Как объяснить «очевидные» свойства и понятия?
Предлагаю в этой теме обсуждать практическое обоснование свойств, формул и понятий, используемых в математике, и вводимых в 5-6 классах (а то и раньше).
Просто лично мне ужасно не нравится, когда свойство, которое мы пока не можем строго доказать, вводится по принципу «Так надо». Например, почему мы должны поменять знак числа, когда переносим его в другую часть уравнения? Почему мы должны перемножить числители и знменатели, чтобы перемножить дроби? Увы, многие учебники не дают разумных примеров, которые иллюстрируют данные вопросы. Тем не менее, уверен, у каждого из здесь присутствующих есть свои «фишки», с помощью которых они решают данную проблему. Поэтому предлагаю здесь коллекционировать подобные методы, идеи, примеры.
Для затравки: вот пара моих (сразу оговорюсь: наверняка, не только я использую эти идеи, так что на авторство не претендую, а лишь делюсь).
1) Насчет переноса из одной части в другую.
Что такое уравнение? Представим двухчашечные весы, на левой чашке которых стоит левая часть, а на правой — правая. Раз стоит знак равенство, значит весы в равновесии. Предположим, мы хотим перенести слагаемое (для определенности, 5) слева направо. Значит, слева мы 5 «снимаем». Но тогда, чтобы весы остались в равновесии, мы должны ровно столько же «снять» и справа, так что для сохранения равенства из правой части мы вычитаем 5. Отсюда и берется смена знака при переносе.
2) Почему, когда упрощается выражение, скажем, 2х + 3 + 3х + 2 нужно складывать иксы с иксами, а числа с числами? Все просто! Предположим, скоро приходят гости, а на стол нужно поставить конфеты и бутерброды. Разумеется, мы положим бутерброды с бутербродами (на одно блюдо), а конфеты с конфетами — на другое. Так же и с упрощением выражений: иксы мы группируем с иксами, а числа — с числами.
3) Как найти площадь круга чисто практически? Для длины окружности все более-менее ясно: померяли ниточкой, вычислили длину ниточки.
Из того, что я не знаю, но хотел бы узнать, как «естественно» объяснить. Где в повседневной жизни может встретиться НОК? Да, я понимаю, что если, например, я пробегаю круг за 4 мин, а моя жена за 5 мин, то чтобы узнать, когда я ее обгоню на круг, нужен НОК. Примерно то же самое можно адаптировать к движению планет. Но это все как-то… Не знаю, не очень естественно. Может, у вас есть другие примеры?
Буду рад вашим ответам, примерам, а заодно и тому, для каких тем вы НЕ знаете разумных примеров — уверен, вместе мы подберем!
Откуда появилось число e
наукаВ школе мы познакомились с постоянными как \(e\) и \(\pi\).
Если с \(\pi\) все понятно – это длина окружности на его диаметр, то о надобности \(e\) не все так ясно. Так откуда возникло \(e\)? Почему он в основе натурального логарифма? Да и почему логарифм — натуральный? Давайте разберемся.
Arman Bolatov
• 3 мин. чтения
В этом нам поможет банк! А именно сложные проценты в депозитах.
Предположим, вы положили немного денег в депозит и банк ежегодно начисляет проценты на эти деньги в размере 100%. Тогда через год вы будете иметь сумму в 2 раза большую чем было. Но вам не хочется ждать весь год и хотите видеть начисление процентов чуть чаще. Как же тогда быть? Допустим теперь банк начисляет проценты два раза каждые шесть месяцев, но предлагает только половину процентной ставки. Иначе говоря, вы вкладываете \(X\) денег в январе, к июню накапливается \(X\cdot(1+0.
Постоянную Эйлера можно обнаружить и при дифференциировании (а значит и интегрировании). Почему это важно? Да потому-что половину физических/природных явлений, таких как:
- Скорость роста популяции размножающихся с постоянной скоростью;
- Скорость разрядки/зарядки конденсатора;
- Скорость распада радиоактивного изотопа;
Можно описать с помощью линейных дифференциальных уравнений типа:\[ \frac{dx}{dt} = k \cdot x \]И если проинтегрировать это выражение, можно получить экспоненциальный рост (распад) с числом \(e\) в основании.
