Какая фигура получается при вращении пирамиды вокруг ее высоты: Фигуры вращения

Фигуры вращения — Геометрия — Презентации

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ

ЗАНЯТИЕ 1. Определение и простейшие примеры фигур вращения.

• Дается определение фигуры вращения, а также понятие поворота в пространстве относительно прямой.
• Рассматриваются задачи по данной теме.
• Учащимся предлагаются задачи для самостоятельной работы.

Поворот (вращение) на угол φ.

Преобразованием пространства , при котором все точки прямой а остаются на месте, а все остальные точки поворачиваются относительно этой прямой на угол φ .Прямая а называется осью вращения .

Фигура вращения

Говорят, что фигура Ф в пространстве получена вращением фигуры F вокруг оси a , если точки фигуры Ф получаются всевозможными поворотами точек фигуры F вокруг оси a . Фигура

Ф при этом называется фигурой вращения . При вращении точки A вокруг прямой a получается окружность . Сфера получается вращением окружности вокруг ее диаметра. Аналогично, шар получается вращением круга вокруг какого-нибудь его диаметра.

Если же вращать прямоугольник относительно одной из его сторон, то получим цилиндр .

Конус – результат вращения прямоугольного треугольника относительно его катетов. Усеченный конус получаем вращением трапеции .

Задание.

Какая фигура получается вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, и проходящей через вершину острого угла перпендикулярно катету?

Ответ : Цилиндр, из которого вырезан конус .

ЗАНЯТИЕ 2. Фигуры , получающиеся вращение кривых и криволинейных трапеций.

0). При вращении параболы относительно оси Оу получается фигура, называемая параболоидом вращения . «

Парабола.

Кривая, задаваемая уравнением у=ах 2 (а0).

При вращении параболы относительно оси Оу получается фигура, называемая параболоидом вращения .

Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

Физическое значение параболоида.

Лучи идущие параллельно оси параболоида после отражения от граней параболоида концентрируются в одной точке называемой фокусом параболоида . На этом свойстве устроены параболические телескопы, антенны, прожектора, проекторы.

Гипербола.

Кривая, задаваемая уравнением

•  

При вращении гиперболы относительно оси Оу получается поверхность, называемая

гиперболоидом вращения .

Шуховская башня в Москве

Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

ЗАНЯТИЕ 3. Вращение многогранников .

Рассматриваются фигуры в пространстве, получающиеся вращением различных многогранников.

Вращение правильной n-угольной пирамиды, относительно ее высоты.

Вращение прямой призмы относительно прямой, проходящей через центры основания призмы .

Вращение куба.

При вращении куба вокруг диагонали получается фигура, поверхность которой состоит из боковых поверхностей двух конусов и поверхности гиперболоида вращения.

При вращении куба вокруг прямой, соединяющей середины двух противоположных ребер, получается фигура, поверхность которой состоит из двух кругов и двух поверхностей гиперболоидов вращения .

Куб повернут вокруг диагонали на угол 60 0 . Правильная 6-я бипирамида является общей частью исходного повернутого куба.

Тетраэдр повернут вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер, на угол 90о. Какая фигура является объединением и пересечением исходного тетраэдра и повернутого?

При вращении какой фигуры получается конус. Тела и поверхности вращения

Рис. 1. Предметы из жизни, имеющие форму усеченного конуса

Как вы думаете, откуда в геометрии берутся новые фигуры? Все очень просто: человек в жизни сталкивается с похожими объектами и придумывает, как бы их назвать. Рассмотрим тумбу, на которой сидят львы в цирке, кусок морковки, который получается, когда мы нарезали только часть ее, действующий вулкан и, например, свет от фонарика (см. рис. 1).

Рис. 2. Геометрические фигуры

Мы видим, что все эти фигуры похожей формы — и снизу, и сверху они ограничены кругами, но они сужаются кверху (см. рис. 2).

