Калькулятор матрицы крамер: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Фундаментальная система решений (конкретный пример). Как найти нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений

Однородная система всегда совместна и имеет тривиальное решение
. Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы ранг матрицыбыл меньше числа неизвестных:

.

Фундаментальной системой решений однородной системы
называют систему решений в виде векторов-столбцов
, которые соответствуют каноническому базису, т.е. базису, в котором произвольные постоянные
поочередно полагаются равными единице, тогда как остальные приравниваются нулю.

Тогда общее решение однородной системы имеет вид:

где
— произвольные постоянные. Другими словами, общее решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

Таким образом, базисные решения могут быть получены из общего решения, если свободным неизвестным поочередно придавать значение единицы, полагая все остальные равные нулю.

Пример . Найдем решение системы

Примем , тогда получим решение в виде:

Построим теперь фундаментальную систему решений:

.

Общее решение запишется в виде:

Решения системы однородных линейных уравнений имеют свойства:

Другими словами, любая линейная комбинация решений однородной системы есть опять решение.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений интересует математиков несколько столетий. Первые результаты были получены в XVIII веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил новый метод решения, известный как метод исключения.

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Такие системы позволяют последовательно находить все неизвестные в определенном порядке.

Предположим, что в системе (1)
(что всегда возможно).

(1)

Умножая поочередно первое уравнение на так называемые подходящие числа

и складывая результат умножения с соответствующими уравнениями системы, мы получим эквивалентную систему, в которой во всех уравнениях, кроме первого, будет отсутствовать неизвестная х 1

(2)

Умножим теперь второе уравнение системы (2) на подходящие числа, полагая, что

,

и складывая его с нижестоящими, исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая этот процесс, после
шага мы получим:

(3)

Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна. Обратно, для любой совместной системы числа
равны нулю. Число- это ни что иное, как ранг матрицы системы (1).

Переход от системы (1) к (3) называется прямым ходом

метода Гаусса, а нахождение неизвестных из (3) – обратным ходом .

Замечание : Преобразования удобнее производить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1).

Пример . Найдем решение системы

.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Прибавим к строкам 2,3,4 первую, умноженную на (-2), (-3), (-2) соответственно:

.

Поменяем строки 2 и 3 местами, затем в получившейся матрице добавим к строке 4 строку 2, умноженную на :

.

Прибавим к строке 4 строку 3, умноженную на
:

.

Очевидно, что
, следовательно, система совместна. Из полученной системы уравнений

находим решение обратной подстановкой:

,
,
,
.

Пример 2. Найти решение системы:

.

Очевидно, что система несовместна, т.к.
, а

.

Достоинства метода Гаусса :

Менее трудоемкий, чем метод Крамера.

Однозначно устанавливает совместность системы и позволяет найти решение.

Дает возможность определить ранг любых матриц.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений , где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы , мы продолжим шлифовать техникуэлементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имееттолько тривиальное решение , если ранг матрицы системы

(в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы . И тогда неизбежно появление общего решения:

Пример 3

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(4) У первой строки сменили знак.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем .

Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ : общее решение:

Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощьюфундаментальной системы решений . Пожалуйста, временно забудьте обаналитической геометрии , поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в общем алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы . Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто.

Системы линейных однородных уравнений

— имеет вид ∑a k i x i = 0. где m > n или m Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как rangA = rangB . Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей, которое называется тривиальным .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

Инструкция . Выберите размерность матрицы:

количество переменных : 2 3 4 5 6 7 8 и количество строк 2 3 4 5 6

Свойства систем линейных однородных уравнений

Для того чтобы система имела нетривиальные решения , необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема . Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема . Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.

Определение . Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений , если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

1. Находим ранг матрицы.
2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример . Найти базис системы векторов (а 1 , а 2 ,…,а m), ранг и выразить векторы по базе. Если а 1 =(0,0,1,-1), а 2 =(1,1,2,0), а 3 =(1,1,1,1), а 4 =(3,2,1,4), а 5 =(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы:

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
— x 3 = — x 4
— x 2 — 2x 3 = — x 4
2x 1 + x 2 = — 3x 4
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 , то есть нашли общее решение:
x 3 = x 4
x 2 = — x 4
x 1 = — x 4

Даны матрицы

Найти: 1) aA — bB,

Решение : 1) Находим последовательно, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц..

