Общий делитель и кратное (НОД и НОК): онлайн калькулятор
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и НОД чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.
Основные понятия
Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.
Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.
Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.
Нахождение НОД
Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:
- последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
- разложение чисел на неделимые множители;
- алгоритм Евклида;
- бинарный алгоритм.
Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.
Нахождение НОК
Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:
НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).
Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.
Взаимно простые числа
Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.
Калькулятор общего делителя и кратного
При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.
Примеры из реальной жизни
Общий знаменатель дробей
Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.
Решение линейных диофантовых уравнений
Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах.
Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.
Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.
Заключение
НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.
ДРОБИ!!! ПОЛНЫЙ РАЗБОР ПРИМЕР С ДРОБЯМИ
Главная » Дроби онлайнДействия с дробями проходят через всю школьную математику.
В жизни мы не очень много с ними сталкиваемся, хотя постоянно слышим и говорим — половина, четверть, треть.
Но на всех экзаменах будут примеры на дроби и действия с ними. Очень редкие калькуляторы помогут вам в этом. Да ещё вам сначала придётся научиться использовать такой хитрый калькулятор. Довольно часто вычисления с дробями встречаются в физике,
химии и изредка в биологии.
Дроби были придуманы людьми для того, чтобы справиться с проблемой деления с остатком.
8: 2 = 4 (ровно, без остатка), а 9: 2 = 4 и остаток 1.
Действия с Дробями
Дробить — значит разбивать на более мелкие части. И в математике дробь — это что-то меньше, чем целая единица. Мне нравится использовать для примера тортики. Почему-то ученики с удовольствием придумывают способы для того, чтобы разделить тортики на несколько равных частей. Собственно, это и есть применение математики в жизни.
Если мы разделим тортик на две части, то их называют половинки, или если в виде
дроби — «одна вторая».
1 число над дробью называется ЧИСЛИТЕЛЬ, он показывает какое количество (ЧИСЛО) частей мы взят.
2 число под дробью называется ЗНАМЕНАТЕЛЬ, он показывает на сколько равных частей мы разбили целое (тортик, например)
Если ученик сам не смог вспомнить — как называются числитель и знаменатель, то надо ему на них показать, назвать и попросить самому дать определения этим словам, а потом потренировать, показывая ему на примеры дробей. Эти слова часто используют
в математике, физике и даже просто в жизни: вы слышали когда-нибудь — «надо их к одному знаменателю привести»? «Привести», кстати, в математике означает не «переместить к нужному пункту что-то или кого-то». Как «привести машину к подъезду».
В математике «привести» — значит сделать действия в соответствии с правилами, чтобы получилось что-то одно или одинаковое с чем-то. То есть надо сделать так, чтобы у дробей были одинаковые знаменатели.
Попросите ученика разделить «тортики» (круги) на 4 равные части, на 8 частей,
на 3 части.
Пусть поищут способы, чтобы части были равными.
Скажите, что когда делим на 4 части, то одна из частей называется одна ЧЕТВЁРТАЯ,
две таких части — две четвёртых, три — три четвертых. Пусть он попрактикуется в названии разных дробей пока не поймёт это очень хорошо.
Потом спросите — как нам сложить одинаковые части? Одна четвёртая и одна четвёртая будет сколько? Правильно — две четвёртых. То есть, если мы складываем дроби с одинаковым знаменателем — мы не трогаем знаменатели, они остаются теми же,
а числители складываем. Если ученик будет складывать знаменатели (например, одна вторая и одна вторая у него будет получаться две четвёртых, а это неверно!), попросите его
нарисовать на тортике — что у него получается, какие части торта и пусть он сравнит наглядно с тем, что должно получиться при правильном сложении.
Далее нам надо сложить дроби с разными знаменателями. Если у него трудности, то мы объясняем, как это делается на таком примере:
Эти части тортика — разные по величине.
Их можно сдвинуть вместе, и мы получим какую-то реальную часть тортика:
Но в числовом примере нам надо их ещё как-то записать, а для устного ответа — назвать правильными словами. Для этого нам надо разбить эти части на более мелкие, которые будут
одинаковы. Например так:
Вот в этих более мелких частях мы и запишем ответ. Если мы разделим каждую одну четвёртую на три части, а одну третью на четыре, то это будут более мелкие и одинаковые —
двенадцатые части. Одна четвёртая будет состоять из трёх двенадцатых, а одна третья из четырёх двенадцатых. И вместе это будет — семь двенадцатых.
Надо потренировать ученика складывать разные дроби до уверенности. Потом те же принципы применяются при сложении дробей в алгебре в 6 классе и старше — где вместо
чисел будут разные буквы и целые выражения. Но правила сложения и умножения дробей
ТЕ ЖЕ самые.
Умножение Дробей
Если ученик легко складывает дроби, то я перехожу к умножению дробей. Тут надо просто
При умножении дробей числитель умножается на числитель,
а знаменатель — на знаменатель.
Конечно, надо до уверенности попрактиковаться в этом действии!
