Как вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах: Найти площадь параллелограмма построенного на векторах AB (3; 0; -4), AD (0, 5, 0)

Найти площадь параллелограмма,построенного на векторах!=( — Спрашивалка

Найти площадь параллелограмма,построенного на векторах!=( — Спрашивалка

СМ

Светлана Мариськина

векторы: (a+3b) и (3a+b), если |a|=|b|=1, а угол между векторами а и b равен 30 градусов.

• площадь
• вектор
• параллелограмм

ОГ

Оксана Гаврилюк

АГ

Алексей Грай

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, вычисляется как произведение длин этих векторов на синус угла между ними. Если известны только координаты векторов, то для вычисления нужно применять координатные методы, в том числе и для определения угла между ))))))))))))
1
В том случае, если известны длины векторов и угол между ними, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, найдите произведение их модулей (длин векторов) , на синус угла между ними S=│a│•│ b│•sin(α).

2
Если векторы заданы в декартовой системе координат, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на них, проделайте следующие действия:
3
Найдите координаты векторов, если они не даны сразу, отняв от соответствующих координат концов векторов, координаты из начал. Например, если координаты начальной точки вектора (1;-3;2), а конечной (2;-4;-5), то координаты вектора будут (2-1;-4+3;-5-2)=(1;-1;-7). Пусть координаты вектора а (x1;y1;z1), вектора b(x2;y2;z2).
4
Найдите длины каждого из векторов. Возведите каждую из координат векторов в квадрат, найдите их сумму x1²+y1²+z1². Из получившегося результата извлеките корень квадратный. Для второго вектора проделайте ту же процедуру. Таким образом, получится │a│и│ b│.
5
Найдите скалярное произведение векторов. Для этого перемножьте их соответствующие координаты и сложите произведения │a b│= x1• x2+ y1•y2+ z1• z2.
6
Определите косинус угла между ними для чего скалярное произведение векторов, получившееся в п. 3 поделите на произведение длин векторов, которые были рассчитаны в п. 2 (Cos(α)= │a b│/(│a│•│ b│)).
7
Синус полученного угла будет равен корню квадратному из разности числа 1, и квадрата косинуса того же угла, рассчитанного в п. 4 (1-Cos²(α)).
8
Рассчитайте площадь параллелограмма, построенного на векторах найдя произведение их длин, вычисленное в п. 2, а результат умножьте на число, получившееся после расчетов в п. 5.
9
В том случае, если координаты векторов заданны на плоскости, при расчетах координата z просто отбрасывается. Данный расчет является числовым выражением векторного произведения двух векторов.

КУ

Константин Удаков

Найти площадь параллелограмма построенного на векторах с координатами (2,-2, 0, 1, 2) и (-1, 0, 2, 2, -2)

ОС

Ольга Середа

модуль векторного произведения

Похожие вопросы

как найти площади параллелограмма

как найти площадь параллелограмма построенного на векторах

Помогите, пожааалуйста: Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b

вычислить площадь параллелограмма простроенного на векторах a и b

Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах 2а-3b,a+4b,если известно что! а! =1, !b!=2 и угол между вект

найти площадь параллелограмма построенного на векторах пространства а (5;-4;7) и b(-2;0;1)

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах (7, -5, 0) и (0, 3, -6).

вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. найти длину вектора а?

Как вычислить площадь параллелограмма, построенного на двух векторах?

Помогите найти площадь параллелограмма

Найти длины сторон параллелограмма построенного на векторах. Векторное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора .

Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением

неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором .

Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах

, заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.

Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье . Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.

Задача: параллелограмм построен на векторах и . Найдите площадь, если , а угол между ними 30°.
Выразим вектора через их значения:

Возможно, у вас возник вопрос – откуда взялись нули? Стоит вспомнить, что мы работаем с векторами, а для них . также обратите внимание, что если в результате мы получаем выражение ,то оно будет преобразовано в. Теперь проводим итоговые вычисления:

Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.

Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами

Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a (x1;y1;z1), а вектора b (x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:


Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.

Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними .
Теперь можем найти синус этого же угла:
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.

Перекрестное произведение — Math Insight

Есть два способа получить произведение пары векторов. Одним из таких методов умножения является перекрестное произведение , которому посвящена эта страница. Другое умножение — скалярное произведение, которое мы обсуждаем на другой странице.

