Действия с алгебраическими дробями
После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.
Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.
Сложение алгебраических дробей
Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.
Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что
a2+a·ba·b-5+2·a·b+3a·b-5+2·b4-4a·b-5=a2+a·b+2·a·b+3+2·b4-4a·b-5==a2+3·a·b-1+2·b4a·b-5
Если имеются числители дроби с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.
Нужно произвести сложение дробей xx2-1 и 3×2-x
Решение
Приводим к общему знаменателю вида x2x·x-1·x+1 и 3·x+3x·(x-1)·(x+1).
Выполним сложение и получим, что
x2x·(x-1)·(x+1)+3·x+3x·(x-1)·(x+1)=x2+3·x+3x·(x-1)·(x+1)=x2+3·x+3×3-x
Ответ: x2+3·x+3×3-x
Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.
Вычитание
Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.
Пример 2Перейдем к вычитанию дробей a+5a2+2 и 1-2·a2+aa2+2.
Решение
Видно, что знаменатели идентичны, что означает a+5a2+2-1-2·a2+aa2+2=a+5-(1-2·a2+a)a2+2=2·a2+4a2+2.
Произведем сокращение дроби 2·a2+4a2+2=2·a2+2a2+2=2.
Ответ: 2
Пример 3Выполним вычитание 45·x и 3x-1.
Решение
Знаменатели разные, поэтому приведем к общему 5·x·(x-1), получаем 45·x=4·x-15·x·(x-1)=4·x-45·x·(x-1) и 3x-1=3·5·x(x-1)·5·x=15·x5·x·(x-1).
Теперь выполним
45·x-3x-1=4·x-45·x·(x-1)-15·x5·x·(x-1)=4·x-4-15·x5·x·(x-1)==-4-11·x5·x·(x-1)=-4-11·x5·x2-5·x
Ответ: -4-11·x5·x2-5·x
Детальная информация указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.
Умножение алгебраических дробей
С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.
Рассмотрим пример такого плана.
Пример 4При умножении 2x+2 на x-x·yy из правила получаем, что 2x+2·x-x·yy=2·(x-x·y)(x+2)·y.
Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен.
Получаем, что
Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что
2·x3-8·x3·x·y-y·6·y5x2+2·x=2·x·(x-2)·(x+2)y·(3·x-1)·6·y5x·(x+2)==2·x·(x-2)·(x+2)·6·y5y·(3·x-1)·x·x+2=12·(x-2)·y43·x-1=12·x·y4-24·y43·x-1
Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.
Деление
Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.
Дробь, которая обратная данной считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.
Рассмотрим пример.
Пример 5Выполнить деление x2-x·y9·y2: 2·x3·y.
Решение
Тогда обратная 2·x3·y дробь запишется как 3·y2·x. Значит, получим, что x2-x·y9·y2:2·x3·y=x2-x·y9·y2·3·y2·x=x·x-y·3·y9·y2·2·x=x-y6·y.
Ответ: x2-x·y9·y2: 2·x3·y=x-y6·y
Возведение алгебраической дроби в степень
Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.
Пример 6Рассмотрим на примере дроби 2·xx-y. Если необходимо возвести ее в степень равную 2, тогда выполняем действия : 2·xx-y2=2·x2(x-y)2. После чего возводим в степень получившийся одночлен. Выполнив действия, получим, что дроби примет вид 4·x2x2-2·x·y+y2.
Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.
При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Есть ли в Python функция сокращения дробей?
спросил
Изменено 2 месяца назад
Просмотрено 42к раз
Например, когда я вычисляю 98/42 , я хочу получить 7/3 , а не 2.3333333 , есть ли функция для этого с использованием Python или Нампи ?
- python
- python-2.