Деление Дробей
При делении дробей можно, конечно, разделить числитель на числитель, а знаменатель
на знаменатель. Но это не всегда получается — если мы в предыдущем примере попробуем
разделить 2 на 3 и 5 на 7, то вряд ли получится что-то удобное. Потому делают так:
Вторую
дробь переворачивают, и первую дробь умножают на ПЕРЕВЁРНУТУЮ вторую дробь.
Это правило надо понять и усвоить. И, конечно, надо до уверенности попрактиковаться
в этом действии!
Исследуй дальше: ИЗУЧАЕМ ДРОБИ
Калькулятор дробей — сложение, вычитание, умножение и деление дробей
Введите целые числа, чтобы составить дроби, и выберите операцию для решения дробей с помощью калькулятора дробей.
Таблицы дробей
Содержание:
- Калькулятор дробей
- Что такое дробь?
- Как упростить дроби?
Дайте нам отзыв
✎
✉
Калькулятор дробей
Калькулятор дробей принимает дроби от пользователей и выполняет следующие операции.
- Сложение дробей
- Вычитание дробей
- Умножение дробей
- Деление дробей
Давайте углубимся в дроби, исследуя определение дробей, как упростить дроби без умножителя дробей, и как вы вычитаете, складываете, умножаете или разделить дроби вручную.
Что такое дробь?
Дроби используются для представления части целого. Когда мы делим что-то на части, дробь показывает, сколько частей у нас есть из общего количества.
Например: если пицца состоит из 8 кусочков, то 1 кусочков из 8 можно выразить дробью как 1/8.
Верхняя часть дроби известна как числитель , а нижняя часть дроби известна как знаменатель.
Как упростить дроби?
Этот калькулятор дробей или решатель дробей выполняет все следующие операции.
Пример: Сложение, вычитание, умножение и деление заданной дроби.
2/3 и 3/4
Как складывать/вычитать дроби?Шаг 1: Сделайте знаменатель обеих дробей одинаковым. Шаг 2: Добавьте числитель обеих дробей и напишите знаменатель, взяв его общим. 9Вычитая числители в конце, вы можете вычитать дроби в так же.
Как умножать дроби?Шаг 1: Умножьте числитель и знаменатель обеих дробей друг на друга.
= 2/3 × 3/4
= (2×3)/(3×4)
= 6/12
= 1/2
Как делить дроби?Шаг 1: Переверните вторую дробь, поменяв местами числитель и знаменатель. Также замените знак ÷ на знак × .
2/3 ÷ 3/4
2/3 × 4/3
Шаг 2: Теперь умножьте числитель и знаменатель обеих дробей друг на друга.
2/3 × 4/3 = 8/9
Калькулятор сложения дробей может выполнять все вышеперечисленные операции над дробями.
Калькулятор дробей — Z ТАБЛИЦА ОЦЕНОК
Калькулятор дробей Наш калькулятор дробей представляет собой удобный инструмент, позволяющий быстро и точно выполнять операции с дробями. С помощью этого калькулятора вы можете с легкостью складывать, вычитать, умножать и делить дроби. Наш калькулятор — ценный инструмент, который может помочь людям в различных ролях, в том числе студентам, учителям или всем, кто часто работает с дробями. Это помогает сэкономить время и уменьшить количество ошибок, что делает его незаменимым ресурсом.
Введите первую дробь:
/
Введите вторую дробь:
Неправильная дробь Результат:
Смешанная дробь Результат:
Как использовать калькулятор дробей Чтобы использовать калькулятор, выполните следующие действия: s числитель в первом вводе текста.
Дробь — это способ представления части целого или количества, которое не является целым числом. Он выражается как отношение двух чисел, числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число), разделенных горизонтальной чертой. Например, 1/2 представляет одну половину, что означает одну из двух равных частей.
Для эффективной работы с дробями важно иметь представление об основных математических операциях, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.
Следующие шаги проведут вас через процесс вычисления дробей:
Шаг №1: Найдите общий знаменатель, перемножив знаменатели дробей.
Шаг № 2. Преобразуйте дроби так, чтобы у них был одинаковый знаменатель.
Шаг №3: Добавьте или вычтите числители в зависимости от операции.
Шаг 1. Перемножьте числители дробей.
Шаг №2: Перемножьте знаменатели дробей.
Шаг № 3: Упростите полученную дробь, если это возможно.
Шаг №1: Переверните вторую дробь (переверните ее).
Шаг № 2. Умножьте первую дробь на инвертированную вторую дробь.
Шаг №3: Упростите полученную дробь, если это возможно.
Веселые онлайн-игры с математическими дробями — Ма…
Пожалуйста, включите JavaScript
Веселые онлайн-игры с математическими дробями — Математические игры бесплатно
Примеры Вот несколько примеров выполнения операций с дробями с помощью нашего Калькулятора дробей:
Сложение: Что получится в результате сложения 1/3 и 2/5?
Шаг 1.