Стоять.
Возможно, вы уже знакомы с дифференциированием и интегрированием и готовы решить уравнение выше. А именно, вы хотите воспользоватсья фактом:\[ \int \frac{dx}{x} = \ln(x) \]Но так не интересно! Откуда берется это значение? Из таблицы интегралов? А что такое таблица интегралов? На самом деле, мы можем сами вывести этот факт. Давайте рассмотрим производную логарифма с основанием \(a\):\[ \frac{d}{dx} \log_a (x) \]По определению производной то что написано выше равно:\[\lim_{u \rightarrow 0}\left( \frac{\log_a(x+u) — \log_a(x)}{u} \right) \] \[ = \lim_{u \rightarrow 0}\left( \frac{\log_a(1+u/x)}{x\cdot u/x} \right) \] Вытащим \(x\) из лимита (т.
{n} \right) \]Это же наша \(e\)-шка!\[ = \frac{1}{x} \log_a (e) \]Если \(a\) равно \(e\), тогда значение сильно упрощается и мы получаем:\[ \frac{d}{dx} \log_e (x) = \frac{1}{x} \]Этот результат прекрасен по нескольким причинам. Во-первых, мы вывели значение интеграла из таблицы, а значит мы можем взять пирожок с полочки. А во-вторых, он прост, а в математике есть негласное правило: чем проще, тем лучше. Мы можем обозначить этот особый логарифм \(\log_e(x)\) как \(\ln(x)\)
Теперь мы знаем почему\[ \int \frac{dx}{x} = \ln(x) \]А вместе с этим мы знаем почему \(e\) так часто появляется при моделировании экспоненциального роста или распада, от бактерий до радиоактивности. В общем, если кто-нибудь скажет, что математика не связана с природой – вам будет что ответить!
Логарифм для получения первой цифры числа 3 ноября 2015 г., 15:12
#1
Привет:
Я написал эту программу, чтобы получить первую и последнюю цифры заданного числа.
Вот программа:
импортировать математику
число = 23456
lastNumber = число% 10
firstNumber = число // 10 ** int(math.log(число, 10))
print("Первое число: ", firstNumber)
print("Последнее число:", lastNumber)
Эта функция журнала выполняет свою работу и печатает:
Первое число: 2 Последнее число: 6
Миттиниг
#2
У меня проблемы с отслеживанием вас.
Вы уверены, что не путаете логарифм с алгоритмом?
en.wikipedia.orgЛогарифм
Страницы для вышедших из системы редакторов узнать больше В математике логарифм — это функция, обратная возведению в степень.
Это означает, что логарифм числа x по основанию b — это показатель степени, в которую нужно возвести b, чтобы получить x. Например, поскольку 1000 = 103, основание логарифма 10 числа 1000 равно 3, или log10 (1000) = 3. Логарифм x по основанию b обозначается как logb (x), или без круглых скобок, logb x, или даже без скобок. явное основание, log x, когда невозможна путаница, или когда основание делает….
en.wikipedia.orgАлгоритм
Страницы для вышедших из системы редакторов узнать больше В математике и информатике алгоритм (/ˈælɡərɪðəm/ (слушать)) представляет собой конечную последовательность строгих инструкций, обычно используемых для решения класса конкретных задач или для выполнения вычислений. Алгоритмы используются в качестве спецификаций для выполнения вычислений и обработки данных. Более продвинутые алгоритмы могут использовать условные операторы, чтобы отклонять выполнение кода по различным маршрутам (называемым автоматическим принятием решений) и выводить действительные значения i.
в сборе21
#3
Программа, которую я написал, работает с формулой и возвращает первую цифру заданного числа с помощью функции журнала. Так что я имею в виду функцию журнала. Я просто хотел уточнить формулу. Я просто добавил, что программа печатает, чтобы было понятнее. Заранее спасибо.
Веб-машина