Координаты | ЕГЭ по математике (профильной)
Русский язык Математика (профильная) Обществознание Физика История Биология Химия Английский язык Информатика Литература
Задания Варианты Теория
Округление Проценты Операции с числами Графики Диаграммы Векторы Линейные, квадратные, кубические уравнения Рациональные уравнения Иррациональные уравнения Показательные уравнения Операции со степенями Логарифмические уравнения Тригонометрические уравнения и преобразования Преобразование логарифмических выражений Преобразование иррациональных выражений Преобразование рациональных выражений Задачи с физическим смыслом Задачи на прогрессии и проценты (включая часть С) Задачи на движение по прямой и по окружности Задачи на движение по воде Задачи на производительность труда Окружности и её элементы Координаты Треугольник Четырехугольники и многоугольники Задачи на координатной сетке Прямоугольные треугольники Равнобедренные треугольники Треугольники общего вида Четырехугольники Касательные, секущие, хорды Вписанные и описанные окружности Теория вероятностей Производная Наибольшее и наименьшее значение функции Первообразная Куб Прямоугольный параллелепипед Призма Пирамида Многогранники Комбинации тел Цилиндр, конус, шар Уравнения, часть С Планиметрия, часть С Стереометрия, часть С Неравенства, часть С Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть С Задача повышенной сложности, часть С
Разбор сложных заданий в тг-канале:
Посмотреть
Координатная плоскость состоит из двух взаимно перпендикулярных координатных прямых. Началом отсчета на обеих прямых принято считать точку их пересечения (точку $О$). Горизонтальная ось $О_х$ называется абсциссой, вертикальная ось $О_у$ — ординатой.
У каждой точки на плоскости есть две координаты, в скобках на первом месте всегда стоит координата $Х$, на втором $Y$, например $М(2;3)$ – читается: точка $М$ имеет координату $х=2$, координату $у=3$.Симметрия точек относительно осей координат:
- У точек, симметричных относительно оси $О_х$ абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.
- У точек, симметричных относительно оси $О_у$ ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.
Векторы и отрезки в координатах:
1. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.
2. Координаты середины отрезка (вектора) равны среднему арифметическому координат его концов.
Пример:
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.
2$Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Пример:
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
$sin B={AC}/{AB};$
$cos B={BC}/{AB};$
$tg B={AC}/{BC};$
$ctg B={BC}/{AC}.$
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Практика: решай 3 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)
математика (база): Задачи на координатной сетке
Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxy (см. рис. 207). Длина отрезка AB, для которого известны координаты его концов A(xA; yA) и B(xB; yB), определяется по формуле
Если точки A и B симметричны относительно оси Ox (оси абсцисс), то их ординаты противоположны (см. рис. 208), а абсциссы равны: A(x; y), B(x; −y).
Если точки A и C симметричны относительно оси Oy, то их абсциссы противоположны, а ординаты равны: A(x; y), C(−x; y).
Если точки A и D симметричны относительно начала координат, то их координаты противоположны: A(x; y), D(−x; −y).
Координаты и векторы в пространстве
1. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.
4. Любой вектор можно единственным образом разложить по трём некомпланарным векторам.
9. Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов.
Задачи с решениями
Найдите расстояние от точки B с координатами (12; −5) до начала координат (см. рис. 209)
Решение.
Ответ: 13.
Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(2; 5) относительно оси Oy (см. рис. 210).
Решение.
Точке A симметрична точка B(−2; 5) (см. рис. 211). Абсцисса точки B равна −2
Ответ: -2.
Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A(−4; 6) и B(2; 4) (см. рис. 212).
Решение.
Ответ: 5.
Точки A(−1; −2), B(4; −1), C(6; 5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей (см. рис. 213).
Решение.
Ответ: 2,5
Найдите ординату центра окружности (см. рис. 214), описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (2; 2), (2; −6), (−4; −6), (−4; 2)
Решение.
Ответ: -2
Точки O(0; 0), B(8; 2), C(0; 8) являются вершинами параллелограмма (см. рис. 215). Найдите ординату точки M
Решение.
Ордината — это координата по оси Oy. Она равна длине отрезка HM (см. рис. 216). HB = 2, так как ордината B равна 2. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то OC = BM = 8. Тогда HM = 2 + 8 = 10
Ответ: 10
Прямая a проходит через точки с координатами (0; 2) и (−4; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; −4) и параллельна прямой a (см. рис. 217). Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Решение.
1-й способ.
Нарисуем картинку на клетчатой бумаге (см. рис. 218).