Перекрестное произведение определено только для трехмерных векторов. Если $\vc{a}$ и $\vc{b}$ — два трехмерных вектора, то их векторное произведение, записанное как $\vc{a} \times \vc{b}$ и произносимое как «a cross b , — еще один трехмерный вектор. Мы определяем этот вектор перекрестного произведения $\vc{a} \times \vc{b}$ следующими тремя требованиями:

1. $\vc{a} \times \vc{b}$ — вектор, перпендикулярный обоим $\vc{a}$ и $\vc{b}$.
2. Величина (или длина) вектора $\vc{a} \times \vc{b}$, записанная как $\|\vc{a} \times \vc{b}\|$, представляет собой площадь параллелограмм натянутый на $\vc{a}$ и $\vc{b}$ (т.е. параллелограмм, смежные стороны — это векторы $\vc{a}$ и $\vc{b}$, как показано на рисунке ниже).
3. Направление $\vc{a} \times \vc{b}$ определяется правило правой руки. (Это означает, что если мы согнем пальцы правой рукой от $\vc{a}$ до $\vc{b}$, затем большой палец указывает на направление $\vc{a} \times \vc{b}$. )

На приведенном ниже рисунке показано, как с помощью тригонометрии мы можем вычислить, что площадь параллелограмм, натянутый на $\vc{a}$ и $\vc{b}$, является \начать{выравнивать*} \|\vc{а}\| ~ \|\vc{b}\| \sin\тета, \конец{выравнивание*} где $\тета$ угол между $\vc{a}$ и $\vc{b}$. На рисунке показан параллелограмм с основанием длиной $\|\vc{b}\|$ и перпендикулярная высота $\|\vc{a}\| \sin\тета$.

Эта формула показывает, что величина векторного произведения равна наибольшее, когда $\vc{a}$ и $\vc{b}$ перпендикулярны. С другой стороны, если $\vc{a}$ и $\vc{b}$ параллельны или любой из векторов является нулевой вектор, то векторное произведение является нулевым вектором. (Это хороший Дело в том, что в этих случаях мы получаем нулевой вектор, так что приведенное выше определение по-прежнему имеет смысл. Если векторы параллельны или один вектор является нулевым вектором, тогда не существует уникальной линии перпендикулярно обоим $\vc{a}$ и $\vc{b}$. Но так как есть только один вектор нулевой длины, определение по-прежнему однозначно определяет перекрестное произведение.)

Ниже приведен апплет, который помогает проиллюстрировать, как перекрестное произведение работает. Хотя, по общему признанию, трудно манипулировать точным образом, вы можете убедиться, что перечисленные выше свойства перекрестное произведение удовлетворяется вектором перекрестного произведения, показанным на апплет.

Загрузка апплета

Перекрестное произведение. Вектор $\color{red}{\vc{c}}$ (обозначен красным) является векторным произведением векторов $\color{blue}{\vc{a}}$ (обозначен синим) и $\color{green}{\vc{b}}$ (зеленым цветом), $\color{red}{\vc{c}} = \color{blue}{\vc{a}} \times \color{ зеленый}{\vc{b}}$. Параллелограмм, образованный параллелограммом $\color{blue}{\vc{a}}$ и $\color{green}{\vc{b}}$, розовый на той стороне, где перекрестное произведение $\color{red}{\ точки vc{c}}$ и фиолетовый цвет на противоположной стороне. Используя мышь, вы можете перетаскивать кончики стрелок векторов $\color{blue}{\vc{a}}$ и $\color{green}{\vc{b}}$, чтобы изменить эти векторы. Посмотрите, как векторное произведение $\color{red}{\vc{c}}$ и параллелограмм изменяются в ответ. (Вы не можете изменить вектор красного перекрестного произведения $\color{red}{\vc{c}}$ напрямую.) Трехмерную перспективу этого графика будет легче воспринимать, если вы будете вращать фигуру, перетаскивая ее рукой. мышь.

Дополнительная информация об апплете.

Обратите внимание, что площадь параллелограмма (и, следовательно, величина векторного произведения) стремятся к нулю при приближении $\vc{a}$ и $\vc{b}$ параллельный (где термин «параллельный» также включает то, что вы может считаться антипараллельным). Вы также можете убедиться, что апплет демонстрирует $\vc{b} \times \vc{a} = — \vc{a} \times \vc{b}$ и $\vc{a} \times \vc{a} = \vc{0}$, которые являются важными свойствами креста. товар.

Геометрическое определение перекрестного произведения полезно для понимания его свойств. Однако это не слишком удобно для численного вычисления векторного произведения векторов, заданных через их координаты. Для таких расчетов вам может понадобиться формула перекрестного произведения в терминах компонентов. Имея на руках формулу перекрестного произведения, вы можете быстро выполнить любой расчет, как показано на этих примерах вычисления перекрестных произведений и площадей параллелограммов.

линейная алгебра — Площадь параллелограмма по двум векторам

спросил 5 лет, 10 месяцев назад

Изменено 5 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Определите значение $a$ такое, что площадь параллелограмма, определяемая $u = (2,1,-1)$ и $v = (1,-1,a)$, равна $\sqrt{62} $.