Равномерная непрерывность / Математика
Функция $%f(x)$% называется непрерывной в точке $%x_0$%, если $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
И в чем отличие от обычной непрерывности?>
Обычная (поточечная) непрерывность является локальным свойством функции. Это значит, что она выполняется в конкретной точке. Заметим, что определение непрерывности функции даётся именно в точке. При этом мы знаем, что есть функции, которые непрерывны не только в какой-то одной точке, но и на каком-то множестве (например, $%f(x)=\sin x$% непрерывна на $%\mathbb{R}$%). Это не отменяет локального характера непрерывности, то есть просто означает, что если мы будем в каждой отдельно взятой точке $%\mathbb{R}$% проверять $%\sin x$% на непрерывность, то функция ему будет удовлетворять в данной конкретной точке
Так как в каждой точке $%x_0$% множества $%\mathbb{R}$% условие непрерывности функции $%\sin x$% в точке $%x_0$% выполнено, то функцию называют непрерывной на этом множестве. При этом, когда мы изучали непрерывность функции в каждой отдельной точке, мы (при заданном $%\varepsilon$%) для этой точки брали $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. То есть для разных точек множества будут получаться (вообще говоря) разные дельты. Таким образом, наблюдается неравномерность свойства функции «быть непрерывной» по дельта: грубо говоря, в точке $%x_1$% функция непрерывна с одной дельтой, а в точке $%x_2$% — с другой дельтой.Как понимать δ>0, если функция непрерывна, то по любому для любого эпсилон должна найтись дельта.>
Вы правильно заметили, что если функция непрерывна, то для любого эпсилон дельта найдётся. Однако на практике ситуация часто такая — Вам дана функция (например, $%y=3+x$%) и точка (например, $%x_0=2$%). Спрашивается, будет ли функция $%f$% непрерывной в точке $%x_0$%? Как это выяснить? Самый базовый способ — это проверить, выполнено ли определение непрерывности функции в точке.
Когда условие |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
Я в этой Вашей цитате заменил равномерную непрерывность на обычную (такое ощущение, что Вам сначала надо с ней разобраться).
Заметьте, что для того, чтобы признать функцию разрывной (не являющейся непрерывной), нужно, чтобы определение непрерывности (которое в начале сообщения) не выполнялось.
Причём не какой-то кусок этого определения, а оно целиком. Вместо определения в этом случае должно выполняться его логическое отрицание. Мнемоническое правило составления отрицания такое: нужно все кванторы «существует» (значок $%\exists$%) и «для любого» (значок $%\forall$%) заменить на противоположные (то есть $%\exists$% заменить на $%\forall$%, а $%\forall$% заменить на $%\exists$%). Также нужно сменить знак последнего неравенства на противоположный (в данном случае $%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Отсюда видим, что Ваш критерий отсутствия непрерывности (условие $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили.
Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично — в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
п.). После того, как Вы станете «на ты» с определением непрерывности и его отрицанием (вообще и на $%\varepsilon$%-$%\delta$% языке в частности), переходить к равномерной непрерывности будет намного легче.
И, само собой, нужно прочитать про непрерывность и равномерную непрерывность в учебнике анализа. По ссылке, которую Вы привели, находятся какие-то материалы, больше напоминающие шпору к экзамену, где равномерная непрерывность объясняется в одну строчку. Как можно в таком формате осваивать это (и другие понятия) в математике — мне совершенно неясно.P.S. Просьба к другим участникам проверить данный ответ (на предмет того, правильно ли я всё изложил), так как он носит методический характер.