Абсцисса точки пересечения прямой b с осью Ox равна длине отрезка OA. Так как прямые параллельны, углы HCO и ABK равны, достроим 2 треугольника BKT и TMA, равных треугольнику HCO.
OA = BK + TM = 4 + 4 = 8.
Ответ: 8.
2-й способ.
Треугольники CHO и BOA подобны по трём углам (см. рис. 219), значит, их стороны пропорциональны. OB : OH = OA : OC, тогда 4 : 2 = OA : 4. OA = 8.
Ответ: 8
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (12; 0) и (0; 12) (см. рис. 220).
Решение.
1-й способ.
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox (там, где на оси стрелочка). В нашей задаче это угол a (см. рис. 221).
Ответ: -1
2-й способ.
Ответ: -1
Как найти середину отрезка
Все ресурсы по промежуточной геометрии
8 Диагностические тесты 250 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
Промежуточная помощь по геометрии » Координатная геометрия » Линии » Формула середины » Как найти середину отрезка
Что такое середина между и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Середина определяется путем взятия среднего значения координат и по отдельности.
Пусть и
Таким образом, формула средней точки становится и
Таким образом, средняя точка равна
Сообщить об ошибке
Какова середина отрезка, соединяющего точки и
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Используйте формулу средней точки:
Сообщить об ошибке
Даны две точки и и отрезок, соединяющий их.
Что такое середина отрезка? Кроме того, какова длина отрезка?
Возможные ответы:
Средняя точка:
Длина:
Средняя точка:
Длина:
Средняя точка:
Длина:
Средняя точка:
Длина:
Средняя точка:
Длина:
Правильный Ответ:
Midpoint:
Длина:
. Объяснение:
Формула средней точки выглядит следующим образом:
Это имеет смысл; это так же просто, как среднее значение компонентов и каждой точки.
Для этой задачи .
Итак, середина равна
Формула расстояния выглядит следующим образом:
Порядок, в котором вы ставите первый и второй компоненты каждой точки, НЕ имеет значения, когда положительное или отрицательное число возводится в квадрат, оно всегда будет положительным.
Таким образом, расстояние равно
Сообщить об ошибке
Найдите середину отрезка, идущего от до .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти середину отрезка, необходимо найти среднее значение значений x и среднее значение значений y.
Наши значения x равны и чтобы найти их среднее значение, мы делаем это.
Наши значения y равны и , поэтому наше среднее значение равно . Следовательно, наша средняя точка должна быть .
Сообщить об ошибке
Найти координату середины отрезка, соединяющего пару точек
и .
Возможные ответы:
Невозможно определить
Правильный ответ:
Пояснение:
Координата середины отрезка, соединяющего пару точек, равна
Итак, для пары точек и,
получаем:
Сообщить об ошибке
Найти координату точки середина отрезка, соединяющего пару точек
и .
Возможные ответы:
Невозможно определить
Правильный ответ:
5
5 Объяснение:
Координата середины отрезка, соединяющего пару точек, равна
.
Таким образом, для пары точек и
мы получаем
Сообщить об ошибке
Линия проходит от начала координат до . Какова его середина?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Исходной точкой является точка. Мы можем использовать обычную формулу средней точки с as и заданной точкой как :
Обратите внимание, что, поскольку первая точка является исходной, мы усредняем эти точки с 0 или, другими словами, просто делим на 2.
Сообщить об ошибке
Между двумя точками (5, 10) и (3, 6) есть отрезок. Какая формула даст вам правильную середину отрезка?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти среднюю точку по двум точкам на координатной плоскости, вы в основном находите среднее значение значений x и среднее значение значений y. Для этого следуйте приведенной ниже формуле:
С нашими точками это дает:
Сообщить об ошибке
Линия имеет конечные точки в точках (4,5) и (-6,8). Где его середина?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Средняя точка — это точка, равноудаленная от каждой конечной точки.
Мы находим его, используя формулу, которая вычисляет среднее значение координат x и y.
Сообщить об ошибке
Сегмент линии имеет конечные точки и . Какова середина этого отрезка?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Вспомните формулу для нахождения середины отрезка:
Координаты средней точки — это просто среднее значение координат x и среднее значение координат y.
Подставьте заданные точки, чтобы найти середину отрезка.
Сообщить об ошибке
← Предыдущий 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все промежуточные ресурсы по геометрии
8 Диагностические тесты 250 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Объяснение урока: Середины и биссектрисы перпендикуляра
В этом объяснении мы научимся находить серединный перпендикуляр к отрезку, определяя его середину и перпендикулярная линия, проходящая через эту точку.