Рис. 3. Отсечение верхней части конуса

Это похоже на конус. Только не хватает верхушки. Мысленно представим, что мы берем конус и отсекаем от него верхнюю часть одним взмахом острого меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усеченный конус

Получается как раз наша фигура, называется она усеченный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Сечение, параллельное основанию конуса

Пусть дан конус. Проведем плоскость, параллельную плоскости основания этого конуса и пересекающую конус (см. рис. 5).

Она разобьет конус на два тела: одно из них — конус меньшего размера, а второе и называется усеченным конусом (см. рис. 6).

Рис. 6. Полученные тела при параллельном сечении

Таким образом, усеченный конус — это часть конуса, заключенная между его основанием и параллельной основанию плоскостью. Как и в случае с конусом, усеченный конус может иметь в основании круг — в этом случае его называют круговым. Если исходный конус был прямым, то и усеченный конус называют прямым. Как и в случае с конусами, мы будем рассматривать исключительно прямые круговые усеченные конусы, если специально не указано, что речь идет о непрямом усеченном конусе или в его основаниях не круги.

Рис. 7. Вращение прямоугольной трапеции

Наша глобальная тема — тела вращения. Усеченный конус — не исключение! Вспомним, что для получения конуса мы рассматривали прямоугольный треугольник и вращали его вокруг катета? Если полученный конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то от треугольника останется прямоугольная трапеция. Ее вращение вокруг меньшей боковой стороны и даст нам усеченный конус. Заметим снова, что речь, разумеется, идет только о прямом круговом конусе (см. рис. 7).

Рис. 8. Основания усеченного конуса

Сделаем несколько замечаний. Основание полного конуса и круг, получающийся в сечении конуса плоскостью, называют основаниями усеченного конуса (нижним и верхним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Образующие усеченного конуса

Отрезки образующих полного конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называют образующими усеченного конуса. Так как все образующие исходного конуса равны и все образующие отсеченного конуса равны, то и образующие усеченного конуса равны (не путать отсеченный и усеченный!). Отсюда и следует равнобедренность трапеции осевого сечения (см. рис. 9).

Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного конуса, называют осью усеченного конуса. Этот отрезок, разумеется, соединяет центры его оснований (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усеченного конуса

Высота усеченного конуса — это перпендикуляр, проведенный из точки одного из оснований к другому основанию. Чаще всего, в качестве высоты усеченного конуса рассматривают его ось.

Рис. 11. Осевое сечение усеченного конуса

Осевое сечение усеченного конуса — это сечение, проходящее через его ось. Оно имеет вид трапеции, чуть позже мы докажем ее равнобедренность (см. рис. 11).

Рис. 12. Конус с введенными обозначениями

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Пусть основания усеченного конуса имеют радиусы и , а образующая равна (см. рис. 12).

Рис. 13. Обозначение образующей отсеченного конуса

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного. Для этого обозначим через образующую отсеченного конуса (см. рис. 13).

Тогда искомая .

Рис. 14. Подобные треугольники

Осталось выразить .

Заметим, что из подобия треугольников , откуда (см. рис. 14).

Можно было бы выразить , разделив на разность радиусов, но нам это не нужно, ведь в искомом выражении как раз фигурирует произведение . Подставив вместо него , окончательно имеем: .

Несложно теперь получить и формулу для площади полной поверхности. Для этого достаточно добавить площади двух кругов оснований: .

Рис.

15. Иллюстрация к задаче

Пусть усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее высоты . Средняя линия трапеции равна , а большая боковая стороны — (см. рис. 15). Найти площадь боковой поверхности полученного усеченного конуса.

Решение

По формуле мы знаем, что .

Образующей конуса будет являться большая сторона исходной трапеции, то есть Радиусы конуса — это основания трапеции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма оснований трапеции вдвое больше ее средней линии, то есть она равна . Тогда .