App Store Открыть App Store | Ищите, покупайте, устанавливайте, обновляйте и оценивайте приложения для Mac. См. Руководство пользователя App Store. | ||||||||||
Automator Открыть Automator | Автоматизируйте задачи без необходимости сложного программирования или использования скриптовых языков. | ||||||||||
Книги Открыть Книги | Загружайте и читайте классику, бестселлеры, слушайте аудиокниги и изучайте учебную литературу. См. Руководство пользователя приложения «Книги». | ||||||||||
Калькулятор Открыть Калькулятор | Выполняйте основные, расширенные или программистские расчеты. См. Руководство пользователя приложения «Калькулятор». | ||||||||||
Календарь Открыть Календарь | С помощью этого приложения удобно вести учет всех Ваших встреч, совещаний и других событий. См. Руководство пользователя приложения «Календарь». | ||||||||||
Chess Открыть Шахматы | Играйте в шахматы с Вашим Mac или другим игроком. См. Руководство пользователя приложения «Шахматы». | ||||||||||
Контакты Открыть Контакты | Сохраняйте номера телефонов, адреса, дни рождения и другую информацию о Ваших знакомых. См. Руководство пользователя приложения «Контакты». | ||||||||||
Словарь Открыть Словарь | Ищите слова в словарях и других источниках. См. Руководство пользователя приложения «Словарь». | ||||||||||
FaceTime Открыть FaceTime | Совершайте аудио- и видеовызовы. См. Руководство пользователя FaceTime. | ||||||||||
Локатор Открыть Локатор | Вы можете просматривать геопозиции своих друзей, устройств и вещей. См. Руководство пользователя приложения «Локатор». | ||||||||||
Шрифты Открыть Шрифты | Устанавливайте и просматривайте шрифты и управляйте ими. | ||||||||||
GarageBand Открыть GarageBand (Если приложение GarageBand не установлено на Вашем Mac, загрузите его из App Store.) | Полноценная музыкальная студия внутри Вашего Mac. См. Руководство пользователя GarageBand. | ||||||||||
Дом Открыть Дом | Контроль и автоматизация аксессуаров с поддержкой HomeKit. См. Руководство пользователя приложения «Дом». | ||||||||||
iMovie Открыть iMovie (Если приложение iMovie не установлено на Вашем Mac, загрузите его из App Store.) | Просматривайте видео, делитесь лучшими моментами, создавайте трейлеры и фильмы. См. Руководство пользователя iMovie. | ||||||||||
Keynote Открыть Keynote (Если приложение Keynote не установлено на Вашем Mac, загрузите его из App Store. | Создавайте презентации с изображениями, медиа, диаграммами, анимациями и т. д. См. Руководство пользователя Keynote. | ||||||||||
Почта Открыть Почту | Единый доступ ко всем Вашим письмам. См. Руководство пользователя приложения «Почта». | ||||||||||
Карты Открыть Карты | Прокладывайте маршруты, узнавайте дорожную обстановку и получайте информацию об общественном транспорте. См. Руководство пользователя приложения «Карты». | ||||||||||
Сообщения Открыть Сообщения | Отправляйте текстовые и аудиосообщения. См. Руководство пользователя приложения «Сообщения». | ||||||||||
Музыка Открыть Музыку | Слушайте музыку и открывайте для себя новых исполнителей. См. Руководство пользователя приложения «Музыка». Чтобы узнать, как пользоваться веб‑версией Apple Music, см. Руководство пользователя Apple Music для веб-сайта music.apple.com/ru. | ||||||||||
News Открыть News | Редакторские подборки новостей из ведущих источников на основе Ваших интересов позволят оставаться в курсе дел. См. Руководство пользователя приложения News. | ||||||||||
Заметки Открыть Заметки | Записывайте мысли, которые приходят Вам в голову, и добавляйте фотографии, видео, URL-адреса или таблицы, чтобы не забыть что-то важное. См. Руководство пользователя приложения «Заметки». | ||||||||||
Numbers Открыть Numbers (Если приложение Numbers не установлено на Вашем Mac, загрузите его из App Store.) | Создавайте электронные таблицы с формулами, функциями, интерактивными диаграммами и многим другим. | ||||||||||
Pages Открыть Pages (Если приложение Pages не установлено на Вашем Mac, загрузите его из App Store.) | Создавайте документы с отформатированным текстом, изображениями, медиа, таблицами и т. д. См. Руководство пользователя Pages. | ||||||||||
Photo Booth Открыть Photo Booth | Снимайте забавные фотографии и записывайте видео. См. Руководство пользователя Photo Booth. | ||||||||||
