Какие числа делятся на: Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Содержание

Сайт-визитка

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА ЧИСЛА ОТ 1 ДО 20

Ну, прежде всего, заметим, что на 1 делится любое число. Это, наверное, самый простой признак делимости. На два делятся четные числа, на пять — числа, оканчивающиеся на цифры 5 или 0, а на десять — числа, оканчивающиеся на 0. Это все знают.
Также многие знают, что, если сумма цифр числа делится на 3 или 9, то и само число делится на 3 или 9. Например:

Число 432987 — сумма цифр — 4+3+2+9+8+7=33
Сумма цифр делится на 3, значит и само число делится на 3
Сумма цифр НЕ делится на 9, значит и само число НЕ делится на 9

Продолжим. На 4 число делится, когда две последние цифры числа делятся на 4. На 8 — когда три последние цифры делятся на 8. На 16 — когда 4 последние цифры делятся на 16.

Число 23764 Две последних цифры (64) делятся на 4, значит и само число делится на 4
Три последних цифры (764) НЕ делятся на 8, значит и само число не делится на 8

Теперь выучим признак делимости на 7: Нужно взять последнюю цифру числа, удвоить ее, и вычесть из «числа, оставшегося без последней цифры».

Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 7, то и само число делится на 7.

Число 296492 Берем последнюю цифру «2», удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру «5», удваиваем, получаем 10. Вычитаем 2964-10=2954. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру «4», удваиваем, получаем 8. Вычитаем 295-8=287. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру «7», удваиваем, получаем 14. Вычитаем 28-14=14. Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на 7

Следующие признаки делимости похожи на предыдущий, только меняются числа:

Признак делимости на 11: Нужно взять последнюю цифру числа, и вычесть из «числа, оставшегося без последней цифры». Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 11, то и само число делится на 11.
Признак делимости на 13: Нужно взять последнюю цифру числа, и умножить ее на 4, и добавить к «числу, оставшегося без последней цифры». Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 13, то и само число делится на 13.
Признак делимости на 17: Нужно взять последнюю цифру числа, и умножить ее на 5, и вычесть из «числа, оставшегося без последней цифры». Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 17, то и само число делится на 17.
Признак делимости на 19: Нужно взять последнюю цифру числа, и умножить ее на 2, и добавить к «числу, оставшегося без последней цифры». Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 19, то и само число делится на 19.

Ну и признаки делимости оставшихся чисел: На 6 число делится, если оно одновременно делится на 3 и на 2. На 12 число делится, если оно одновременно делится на 3 и на 4. На 15 число делится, если оно одновременно делится на 3 и на 5. На 18 число делится, если оно одновременно делится на 2 и на 9.
Ну и на 20 число делится, если оно делится на 10, и предпоследняя цифра у него четная (2369720 делится на 20, а 236579050 — не делится).

Признаки делимости (Лунгу Алена)

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0,делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить эту цифру 0.

Например, 280 делится без остатка на 10, так как 280:10=28.

При делении же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 (т.е. последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

Число 10=2*5. Поэтому число 10 делится без остатка на 2, и на 5.

Отсюда и любое число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.

Например, 60=6*10=6*(2*5)=(6*2)*5=12*5, значит, 60:5=12.

А из того что 60=6*(2*5)=(6*5)*2=30*2, получаем, что 60:2=30.

Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например: 246=240+6, 1435=1340+5. Так как полные десятки делятся на 5, то и все число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

Например,числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называются чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называются нечётными. Из однзначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны. Поэтому и цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т.е. они четны). Значит, любое натуральное число чётно лишь в том случае, когда в рязряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.

Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 чётные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 нечётные.

Признаки делимости на 9 и на 3

Узнаем,не выполняя деления, можно ли 846 яиц разложить в 9 корзин поровну.

В числе 846 содержится 8 сотен, 4 десятка и 6 единиц. Если раскладывать поровну в 9 корзин одну сотню яиц, то в каждую корзину можно положить 11 яиц, а одно яйцо останется. От восьми сотен останется 8 яиц.

Если раскладывать поровну в 9 корзин один десяток яиц, то в каждую корзину надо положить одно яйцо и одно яйцо останется. От четырёх десятков останется 4 яйца.

Не разложенными в корзины останутся 8 яиц от сотен, 4 яйца от десятков и еще 6 яиц: 8+4+6=18. Число 18 является суммой цифр числа 846. Так как 18 яиц можно разложить поровнц в 9 корзин ( по 2 яйца в каждую), то и все 846 яиц можно разложить поровну в 9 корзин. Это значит, что число 846 делится без остатка на 9.

Пример 1. Число 75 455 делится на 9, так как сумма его цифр: 7+6+4+5+5=27 — делится на 9.

Пример 2. Число 51 634 не делится на 9, так как сумма его цифр: 5+1+6+3+4=19 — не делится на 9.

Так же обосновывается признак делимости на 3.

Изучите определение, правила и примеры

Вы, должно быть, слышали слово «делимость» в математике. Смысл делимости в способности быть полностью разделенным без остатка. Чтобы проверить эту делимость, необходимо соблюдать некоторые правила делимости. Без фактического деления, как мы можем угадать числа, делящиеся на 4 или нет? В этой статье вы изучите делящиеся на 4 или правила делимости на 4. В этой статье будет рассмотрено правило делимости на 4 с примерами и то, как его можно использовать для проверки, делится ли число на 4.

Делимость Правило 4

Что вы подразумеваете под делимостью?

Делимость определяется как правило или способ определения, делится ли данное большое или малое число на данное фиксированное число (делитель).