2. Найдите А*В, если

Решение : Используем правило умножения матриц

Ответ:

3. Для заданной матрицы найдите минор М 31 и вычислите определитель.

Решение : Минор М 31 – это определитель матрицы, которая получается из А

после вычеркивания строки 3 и столбца 1. Находим

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Преобразуем матрицу А, не изменяя её определителя (сделаем нули в строке 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Теперь вычисляем определитель матрицы А разложением по строке 1

Ответ: М 31 = 0, detA = 0

Pешить методом Гаусса и методом Крамера.

2х 1 + х 2 + x 3 = 2

x 1 + х 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Решение : Проверим

Можно применить метод Крамера

Решение системы: х 1 = D 1 /D = 2, х 2 = D 2 /D = -5, х 3 = D 3 /D = 3

Применим метод Гаусса.

Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ю строку на (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавим к 3-й:

	1 / 2		7 / 2

Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 2 = -1 ) и добавим к 2-й:

Теперь исходную систему можно записать как:

x 1 = 1 — (1 / 2 x 2 + 1 / 2 x 3)

x 2 = 13 — (6x 3)

Из 2-ой строки выражаем

Из 1-ой строки выражаем

Решение то же.

Ответ: (2 ; -5 ; 3)

Найти общее решение системы и ФСР

13х 1 – 4х 2 – х 3 — 4х 4 — 6х 5 = 0

11х 1 – 2х 2 + х 3 — 2х 4 — 3х 5 = 0

5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0

7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0

Решение : Применим метод Гаусса. Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Умножим 1-ю строку на (-11). Умножим 2-ю строку на (13). Добавим 2-ю строку к 1-й:

	-2		-2	-3

Умножим 2-ю строку на (-5). Умножим 3-ю строку на (11). Добавим 3-ю строку к 2-й:

Умножим 3-ю строку на (-7). Умножим 4-ю строку на (5). Добавим 4-ю строку к 3-й:

Второе уравнение есть линейная комбинация остальных

Найдем ранг матрицы.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = — 5x 3 — 2x 4 — 3x 5

Методом исключения неизвестных находим общее решение :

x 2 = — 4 / 3 x 3 — x 4 — 3 / 2 x 5

x 1 = — 1 / 3 x 3

Находим фундаментальную систему решений (ФСР), которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.

Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.

Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 .

Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

Но здесь удобнее взять

Находим, используя общее решение:

а) х 3 = 6, х 4 = 0, х 5 = 0 Þ х 1 = — 1 / 3 x 3 = -2, х 2 = — 4 / 3 x 3 — x 4 — 3 / 2 x 5 = -4 Þ

I решение ФСР: (-2; -4; 6; 0;0)

б) х 3 = 0, х 4 = 6, х 5 = 0 Þ х 1 = — 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = — 4 / 3 x 3 — x 4 — 3 / 2 x 5 = — 6 Þ

II решение ФСР: (0; -6; 0; 6;0)

в) х 3 = 0, х 4 = 0, х 5 = 6 Þ х 1 = — 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = — 4 / 3 x 3 — x 4 — 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III решение ФСР: (0; — 9; 0; 0;6)

Þ ФСР: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; — 9; 0; 0;6)

6. Дано: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Найти: a) z 1 – 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 /z 2

Решение : a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = {i 2 = -1} = 12 + 26i

Ответ: а) -3i б) 12+26i в) -1. 4 – 0.3i

Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, наверняка, системы уравнений. Но не многие знают, что существует несколько способов их решения. Сегодня мы подробно разберём все методы решения системы линейных алгебраических уравнений, которые состоят более чем из двух равенств.

История

На сегодняшний день известно, что искусство решать уравнения и их системы зародилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Однако равенства в их привычном для нас виде появились после возникновения знака равенства «=», который был введён в 1556 году английским математиком Рекордом. Кстати, этот знак был выбран не просто так: он означает два параллельных равных отрезка. И правда, лучшего примера равенства не придумать.

Основоположником современных буквенных обозначений неизвестных и знаков степеней является французский математик Однако его обозначения значительно отличались от сегодняшних. Например, квадрат неизвестного числа он обозначал буквой Q (лат.»quadratus»), а куб — буквой C (лат. «cubus»). Эти обозначения сейчас кажутся неудобными, но тогда это был наиболее понятный способ записать системы линейных алгебраических уравнений.