Наша первая цель — научиться вычислять координаты середины отрезка, соединяющего две точки. Предположим, мы даны две точки 𝑃(𝑥,𝑦) и 𝑃(𝑥,𝑦). Середина Отрезок 𝑃𝑃 есть точка 𝑀, лежащая на 𝑃𝑃 ровно посередине между 𝑃 и 𝑃. Это значит, что 𝑥-координата 𝑥 точки 𝑀 лежит на полпути между 𝑥 и 𝑥 и поэтому может быть рассчитана путем усреднения двух точек, что дает нам 𝑥=𝑥+𝑥2. То же верно и для 𝑦-координаты 𝑦 точки 𝑀. Это приводит нас к следующей формуле.
Формула: координаты средней точки
Предположим, что 𝑃(𝑥,𝑦) и 𝑃(𝑥,𝑦) — точки, соединенные линией сегмент 𝑃𝑃. Тогда координаты середины отрезка 𝑃𝑃 даются 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.
Потренируемся находить координаты средних точек.
Пример 1. Нахождение середины отрезка по заданным конечным точкам
Учитывая 𝐴(4,8) и 𝐵(6,6), каковы координаты средней точки из 𝐴𝐵?
Ответ
Напомним, что середина 𝑀 отрезка — это точка на полпути между концами, которую мы можем найти усреднением 𝑥- и 𝑦-координат 𝐴 и 𝐵 соответственно. Таким образом, применяем формулу: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2=4+62,8+62=(5,7).
Следовательно, координаты середины 𝐴𝐵 (5,7).
Мы также можем использовать формулу для координат средней точки, чтобы вычислить одну из конечных точек отрезка, зная его другую конечной точки и координаты середины.
Пример 2. Нахождение конечной точки отрезка прямой по средней точке и другой конечной точке
Начало — середина прямого отрезка 𝐴𝐵. Найдите координаты точки 𝐵, если координаты точки 𝐴 равны (−6,4).
Ответ
Здесь нам дан один конец отрезка и середина 𝑀(0,0) и попросил найти другую конечную точку. Мы можем сделать это, используя формулу средней точки в обратном порядке: 𝑀(𝑥,𝑦)=(0,0)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2=−6+𝑥2,4+𝑦2.
Это дает нам два уравнения: −6+𝑥2=0−6+𝑥=0𝑥=6 и 4+𝑦2=04+𝑦=0𝑦=−4.
Мы заключаем, что координаты 𝐵 равны (6,−4).
Одним из приложений вычисления середины отрезков прямой является вычисление координат центров окружностей с учетом их диаметров по той простой причине, что центр окружности является серединой любого из ее диаметров.
В следующем примере мы увидим пример нахождения центра круга с помощью этого метода.
Пример 3. Нахождение центра окружности по конечным точкам диаметра
Точки 𝐴(4,1) и 𝐵(−4,−5) определяют диаметр 𝐴𝐵 круга с центром 𝑀. Найдите координаты 𝑀 и длину окружности, округляя ответ до десятых.
Ответ
Центр 𝑀 круга является серединой его диаметра 𝐴𝐵. Отзывать что середина 𝑀 отрезка (например, диаметра) может быть найдена путем усреднения 𝑥- и 𝑦-координаты концов 𝐴 и 𝐵 следующим образом: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2=4−42,1−52=(0,−2).
Длина окружности находится по формуле 𝐶=2𝜋𝑟, где 𝑟 — длина его радиус. Длина радиуса — это расстояние от центра окружности до любой точки на ее радиусе, например, точка 𝐴(4,1). Мы можем рассчитать эту длину, используя формулу для расстояния между двумя точками 𝑀 и 𝐴: 𝑟=(𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦)𝑟=(0−4)+(−2−1)=16+9=25.
Извлечение квадратных корней , мы находим, что 𝑟=5 и, следовательно, длина окружности равна 2𝜋𝑟=10𝜋=31,4 с точностью до десятых.
Таким образом, координаты центра равны (0,−2), а длина окружности равна 31,4 относительно центра. ближайший десятый.
Обратимся теперь ко второй основной теме этого объяснения, вычислению уравнения серединного перпендикуляра к данному отрезок.
Определение: Биссектрисы перпендикуляра
Дан отрезок 𝐴𝐵, серединный перпендикуляр к 𝐴𝐵 — единственная прямая, перпендикулярная 𝐴𝐵, проходящая через середину 𝐴𝐵.