Фото Открыть Фото | Импортируйте, просматривайте и организуйте фотографии и видео. См. Руководство пользователя приложения «Фото». | ||||||||||
Подкасты Открыть Подкасты | Открывайте и слушайте бесплатные аудиоистории, которые развлекают, информируют и вдохновляют. | ||||||||||
Просмотр Открыть Просмотр | Просматривайте и изменяйте файлы PDF и изображения, импортируйте изображения и делайте снимки экрана. См. Руководство пользователя приложения «Просмотр». | ||||||||||
Напоминания Открыть Напоминания | Создавайте списки дел, проектов, продуктов и всего остального, за чем Вы хотите следить. См. Руководство пользователя приложения «Напоминания». | ||||||||||
Safari Открыть Safari | Просматривайте веб-страницы и совершайте покупки в интернете под надежной защитой. См. Руководство пользователя Safari. | ||||||||||
Ярлыки Открыть Быстрые команды | Используйте готовые быстрые команды или создавайте свои собственные, чтобы автоматизировать и ускорить выполнение повседневных задач на Mac. | ||||||||||
Записки Открыть Записки | Сохраняйте заметки, списки и картинки на рабочем столе. См. Руководство пользователя приложения «Записки». | ||||||||||
Акции Открыть Акции | Узнавайте новости рынка и следите за интересующими Вас акциями и курсами валют. См. Руководство пользователя приложения «Акции». | ||||||||||
TextEdit Открыть TextEdit | Создавайте и редактируйте документы в простом текстовом формате, расширенном формате, HTML и др. См. Руководство пользователя TextEdit. | ||||||||||
TV Открыть TV | Смотрите свои любимые фильмы и телепередачи и находите новые. См. Руководство пользователя TV. | ||||||||||
Диктофон Открыть Диктофон | Записывайте, воспроизводите, редактируйте и публикуйте аудиозаписи. | ||||||||||
См. Руководство пользователя Automator.
См. Руководство пользователя приложения «Шрифты».
)
См. Руководство пользователя Numbers.
См. Руководство пользователя приложения «Подкасты».
См. Руководство пользователя приложения «Быстрые команды».
См. Руководство пользователя приложения «Диктофон».Мастер-класс для учеников » DESMOS-калькулятор»
Мастер-класс проводится для учащихся МБОУ СОШ № 5 г.Киржача в рамках внеурочной деятельности.
Ведущий: Денисова Инна Петровна
Продолжительность: 01.06.2020 — 30.06.2020
Выполняйте не торопясь, по одному заданию.
Аудитория: учащиеся школы
Требования к участникам:
— уверенный пользователь ПК и Интернета.
— наличие компьютера с доступом в Интернет.
Цель мастер — класса: повышение уровня компьютерной грамотности учащихся; изучение инструментария для использования в дальнейшем; организация совместной виртуальной работы с учащимися во внеурочное время.
Планируемые результаты обучения:
- знакомство с сервисом Desmos;
- выявление области использования учащимися сервиса Desmos в образовательной деятельности.
ПЛАН МАСТЕР — КЛАССА:
Задание 1. Регистрация на мастер-класс
Задание 2. Регистрация в сервисе Desmos
Задание 3. Знакомство с сервисом Desmos
Задание 4. «Проба пера»
Задание 5. Рисуем вместе, используя сервис Desmos
Задание 7. Выявление возможностей использования сервиса в образовательной деятельности.
Задание 8. «Синквейн»
Задание 9: Сервис Wolfram Alphac
Задание 10. Рефлексия
ХОД МАСТЕР — КЛАССА:
Задание 1: Регистрация на мастер-классПрежде, чем приступить к обучению, давайте познакомимся.
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
1. Оформите слайд в совместной гугл-презентации.
2. Сделайте отметку в Таблице продвижения.
Задание 2: Регистрация в сервисе Desmos
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Изучите инструкцию по регистрации на сервисе Desmos
- Зарегистрируйтесь на сервисе (для удобства рекомендую использовать браузер Google Chrome, где имеется автоматический перевод страниц на русский язык).
- Выполните отметку в Таблице продвижения.
Задание 3: Знакомство с сервисом Desmos
Что можно делать с Desmos:
- Создавать скриншоты с формулами и функциями для тестов и рабочих листов по математике.
- Читать функции по готовым апплетам других пользователей сайта Desmos
- Рисовать функциями, например, в мини-проектах для учеников.
- Создавать анимированные картинки.
Изучите основные инструменты работы в сервисе DESMOS: графический:
- Инструкция Руководство пользователя Desmos»
- Инструмент «Таблицы» (практическая работа).
