Решение логарифмических уравнений (продолжение) 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
1. Важные опорные факты
Ключом к решению логарифмических уравнений являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида (). Здесь t – независимая переменная, а= конкретное число, у – зависимая переменная, функция.
Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности). При монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности). Именно монотонность функции позволяет решать простейшие логарифмические уравнения (т. к. из равенства логарифмов по одному основанию вытекает равенство подлогарифмических выражений ), все остальные логарифмические уравнение сводятся к простейшим:
ОДЗ заданного уравнения определяется системой.
Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:
Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство, чтобы соблюсти ОДЗ.
Имеем смешанную систему. Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
Напомним методику решения простейших логарифмических уравнений:
Уравнять основания логарифмов;
Приравнять подлогарифмические функции;
Выполнить проверку.
2. Решение примера
Перейдем к решению примеров.
Пример 1 – решить уравнение:
Отметим ОДЗ: (т. к. х стоит под логарифмом и в основании логарифма)
Нам известно следующее свойство логарифма:
Получаем:
Приведем подобные:
Сократим численный множитель
Преобразуем согласно определению логарифма:
Пример 2 – решить показательное уравнение:
Способ 1 (по определению логарифма):
Способ 2 (прологарифмировать обе части):
Рекомендация – если неизвестное находится в показателе, то часто применяется такой способ решения.
Но нужно обратить внимание на вопрос – можно ли в данном случае логарифмировать? В заданном примере и левая, и правая части строго положительны, поэтому имеем право записать:
Вынесем показатель степени как сомножитель согласно свойству логарифма:
Упростим:
3. Решение показательного уравнения
Способ 3 (уравнять основания в показательном уравнении):
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
4. Решение показательно-степенного уравнения
Пример 3 – решить показательно-степенное уравнение:
Укажем ОДЗ:
Теперь имеем право прологарифмировать обе части. Выбираем основание логарифма 2, т. к. такое основание уже представлено в уравнении:
Вынесем показатели степени как сомножители:
Упростим правую часть:
Введем замену переменых:
Получаем:
Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:
Получили квадратное уравнение, согласно теореме Виета, имеем корни:
Вернемся к исходным переменным:
Ответ: или
Пример 4 – решить уравнение:
ОДЗ:
5.
Применение модуля при решении сложных уравнений
Вынесем показатель степени как сомножитель, при этом используем модуль, чтобы не исказить область определения:
Раскроем модуль, учитывая ОДЗ:
Приведем подобные:
Ответ:
Итак, мы рассмотрели решение более сложных типовых логарифмических уравнений. Далее перейдем к изучению логарифмических неравенств.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Reshit.ru (Источник).
- Egesdam.ru (Источник).
- Math.md (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 518–520;
2. Решить уравнение:
3. Решить уравнение:
Тест Решение логарифмических уравнений по теме алгебры
Последний раз тест пройден 23 часа назад.
Для учителя
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Вопрос 1 из 10
Найдите корень уравнения
-124
120
117
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
-
Вопрос 2 из 10
Решите уравнение
7
-5
-7
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 3 из 10
Чему равен корень уравнения ?
3
7
-2
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 4 из 10
Найдите корень уравнения
-42
42
1,9
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 5 из 10
Решите уравнение
1,1
2
1
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 6 из 10
Чему равен корень уравнения ?
1,6
1,2
2,3
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 7 из 10
Найдите корень уравнения
1
3
0
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 8 из 10
Решите уравнение
6
4
8
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 9 из 10
Чему равен корень уравнения ?
5,3
5,5
4,8
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 10 из 10
Решите уравнение
13,4
9,2
7,3
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Манзирка Аманжолова
8/10
Маргарита Побытова
9/10
Милана Макарова
10/10
Татьяна Паринова
9/10
Вова Редькин
10/10
Светлана Филимонова
10/10
Иван Ткаченко
10/10
Юлия Бирюкова
10/10
Валерий Гаврилов
8/10
Рейтинг теста
3.8
Средняя оценка: 3.8
Всего получено оценок: 873.
А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.
2-6x)=3+log _2(1-x) · Ln (x)+ · Ln (x+2)Калькулятор и решатель логарифмических уравнений — SnapXam
www.snapxam.com › калькуляторы › логарифмические- экв…
Калькулятор логарифмических уравнений онлайн с решением и шагами. Подробные пошаговые решения ваших задач по логарифмическим уравнениям онлайн с помощью нашей математики …
Калькулятор логарифмов — Mathway
www.
mathway.com › Калькулятор › калькулятор логарифмов
Бесплатный калькулятор логарифмов — пошаговые решения для упрощения логарифмических выражений.