Однако недостатком в тогдашних методах решения было то, что математики рассматривали только положительные корни. Возможно, это связано с тем, что отрицательные значения не имели никакого практического применения. Так или иначе, но первыми считать отрицательные корни начали именно итальянские математики Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в 16 веке. А современный вид, основной метод решения (через дискриминант) был создан только в 17 веке благодаря работам Декарта и Ньютона.

В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Крамер нашёл новый способ для того, чтобы сделать решение систем линейных уравнений проще. Этот способ был впоследствии назван его именем и по сей день мы пользуемся им. Но о методе Крамера поговорим чуть позднее, а пока обсудим линейные уравнения и методы их решения отдельно от системы.

Линейные уравнения

Линейные уравнения — самые простые равенства с переменной (переменными). Их относят к алгебраическим. записывают в общем виде так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +…а n *x n =b. Представление их в этом виде нам понадобится при составлении систем и матриц далее.

Системы линейных алгебраических уравнений

Определение этого термина такое: это совокупность уравнений, которые имеют общие неизвестные величины и общее решение. Как правило, в школе все решали системы с двумя или даже тремя уравнениями. Но бывают системы с четырьмя и более составляющими. Давайте разберёмся сначала, как следует их записать так, чтобы в дальнейшем было удобно решать. Во-первых, системы линейных алгебраических уравнений будут выглядеть лучше, если все переменные будут записаны как x с соответствующим индексом: 1,2,3 и так далее. Во-вторых, следует привести все уравнения к каноническому виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +…а n *x n =b.

После всех этих действий мы можем начать рассказывать, как находить решение систем линейных уравнений. Очень сильно для этого нам пригодятся матрицы.

Матрицы

Матрица — это таблица, которая состоит из строк и столбцов, а на их пересечении находятся её элементы. Это могут быть либо конкретные значения, либо переменные. Чаще всего, чтобы обозначить элементы, под ними расставляют нижние индексы (например, а 11 или а 23). Первый индекс означает номер строки, а второй — столбца. Над матрицами, как и над любым другим математическим элементом можно совершать различные операции. Таким образом, можно:

2) Умножать матрицу на какое-либо число или вектор.

3) Транспонировать: превращать строчки матрицы в столбцы, а столбцы — в строчки.

4) Умножать матрицы, если число строк одной их них равно количеству столбцов другой.

Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они пригодятся нам в дальнейшем. Вычитание и сложение матриц происходит очень просто. Так как мы берём матрицы одинакового размера, то каждый элемент одной таблицы соотносится с каждым элементом другой. Таким образом складываем (вычитаем) два этих элемента (важно, чтобы они стояли на одинаковых местах в своих матрицах). При умножении матрицы на число или вектор необходимо просто умножить каждый элемент матрицы на это число (или вектор). Транспонирование — очень интересный процесс. Очень интересно иногда видеть его в реальной жизни, например, при смене ориентации планшета или телефона. Значки на рабочем столе представляют собой матрицу, а при перемене положения она транспонируется и становится шире, но уменьшается в высоте.

Разберём ещё такой процесс, как Хоть он нам и не пригодится, но знать его будет всё равно полезно. Умножить две матрицы можно только при условии, что число столбцов одной таблицы равно числу строк другой. Теперь возьмём элементы строчки одной матрицы и элементы соответствующего столбца другой. Перемножим их друг на друга и затем сложим (то есть, например, произведение элементов a 11 и а 12 на b 12 и b 22 будет равно: а 11 *b 12 + а 12 *b 22). Таким образом, получается один элемент таблицы, и аналогичным методом она заполняется далее.

Теперь можем приступить к рассмотрению того, как решается система линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этой тему начинают проходить еще в школе. Мы хорошо знаем понятие «система двух линейных уравнений» и умеем их решать. Но что делать, если число уравнений больше двух? В этом нам поможет

Конечно, этим методом удобно пользоваться, если сделать из системы матрицу. Но можно и не преобразовывать её и решать в чистом виде.

Итак, как решается этим методом система линейных уравнений Гаусса? Кстати, хоть этот способ и назван его именем, но открыли его ещё в древности. Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом — три неизвестных, во втором — два, в третьем — одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Метод Крамера

Для освоения этого метода жизненно необходимо владеть навыками сложения, вычитания матриц, а также нужно уметь находить определители. Поэтому, если вы плохо всё это делаете или совсем не умеете, придется поучиться и потренироваться.