- Инструмент «Ползунки»(дополнительно в правом верхнем углу выбираем закладку Помощь).
- Инструмент «Ограничения» (практическая работа в закладке Помощь).
- Инструмент «Регрессия» (практическая работа).
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Изучите инструкцию «Руководство пользователя»
- Выполните практические работы «Таблицы», «Ползунки», «Ограничения», «Регрессия».
- Выполните отметку о выполнении в Таблице продвижения.
Задание 4: «Проба пера»
Пробуем работать с сервисом.
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Просмотрите (бегло) возможности, которые предоставляет сервис Desmos.
- Откройте интерактивный лист с 3 задачами и выполните их.
- Для выполнения второго задания полезно посмотреть видео «Расстановка точек на картинке».
- Сохраните свои апплеты в виде картинок и разместите их на стене Padlet «Создаем коллекцию рисунков…»
- Сделайте отметку о выполнении задания в Таблице продвижения.
Задание 5: Рисуем вместе, используя сервис Desmos
В рамках сервиса можно коллективно создать рисунок, используя графики. Для этого работают поочередно в среде https://www.desmos.com, наращивая рисунок и обогащая его новыми элементами. РИСУЮТ ТОЛЬКО ФУНКЦИЯМИ!
Обычно играют так.
В качестве первого апплета выкладывают ссылку на заготовку рисунка и каждый новый участник добавляет в него элемент: фон, персонаж, анимацию… то есть всё, что хочет. Сохраняет и публикует свою ссылку, далее изменения следует вносить в апплет по новой ссылке. Все ссылки — новые и разные (такова особенность Desmos).
Статья «Создание динамических апплетов в Desmos»
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Прочитайте статью о создании динамических апплетов в сервисе Desmos.
- Выберите одну из заготовок, расположенных ниже и дорисуйте рисунок. Сохраните свой получившийся апплет. Можно воспользоваться заготовками (даны ниже). Или дорисовать рисунок одноклассника, взяв ссылку из Таблицы продвижения или с кем то договорится.
- Сохраните свой апплет в виде картинки и разместите её на стене Padlet «Создаем коллекцию рисунков…» , а ссылку на него разместите в Таблице продвижения.
- Сделайте отметку о выполнении задания в Таблице продвижения.
Сохраните свой получившийся апплет. Можно воспользоваться заготовками (даны ниже). Или дорисовать рисунок одноклассника, взяв ссылку из Таблицы продвижения или с кем то договорится. Заготовка № 1 «Море-1»
Заготовка № 2 «Море-2»
Заготовка № 3 «Звездное небо»
Задание 6: Использование сервиса для обучения через игру
А теперь просто поиграйте.
Как, играя в марблы, изучать координаты и функции? Попробуйте, узнаете!
Игра marbles: Прямые и параболы
(нажимаем на синюю кнопку «Student Preview»
)Игра marbles: Прямые и параболы (лайт-версия),
Практикуемся в применении координат, играя в мини-гольф!
Попади в лунку или Пиратский мини-гольф
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Сыграйте в Игру marbles: прямые и параболы (лайт-версия) (нажимаем на синюю кнопку «Student Preview»). Обращаю ваше внимание, что ситуации должны быть выигрышные. В итоге возникает зеленая надпись «Success».
- Сделайте скриншот одного из выигрышных этапов, который вам понравился, и разместите его на стене Padlet «Создаем коллекцию рисунков…» .
- Сделайте отметку о выполнении задания в Таблице продвижения.
Обращаю ваше внимание, что ситуации должны быть выигрышные. В итоге возникает зеленая надпись «Success».
Задание 7: Выявление возможностей использования сервиса в образовательной деятельности
Сервис Desmos дает широкие возможности для его использования в образовательном процессе в урочное и внеурочное время. Вот несколько примеров его использования для создания тренажеров, тестов, проведении проектов и мастер-классов…
1. Статья «Полезный Desmos».
2. Тренажеры для уроков «А синуса график волна за волной…»
3. Тест на квадратичную функцию с использованием приложения Desmos
4.
Проект Русский авангард и другие художники в Desmos
5. МК «Другая математика с Desmos»: измени апплет и научись!
