App Store: Maple Калькулятор: решатель
Описание
Этот универсальный математический калькулятор поможет вам с домашними заданиями. Приложение от Maple решает математические задачи из средней школы и не только.
Универсальный калькулятор на основе Maple, самого мощного математического ядра в мире, решает математические задачи, визуализирует двухмерные и трехмерные графики выражений и предоставляет пошаговые решения для задач школьного и университетского уровня.
Maple Калькулятор — это графический и научный калькулятор, калькулятор алгебры, исчисления и интегрирования в одном устройстве. Maple Калькулятор поможет с любыми заданиями — от простых вычислений до задач университетского уровня. Maple Калькулятор поможет получить окончательный ответ или пошаговые решения для задач по алгебре, производных, интегралов, матричных преобразований, дифференциальных уравнений и многого другого!
Этот бесплатный калькулятор позволяет легко вводить, решать и визуализировать различные задачи по алгебре, началам анализа и анализу, линейной алгебре и дифференциальным уравнениям.
А если захочется отдохнуть, можно поиграть в Sumzle. Интерес к Wordle вдохновил нас добавить эту головоломку в Maple Калькулятор, потому что математика не только важна, но и увлекательна!
Основные возможности
• Ввод заданий одним нажатием. Мощные технологии искусственного интеллекта позволяют вводить рукописные и печатные математические задачи с помощью камеры одним нажатием кнопки. Математическое выражение можно ввести в калькулятор, используя те же обозначения, что и учитель. Задачу легко ввести, потому что она «выглядит правильно»!
• Решение задач всех видов. Независимо от способа ввода задач, вы можете вычислять производные и интегралы, разлагать многочлены на множители, находить обратные матрицы, решать системы уравнений и обыкновенные дифференциальные уравнения, а также справляться со множеством других задач.
• Получение пошаговых решений. Помимо ответа, можно получить пошаговые решения математических задач широкого спектра. Разлагайте на множители, находите пределы, вычисляйте производные и интегралы, выполняйте матричные операции, решайте дифференциальные уравнения и многое другое!
• Визуализация задач и результатов. Математические выражения можно представить в виде двухмерных и трехмерных графиков. Наблюдайте, как изменение выражений влияет на графики. Трехмерные графики можно увеличивать, панорамировать и даже вращать, чтобы лучше рассмотреть интересующие вас области.
Математические возможности
Maple Калькулятор использует широко известное математическое ядро Maple, позволяющее решать различные задачи следующих типов.
• Начальная математика: арифметика, обыкновенные и десятичные дроби, целые числа, множители, квадратные корни, степени.
• Алгебра: аналитические и графические решения линейных уравнений, аналитические и графические решения систем уравнений, работа с многочленами, квадратные уравнения и функции, логарифмические и экспоненциальные функции, тригонометрические функции, тригонометрические тождества.
• Начала анализа: графики, кусочные функции, абсолютная величина, неравенства, неявные функции.
• Линейная алгебра: нахождение определителя, обратной и транспонированной матриц, собственных значений и собственных векторов; решение матричных уравнений (сокращенная ступенчатая форма и гауссово исключение).
Версия 3.2.1
Maple Калькулятор теперь вычисляет количество перестановок и комбинаций.
Оценки и отзывы
Оценок: 30
Maplesoft
Прекрасное приложение и удивительно но оно бесплатное!!!
We’re glad you like it! Thank you for the review.
Easy and straightforward
Looking for some templates in the future!
We’re glad you like the app! We’ve added quite a few new features, so we hope you’ll find what you’re looking for. If not, you can let us know what you’d like to see here: https://www.maplesoft.com/products/Maplecalculator/feedback.aspx
Много недостающих функций.
Maple на компьютере умеет решать как дифференциальные уравнения, так и системы дифф уравнений. Этот не может даже просто дифф уравнение решить. Компьютерный выдает ответы лучше и адекватнее, чем Wolfram Alpha, поэтому, к сожалению, не о чем сказать. Усовершенствуйте. Можно ли сделать своего рода мобильный компилятор, например?
Thank you for taking the time to review. Would you mind letting us know which differential equations the app failed to solve? https://www.maplesoft.com/products/Maplecalculator/feedback.aspx We are working hard to improve the app and have many features in the works that we hope you will enjoy.
Разработчик Maplesoft указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.
Связанные с пользователем данные
Может вестись сбор следующих данных, которые связаны с личностью пользователя:
Не связанные с пользователем данные
Может вестись сбор следующих данных, которые не связаны с личностью пользователя:
- Геопозиция
- Данные об использовании
- Диагностика
Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее
Информация
- Провайдер
- Maplesoft
- Размер
- 110,9 МБ
- Категория
- Образование
- Возраст
- 4+
- Copyright
- © 2021 Waterloo Maple Inc.
- Цена
- Бесплатно
- Сайт разработчика
- Поддержка приложения
- Политика конфиденциальности
Вам может понравиться
Метод бернулли дифференциальные уравнения онлайн калькулятор. Дифференциальное уравнение бернулли и методы его решения
Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в виде
где a (x ) и b (x ) −
непрерывные функции.
Если m =
0, то уравнение Бернулли становится линейным
дифференциальным уравнением.
В случае когдаm =
1, уравнение преобразуется в уравнение
с разделяющимися переменными.