Напомним, что для любой прямой 𝐿 с наклоном 𝑚 наклон любой перпендикулярной к ней линии равен отрицательная обратная величина 𝑚, то есть −1𝑚. Мы можем использовать этот факт и наше понимание середин отрезков, записать уравнение серединного перпендикуляра к любому отрезку.
Практическое руководство. Вычисление уравнения биссектрисы отрезка
Предположим, что нам дан отрезок 𝑃𝑃 с концами 𝑃(𝑥,𝑦) и 𝑃(𝑥,𝑦) и хотите найти уравнение их серединный перпендикуляр.
- Сначала мы вычисляем наклон сегмента прямой. Для этого напомним определение наклона: наклон изменениявизменении в наклон биссектрисы = −𝑥−𝑥𝑦−𝑦.
- Далее находим координаты середины 𝑃𝑃, применяя формулу к конечные точки: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.
- Теперь мы можем подставить эти координаты и наклон в форму уравнения прямой линии, состоящую из точек и наклонов: Это дает нам уравнение для серединного перпендикуляра.
Давайте попробуем применить этот алгоритм.
Пример 4. Нахождение биссектрисы отрезка, соединяющего две точки
Найдите уравнение биссектрисы, соединяющей точки отрезка 𝐴(1,3) и 𝐵(7,11). Дайте ответ в виде 𝑦=𝑚𝑥+𝑐.
Ответ
Чтобы найти уравнение серединного перпендикуляра, нам сначала нужно найти его наклон, который является отрицательной обратной величиной наклон отрезка, соединяющего 𝐴 и 𝐵. Это дается наклон 𝐴𝐵=𝑦−𝑦𝑥−𝑥=11−37−1=86=43.
Теперь мы можем найти отрицательное обратное число, перевернув дробь и взяв отрицательное; это дает нам следующее: наклон биссектрисы = −34.
Далее нам нужны координаты точки на серединном перпендикуляре. Поскольку биссектриса (по определению) проходит через середину отрезка 𝐴𝐵, мы можем использовать формулу для координат середина: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2=1+72,3+112=(4,7).
Подставляя эти координаты и наш наклон −34 в форму точка–наклон уравнения прямая линия, 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥)𝑦−7=−34(𝑥−4), и переставляя в виде 𝑦=𝑚𝑥+𝑐, мы имеем 𝑦=−34𝑥+10.
В нашем последнем примере мы будем использовать наше понимание средних точек и серединных перпендикуляров для вычисления некоторых неизвестных значений.
Пример 5. Определение неизвестных переменных, описывающих биссектрису перпендикуляра отрезка
Отрезок 𝐴𝐵 соединяет точки 𝐴(−6,−6) и 𝐵(0,𝑝). Серединный перпендикуляр к 𝐴𝐵 имеет уравнение 𝑦=−3𝑥+𝑐. Найдите значения 𝑝 и 𝑐.
Ответ
Поскольку биссектриса имеет наклон −3, мы знаем, что отрезок 𝐴𝐵 имеет наклон 13 (отрицательная обратная величина −3). Мы можем вычислить 𝑦-координату точки 𝐵 (то есть, 𝑝), используя определение уклона 𝑚: 𝑚=𝑦−𝑦𝑥−𝑥13=𝑝−(−6)0−(−6)=𝑝+662=𝑝+6𝑝=−4.
Вычислим значение 𝑐 в уравнении 𝑦= −3𝑥+𝑐 серединного перпендикуляра используя координаты середины 𝑀 точки 𝐴𝐵 (это точка, которая лежит на серединный перпендикуляр по определению).
У нас есть формула 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2=−6+02,−6−42=(−3,−5).
Теперь мы можем заменить 𝑥 =−3 и 𝑦=−5 в уравнение серединного перпендикуляра и переставить, чтобы найти 𝑐: 𝑦=−3𝑥+𝑐−5=−3×−3+𝑐𝑐=−5−9=−14.
Наше решение для примера: 𝑝=−4, 𝑐=−14.
Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.
Ключевые точки
- Мы можем использовать формулу 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2 найти координаты середины отрезка, зная координаты его концов. Мы можем использовать ту же формулу для вычисления координат конечной точки с учетом средней точки и другой конечной точки.
- Мы можем вычислить центры окружностей, зная конечные точки их диаметров.
- Мы знаем, что биссектриса отрезка — это единственная прямая, перпендикулярная отрезку, проходящая через его середина.
- У нас есть процедура для вычисления уравнения серединного перпендикуляра к отрезку с заданными координатами
его конечные точки:
- Сначала мы вычисляем его наклон как отрицательную обратную величину наклона отрезка прямой.