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Изучите примеры использования сервиса в учебном процессе (ссылки выше).
- Выскажите свое мнение о возможностях использования сервиса Desmos на стене Padlet «Создаем коллекцию рисунков…» (напишите несколько предложений).
- Сделайте отметку о выполнении задания в Таблице продвижения.
Задание 8: Составляем «Синквейн»
Оценивая новый ресурс, знания, полученные в ходе обучения, сам МК прошу вас составить «синквейн».
При его написании существуют определенные правила (пять строк):
- Одно слово, обычно существительное или местоимение, которое обозначает объект или предмет, о котором пойдет речь.
- Два слова, чаще всего прилагательные или причастия. Они дают описание
признаков и свойств выбранного в синквейне предмета или объекта.
- Три глагола или деепричастия, описывающие характерные действия объекта.
- Фраза из четырех слов, выражает личное отношение автора синквейна к описываемому предмету или объекту.
- Всего одно слово, характеризующее суть предмета или объекта.
Они дают описание
признаков и свойств выбранного в синквейне предмета или объекта..ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Составьте свой «синквейн» о содержании МК.
- Запишите его в Таблице продвижения.
Задание 9: Сервис Wolfram Alphac
Сервис Wolfram Alphac (Вольфрам Альфа) — это бесплатный сервис для поиска информации. Ccылка на сервис: https://www.wolframalpha.com/
В отличие от традиционных поисковиков, которые выдают ссылки на различные сайты, сервис Wolfram Alphac самостоятельно анализирует запросы пользователя и предоставляем ему обработанную информацию.
Хороший помощник при изучении многих учебных предметов, а также математики и информатики.
Кроме того, самое интересное, что искусственный интеллект Wolfram Alpha в большинстве случаев легко отвечает на вопросы о непрерывности функций, если спросить на обычном языке (по-английски, конечно).
Вопросы при этом могут касаться самых разных областей, причем как сфер жизни, так и научных дисциплин. На официальном сайте Wolfram Alpha в примерах указано 30 разделов, по которым пользователь может задавать вопросы, включая людей, историю, географию, физику, химию, материаловедение, фондовые рынки, музыку, спорт, финансы и т.д.
Кроме текстовых запросов, пользователь может вводить математические выражения, и Wolfram Alpha будет их вычислять.
База знаний системы достаточно широкая, особенно в научной сфере. Например, ее можно спрашивать о каких-то редких растениях и животных.
ПРАКТИКА ЗАДАНИЯ:
- Изучите инструкцию-1 по описанию сервиса Wolfram Alphac
- Изучите инструкцию-2 по описанию сервиса Wolfram Alphac
- Попробуйте воспользоваться новым сервисом Wolfram Alphac для поиска ответов на какие-либо вопросы: https://www. wolframalpha.com/
- Выполните отметку в Таблице продвижения.
wolframalpha.com/ Задание 10: Рефлексия
Оценивая мастер-класс по изучению новых ресурсов прошу вас написать свой комментарий внизу этой страницы, ответив на вопрос: Был ли мастер-класс вам интересен, а сервис Desmos и сервис Wolfram Alphac будут полезны в дальнейшем. Напишите в свободной форме свои впечатления о новой информации и новых знаниях, полученных в ходе прохождения данного мастер-класса.
ПОСЛЕСЛОВИЕ…
Мы живем в XXI веке – это век информационных технологий. В нашу жизнь прочно вошли компьютеры, все больше и больше сервисов появляется в сети Интернет, и порой мы даже не успеваем отслеживать их появление. Многие социальные сервисы предоставляют возможность совместной работы в сети Интернет всех участников образовательного процесса.
Изобразительные, условно-графические и мультимедийные средства наглядности играют существенную роль в интеллектуальной познавательной деятельности учащихся.
Дополнительные материалы в помощь:
1. Как привести солнце в движение, или Послесловие к виртуальной выставке
2.Ты, волна моя, волна! Ты гульлива и вольна…
3. Кошки-мышки и другие «мультики» в Desmos
4. И корабль плывет… или Тригонометрическая анимация в Desmos
5. Дьявол в деталях, или Опять об анимации в Desmos
Примечание: при создании мастер-класса была использована идея и материалы Людмилы Рождественской, ссылка на её мастер-класс.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Непрерывность функций — краткий обзор
Подготовьте графический калькулятор.