В чём суть этого метода, и как сделать так, чтобы получилась система линейных уравнений Крамера? Всё очень просто. Мы должны построить матрицу из численных (практически всегда) коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений. Для этого просто берём числа перед неизвестными и расставляем в таблицу в том порядке, как они записаны в системе. Если перед числом стоит знак «-«, то записываем отрицательный коэффициент. Итак, мы составили первую матрицу из коэффициентов при неизвестных, не включая числа после знаков равенства (естественно, что уравнение должно быть приведено к каноническому виду, когда справа находится только число, а слева — все неизвестные с коэффициентами). Затем нужно составить ещё несколько матриц — по одной для каждой переменной. Для этого заменяем в первой матрице по очереди каждый столбец с коэффициентами столбцом чисел после знака равенства. Таким образом получаем несколько матриц и далее находим их определители.

После того как мы нашли определители, дело за малым. У нас есть начальная матрица, и есть несколько полученных матриц, которые соответствуют разным переменным. Чтобы получить решения системы, мы делим определитель полученной таблицы на определитель начальной таблицы. Полученное число и есть значение одной из переменных. Аналогично находим все неизвестные.

Другие методы

Существует ещё несколько методов для того, чтобы получить решение систем линейных уравнений. Например, так называемый метод Гаусса-Жордана, который применяется для нахождения решений системы квадратных уравнений и тоже связан с применением матриц. Существует также метод Якоби для решения системы линейных алгебраических уравнений. Он легче всех адаптируется для компьютера и применяется в вычислительной технике.

Сложные случаи

Сложность обычно возникает, если число уравнений меньше числа переменных. Тогда можно наверняка сказать, что, либо система несовместна (то есть не имеет корней), или количество её решений стремится к бесконечности. Если у нас второй случай — то нужно записать общее решение системы линейных уравнений. Оно будет содержать как минимум одну переменную.

Заключение

Вот мы и подошли к концу. Подведём итоги: мы разобрали, что такое система и матрица, научились находить общее решение системы линейных уравнений. Помимо этого рассмотрели другие варианты. Выяснили, как решается система линейных уравнений: метод Гаусса и Поговорили о сложных случаях и других способах нахождения решений.

На самом деле эта тема гораздо более обширна, и если вы хотите лучше в ней разобраться, то советуем почитать больше специализированной литературы.

python — Используя панд, рассчитайте матрицу коэффициентов Крамера

спросил 8 лет, 11 месяцев назад

Изменено 1 месяц назад

Просмотрено 44к раз

У меня есть кадр данных в pandas , который содержит метрики, рассчитанные по статьям Википедии. Две категориальные переменные нация о какой стране идет речь в статье, и lang о каком языке Википедия взяла эту статью. Для одной метрики я хотел бы увидеть, насколько тесно коррелируют переменные нации и языка, я полагаю, что это делается с использованием статистики Крамера.

 индекс qid subj нация метрика значение
5 Q3488399 экономичность cdi fr информативность 0.787117
6 Q3488399 экономичный cdi fr базовая скорость 0,000945
7 Q3488399 эконом cdi fr комплектность 43.200000
8 Q3488399 эконом cdi fr нумерация 11.000000
9 Q3488399 экономичный cdi fr длина артикула 3176.000000
10 Q7195441 экономика cdi en информативность 0.626570
11 Q7195441 экономичный cdi en referencerate 0.008610
12 Q7195441 экономичный cdi en комплектность 6.400000
13 Q7195441 экономичный cdi en numheadings 7.000000
14 Q7195441 экономичный cdi en длина артикула 2323.000000
 

Я хочу создать матрицу, отображающую коэффициент Крамера для всех комбинаций стран (Франция, США, Кот-д’Ивуар и Уганда) ['fra','usa','uga'] и три языка ['fr','en','sw'] . Таким образом, в результате получится матрица 4 на 3, например:

 en fr sw
США Cramer11 Cramer12 ...
от Cramer21 Cramer22 ...
CD ...
уга...
 

В конце концов, я сделаю это для всех различных показателей, которые я отслеживаю.

 для темы в list_of_subjects:
    для метрики в list_of_metrics:
        cramer_matrix (метрика, df)
 

Затем я могу проверить свою гипотезу о том, что метрики будут выше для статей, язык которых совпадает с языком Википедии. Спасибо

• питон
• панды
• статистика

1

cramers V кажется слишком оптимистичным в нескольких тестах, которые я провел. Википедия рекомендует исправленную версию.