Обратите внимание, что, когда мы говорили о конусе, мы проводили параллели между ним и пирамидой — формулы были аналогичными. Так же и здесь, ведь усеченный конус очень похож на усеченную пирамиду, так что формулы для площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса и пирамиды (а скоро будут и формулы для объема) аналогичны.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Радиусы оснований усеченного конуса равны и , а образующая равна . Найти высоту усеченного конуса и площадь его осевого сечения (см. рис. 1).

Рис. 1. Предметы из жизни, имеющие форму усеченного конуса

Как вы думаете, откуда в геометрии берутся новые фигуры? Все очень просто: человек в жизни сталкивается с похожими объектами и придумывает, как бы их назвать. Рассмотрим тумбу, на которой сидят львы в цирке, кусок морковки, который получается, когда мы нарезали только часть ее, действующий вулкан и, например, свет от фонарика (см. рис. 1).

Рис. 2. Геометрические фигуры

Мы видим, что все эти фигуры похожей формы — и снизу, и сверху они ограничены кругами, но они сужаются кверху (см. рис. 2).

Рис. 3. Отсечение верхней части конуса

Это похоже на конус. Только не хватает верхушки. Мысленно представим, что мы берем конус и отсекаем от него верхнюю часть одним взмахом острого меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усеченный конус

Получается как раз наша фигура, называется она усеченный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Сечение, параллельное основанию конуса

Пусть дан конус. Проведем плоскость, параллельную плоскости основания этого конуса и пересекающую конус (см. рис. 5).

Она разобьет конус на два тела: одно из них — конус меньшего размера, а второе и называется усеченным конусом (см. рис. 6).

Рис. 6. Полученные тела при параллельном сечении

Таким образом, усеченный конус — это часть конуса, заключенная между его основанием и параллельной основанию плоскостью. Как и в случае с конусом, усеченный конус может иметь в основании круг — в этом случае его называют круговым. Если исходный конус был прямым, то и усеченный конус называют прямым. Как и в случае с конусами, мы будем рассматривать исключительно прямые круговые усеченные конусы, если специально не указано, что речь идет о непрямом усеченном конусе или в его основаниях не круги.

Рис. 7. Вращение прямоугольной трапеции

Наша глобальная тема — тела вращения. Усеченный конус — не исключение! Вспомним, что для получения конуса мы рассматривали прямоугольный треугольник и вращали его вокруг катета? Если полученный конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то от треугольника останется прямоугольная трапеция. Ее вращение вокруг меньшей боковой стороны и даст нам усеченный конус. Заметим снова, что речь, разумеется, идет только о прямом круговом конусе (см. рис. 7).

Рис. 8. Основания усеченного конуса

Сделаем несколько замечаний. Основание полного конуса и круг, получающийся в сечении конуса плоскостью, называют основаниями усеченного конуса (нижним и верхним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Образующие усеченного конуса

Отрезки образующих полного конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называют образующими усеченного конуса. Так как все образующие исходного конуса равны и все образующие отсеченного конуса равны, то и образующие усеченного конуса равны (не путать отсеченный и усеченный!). Отсюда и следует равнобедренность трапеции осевого сечения (см. рис. 9).

Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного конуса, называют осью усеченного конуса. Этот отрезок, разумеется, соединяет центры его оснований (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усеченного конуса

Высота усеченного конуса — это перпендикуляр, проведенный из точки одного из оснований к другому основанию. Чаще всего, в качестве высоты усеченного конуса рассматривают его ось.

Рис. 11. Осевое сечение усеченного конуса

Осевое сечение усеченного конуса — это сечение, проходящее через его ось. Оно имеет вид трапеции, чуть позже мы докажем ее равнобедренность (см. рис. 11).

Рис. 12. Конус с введенными обозначениями

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Пусть основания усеченного конуса имеют радиусы и , а образующая равна (см. рис. 12).

Рис. 13. Обозначение образующей отсеченного конуса

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного. Для этого обозначим через образующую отсеченного конуса (см. рис. 13).