7 - numpy
- числовой
- дроби
7 Модуль фракций может сделать это 9000 5
>>> из фракций импорт Фракция >>> Дробь(98, 42) Дробь(7, 3)
Здесь есть рецепт для numpy gcd. Который вы затем могли бы использовать, чтобы разделить вашу дробь
>>> def numpy_gcd (a, b): ... а, б = np.broadcast_arrays (а, б) ... а = а.копировать() ... б = б.копировать () ... pos = np.nonzero(b)[0] ... пока len(pos) > 0: ... b2 = b[поз] ... a[pos], b[pos] = b2, a[pos] % b2 ... позиция = позиция[b[позиция]!=0] ... вернуть ... >2>> numpy_gcd(np.array([98]), np.array([42])) массив([14]) >>> 98/14, 42/14 (7, 3)
Дополнение к ответу Джона:
Чтобы получить упрощенную дробь из десятичного числа (скажем, 2,0372856077554062)
Использование дроби дает следующий результат:
Дробь (2,037285607) 7554062) #> Дробь(4587559351967261, 2251799813685248)
Чтобы получить упрощенный ответ :
Дробь (2.2
0372856077554062).limit_denominator()
#> Дробь (2732, 1341)
Этот код Python использует только математический модуль «»»
импорт математики
def _fractions_(числитель, знаменатель):
если math.gcd(числитель, знаменатель) == знаменатель:
вернуть int(числитель/знаменатель)
elif math.gcd (числитель, знаменатель) == 1:
вернуть строку (числитель) + "/" + строку (знаменатель)
еще:
вершина = числитель / math.gcd (числитель, знаменатель)
внизу = знаменатель / math.gcd (числитель, знаменатель)
вернуть ул (сверху) + "/" + ул (снизу)
печать (_фракции_ (46,23))
печать (_фракции_ (34,25))
печать (_фракции_ (24, 28))
«»»
Есть ли в Python функция сокращения дробей?
Нет ни встроенной, ни внешней функции, но у вас есть два решения.
1. Использование модуля фракций
Вы можете использовать объекты фракций из модуля фракций .
Из документации:
из импорта фракций Фракция Дробь(16, -10)
>>> Fraction(-8, 5)
В этом модуле неявно сокращается дробь, можно получить числитель и знаменатель:
а = 16
б = -10
q = дробь (а, б)
a = q.числитель
b = q.знаменатель
напечатать (f'{q} == {a}/{b}')
>>> -8/5 == -8/5
2. Сокращение с помощью НОД
Любую дробь можно сократить с помощью НОД, наибольшего общего делителя числителя и знаменателя: a/ b == (a/gcd)/(b/gcd) .
Функция GCD доступна как из модулей numpy , так и math :
импортировать numpy как np
а = 98
б = 42
НОД = np. НОД (а, б)
print(f'{a}/{b} == {int(a/gcd)}/{int(b/gcd)}')
`>>> 98/42 == 7/3
Существует альтернатива, но я не считаю ее подходящей для общих нужд: используйте символьную математику с модулем sympy.
Это позволяет работать с точными числами за счет потери эффективности.
sympy — это отдельный мир, и требуется некоторое время для обучения.Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google Зарегистрироваться через Facebook Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и парольОпубликовать как гость
Электронная почтаТребуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почтаТребуется, но не отображается
Упрощение калькулятора — CalcuNation.com
Приведите дроби к простейшей форме с помощью этого калькулятора Simplify Calculator.
Числитель дроби (верхнее число)
Знаменатель дроби
(нижний номер)
Вычислить простейшую форму дроби.
Как упростить дроби?
Пример: Для дроби 33 / 99 число 33 является числителем, а
99 — знаменателем.
Сначала найдите наибольший общий делитель двух чисел.
GCF = 33
Калькулятор GCF
Во-вторых, разделите и числитель, и знаменатель на GCF.
Числитель находится из 33/33 = 1
Знаменатель находится из 99/33 = 3
Дробь 33 / 99 , приведенная к простейшему виду, равна 1 / 3 .
Калькулятор простых дробей
Другой пример. На этот раз мы рассмотрим дробь 6 / 10 . Число 6 — числитель, а 10 — знаменатель.
Довольно легко увидеть, что и числитель, и знаменатель — четные числа. Итак, мы знаем, что они оба делятся на 2. Давайте разделим и числитель, и знаменатель на 2,
Это дает нам числитель 3 и знаменатель 10. Это была бы самая простая форма для того факта, что одно из чисел является простым числом и не делится дальше.
Дробь 6 / 10 приведенная к простейшей форме равна 3 / 5 .
Упрощение дроби, делящейся на 4
Для следующего примера преобразуем дробь 12 / 20 в самой простой форме. В числителе 12, а в знаменателе 20.
Как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель — четные числа. Как и в предыдущем случае, и числитель, и знаменатель четный и делится на 2. Но вы можете заметить, что они также делятся на 4. Поскольку 4 — больший множитель, давайте разделим оба на это число.
Наши новые числа 3 и 5.