Пример задачи
Постройте график функции f ( x ) = 2 x . Это многочлен, непрерывный при каждом вещественном числе. В частности, оно непрерывно при x = 4, где f (4) = 8.0911 x = 4,
Сначала настройте окно калькулятора так, чтобы 0 ≤ x ≤ 8 и 0 ≤ y ≤ 16,
Мы видим этот график:
Это дает нам представление о том, что функция выглядит вокруг точки (4, 8), которая находится ровно посередине экрана.
Теперь настройте окно калькулятора так, чтобы
7,5 ≤ y ≤ 8,5.
Теперь график выглядит следующим образом:
Нам не нравится этот график. Причина, по которой нам это не нравится, заключается в том, что мы не можем видеть, что делает функция для всех значений 9.0911 х в окне. Мы не можем видеть, что такое f (0) или что такое f (8), например, потому что функция исчезает вверху и внизу изображения.
Мы ограничим рассматриваемые значения x . Так как мы играем с непрерывностью при x = 4, вместо того, чтобы позволить x быть 4 шагами от 4 в любом направлении, мы позволим только x быть 2 шагами от 4.
Установите окно калькулятора так что 2 ≤ x ≤ 6.
Точка (4,8) по-прежнему находится в середине окна. Мы по-прежнему не можем видеть, что делает функция для всех значений x в окне, поэтому мы еще немного ограничим x .
Пусть x находится всего в 1 шаге от 4 в любом направлении: 3 ≤ x ≤ 5.
Нет, нам все равно не нравится этот график.
Как насчет 3,5 ≤ x ≤ 4,5?
График все равно не нравится.
Как насчет 3,75 ≤ x ≤ 4,25?
Да! Нам нравится этот график!
Теперь график уходит по бокам или углам окна:
Мы можем видеть, что делает функция для каждого значения x в окне. О, и точка (4, 8) все еще находится в середине окна.
Теперь у нас есть то, что мы хотим.
Игра с калькулятором занимает некоторое время, но помогает понять, что происходит. В следующем разделе мы увидим более короткий и аккуратный способ решения этой проблемы.
Теперь мы повторим, что только что произошло.
1. Нам дана непрерывная функция f и значение c . В этом случае f ( x ) = 2 x , c = 4,
2. Мы решили, что хотим, чтобы y было всего на 0,5 от 1 f ( ). Мы только хотели, чтобы и находились на расстоянии 0,5 от f (4) = 8; то есть, и мы хотели и между 7,5 и 8,5.
3. Мы ограничили значения x , пока не получили то, что хотели. Мы получили картинку с ( c , f ( c )) (или (4,8)) в середине окна и с f ( x ) между 7,5 и 8,5 для каждого значение x в окне.
Непрерывная функция f поставляется с гарантией: мы можем выбрать, насколько далеко мы хотим, чтобы f ( x ) удалялись от f ( c ), и если мы достаточно ограничим значения x , мы найдем то, что хотим.
По сути, мы можем увеличивать или уменьшать масштаб любой части непрерывной функции.
При ограничении значений x следует помнить о двух вещах. Во-первых, мы хотим, чтобы x сместились на одинаковое расстояние от c в обе стороны. Если c = 4, мы бы не сказали, что 3 < x < 6, потому что тогда x может отойти на 1 шаг влево, но на 2 шага вправо. Во-вторых, мы хотим, чтобы результатом была картинка, поэтому мы не будем говорить 9.0911 c ≤ x ≤ c . Этот график будет единственной точкой.
Гарантия того, что мы можем ограничить x для создания изображения, хороша только для непрерывных функций. Помните, что x должны отойти на одинаковое расстояние от c в обе стороны, и что мы не можем просто сказать c ≤ x ≤ c .
Пример задачи
Пусть.
Из графика видно, что эта функция разрывна в точке x = 0:
Покажите, что «гарантия непрерывной работы» не работает для этой функции.
Ответ.
Если мы попытаемся ограничить значения x так, чтобы f ( x ) находилось в пределах 0,5 от f (0) (то есть между 0,5 и 1,5), нам не повезло. Установка -0,5 ≤ x ≤ 0,5 не дает того, что нам нужно:
Не дает и -0,1 ≤ x ≤ 0,1.