Тогда искомая .

Рис. 14. Подобные треугольники

Осталось выразить .

Заметим, что из подобия треугольников , откуда (см. рис. 14).

Можно было бы выразить , разделив на разность радиусов, но нам это не нужно, ведь в искомом выражении как раз фигурирует произведение . Подставив вместо него , окончательно имеем: .

Несложно теперь получить и формулу для площади полной поверхности. Для этого достаточно добавить площади двух кругов оснований: .

Рис. 15. Иллюстрация к задаче

Пусть усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее высоты . Средняя линия трапеции равна , а большая боковая стороны — (см. рис. 15). Найти площадь боковой поверхности полученного усеченного конуса.

Решение

По формуле мы знаем, что .

Образующей конуса будет являться большая сторона исходной трапеции, то есть Радиусы конуса — это основания трапеции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма оснований трапеции вдвое больше ее средней линии, то есть она равна . Тогда .

Обратите внимание, что, когда мы говорили о конусе, мы проводили параллели между ним и пирамидой — формулы были аналогичными. Так же и здесь, ведь усеченный конус очень похож на усеченную пирамиду, так что формулы для площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса и пирамиды (а скоро будут и формулы для объема) аналогичны.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Радиусы оснований усеченного конуса равны и , а образующая равна . Найти высоту усеченного конуса и площадь его осевого сечения (см. рис. 1).

Усеченный конус получается, если от конуса отсечь меньший конус плоскостью, параллельной основанию (рис. 8.10). В усеченном конусе два основания: «нижнее» — основание исходного конуса — и “верхнее» — основание отсекаемого конуса. По теореме о сечении конуса — основания усеченного конуса подобны.

Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на плоскость другого. Все такие перпендикуляры равны (см. п. 3.5). Высотой называют также их длину, т. е. расстояние между плоскостями оснований.

Усеченный конус вращения получается из конуса вращения (рис. 8.11). Поэтому его основания и все параллельные им его сечения — круги с центрами на одной прямой — на оси. Усеченный конус вращения получается вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям, или вращением

равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии (рис. 8.12).

Боковая поверхность усеченного конуса вращения

Это принадлежащая ему часть боковой поверхности конуса вращения, из которого он получен. Поверхность усеченного конуса вращения (или его полная поверхность) состоит из его оснований и его боковой поверхности.

8.5. Изображения конусов вращения и усеченных конусов вращения.

Прямой круговой конус рисуют так. Сначала рисуют эллипс, изображающий окружность основания (рис. 8.13). Затем находят центр основания — точку О и вертикально проводят отрезок РО, который изображает высоту конуса. Из точки Р проводят к эллипсу касательные (опорные) прямые (практически это делают на глаз, прикладывая линейку) и выделяют отрезки РА и РВ этих прямых от точки Р до точек касания А и В. Обратите внимание, что отрезок АВ — это не диаметр основания конуса, а треугольник АРВ — не осевое сечение конуса. Осевое сечение конуса — это треугольник АРС: отрезок АС проходит через точку О. Невидимые линии рисуют штрихами; отрезок ОР часто не рисуют, а лишь мысленно намечают, чтобы изобразить вершину конуса Р прямо над центром основания — точкой О.

Изображая усеченный конус вращения, удобно нарисовать сначала тот конус, из которого получается усеченный конус (рис. 8.14).

8.6. Конические сечения. Мы уже говорили, что боковую поверхность цилиндра вращения плоскость пересекает по эллипсу (п. 6.4). Также и сечение боковой поверхности конуса вращения плоскостью, не пересекающей его основание, является эллипсом (рис. 8.15). Поэтому эллипс называется коническим сечением.

К коническим сечениям относятся и другие хорошо известные кривые — гиперболы и параболы. Рассмотрим неограниченный конус, получающийся при продолжении боковой поверхности конуса вращения (рис. 8.16). Пересечем его плоскостью а, не проходящей через вершину. Если а пересекает все образующие конуса, то в сечении, как уже сказано, получаем эллипс (рис. 8.15).