В
общем случае, когда m ≠
0, 1, уравнение Бернулли сводится к
линейному дифференциальному уравнению
с помощью подстановки
Новое дифференциальное уравнение для функции z (x ) имеет вид
и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
МЕТОД БЕРНУЛИ.
Рассматриваемое
уравнение можно решить методом Бернулли.
Для этого ищем решение исходного
уравнения в виде произведения двух
функций:
где u,
v —
функции от x .
Дифференцируем:
Подставляем
в исходное уравнение (1):
(2)
В
качестве v возьмем
любое, отличное от нуля, решение
уравнения:
(3)
Уравнение
(3) — это уравнение с разделяющимися
переменными.
После того, как мы нашли его частное
решение v
= v(x) ,
подставляем его в (2). Поскольку оно
удовлетворяет уравнению (3), то выражение
в круглых скобках обращается в нуль.
Получаем: Это
также уравнение с разделяющимися
переменными. Находим его общее решение,
а вместе с ним и решение исходного
уравнения y
= uv .
64. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Методы решения
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменныхивыполнялось условие
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и
поэтому , гдепока неопределенная функция.
Интегрируя,
получаем .
Частная производнаянайденной
функциидолжна
равняться,
что даетоткудатак
чтоТаким
образом,.
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.
65. Обыкновенные дифференциальные линейные уравнения высших порядков: однородные и неодно-родные. Линейный дифференциальный оператор, его свойства (с доказательством).
Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a , b ) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор L n (y ), который отображает функцию y (x ), имеющую производных, в функцию, имеющуюk — n производных.
Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида
где n≠0,n≠1.
Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки
в линейное уравнение
На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при .
Примеры. Решить уравнения:
1) y’x+y=-xy².
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.
1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:
(при нахождении u С берем равным нулю).
3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:
(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):
(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).
2) 2y’+2y=xy².
Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x.
Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:
3) Подставляем во (II) =0 и
Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:
Интегрируем:
Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:
Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:
А так как
Сделаем С=-С:
4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:
3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:
Это — уравнение Бернулли,
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):
v+x²(x-1)v’u=u²v² (III).
Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:
В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:
При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.
При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).
3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, подставляем:
вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:
Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:
4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:
Примеры для самопроверки:
1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:
2) Группируем слагаемые с v:
Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:
Интегрируем обе части уравнения:
3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²:
Интегрируем обе части получившегося уравнения.
Дифференциальное уравнение y» +a 0 (x)y=b(x)y n называется уравнением Бернулли .
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 — с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на y n . Тогда
Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z» + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли .
Пример 1
. Найти общее решение уравнения y» + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z» + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной , получаем откуда
или, что то же самое, .
Пример 2
. y»+y+y 2 =0
y»+y = -y 2
Разделим на y 2
y»/y 2 + 1/y = -1
Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z»= -y»/y 2
Получаем: -z» + z = -1 или z» — z = 1
Пример 3
. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy»/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z»=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz»/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz»/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z»=4z/x
Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y»(x) = C(x)»x 4 + C(x)(x 4)»
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)» x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)» x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)» = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
где p(x) и q(x) — заданные функции от x , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если q(x)\equiv0 , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) , где C(x) — новая неизвестная функция от x .
Пример 1.
Решить уравнение y»+2xy=2xe^{-x^2}
. {-(R/L)t}.
Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .
Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y»+p(x)y=q(x) .
Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).
Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид
\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta — текущие координаты точки касательной.
По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем
\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.
Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках (x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right). {-(R/L)t}.
Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .
Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y»+p(x)y=q(x) .
Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).
Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид
\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta — текущие координаты точки касательной.
По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем
\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.
Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках ( x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right). {x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x)
или Источник информации
Метод вариации постоянной онлайн калькулятор. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом лагранжа. Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной
Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + … + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )
состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении
z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + … + c n z n (t )
соответствующего однородного уравнения
a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + . .. + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0
на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,…,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
состоит в построении частного решения (1) в виде
где Z (t )
— базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0
имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .
Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:
1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.
2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).
3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).
Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.
1) y’=3x-y/x
Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).
y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:
2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда
Полученные выражения подставляем в условие (I):
Интегрируем обе части уравнения:
здесь С — уже некоторая новая константа.
3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Ответ: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.
1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:
Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:
Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.
2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии
Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:
Умножим обе части уравнения на
Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:
Здесь С уже не функция, а обычная константа.
3) В общее решение однородного уравнения
подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .
y’x+y=-xy².
Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:
Подставляем полученные выражения в условие (II):
Упрощаем:
Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:
Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.
3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.
Примеры для самопроверки:
1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.
1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:
Отсюда находим y:
Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C»(x)):
Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:
Теперь подставляем u, du и v в формулу:
Здесь С =const.
3) Теперь подставляем в решение однородного
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n — фундаментальная система решений, а — общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной — восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C» j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C» j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Пример №1
. Найдём общее решение уравнения y»» + 4y» + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y»» + 4y» + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e — x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e — x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C» 1 , C» 2 составляем систему уравнений (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим
Пример №2
. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4
Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y
=C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C» i составляем систему уравнений:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C» 1 из первого уравнения:
C» 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C» 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C» 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C» i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Поскольку y
=C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x
Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.
В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?
1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.
2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).
Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.
Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка
Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)
Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.
Пример 1
(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .
На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:
Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении проведём замену:
Подставим и в уравнение :
Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.
В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :
На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:
Функция только что найдена!
Таким образом, общее решение:
Ответ: общее решение:
Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.
Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Приведем уравнение к виду :
Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:
Общее решение вспомогательного уравнения:
В неоднородном уравнении проведём замену:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставим и в исходное неоднородное уравнение :
Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:
Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:
Теперь вспоминаем проведённую замену:
Ответ: общее решение:
И один пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:
Выполним подстановку:
Таким образом, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.
Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.
Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.
Пример 4
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.
Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.
Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Где – пока ещё неизвестные функции.
Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.
В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.
Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:
Найдем производные:
С левыми частями разобрались. Что справа?
– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:
Коэффициент – это коэффициент при второй производной:
На практике почти всегда , и наш пример не исключение.
Всё прояснилось, теперь можно составить систему:
Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.
Найдем главный определитель системы:
Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)
Итак: , значит, система имеет единственное решение.
Находим производную:
Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:
Разбираемся со второй функцией:
Здесь добавляем «нормальную» константу
На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:
Нужные функции только что найдены!
Осталось выполнить подстановку и записать ответ:
Ответ: общее решение:
В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.
Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных
Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.
Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.
Рассмотрим два примера с задачей Коши .
Пример 6
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
,
Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.
Составим систему:
В данном случае:
,
Находим производные:
,
Таким образом:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Восстанавливаем функцию интегрированием:
Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .
Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:
Такой интеграл решается методом замены переменной :
Из самой замены выражаем:
Таким образом:
Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :
Обе функции найдены:
В результате, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .
Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:
Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :
Подставим найденные значения констант в общее решение:
В ответе логарифмы можно немного запаковать.
Ответ: частное решение:
Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!
Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Решить задачу Коши
,
Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),
В результате общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .
Подставим найденные значения констант в общее решение:
Ответ: частное решение:
заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством
Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:
- решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
- написание лабораторных, рефератов и курсовых
- выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.
Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.
Объединение сервисов в одну систему
Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:
- Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
- Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
- Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
- Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос
Принцип работы
Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.
Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.
Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.
Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).
Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.
За счет чего будет развиваться сервис
Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.
Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.
Преимущества для заказчиков
Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.
Преимущества для решающих задания
Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.
Преимущества для владельца сервиса
Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.
В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.
Что необходимо для создания сервиса
- Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.
Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
- Выбрать платежную систему.
- Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
- Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.
Онлайн калькуляторы
Подсчет количества символов и слов
калькулятор считает количество символов, количество знаков, количество слов
Работа с текстом Калькулятор Расчёт Конвертер Преобразовать Текст
Транслитерация имени и фамилии для загранпаспорта
Онлайн сервис транслитерации имени и фамилии для загранпаспорта заменяет буквы русского алфавита буквами латинского алфавита по правилам, установленным приказом МВД России от 27 ноября 2017 г.
N 889 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по оформлению и выдаче паспортов гражданина Российской Федерации, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации, содержащих электронный носитель информации». (Приложение N 2)Работа с текстом Инструмент Текст
Очистка аттрибутов HTML тегов
Работа с текстом Калькулятор Расчёт Конвертер Преобразовать Текст
Таблица тангенсов
Таблицы по геометрии Калькулятор Расчёт Преобразовать Углы
Таблица котангенсов
Таблицы по геометрии Калькулятор Расчёт Преобразовать Углы
Таблица синусов
Таблицы по геометрии Калькулятор Расчёт Преобразовать Углы
Таблица косинусов
Таблицы по геометрии Калькулятор Расчёт Конвертер Преобразовать Углы
Размеры велосипедных шин и камер
Правильные велосипедные шины и камеры — основа для безопасной и комфортной езды.
При их выборе следует учитывать не только параметры транспортного средства, но и предпочитаемый вид деятельности.Размеры и габариты Калькулятор Расчёт Конвертер Преобразовать Размеры
Площадь треугольника по двум сторонам и углу
Площадь плоских фигур Площадь Геометрия
Площадь треугольника через основание и высоту
Площадь плоских фигур Калькулятор Площадь Математика
Расчет расхода калорий
Калькуляторы веса и калорий Калькулятор Расчёт
Авансовый платеж
Кредит Финансы Кредит Платежи
Арифметическая прогрессия
Алгебра Калькулятор Расчёт
Арифметические операции
Арифметика Калькулятор Расчёт
Ваш возраст на других планетах
Калькуляторы времени и даты Калькулятор Расчёт Генератор Время Справочник
Возведение в степень
Алгебра Калькулятор Расчёт
Байт.
Конвертировать в другие производные единицыКонвертеры Калькулятор Конвертер Преобразовать
Бесплатный генератор паролей онлайн
Создать бесплатно пароль любой длины и уровня сложности для ваших приложений, аккаунтов, соц. сетей, паролей к Windows, зашифрованным архивам и т.д.
Работа с текстом Генератор Инструмент Текст Пароли
Генератор оттенков и теней
Работа с цветом Расчёт Уравнение График
Генератор равноудаленных цветов HSV
Работа с цветом Расчёт Уравнение График
Генератор цветов на 16 элементов
Работа с цветом Расчёт Уравнение График
Генератор цветового диапазона
Работа с цветом Расчёт Уравнение График
Генератор цветовой палитры
Работа с цветом Расчёт Уравнение График
Декодирование URL адресов
Работа с текстом Калькулятор Расчёт Конвертер Преобразовать Текст
Фундаментальные физические константы
Таблицы по физике Таблицы Формулы Физика Теория
01-а.
