного в степень

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если возвести частное в степень. Помните, что частное означает деление. Предположим, у вас есть [латекс] \displaystyle \frac{3}{4}[/latex] и вы увеличиваете его до 3 9{4}}}[/latex], где показатель степени в числителе (вверху) был больше, чем в знаменателе (внизу), поэтому последний показатель степени после упрощения всегда был положительным числом и больше нуля. В этом разделе мы рассмотрим, что происходит, когда мы применяем правило отношения для показателей степени и получаем отрицательную или нулевую степень.

Что делать, если показатель степени равен нулю?

Чтобы понять, как это определяется, начнем с примера. Мы будем использовать идею о том, что деление любого числа само на себя дает результат 1,9.{0}[/latex] не определено.

Как и ранее, для вычисления выражений, содержащих показатели степени 0 или 1, подставьте значение переменной в выражение и упростите его.

В следующем видео пример вычисления выражения с нулевым показателем степени, а также упрощение при получении результата с нулевым показателем степени.

Определение и использование правила отрицательного показателя степени

Мы предложили еще один вопрос в начале этого раздела. {n}}}[/latex], что происходит, когда 9{-2}}[/latex] Напишите свой ответ, используя положительные показатели степени.

Показать решение

В следующем видео вы увидите примеры упрощения выражений с отрицательными показателями.

Упрощение выражений с помощью комбинации правил экспоненты

Как только правила экспоненты будут понятны, вы сможете приступить к упрощению более сложных выражений. Есть много приложений и формул, которые используют экспоненты, и иногда выражения могут быть довольно загроможденными. Упрощение выражения перед вычислением часто может упростить вычисление, как вы увидите в следующем примере, в котором используется правило отношения для упрощения перед заменой x на 4.

Обратите внимание, что вы могли решить эту задачу, подставив 4 вместо x и 2 вместо y в исходном выражении. Вы все равно получите ответ 96, но вычисления будут намного сложнее. Обратите внимание, что вам даже не нужно было использовать значение y для вычисления приведенного выше выражения.

В следующем видео показаны примеры вычисления экспоненциального выражения для заданных чисел.

Обычно проще упростить выражение перед подстановкой каких-либо значений для ваших переменных, но в любом случае вы получите один и тот же ответ. В следующих примерах вы увидите, как упростить выражения, используя различные комбинации правил для показателей степени.

Следующие примеры требуют использования всех правил экспоненты, которые мы уже изучили. Помните, что правила произведения, мощности и частного применяются, когда ваши термины имеют одну и ту же основу.

Упрощение выражений с отрицательными показателями

Теперь мы добавим последний слой к нашим навыкам упрощения показателей степени и попрактикуемся в упрощении составных выражений, в которых есть отрицательные показатели степени. Стандартным соглашением является записывать показатели как положительные, потому что пользователю легче понять значение, связанное с положительными показателями, а не с отрицательными показателями. 9{-4}}[/latex]

Запишите свой ответ с положительными показателями. В таблице ниже показано, как упростить одно и то же выражение двумя разными способами: сначала преобразовать отрицательные показатели степени в положительные, а затем применить правило произведения для показателей степени. Вы увидите, что для каждого метода есть столбец, описывающий правило экспоненты или другие шаги, предпринятые для упрощения выражения.

9{-1}}[/latex]

Запишите свой ответ с положительными показателями.

Показать решение

В следующем разделе вы узнаете, как записывать очень большие и очень маленькие числа с использованием показателей степени.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта

Переписать с положительными показателями сначала Описание предпринятых действий