 импортировать scipy.stats как СС
def cramers_corrected_stat (confusion_matrix):
    """ рассчитать статистику Крамерса V для категориально-категориальной ассоциации.
        использует поправку Бергсма и Вихера,
        Журнал Корейского статистического общества 42 (2013): 323-328
    """
    chi2 = ss. chi2_contingency (confusion_matrix) [0]
    n = путаница_матрица.сумма ()
    фи2 = хи2/n
    r,k = путаница_matrix.shape
    phi2corr = max(0, phi2 - ((k-1)*(r-1))/(n-1))
    rcorr = r - ((r-1)**2)/(n-1)
    kcorr = k - ((k-1)**2)/(n-1)
    вернуть np.sqrt(phi2corr/min((kcorr-1), (rcorr-1)))
 

Также обратите внимание, что матрица путаницы может быть рассчитана с помощью встроенного метода pandas для категориальных столбцов через:

 import pandas as pd
путаница_матрица = pd.crosstab (df [column1], df [column2])
 

3

Немного измененная функция из ответа Ziggy Eunicien. добавлено 2 модификации

1. проверка на константу одной из переменных

2. исправление к ss.chi2_contingency(conf_matrix, correct=correct) — ЛОЖЬ, если матрица путаницы 2×2

   импортировать scipy.stats как СС импортировать панд как pd импортировать numpy как np защита cramers_corrected_stat(x,y):

    """ вычислить статистику Крамерса V для категориально-категориальной ассоциации. 
        использует поправку Бергсма и Вихера,
        Журнал Корейского статистического общества 42 (2013): 323-328
    """
    результат=-1
    если len(x.value_counts())==1 :
        print("Первая переменная константа")
    Элиф Лен(y.value_counts())==1:
        print("Вторая переменная постоянная")
    еще:
        conf_matrix=pd.crosstab(x, y)
        если conf_matrix.shape[0]==2:
            правильно = Ложь
        еще:
            правильно = Верно
        chi2 = ss.chi2_contingency (conf_matrix, исправление = правильно) [0]
        n = сумма (conf_matrix.sum())
        фи2 = хи2/n
        r,k = conf_matrix.shape
        phi2corr = max(0, phi2 - ((k-1)*(r-1))/(n-1))
        rcorr = r - ((r-1)**2)/(n-1)
        kcorr = k - ((k-1)**2)/(n-1)
        результат=np.sqrt(phi2corr/min((kcorr-1), (rcorr-1)))
    обратный раунд(результат,6)
    

2

V-статистика Крамера позволяет понять взаимосвязь между двумя категориальными признаками в одном наборе данных. Итак, это ваш случай.

Чтобы рассчитать статистику Крамерса V, вам необходимо рассчитать матрицу путаницы. Итак, шаги решения:
1. Отфильтровать данные для одной метрики
2. Рассчитать матрицу путаницы
3. Рассчитать статистику Cramers V

Конечно, вы можете выполнить эти шаги в цикле, представленном в вашем посте. Но в вашем начальном абзаце вы упоминаете только метрики в качестве внешнего параметра, поэтому я не уверен, что вам нужны оба цикла. Теперь я предоставлю код для шагов 2-3, потому что фильтрация проста, и, как я уже говорил, я не уверен, что вам точно нужно.

Шаг 2. В приведенном ниже коде data представляет собой pandas.dataFrame , отфильтрованный по тому, что вы хотите на шаге 1.

 import numpy as np
путаницы = []
для нации в list_of_nations:
    для языка в list_of_languges:
        cond = data['nation'] == нация и data['lang'] == язык
        путаницы.append(cond.sum())
путаница_матрица = np.array (путаницы). reshape (len (список_наций), len (список_языков))
 

Шаг 3. В коде ниже путаница_матрица — это numpy.ndarray , полученный на шаге 2.

 импортировать numpy как np
импортировать scipy.stats как ss
def cramers_stat (confusion_matrix):
    chi2 = ss.chi2_contingency (confusion_matrix) [0]
    n = путаница_матрица.сумма ()
    вернуть np.sqrt (chi2 / (n * (мин (confusion_matrix.shape) -1)))
результат = cramers_stat (confusion_matrix)
 

Этот код был протестирован на моем наборе данных, но я надеюсь, что вы можете использовать его без изменений в вашем случае.

