Какое действие первое умножение или вычитание: Порядок выполнения действий без скобок и со скобками

Порядок выполнения математических действий | интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.

Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.

Рассмотрим пример:

38 – (10 + 6) = 22;

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

1) в скобках: 10 + 6 = 16;

2) вычитание: 38 – 16 = 22.

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

10 ÷ 2 × 4 = 20;

Порядок выполнения действий:

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5;

2) умножение: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, т.е.:

1) 10 + 4 = 14;

2) 14 – 3 = 11.

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 – 6 = 3; т. е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4;

2) умножение: 6 × 4 = 24;

3) сложение: 30 + 24 = 54;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1)      действия, заключенные в скобках;

2)      умножение и деление;

3)      сложение и вычитание.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Порядок выполнения действий: правила, примеры.

Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.

В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. Сперва мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение (нужно прибавлять). Теперь понятен ответ на вопрос, что первое деление или умножение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности этого двойного правила несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро получить проверочные результаты.

Пример с прибавлением и вычитанием 1

Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении или высказывании, которое обычно решают средние классы, скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Вначале делаем минус три из семи, затем делаем плюс к остатку шесть и в итоге получаем десять.

Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример на умножение и деление 2

Условие: в каком порядке будут выполняться вычисления в выражении 6:2·8:3?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, что делается первым деление или умножение, перечитаем правило для выражений без кавычек (скобок), сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок того, что нужно вычесть, и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·6:3−2+4:2.

Решение

Сначала определим верный порядок действий (приоритетность), поскольку у нас здесь есть все основные компоненты арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление.

Первым делом нам надо делить и перемножать. Что сначала деление или умножение? Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке слева направо. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·6:3−2+4:2=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно расставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся действия, где нужно вычитать и слагать, а ко второй – умножать и делить.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Решение примеров по действиям в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример или образец задачи 4

Условие: вычислите, сколько будет равно 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2·3=7−6=1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5+1·2:2=5+2:2=5+1=6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать:

3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам:  4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом  или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+62:3−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+36:3−7.

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).

(3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1)·2+62:3−7=13.

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Порядок операций

Обновлено 12 февраля 2020 г. | Инфопожалуйста Персонал

Когда у вас есть математическая задача, включающая более одной операции, например, сложение и вычитание или вычитание и умножение , что вы делаете в первую очередь?

Пример #1 : 6 – 3 x 2 = ?

• Вы сначала выполняете вычитание (6 — 3 = 3), а затем умножение (3 x 2 = 9).0011 6 )?
• Или вы начинаете с умножения (3 x 2 = 6), а затем вычитаете (6 – 6 = 0 )?

PEMDAS

В подобных случаях мы следуем порядку операций

. Порядок, в котором должны выполняться операции, обозначен как PEMDAS :

1. P арены
2. E экспоненты
3. M 9 0014 умножение и D ivision (слева направо)
4. A добавление и S вычитание (слева направо)

извините M y D ear A unt S ally.)

• В приведенном выше примере мы имеем дело с умножением и вычитанием. M умножение идет на шаг раньше S вычитания, поэтому сначала мы умножаем 3 x 2, а затем вычитаем сумму из 6, оставляя 0,

Пример #2 : 30 ÷ 5 x 2 + 1 = ?

• Аренды P отсутствуют.
• Нет компонентов E .
• Начнем с умножения M и ivision D , работая слева направо.
  ПРИМЕЧАНИЕ: Несмотря на то, что умножение предшествует делению в PEMDAS, они выполняются на одном шаге слева направо. Сложение и вычитание также выполняются на одном шаге.
• 30 ÷ 5 = 6 , остается 6 x 2 + 1 = ?
• 6 х 2 = 12 , в результате мы получаем 12 + 1 = ?
• Затем мы выполняем сложение A : 12 + 1 = 13

Обратите внимание, что если бы мы выполнили умножение перед делением, то получили бы неверный ответ:

• 5 x 2 = 10 , осталось 30 ÷ 10 + 1 = ?
• 30 ÷ 10 = 3 , остается 3 + 1 = ?
• 3 + 1 = 4 (отклонение на 9!)

Последний пример для продвинутых учащихся, использующий все шесть операций:

Пример #3 : 5 + (4 – 2) ² х 3 ÷ 6 – 1 = ?

• Начните с P арентез: 4 – 2 = 2 . (Несмотря на то, что вычитание обычно выполняется на последнем шаге, поскольку оно заключено в скобки, мы делаем это первым.) Получается 5 + 2 ² x 3 ÷ 6 – 1 = ?
• Затем E множители: 2 ² = 4 . Теперь у нас есть 5 + 4 x 3 ÷ 6 – 1= ?
• Затем M умножение и D ivision, начиная слева: 4 x 3 = 12 , оставляя нас с 5 + 12 ÷ 6 – 1 = ?
• Затем двигаемся вправо: 12 ÷ 6 = 2 , составляя задачу 5 + 2 – 1 = ?
• Затем A добавление и S вычитание, начиная слева: 5 + 2 = 7 , остается 7 – 1 = ?
• Наконец, двигаемся вправо: 7 – 1 = 6

(Чтобы попрактиковаться, попробуйте нашу игру Порядок действий!)