Физическая величинаФизические величины Формулы Физика Теория 7 класс
01-б. Измерение физических величин
Физические величины Формулы Физика Теория 7 класс
01-в. Цена делений шкалы прибора
Физические величины Формулы Физика Теория 7 класс
01-г. Погрешность прямых и косвенных измерений
Физические величины Формулы Физика Теория 7 класс
01-д. Формулы и их преобразование
Физические величины Формулы Физика Теория 7 класс
01-е. Единицы физических величин
Физические величины Формулы Физика Теория 7 класс
01-ж. Метод построения графика
Физические величины Формулы Физика Теория 7 класс
Абрам Фёдорович Иоффе
Знаменитые физики Физика Биография
Абрахам Маслоу
Знаменитые психологи Биография Психология
Август Фердинанд Мёбиус
А́вгуст Фердина́нд Мёбиус — немецкий математик, механик и астроном-теоретик.
Знаменитые математики Математика Биография
Авицена
Абу́ Али́ Хусе́йн ибн Абдулла́х ибн аль-Ха́сан ибн Али́ ибн Си́на, известный на Западе как Авице́нна — средневековый персидский учёный, философ и врач, представитель восточного аристотелизма.
Знаменитые философы Биография Философия
Аврелий Августин
Авре́лий Августи́н Иппони́йский, или Августи́н Афр, также Авре́лий Августи́н Блаже́нный — христианский богослов и философ, влиятельнейший проповедник, епископ Гиппонский, один из Отцов христианской церкви.
Знаменитые философы Биография Философия
Ада Лавлейс
Ада Лавлейс — английский математик. Известна прежде всего созданием описания вычислительной машины, проект которой был разработан Чарльзом Бэббиджем. Составила первую в мире программу.
Знаменитые математики Математика Биография
Адольф Байер
Иоганн Фридрих Вильгельм Адольф фон Ба́йер — немецкий химик-органик, лауреат Нобелевской премии по химии 1905 года.
Знаменитые химики Химия Биография
Адольф фон Байер
Иоганн Фридрих Вильгельм Адольф фон Ба́йер — немецкий химик-органик, лауреат Нобелевской премии по химии 1905 года.
Знаменитые химики Химия Биография
5 основных принципов UX
Разное Справочник Информатика Программирование Web Сайтостроение
Microsoft и Kubernetes — контейнерная платформа без секретов
Разное Статьи
Social Media Marketing
Разное Статьи
Безопасная электронная почта
Разное Справочник Информатика Программирование Web Сайтостроение
ЕГЭ: обязательные предметы для сдачи экзамена
ЕГЭ Экзамены
Инвестирование в себя — обучение, курсы, саморазвитие
Разное Психология
История евро
Разное Финансы Деньги Статьи
Как и куда можно поступить без ЕГЭ
ЕГЭ Экзамены
Как решать дифференциальные уравнения с начальными условиями? – Обзоры Вики
Как вы используете начальное условие? Таким образом, общий способ решения задач с начальными значениями таков: – Во-первых, найти общее решение, игнорируя начальное условие. — Потом, использовать начальное условие для подстановки значений и найти конкретное решение.
Что такое математика начальных условий? В математике и особенно в динамических системах начальное условие, в некоторых контекстах называемое начальным значением, представляет собой значение развивающейся переменной в некоторый момент времени, обозначенное как начальное время (обычно обозначается t = 0).
Во-вторых, что является примером начального состояния? Первоначальные условия)
Пример 2 y(x)=x−32 y ( x ) = x − 3 2 является решением уравнения 4x2y′′+12xy′+3y=0 4 x 2 y ″ + 12 xy ′ + 3 y = 0 , y(4)=18 y ( 4 ) = 1 8 , и y′(4)= -364 y′ ( 4 ) знак равно — 3 64 .
Как решить дифференциальные уравнения первого порядка на калькуляторе?
то может ли TI 89 решать дифференциальные уравнения? Примечание: TI 89 не решает дифференциальные уравнения 3-го и выше порядка. … Однако мы можем использовать возможности TI 89 для решения полиномиальных уравнений с комплексными корнями для решения линейных дифференциальных уравнений более высокого порядка с постоянными коэффициентами.
Что такое начальная стоимость? Начальное значение начальное выходное значение или значение y, когда x = 0. Скорость изменения — это то, насколько быстро выходной сигнал изменяется относительно входа, или, на графике, насколько быстро изменяется y относительно x. Вы можете использовать начальное значение и скорость изменения, чтобы получить всевозможную информацию о функциях.
Что такое начальное значение на графике?
Начальное значение, или y-пересечение, равно выходное значение, когда вход линейной функции равен нулю. Это значение y точки, где линия пересекает ось y. … Наклон и начальное значение можно определить по графику или любым двум точкам на линии. Одной из форм линейной функции является форма пересечения наклона.
Что такое алгебра начальных значений?
Начальное значение, или y-пересечение, равно выходное значение, когда вход линейной функции равен нулю. Это значение y точки, где линия пересекает ось y. … Наклон и начальное значение можно определить по графику или любым двум точкам на линии. Одной из форм линейной функции является форма пересечения наклона.