0

Использование пакета python для ассоциаций-метрик для расчета матрицы коэффициентов Крамера из объекта pandas.DataFrame это довольно просто, позвольте мне показать вам:

Сначала установите ассоциацию_метрик, используя:

Затем вы можете использовать следующий псевдокод

 # Import Association_metrics
импортировать Association_metrics как am
# Преобразование ваших столбцов str в столбцы категорий
дф = дф.  применить (
        лямбда x: x.astype("категория"), если x.dtype == "O", иначе x)
# Инициализируйте объект CamresV, используя ваш pandas.DataFrame
cramersv = am.CramersV(df)
# вернет парную матрицу, заполненную V Крамера, где столбцы и индекс
# категориальные переменные переданного pandas.DataFrame
cramersv.fit()
 

Информация о пакете

Есть гораздо более простой ответ. Итак, вопрос о V Крамера, и я буду придерживаться ответа на него.

Для ваших панд DataFrame: data , если вас интересуют только столбцы языка и страны, вы можете легко получить тепловую карту Крамера V, используя несколько простых строк ниже:

 # сначала выберите интересующие вас столбцы категории
df = данные[['нация', 'язык']]
# теперь измените это на фиктивные переменные, закодированные горячим способом:
DataMatrix = pd.get_dummies(df)
# построить так же просто, как:
plt.figure(figsize=(15,12)) # для больших наборов данных
plt.title('V Крамера, сравнивающий нацию и язык')
sns. heatmap(DataMatrix.corr('pearson'), cmap='теплый', центр=0)
 

Альтернативы, которые я могу порекомендовать: 2 на 2 критерия пропорций хи-квадрат или асимметричная нормализованная взаимная информация (NMI или Theil’s U).

Решение систем уравнений с помощью определителей: правило Крамера

Если ваш учитель математического анализа попросит вас решить систему уравнений, вы можете произвести на него впечатление, используя правило Крамера вместо графического калькулятора.

Правило Крамера гласит, что если определитель матрицы коэффициентов |A| не равно 0, то решения системы линейных уравнений можно найти следующим образом:

Если матрица, описывающая систему уравнений, выглядит так:

Затем

и так далее, пока не найдете все переменные. Другими словами, компоненты решения легко получить путем вычисления соответствующих отношений определителей семейства матриц. Обратите внимание, что знаменатель этих компонентов является определителем матрицы коэффициентов.

Это правило полезно, когда системы очень малы или когда вы можете использовать графический калькулятор для определения определителей, потому что оно помогает вам найти решения с минимальным количеством мест, где можно запутаться. Чтобы использовать его, вы просто находите определитель матрицы коэффициентов.

Определитель матрицы 2×2, такой как эта:

определяется как н.э. – до н.э. Определитель матрицы 3×3 немного сложнее. Если матрица

, то вы можете найти определитель, выполнив следующие действия:

1. Перепишите первые два столбца сразу после третьего столбца.

2. Нарисуйте три диагональные линии из верхнего левого угла в нижний правый и три диагональные линии из нижнего левого угла в верхний правый, как показано на этом рисунке.

   Как найти определитель матрицы 3х3.

3. Умножьте три диагонали слева направо, а затем сложите эти произведения. Умножьте остальные три слева направо и добавьте эти продукты. Затем из первой суммы вычесть вторую сумму.

   Определитель матрицы 3×3:

Чтобы найти определитель этой матрицы 3×3:

вы используете процесс, известный как с использованием диагоналей, , который вы можете видеть на этом рисунке.

Как найти определитель определенной матрицы 3×3.

В этом примере показано, как быстро найти определитель матрицы 3×3. Для матриц 4 x 4 и больше используемые здесь методы недействительны.

Найдя определитель матрицы коэффициентов (вручную или с помощью технологического приспособления), замените первый столбец матрицы коэффициентов матрицей ответов с другой стороны знака равенства и найдите определитель этой новой матрицы. Затем замените второй столбец матрицы коэффициентов матрицей ответов и найдите определитель этой матрицы. Продолжайте этот процесс, пока не замените каждый столбец и не найдете каждый новый определитель. Значения соответствующих переменных равны определителю новой матрицы (при замене соответствующего столбца), деленному на определитель матрицы коэффициентов.