Примеры алгебры | Логарифмические выражения и уравнения
www.mathway.com › примеры › упрощение-логарифм…
Бесплатное средство решения математических задач ответит на ваши домашние вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике… Логарифмические выражения и уравнения.
Калькулятор логарифмических уравнений — AtoZmath.com
atozmath.com › Логарифм
Калькулятор логарифмических уравнений — шаг за шагом решайте логарифмические уравнения онлайн.
Калькулятор логарифмических уравнений
www.calculatorsoup.com › Алгебра
Решите экспоненциальные уравнения для показателей степени, используя X = log(B) / log(A). Будет вычислять значение показателя степени. Бесплатные онлайн-калькуляторы для экспонент, математики, …
Онлайн-калькулятор логов с шагами — Математический калькулятор — Сайты Google
site.
google.com › site › log-calculator уравнение превосходно подходит для этих данных. Можно также ввести два уравнения с точной переменной и …
Wolfram|Alpha Widgets: «Решение уравнений с помощью журналов»
www.wolframalpha.com › виджеты › просмотреть
06.05.2013 · Получите бесплатно виджет «Решение уравнений с помощью журналов» для вашего сайта, блога, WordPress, Блоггер или iGoogle. Найдите другие математические виджеты в …
Как решать логарифмические уравнения с помощью научного калькулятора FX…
www.youtube.com › смотреть
24.07.2020 · STEM4Lagos #Calculator #onlinetutor #FX-991ES # WAECЭто видео поможет вам в …
Dauer: 13:44
Прислан: 24.07.2020
Решатель логарифмических уравнений с шагами — Polymathlove.com
polymathlove.com техасские программы i89; онлайн-упроститель квадратного корня; гмат, сочетания, перестановки; калькулятор решения нескольких уравнений; балансировка .
..
Ähnlichesuchanfragen
Логарифмический калькулятор с основанием 2
Логарифмические уравнения
Логарифмический калькулятор
Solve logarithmic equations
Log(2 10)
Exponential equation calculator with steps
Complex logarithm calculator
Discrete logarithm calculator online
mathway-logarithms — Google Suche
AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping
Suchoptionen
Algebra Examples | Логарифмические выражения и уравнения
www.mathway.com › алгебра › вычисление логарифмов
Ищете английскую версию Mathway? Мэтуэй. Посетите Mathway в Интернете. Скачать бесплатно в Google Play. Скачать бесплатно в iTunes. Скачать бесплатно на Амазоне.
Калькулятор логарифмов — Mathway
www.mathway.com › Калькулятор › Калькулятор логарифмов
Бесплатный калькулятор логарифмов — пошаговые решения, помогающие упростить логарифмические выражения.
Примеры алгебры | Преобразование в логарифмическую форму — Mathway
www.mathway.com › примеры › алгебра › преобразование…
Преобразование экспоненциального уравнения в логарифмическое, используя основание логарифма (x) ( x ) левой части (27) ( 27 ) равно показателю (3) ( 3 ) .
Примеры алгебры | Переписывание в экспоненциальной форме — Mathway
www.mathway.com › примеры › алгебра › переписывание…
Логарифмические выражения и уравнения. Запишите в экспоненциальной форме. 3 = журнал (х) 3 = журнал ( х ). Шаг 1. Для логарифмических уравнений logb(x)=y log b ( x ) = y равно …
Примеры исчисления | Экспоненциальные и логарифмические функции
www.mathway.com › exponential-equations
Ищете английскую версию Mathway? Мэтуэй. Посетите Mathway в Интернете. Скачать бесплатно в Google Play. Скачать бесплатно в iTunes. Скачать бесплатно на Амазоне. 92-16- log of 11- log of x+4
www.
mathway.com › Popular-Problems › Precalculus
Бесплатное решение математических задач отвечает на ваши домашние вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике с пошаговыми инструкциями. пошаговые объяснения, …
Примеры тригонометрии | Экспоненциальные и логарифмические функции
www.mathway.com › exponential-equations
Ищете английскую версию Mathway? Мэтуэй. Посетите Mathway в Интернете. Скачать бесплатно в Google Play. Скачать бесплатно в iTunes. Скачать бесплатно на Амазоне. 94) — Mathway
www.mathway.com › Popular-Problems › Precalculus
Бесплатное средство решения математических задач отвечает на ваши домашние вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике с пошаговыми объяснениями, …
Запись в экспоненциальной форме 6 натуральный логарифм 2x=30 — Mathway
www.mathway.com › Popular-Problems › Предварительное исчисление
Разделите обе части на 6 6, чтобы убрать это из начала логарифма.