Что такое начальная стоимость? Начальное значение является начальным выходным значением или значение y при x = 0. Скорость изменения — это то, насколько быстро выходной сигнал изменяется относительно входа, или, на графике, насколько быстро изменяется y относительно x. Вы можете использовать начальное значение и скорость изменения, чтобы получить всевозможную информацию о функциях.
Что такое начальная стоимость в финансах?
Начальное значение означает стоимость чистых активов одной единицы или акции паевого инвестиционного фонда в начале период измерения эффективности; и. Образец 1.
Что такое дифференциальный калькулятор?
Калькулятор производных может быть используется для вычисления производной функции. Он также известен как калькулятор дифференцирования, потому что он решает функцию, вычисляя ее производную для переменной.
Как вы выполняете функцию Эйлера на TI 89? Вернитесь на главный экран с помощью команды HOME. (2) В командной строке на главном экране введите имя программы «Эйлер ()” с последующими открывающими и закрывающими скобками. Запустите программу, нажав ENTER. (3) На экране TI-89 отобразится титульный экран «Метод Эйлера».
Как построить графики дифференциальных уравнений на TI 89?
Как найти начальную стоимость FX? В математике начальное значение функции означает, что она y-перехват функции. Знание y-перехвата поможет в графических функциях. Например, если функция f(x)=2x+3 f ( x ) = 2 x + 3 , точка пересечения y (начальное значение) равна 3 . Это значение отображается на оси Y.
Как найти начальное значение процента?
Всегда ли начальное значение равно 0? Исходное начальное значение. И это по существу значение функции, когда вход нуль.
Как найти начальное значение координат?
Что такое конкретное решение? : решение дифференциального уравнения, полученное путем присвоения частных значений произвольным константам в общем решении.
Как решить общее решение?
Калькулятор общего решенияОнлайн-калькулятор общего решения — это калькулятор, позволяющий находить производные дифференциального уравнения.
Калькулятор общих решений — это фантастический инструмент, который ученые и математики используют для вывода дифференциальных уравнений. Калькулятор общего решения играет важную роль в решении сложных дифференциальных уравнений.
Что такое калькулятор общего решения?
Калькулятор общих решений — это онлайн-калькулятор, который помогает решать сложные дифференциальные уравнения.
Калькулятору общих решений требуется один ввод — дифференциальное уравнение, которое вы вводите в калькулятор. Входное уравнение может быть дифференциальным уравнением первого или второго порядка. Калькулятор общего решения быстро вычисляет результаты и отображает их в отдельном окне.
Калькулятор общего решения отображает несколько различных результатов, таких как входные данные, графики уравнения, альтернативная форма , комплексные корни , полиномиальный дискриминант , производная , интеграл и глобальный минимум , если они доступны.
Как пользоваться калькулятором общего решения?
Вы можете использовать Калькулятор общего решения , введя дифференциальное уравнение в калькулятор и нажав кнопку «Отправить» на Калькулятор общего решения .
Пошаговые инструкции по использованию Калькулятора общих решений приведены ниже:
Шаг 1
Чтобы использовать Калькулятор общих решений , , вы должны сначала вставить дифференциальное уравнение в соответствующее поле.
Шаг 2
После того, как вы ввели дифференциальное уравнение в Калькулятор общего решения, просто нажмите кнопку «Отправить». General Solution Calculator выполнит расчеты и мгновенно отобразит результаты в новом окне.
Как работает общий калькулятор
Solution ?A Калькулятор общего решения работает, беря дифференциальное уравнение в качестве входных данных, представленных как y = f(x), и вычисляя результаты дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения дает нам представление о том, как изменяются величины и почему это изменение происходит.
Что такое дифференциальные уравнения?
Дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее производную неизвестной функции. Производные функции определяют, как быстро она изменяется в данной точке. Эти производные связаны с другими функциями с помощью дифференциального уравнения.
Основные приложения дифференциальных уравнений используются в биологии, физике, технике и многих других науках. Основная цель дифференциального уравнения состоит в том, чтобы изучить решения, которые удовлетворяют уравнениям и характеристикам решений.
Любое уравнение, имеющее хотя бы одну обыкновенную или частную производную неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением . Предполагая, что скорость изменения функции x обратно пропорциональна y, мы можем записать ее как $\frac{dy}{dx} = \frac{k}{y}$.
Дифференциальное уравнение в исчислении — это уравнение, которое включает производные зависимой переменной относительно независимой переменной . Производная есть не что иное, как представление скорость изменения .
Дифференциальное уравнение помогает представить взаимосвязь между изменяющейся величиной и изменением другой величины. Пусть y=f(x) — функция, где f — неизвестная функция, x — независимая переменная, f — зависимая переменная.
Что такое порядок дифференциальных уравнений?
Порядок дифференциального уравнения — это порядок, определяемый производной высшего порядка, которая появляется в уравнении. Рассмотрим следующие дифференциальные уравнения: 9{2}}) = 0 \]
Старшие производные в приведенных выше примерах дифференциальных уравнений относятся к первому, четвертому и третьему порядкам соответственно.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Первый пример демонстрирует дифференциальное уравнение первого порядка со степенью 1. Первый порядок включает все линейные уравнения, которые принимают форму производных. Он имеет только первую производную, как показывает уравнение $\frac{dy}{dx}$, где x и y — две переменные, а $\frac{dy}{dx} = f(x, y) = у’$. 9{2}} = f”(x) = y”$.
Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения?
Обыкновенное дифференциальное уравнение или ОДУ — это математическое уравнение только с одной независимой переменной и одной или несколькими ее производными.
В результате обычное дифференциальное уравнение представляется как связь между действительной зависимой переменной y и одной независимой переменной x вместе с некоторыми производными y относительно x.
Поскольку дифференциальное уравнение в приведенном ниже примере не содержит частных производных, оно является обыкновенным дифференциальным уравнением. 9{2}})+(\frac{dy}{dx})=3y\cos{x} \]
Существует два типа однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Что такое однородные дифференциальные уравнения?
Однородные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, в которых все члены имеют одинаковую степень. Поскольку P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одной и той же степени, их можно в общем случае выразить как P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
Здесь некоторые примеры однородных уравнений: 9{2} + 2x = 0$ — пример неоднородного дифференциального уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение является разновидностью неоднородного дифференциального уравнения и связано с линейным уравнением.
Что такое уравнения с частными производными?
Уравнение в частных производных , или УЧП, представляет собой уравнение, в котором используются только частные производные одной или нескольких функций двух или более независимых переменных. Следующие уравнения являются примерами дифференциальных уравнений в частных производных 9{2}} = 0 \]
Применение дифференциальных уравнений
Обычные дифференциальные уравнения используются в повседневной жизни для вычисления потока электричества , движения объекта вперед и назад, как маятник, и для иллюстрации принципов термодинамика .
В медицинской терминологии они также используются для графического мониторинга прогрессирования заболевания. Математические модели, связанные с ростом населения или радиоактивным распадом, можно описать с помощью дифференциальных уравнений. 9{2} + 3$. Ему нужно вычислить производную этого уравнения. Используя Калькулятор общего решения , найдите производную этого уравнения.
Решение
Используя наш Калькулятор общего решения , , мы можем легко найти производную для данного уравнения. Сначала мы добавляем уравнение в соответствующее поле калькулятора.
После ввода уравнения нажимаем кнопку «Отправить». Калькулятор общего решения быстро вычисляет уравнение и отображает результаты в новом окне. 9{2} + 3x \]
Чтобы продолжить свои исследования, ученый должен определить производную уравнения. Найдите производную приведенного уравнения.
Решение
Мы можем решить уравнение, используя Калькулятор общего решения . Сначала мы вводим полученное уравнение в калькулятор.
После того, как мы введем уравнение в Калькулятор общего решения, нам всем нужно нажать кнопку «Отправить». Калькулятор мгновенно отобразит результаты в новом окне. 9{2} + 3x \right \} = -\frac{13}{27} \ at \ x = -\frac{1}{3} \]
Все изображения/графики созданы с помощью GeoGebra
Maths Калькулятор
Калькулятор дифференциальных уравнений с начальным условием
Калькулятор дифференциальных уравнений
Решить для abcdfghjklmnpqrstuvtwxyz ( abcdfghjklmnpqrstuvtwxyz )
Введите дифференциальное уравнение:
y»+4y’+cos(x)=0
Исходное состояние
| |||||||||||||||
п р О С Е С С я Н грамм
Дифференциальное уравнение:
Решение:
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений, который мы рады предоставить вам, является очень полезным инструментом, когда дело доходит до изучения и решения дифференциальных уравнений.
Его интуитивно понятный интерфейс означает, что вы можете использовать его с первого момента, не тратя время на чтение инструкции по применению. Но чтобы у вас не было сомнений в том, как пользоваться калькулятором дифференциальных уравнений, ниже мы пошагово объясним, как им пользоваться. В свою очередь, после введения мы покажем вам краткое введение в наиболее важные теоретические концепции в мире обыкновенных дифференциальных уравнений.
Содержание
- 1 Калькулятор дифференциальных уравнений
- 2 Инструкции по использованию калькулятора дифференциальных уравнений
- 3 Что такое дифференциальные уравнения?
- 4 Что такое порядок дифференциального уравнения?
- 5 Степень дифференциального уравнения
Инструкция по использованию калькулятора дифференциальных уравнений
- Первым шагом в использовании калькулятора является указание переменных, определяющих функцию, которая будет получена после решения дифференциального уравнения. Для этого будут использоваться два поля в верхней части калькулятора. Например, если вы хотите решить дифференциальное уравнение второго порядка y”+4y’+ycos(x)=0, вы должны выбрать переменные y , x, как показано на следующем рисунке:
- На втором этапе вводится решаемое дифференциальное уравнение. Для этого вы должны написать выражение в основное поле калькулятора, используя клавиатуру самого калькулятора или вашего устройства. Обратите внимание, что вы должны использовать одинарные кавычки и’ для обозначения первой производной, две одинарные кавычки для обозначения второй производной и т. д.
- Если требуется решить дифференциальное уравнение из определенных начальных условий, необходимо нажать синяя кнопка под клавиатурой. При этом будет отображаться поле с теми, которые необходимы для ввода начальных условий. Важно отметить, что вы можете вводить их прямо в основное поле, отделяя каждое условие запятой, например: y”+4y’+ycos(x)=0, y(1)=2.