Поворачивая плоскость ОС, можно добиться того, чтобы она пересекала все образующие конуса К, кроме одной (которой ОС параллельна). Тогда в сечении получим параболу (рис. 8.17). Наконец, вращая плоскость ОС дальше, переведем ее в такое положение, что а, пересекая часть образующих конуса К, не пересекает уже бесконечное множество других его образующих и параллельна двум из них (рис. 8.18). Тогда в сечении конуса К с плоскостью а получаем кривую, называемую гиперболой (точнее, одну ее «ветвь»). Так, гипербола, которая является графиком функции частный случай гиперболы — равнобочная гипербола, подобно тому как окружность является частным случаем эллипса.

Любые гиперболы можно получить из равнобочных с помощью проектирования, аналогично тому как эллипс получается параллельным проектированием окружности.

Чтобы получить обе ветви гиперболы, надо взять сечение конуса, имеющего две «полости», т. е. конуса, образованного не лучами, а прямыми, содержащими образующие боковой поверхности конуса вращения (рис. 8.19).

Конические сечения изучали еще древнегреческие геометры, и их теория была одной из вершин античной геометрии. Наиболее полное исследование конических сечений в древности было проведено Аполлонием Пергским (III в. до н.э.).

Имеется ряд важных свойств, объединяющих в один класс эллипсы, гиперболы и параболы. Например, ими исчерпываются «невырожденные», т. е. не сводящиеся к точке, прямой или паре прямых, кривые, которые задаются на плоскости в декартовых координатах уравнениями вида

Конические сечения играют важную роль в природе: по эллиптическим, параболлическим и гиперболическим орбитам движутся тела в поле тяготения (вспомните законы Кеплера). Замечательные свойства конических сечений часто используются в науке и технике, например, при изготовлении некоторых оптических приборов или прожекторов (поверхность зеркала в прожекторе получается вращением дуги параболы вокруг оси параболы). Конические сечения можно наблюдать как границы тени от круглых абажуров (рис. 8.20).

Лекция: Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

Конус – это тело, которой состоит из окружности, которая находится в основании, из точки равноудаленной от всех точек на окружности, а также от прямых, соединяющих эту точку (вершину) со всеми точками, лежащими на окружности.

Несколькими вопросами ранее, мы рассматривали пирамиду. Так вот конус – это частный случай пирамиды, в основании которой лежит окружность. Практически все свойства пирамиды подходят и для конуса.

Каким образом можно получить конус? Вспомните прошлый вопрос и то, как мы получили цилиндр. Теперь возьмите равнобедренный треугольник и крутите его вокруг своей оси – Вы получите конус.

Образующие конуса – это отрезки, заключенные между точками окружности и вершиной конуса. Образующие конуса равны между собой.

Чтобы найти длину образующей, следует воспользоваться формулой:

Если все образующие соединить между собой, можно получить боковую поверхность конуса. Общая его поверхность состоит из боковой поверхности и основания в виде окружности.

Конус имеет высоту . Чтобы ее получить, достаточно опустить перпендикуляр из вершины, непосредственно, в центр основания.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, следует воспользоваться формулой:

Для нахождения полной площади поверхности конуса воспользуйтесь следующей формулой.

Определения:
Определение 1. Конус
Определение 2. Круговой конус
Определение 3. Высота конуса
Определение 4. Прямой конус
Определение 5. Прямой круговой конус
Теорема 1. Образующие конуса
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса

Объем и площади :
Теорема 2. Объем конуса
Теорема 3. Площадь боковой поверхности конуса

Усеченный конус :
Теорема 4. Сечение, параллельное основанию
Определение 6. Усеченный конус
Теорема 5. Объем усеченного конуса
Теорема 6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Определние
Тело ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между её вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием направляющей, образованным замкнутой кривой, называется конусом.