Как бы мы ни ограничивали x , у нас всегда будут отрицательные x-значения с f(x) = 0, а 0 определенно не в диапазон значений y , к которым мы стремимся. Мы не можем создать желаемое изображение, а это означает, что гарантия, которая работает для непрерывных функций, не работает для этой функции.
Небольшое отступление: обратите внимание, что графики, которые мы видим, обычно выглядят как линии. Когда мы увеличим масштаб каждой из этих непрерывных функций и ограничим х и у много, мы находим картинку, которая более-менее похожа на прямую линию. Эта идея пригодится позже, когда мы найдем линейные приближения.
График функции
Алгебра Учебники
График функции представляет собой набор упорядоченных пар \((x,y)\). Или график функции — это концептуализация, которую мы делаем набором пар \((x,y)\) в системе координат. Я говорю, что это концептуализация, потому что то, как мы представляем график, в определенной степени является оптической иллюзией.
Почему я так говорю? Что ж, взгляните. О чем вы думаете, когда я говорю «график». Проверьте фигуру перед этим.
Итак, это график.
Набор пар \((x, y)\), или, как мы можем их также назвать, точек. Конкретный момент выделен ниже, посмотрите
Хитрость, или визуальная иллюзия, заключается в том, что точка теоретически не имеет размеров (ни ширины, ни длины). Так что эту «кривую», которую мы рисуем, чтобы представить график, это своего рода удобный способ представления графика, но мы немного жульничаем, потому что это представление имеет кривую, которая имеет толщину.
Итак, это не для того, чтобы пролить свет на ваш парад, а просто для того, чтобы прояснить, что то, что вы понимаете под графиком, это скорее представление удобного и надежного графика.
Графики, связанные с функциями
Один действительно простой способ определить график — использовать функцию \(f(x)\).
Действительно, граф, определяемый функцией \(f(x)\), есть множество всех точек \((x, f(x))\), для \(x \in D\), где \(D \) является областью определения функции \(f\).
Представление такое же, как и на предыдущих графиках, только теперь мы делаем следующее:
В этом случае наиболее явное отличие состоит в том, что второй компонент пары \((x,y)\) не просто любое значение \(y\). Второй компонент равен \(f(x)\), поэтому он однозначно определяется \(x\). 92) = (3, 9)\) и т. д. Графически получаем следующее представление графа:
Непрерывные и прерывистые графики
Одно из предположений, которое мы делаем в уме, когда думаем о графике, состоит в том, что он гладкий, без каких-либо скачков.
2\).
Понятие гладкости функции формально рассматривается в исчислении с понятием непрерывной функции. Но без особых заморочек можно сказать, что пока будем считать, что непрерывная функция — это функция, имеющая «гладкий» график, а разрывная функция — это функция, которая не является гладкой или имеет «скачки». «.
ПРИМЕР 2Является ли функция \(f(x) = sin(x)\) непрерывной?
ОТВЕЧАТЬ:
Что ж, опять же, для проверки нам потребуется формальный анализ непрерывности.
Но в свете приведенного выше неформального определения проверим его график. Компьютер выдает нам следующее:
Я бы сказал, что приведенный выше график выглядит очень гладким, без каких-либо скачков, поэтому, используя наше наивное определение, я бы сказал, что \(f(x) = \sin x\) непрерывен.
ПРИМЕР 3Является ли функция \( f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{cc}-1 &\,\,\,\,\text{for } x\le 1 \\ \\ x & \,\,\,\,\,\,\text{for}x>1 \\ \end{массив} \right.\) непрерывный?
ОТВЕЧАТЬ:
Чтобы ответить на вопрос, нам нужно построить график.
Компьютер выдает нам следующее:
Обратите внимание, что в точке \(x = 1\) есть скачок, поэтому я бы сказал, что на графике выше есть скачок, и, следовательно, эта функция разрывна.
Подробнее о графиках
Использование графиков для представления функции может сыграть решающую роль в понимании поведения функции.
Существует достаточно аналитических (расчетных) инструментов, чтобы понять поведение функции \(f(x)\) без необходимости ее построения. Но очень удобно видеть график, потому что это действительно быстрый способ получить представление о том, что делает функция.