- Наконец, вам просто нужно нажать кнопку «Рассчитать», и автоматически появится окно с решением, как показано ниже:
Что такое дифференциальные уравнения?
Дифференциальные уравнения — это математические уравнения, описывающие, как величина изменяется в зависимости от одной или нескольких (независимых) переменных, часто во времени или пространстве. Мы также можем определить дифференциальное уравнение как уравнение, состоящее из функции и ее производных.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, записанное в форме y’ = ………. Некоторые дифференциальные уравнения можно решить, просто выполнив интегрирование, в то время как другие требуют гораздо более сложных математических процессов.
Что такое порядок дифференциального уравнения?
Порядок дифференциального уравнения определяется производной старшего порядка. Чем выше порядок дифференциального уравнения, тем больше произвольных констант необходимо добавить к общему решению. Уравнение первого порядка будет состоять из одного, уравнения второго порядка — из двух и так далее. Конкретное решение можно найти, присвоив значения произвольным константам, чтобы они соответствовали любому заданному ограничению.
Степень дифференциального уравнения
Степень дифференциального уравнения определяется наибольшей степенью одной из его переменных.
Калькулятор дифференциальных уравнений
Калькулятор дифференциальных уравнений
Связанные темы:
формула+вычесть 5 процентов |
полярный эллипс в матлабе |
алгебраическая готовность |
распечатки занятий по математике |
математические презентации о постоянных разностях |
записать 135% в виде десятичной дроби |
обратные операции ks2 онлайн игры |
саксонская математика онлайн алгебра 1 ответов |
как решать задачи по математике для экзамена |
алгебра Холта 1 – интеграция, приложения, связи
| Автор | Сообщение | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Clga Зарегистрирован: 21. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Вофий Тимидов Дата регистрации: 06.07.2001 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Момэпи Зарегистрирован: 22.07.2004 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Лидандо Зарегистрирован: 08.12.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Джот Дата регистрации: 07.09.2001 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
Калькулятор уравнения в частных производных
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▷Step by Step Приложения для TI-Nspire CX и CX CAS Скачать бесплатно. Пройдите курсы по математике, естественным наукам и бизнесу
Для подготовки к экзаменам по математике и естественным наукам, домашнее задание. Проверьте свою работу.
— Шаг за шагом к успеху. Приложения запускаются за считанные минуты. Сначала протестируйте наши бесплатные пробные версии.—
| 95% купили больше ПРИЛОЖЕНИЙ. | 97% сообщили об улучшении результатов. | Рейтинг: 4,89 из 5 звезд. | Доступно 46 ПРИЛОЖЕНИЙ. |
КОВИД СПЕЦИАЛЬНЫЙ
Купите 3 приложения Made Easy по цене 2 приложений.
Выберите 3 приложения. EasyBusiness Stats Made EasyCalculus with Physics Apps Calculo de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht Gemacht DiscreteMDisateM de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenie ur Mathematik Leicht GemachtFinance Made EasyКонечная математика Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GmachtGeometria de Manera FacilLand Survey Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GmachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyЧисленный анализ Made EasyPhysik Leicht EasyPhysik Research Made EasyPhysik Research Made Easy GemachtFisica de Manera FacilPortfolio & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathSignals and Systems Made EasyStatistics and Probability Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatic and Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equation Solver Ecuaciones de Manera FacilПошаговый конвертер единиц измеренияThermodynamics Made EasyThermodynamik Leicht GemachtTrigonometry Made EasyTrigonometria de Manera FacilTr igonometrie Leicht GemachtVector Calculus Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics with de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics with de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Введите последние 8 цифр вашего 27-значного идентификатора продукта TI-Nspire.
Находится в разделе 5:Настройки → 4:Статус → О программе
ID может выглядеть так: 1008000007206E210B0 BD92F455 .
ПОМОГИТЕ НАЙТИ ID.
Если бы это был ваш ID, вы бы набрали только BD92F455.
или на международном уровне:
В конце оплаты через PayPal вам будет отправлено электронное письмо с вашим ключом и программным обеспечением.
Хотите купить TI-калькулятор?
Получите самые низкие цены на TI-Calculators
(со сравнением цен)
СРАВНИТЕ лучшие цены на Amazon, Ebay, Target, Walmart, Office Max, Best Buy.
Сравните лучшие цены на Amazon, Walmart, Ebay, Target, Best Buy и т. д.
Изучите историю цен калькуляторов за последние несколько месяцев.
Установите оповещение по электронной почте при снижении цен, чтобы получать уведомления.
Сравните различные модели, чтобы найти калькулятор, который лучше всего соответствует вашим потребностям.
Найдите новые, обновленные, восстановленные, подержанные калькуляторы.
Смотрите обучающие видео и читайте руководства по калькуляторам.
Читайте последние новости о калькуляторах в Интернете.
БЕСПЛАТНАЯ загрузка:
Решение квадратных уравнений (шаг за шагом)
Загрузите пошаговый решатель квадратных уравнений
. Этот решатель является частью приложения Algebra Made Easy.
— Загрузите бесплатные пробные версии здесь.
— Срок действия пробных и платных приложений неограничен.
— Будущие обновления бесплатны — навсегда!
Онлайн-репетиторство по математике
Получите онлайн-репетиторство.
Репетиторы с отличными оценками по математике будут рады помочь вам.