Основные понятия
Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.

Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную)(например, l ), лежащую в некоторой плокости, и произвольную точку (например, М), не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками данной линии l , образуют поверхность, называемую канонической . Точка М является вершиной такой поверхности, а заданная линия l — направляющей . Все прямые соединяющие точку М со всеми точками линии l , называют образующими . Каноническая поверхность не ограничивается ни её вершиной, ни направляющей. Она простирается неограниченно в обе стороны от вершины. Пусть теперь направляющая — замкнутая выпуклая линия. Если направляющая — ломаная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется пирамидой .
Если же направляющая — кривая или смешанная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом или
Определение 1 . Конусом называют тело, состоящее из основания — плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией (кривой или смешанной), вершины — точки, не лежащей в плокости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.
Все прямые, проходящие через вершину конуса и любую из точек кривой, ограничивающей фигуру основания конуса, называются образующими конуса. Чаще всего в геометрических задачах под образующей прямой имеется ввиду отрезок этой прямой, заключенный между вершиной и плоскостью основания конуса.
Основание ограниченной смешанной линией — это очень редкий случай. Он сдесь указан только потому, что он может быть рассмотрен в геометрии. Чаще рассматривается случай с криволинейной направляющей. Хотя, что случай с произвольной кривой, что случай со смешанной направляющей, мало чем полезен и в них сложно вывести какие-любо закономерности. Из числа конусов в курсе элементарной геометрии изучается прямой круговой конус.

Известно, что окружность есть частный случай замкнутой кривой линии. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью. Принимая окружность за направляющую, можно определеить круговой конус.
Определение 2 . Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.
Определение 3 . Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плокость основания конуса. Можно выделить конус, высота которого падает в центр плоской фигуры основания.
Определение 4 . Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.
Если связать эти два определения, мы получим конус, основание котрого есть круг, а высота падает в центр этого круга.
Определение 5 . Прямым круговым конусом называют конус, основание котрого есть круг, а высота его соединяет вершину и центр основания данного конуса. Такой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и называется также конусом вращения. Если не оговорено противное, то для краткости в дальнейшем говорим просто конус.
Итак приведем некоторые свойства конуса:
Теорема 1 . Все образующие конуса равны. Доказательство. Высота МО перпендикулярна всем прямым основания по определению перпендикулярной прямой к плокости. Поэтому треугольники МОА, МОВ и МОС являются прямоугольными и равны по двум катетам (МО — общая, ОА=ОВ=ОС — радиусы основания. Поэтому равны и гипотенузы, т.е. образующие.
Радиус основания конуса иногда называют радиусом конуса . Высота конуса называется также осью конуса , поэтому любое сечение, проходящее через высоту называется осевым сечением . Любое осевое сечение пересекает основание по диаметру (т.к. прямая, по которой пересекаются осевое сечение и плокость основания, проходит через центр окружности) и образует равнобедренный треугольник.
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса есть равнобедренный треугольник. Так треугольник АМВ является равнобедренным, т.к. две его стороны МВ и МА есть образующие. Угол АМВ является углом при вершине осевого сечения.

Вращающийся конус

Перейти к площади поверхности или объему.

Факты о конусе

Обратите внимание на эти интересные вещи:

• У него круг на одном конце
• И точка на другом конце
• И изогнутая сторона
• Это , а не многогранник. имеет криволинейную поверхность

images/poly-gl.js?mode=cone

 

• Заостренный конец конуса называется вершиной
• Плоская часть является основанием

Объект в форме конуса называется коническим

изображения/cone-sweep.js

Конус представляет собой повернутый треугольник

Конус можно сделать, вращая треугольник!

Треугольник является прямоугольным, и он вращается вокруг одной из двух коротких сторон.

Сторона, вокруг которой он вращается, является осью конуса.