Число делится на другое число, если оно делится на это число поровну или если при этом получается целое число. Например, поскольку 6, деленное на 3, дает 2, а 2 — целое число, то 6 делится на 3 (мы говорим: «3 делит 6»).

Набор общих рекомендаций, известных как «правила делимости», часто используется для определения того, делится ли одно число на другое число без остатка. Например, если нам нужно проверить, делится ли число 432 на 4 или нет.

Заданное число = 432

Фиксированное число или делитель = 4

Подробнее о числах, делящихся на 4, мы узнаем в следующем разделе. число делится на делитель или нет.

Деление на 4 части

Правило делимости на 4

Правило делимости на 4 определяется как данное число делится на 4, если последние две цифры данного числа являются нулями или кратны 4 (4 , 8,12,16,20,24,…..).

Это правило помогает учащимся узнать, делится ли заданное число на 4 или нет.

Некоторые из целых чисел, которые полностью делятся на 4, равны 0,4,8,12,16. Мы все знаем таблицу 4. Следовательно, эти числа, кратные 4, полностью делятся на 4.

Как проверить делимость на 4?

В этом трюке мы должны выполнить два условия, чтобы проверить признак делимости на 4, заданный следующим образом:

Проверить, являются ли последние две цифры заданного числа нулями. Если да, то данное число будет делиться на 4. Если нет, то проверьте второе условие, приведенное ниже. Нули должны стоять в разряде единиц и десятков.

Например, 700 — это число, в котором нули стоят на единицах и десятках. Следовательно, мы можем сказать, что 700 делится на 4 без каких-либо вычислений.

Проверить, являются ли последние две цифры данного числа точно кратными 4 или входят в таблицу 4, тогда мы можем сказать, что данное число делится на 4.

Например, 736 чеков двузначные числа выделены жирным шрифтом и подчеркнуты.

36 входит в таблицу 4 или кратно 4. Следовательно, мы можем сказать, что 736 полностью делится на 4.

Правило делимости на 4 с примером

Некоторые примеры числа делящиеся на 4

1. Проверить, делятся ли заданные числа на 4 или нет.

1700
6500

Ответ:

1700
9 0040

Учитывая число- 1700

Последние две цифры числа -00

Следовательно, правило делимости 1 выполняется, и 1700 делится на 4 . 00

Следовательно, правило делимости 1 выполняется, и 6500 делится на 4.

6500 ÷ 4 = 1625

Практические вопросы

В1. Какое из следующих чисел полностью делится на 4? Отметьте правильный вариант.

766
222
336
811
900 40

Ответ: 36

В 2. Какое из следующих чисел полностью делится на 4? Отметьте правильный вариант.

555
840
114
106
9004 0

Ответ: 840

Резюме

Делимость определяется как правило или способ определить, является ли данное большое или малое число допустимым. делится на заданное фиксированное число (делитель). Правило делимости 4 определяется как данное число делится на 4, если последние две цифры данного числа являются нулями или кратны 4.

Тест на делимость на 13 (и на 7, и на 11)

Существуют простые правила, позволяющие определить, делится ли число на 2, 3, 4, 5 и 6.

Число делится на 2, если его последнее число цифра делится на 2.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 4, если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4.
Число делится на 5, если его последняя цифра делится на 5.
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Есть правило делимости на 7, но оно немного шаткое. Давайте продолжим.

Число делится на 8, если число, состоящее из трех его последних цифр, делится на 8.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 10, если его последняя цифра 0.

Есть правило делимости на 11. Оно немного сложное, но не такое сложное, как правило для 7. Я описываю правило для 11 в предпоследнем абзаце здесь.

Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4. (Здесь важно, что 3 и 4 взаимно просты. Например, неверно, что число делится на 12, если оно делится на 2 и 6. )

Но что ты будешь делать, когда тебе исполнится 13?

Проверка делимости на 7, 11 и 13

Мы собираемся убить трех зайцев одним выстрелом , представив правило проверки делимости на 13, которое также дает новые правила проверки делимости на 7 и 11. Итак, если вы пытаетесь разложить число вручную, это даст возможность проверить сразу три простых числа.

Чтобы проверить делимость на 7, 11 и 13, напишите свое число цифрами, сгруппированными по трое, как обычно. Например,

11 037 989

Затем подумайте о каждой группе как об отдельном числе — например, 11, 37 и 989 — и возьмите переменную сумму, начиная со знака + в последнем члене.

989 – 37 + 11

Исходное число делится на 7 (или 11, или 13), если эта альтернирующая сумма делится на 7 (или 11 или 13 соответственно).

Сумма переменных в нашем примере равна 963, что явно равно 9*107 и не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13. Следовательно, 11 037 989 не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13.

Вот еще один пример. Начнем с

4 894 498 518

Переменная сумма равна

518 — 498 + 894 — 4 = 910

Сумма требует немного усилий, но меньше усилий, чем деление 10-значного числа на 7, 11 и 13

Сумма 910 делится на 7*13*10, поэтому она делится на 7 и на 13, но не на 11. Это дает нам 4,894,49.8518 делится на 7 и 13, но не на 11.

Почему это работает

Суть метода в том, что 7*11*13 = 1001. Если я вычитаю из числа число, кратное 1001, я не изменяюсь. его делимость на 7, 11 или 13. Более того, я не изменяю остаток на 7, 11 или 13.

Шаги в методе сводятся к сложению или вычитанию кратных 1001 и делению на 1000 , Первый не меняет остаток на 7, 11 или 13, но второй умножает остаток на -1, отсюда и переменная сумма.