Получите индивидуальную помощь по математике.
Мы используем Zoom для обучения онлайн, мы шаг за шагом объясняем, как решать математические задачи.
Репетиторы в настоящее время преподают алгебру, алгебру 2, предварительное исчисление, AP исчисление AB и BC, AP статистику, тригонометрию, дискретную математику.
Репетиторы более 10 лет работали в качестве читателей AP Calculus (те люди, которые оценивают экзамены AP Calculus).
Репетиторы также обучают навыкам сдачи тестов, которые так же важны, как и само содержание.
Наши преподаватели имеют более 20 лет опыта преподавания.
1. урок стоит 50$, после этого 100$ в час.
оптом: 540 долларов за 6 часов, 1000 долларов за 12 часов.
Забронируйте сеанс репетиторства по электронной почте: [email protected]
Для вопросов, заказов и т. д.: НАПИШИТЕ С НАМИ.
| Первый урок (50 долларов США) | Один урок (100 долларов США) | Несколько уроков |
|---|---|---|
Решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка
Решения серии для линейных уравнений второго порядка Дифференциальные уравнения
Мы полностью исследовали решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка
с постоянными коэффициентами. Теперь мы рассмотрим, как найти решения для
линейные дифференциальные уравнения второго порядка, коэффициенты которых не равны
обязательно постоянный. Пусть
P(x)y» + Q(x)y’ + R(x)y = g(x)
Быть дифференциальным уравнением второго порядка с P, Q, Р, и г все непрерывный. Тогда x 0 есть единственное число . точка, если P(x 0 ) = 0, но Q и R не обращаются в нуль в x 0 . В противном случае мы говорим, что x 0 является обычным числом. пункт . Пока мы будем исследовать только обычные точки.
Пример
Найдите решение
у» + ху’ + у = 0 у(0) = 0 у'(0) = 1
Раствор
Так как дифференциальное уравнение имеет непостоянные коэффициенты, мы не можем
предположим, что решение имеет вид y = e rt .
Вместо этого мы используем тот факт, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка должно
имеют единственное решение. Мы можем выразить это уникальное решение как мощность
серия
Если мы сможем определить a n для все n, то мы знаем решение. К счастью, мы можем легко взять производные
Теперь подставим их в исходное дифференциальное уравнение
Мы можем умножить x на второй член, чтобы получить
Мы хотели бы объединить подобные термины, но есть две проблемы. во-первых, степени x не совпадают, и во-вторых, суммирование начинается по-разному. Мы сначала разберемся со степенями х. Мы сдвигаем индекс первое суммирование, полагая
ты = n — 2 n = u + 2
Приходим к
Поскольку u — фиктивная переменная, мы можем назвать ее n вместо того, чтобы получить
Далее разбираемся со второй проблемой. Второе суммирование начинается с 1
в то время как первый и третий начинаются с 0. Мы имеем дело
с этим, вытащив 0 й срок. Подставляем 0 в первую и третью
серия, чтобы получить
(0 + 2)(0 + 1)а 0+2 х 0 = 2а 2
и
a 0 x 0 = а 0
Мы можем записать ряд как
Начальные условия дают нам, что
а 0 = 0 и a 1 = 1
Теперь приравниваем коэффициенты. Термины в ряду начинаются с первая степень x, поэтому постоянный член дает нам
2а 2 + а 0 = 0
Так как 0 = 0, то и 2 . Теперь коэффициент перед x n равен нулю для всех n. У нас есть
(n + 2)(n + 1)а n+2 + (n + 1)а n = 0
Решение для n+2 дает
-а н
a n+2 =
п+2
Мы сразу видим, что
a n = 0
даже. Теперь вычислите нечетное a n
-1
1
-1
а 1 =
1 a 3 =
а 5 =
а 7 =
3
3 . 5
3 . 5 . 7
В целом
(-1) n 2 n (n!)(-1) n
a 2n+1 знак равно
=
3 . 5 . 7 . … . (2+1)
(2н + 1)!
Окончательное решение
Это не может быть записано в терминах элементарных функций, однако компьютер может построить график или рассчитать значение с любым количеством знаков после запятой.
Пример
Найдите первые три ненулевых члена двух линейно независимых решений до
xy» + 2г = 0
Раствор
Обратите внимание, что 0 является особой точкой этого
дифференциальное уравнение. Мы не сможем найти решение в виде
Sa n y n , начиная с
решение не будет дифференцируемо в нуле. В качестве альтернативы мы находим
решение в форме
Это степенной ряд с центром вокруг x = 1, которая не является особой точкой. Теперь возьмем производные
Подстановка в дифференциальное уравнение дает
Письмо
х = (х — 1) + 1
и умножение дает
Пусть u = n — 2 в первом суммирование, u = n — 2 во втором и затем изменение индексной переменной обратно на n дает
Теперь подставив n = 0 в второй и третий ряд получаем
Теперь мы можем приравнять коэффициенты, чтобы найти
2а 2 + 2а 0 = 0
(n + 1)na n+1 + (n + 2)(n + 1)a n+2 + 2a n = 0
Первое уравнение говорит, что
а 2 = -а 0
Отношение рекурсии говорит
-(n + 1)na n+1 — 2a n
a n+2 =
(n + 2)(n + 1)
Мы хотим найти два линейно независимых решения.