Десятичные эквиваленты обыкновенных дробей

Числа и формулы

Десятичные эквиваленты обыкновенных дробей

Числа и формулы

.com/ipa/0/9/3/3/3/4/A0933340.html

Источники +

Наши общие источники

• Алгебра: радикальные операции

• Послание к Филиппийцам: Краткое изложение

• Текущие события на этой неделе: Май 2023

• Преамбула Устава Организации Объединенных Наций

• Королева Виктория

• Книги Библии: книги Нового Завета в порядке

• 88 признанных созвездий

Порядок операций: что это такое и зачем он нам нужен

ПримерыВыпуск

Purplemath

Если вас попросят упростить что-то вроде «4 + 2×3», естественно возникает вопрос: «Как мне поступить?» это? Потому что есть два варианта!» Я мог бы сначала добавить:

4 + 2×3 = (4 + 2)×3 = 6×3 = 18

. ..или я мог бы сначала умножить:

4 + 2×3 = 4 + (2×3) = 4 + 6 = 10

Какой ответ правильный?

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Порядок действий

Кажется, что ответ зависит от того, как вы смотрите на проблему. Но у нас не может быть такой гибкости в математике; математика не будет работать, если вы не можете быть уверены в ответе или если одно и то же выражение можно вычислить так, чтобы получить два или более разных ответа.

Каков порядок действий?

Чтобы избежать путаницы, у нас есть некоторые правила приоритета, установленные по крайней мере еще в 1500-х годах, называемые «порядком операций». «Операции» — это сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и группировка; «порядок» этих операций указывает, какие операции имеют приоритет над (то есть, какие операции выполняются раньше), какие другие операции.

Как запомнить порядок действий?

Распространенным способом запоминания порядка операций является аббревиатура (или, точнее, аббревиатура) «PEMDAS», которая превратилась в мнемоническую фразу «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли». Эта фраза означает и помогает запомнить порядок:

1. Скобки,
2. Экспоненты,
3. Умножение и деление и
4. Сложение и вычитание

В этом списке указаны ранги операций: скобки опережают показатели степени, которые опережают умножение и деление (но умножение и деление имеют один и тот же ранг), а умножение и деление опережают сложение и вычитание (которые вместе находятся в нижнем ранге) . Другими словами, приоритет:

1. Круглые скобки (упростить внутри них)
2. Экспоненты (применить их)
3. Умножение и деление (слева направо)
4. Сложение и вычитание (слева направо)

Когда у вас есть куча операций одного ранга, вы просто действуете слева направо. Например:

15 ÷ 3 × 4

… не 15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12, а на самом деле:

(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4

. . .потому что, двигаясь слева направо, вы сначала доберетесь до знака деления.

Если вы в этом не уверены, проверьте это на своем калькуляторе, запрограммированном на иерархию порядка операций. Например, введя приведенное выше выражение в графический калькулятор, вы получите:

Используя вышеприведенную иерархию, мы видим, что в вопросе «4 + 2×3» в начале этой статьи вариант 2 был правильным ответом, потому что мы должны выполнить умножение, прежде чем делать сложение.

---

Что такое БОДМАС? или БЕДМАС?

Носители британского английского часто используют аббревиатуру «BODMAS», а не «PEMDAS». BODMAS расшифровывается как «скобки, порядки, деление и умножение, сложение и вычитание». Поскольку «скобки» — это группирующие символы, такие как круглые скобки, а «порядки» — это еще одно слово для показателей степени, эти два сокращения означают одно и то же. Кроме того, вы можете видеть, что в британско-английской версии буквы «M» и «D» поменялись местами; это подтверждает, что умножение и деление находятся на одном «ранге» или «уровне».

Англоговорящие канадцы разделили разницу, используя BEDMAS.

Порядок операций был установлен, чтобы предотвратить недопонимание, но PEMDAS может создать собственную путаницу; некоторые учащиеся иногда склонны применять иерархию так, как будто все операции в задаче находятся на одном «уровне» (просто идут слева направо), но часто эти операции имеют разный ранг. Во многих случаях это помогает работать с проблемами изнутри наружу, а не слева направо, потому что часто некоторые части проблемы находятся «глубже», в некотором смысле, чем другие части.

Вероятно, лучше всего объяснить это на нескольких примерах:

• Упростить 4 + 3 ² .

Мне нужно упростить член с показателем степени, прежде чем пытаться добавить в 4:

4 + 3 ²

= 4 + 9

= 13

---

• Simpl 4 + (2 + 1) ² .

Мне нужно упростить в круглых скобках, прежде чем я смогу пройти через экспоненту. Только тогда я могу заняться добавлением 4.

4 + (2 + 1) ²

= 4 + (3) ²

= 4 + 9

= 13

---

90 017 Упростить 4 + [−1(−2 − 1)] ² .

Я не должен пытаться делать эти вложенные скобки слева направо; попытка упростить таким образом слишком подвержена ошибкам. Вместо этого я постараюсь работать изнутри наружу.

Сначала я упрощаю внутри фигурных скобок, затем упрощаю внутри квадратных скобок, и только потом займусь возведением в квадрат. После того, как это будет сделано, я, наконец, могу добавить в 4:

4 + [−1(−2 − 1)] ²

= 4 + [−1(−3)] ²

= 4 + [3] ²

= 4 + 9

= 13

---

Как узнать, какие символы группировки использовать?

Использование квадратных скобок («[» и «]» выше) вместо круглых не имеет особого значения. Скобки и фигурные скобки (символы «{» и «}») используются, когда есть вложенные скобки, чтобы помочь отслеживать, какие скобки с какими идут.