Правый против наклонного конуса

Когда вершина выровнена по центру основания, это прямой конус, в противном случае это наклонный конус:

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности состоит из двух частей:

• Базовая зона = π × r ²
• Боковая площадь = π × r × s

Что вместе составляет:

Площадь поверхности = π × r × (r + s)

Примечание: мы можем вычислить s = √(r ² +h ² )

Пример: h = 7 и r = 2

Площадь поверхности основания = π × r ²

= π × 2 ²

= 4π

≈ 12,57

Область поверхности поверхности. = π × r × √(r ² +h ² )

 = π × 2 × √(2 ² +7 ² )

= π × 2 × √ (4 + 49)

= 2π√ (53)

≈ 45,74

Общая площадь поверхности ≈ 12,57 + 45,74 ≈ 58,31

7 + 45,74 ≈ 58,31

5.

Объем конуса

Объем = 1 3 π × г ² × ч

Пример: h = 7 и r = 2

Объем= 1 3 π × r ² × h

 = 1 3 π × 2 ² × 7

 = 28 3 π

≈ 29,32

Поиграй с этим здесь. Формула также работает, когда он «наклоняется» ( косой ), но помните, что высота всегда находится под прямым углом к ​​основанию:

Объем конуса против цилиндра

Формулы объема для конусов и цилиндров очень похожи:

Объем цилиндра:	π × г 2 × ч
Объем конуса:	1 3 π × г 2 × ч

Таким образом, объем конуса составляет ровно одну треть ( 1 3 ) объема цилиндра. 2\Delta x$. Пока мы можем запишем $r$ через $x$, мы можем вычислить объем с помощью интеграла.

Пример 8.3.3 Найдите объем прямоугольного конуса с радиусом основания 10 и высота 20. (Прямой круглый конус — это конус с круглым основанием и с кончик конуса прямо над центром основания.) Мы можем рассматривать этот конус как созданный вращением линии $y=x/2$ вращается вокруг оси $x$, как показано на рис. рисунок 8.3.4.

Рисунок 8.3.4. Приблизительный объем конуса по круговым дискам.

92$ и $y=x$ вращается вокруг оси $x$. Это твердое тело имеет «дырка» посередине; мы можем вычислить объем, вычитая объем отверстия из объема, ограниченного внешней поверхностью твердое тело. На рисунке 8.3.5 показана область который вращается, получающееся твердое тело с отрезанной передней половиной, конус, образующий внешнюю поверхность, рогообразное отверстие и поперечное сечение, перпендикулярное оси $x$.

Рисунок 8.3.5. Твердые с дыркой. 1= \pi\left({1\over3}-{1\over5}\right)={2\pi\over15}. $$ Конечно, то, что мы сделали здесь, это точно такие же вычисления, как раньше, за исключением того, что мы фактически пересчитали объем внешнего конуса. $\квадрат$ 92\,dy={8\over3}\pi + {65\over6}\pi ={27\over2}\пи. $$ Если вместо этого мы рассмотрим типичный вертикальный прямоугольник, {но все еще вращая вокруг оси $y$} мы получаем тонкую «оболочку» вместо тонкой «шайба». Если сложить объемы таких тонких оболочек, то получим приближение к истинному объему. Каков объем такой оболочки? Рассмотрим оболочку в $\ds x_i$. Представим, что мы разрезаем скорлупу вертикально в одном месте и «раскатываем» в тонкий плоский лист. Этот лист будет почти прямоугольным призма толщиной $\Delta x$, высотой $\ds f(x_i)-g(x_i)$ и $\ds 2\pi x_i$ широкий (а именно окружность скорлупы до того, как она была развернута). Тогда объем будет примерно равен объему прямоугольного призмы следующих размеров: $\ds 2\pi x_i(f(x_i)-g(x_i))\Delta x$. Если мы складываем их и берём предел, как обычно, получаем интеграл $$ \int_0^3 2\pi x(f(x)-g(x))\,dx= \int_0^3 2\pi x(x+1-(x-1)^2)\,dx={27\over2}\pi.